精品解析：北京市交大附中2025-2026学年上学期七年级期末考试数学试卷

北京交大附中2025-2026学年第一学期期末练习 初一数学 说明：本试卷共8页，共100分．考试时长90分钟． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【详解】解:∵， ∴的倒数是． 故选择A． 【点睛】本题考查倒数的定义，掌握倒数的定义是解题关键． 2. 中国天眼（FAST）是世界上最大的单口径球面射电望远镜，它的灵敏度极高，能捕捉到宇宙中极其微弱的电磁信号．它能接收到的最远距离约为137亿光年，将13700000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查科学记数法的理解和运用，将原数转化为（，为整数）形式是解题的关键． 将13700000000用科学记数法表示，需将小数点向左移动10位，即可得到答案． 【详解】∵ ，∴ 用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 如图是某立体图形的展开图，则这个立体图形是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 长方体 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查常见几何体的展开图形识别，理解并掌握常见几何体的展开图特征是解题关键． 根据常见几何体的展开图形特征进行判断即可． 【详解】解：这个展开图是由两个三角形底面和三个长方形侧面构成，符合三棱柱的展开图特点， ∴这个立体图形是三棱柱， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要合并同类项，去括号法则，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据合并同类项，去括号法则依次判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、与，不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D． 5. 下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质和去括号法则，熟练掌握等式的基本性质和去括号法则，是解题的关键． 根据等式的基本性质和去括号法则逐项判断即可． 【详解】解：A、变形为，故选项错误，不符合题意； B、变形得：，故选项正确，符合题意； C、得：，故选项错误，不符合题意； D、得，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 6. 如图，，，点B，O，D在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，是平分线，是的平分线．若，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义． 根据角平分线的定义得到，，，进而根据角的和差计算即可． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线，，， ∴，，， ∴，，． 可知D错误． 故选：D． 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元一次方程，掌握此知识点是解题关键． 根据竹竿总数不变列方程即可解答． 【详解】解：∵每人6竿多14竿，竹竿总数为；每人8竿少2竿，竹竿总数为，且竹竿总数相等， ∴． 故选：A． 9. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的和差． 根据得到，进而根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 10. 如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（ ） ①点B对应的数是4； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度不变． A. ②④ B. ②③④ C. ①② D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点. ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，②④正确． 故选：A． 二、填空题（本题共18分，每题3分） 11. ____________． 【答案】 ①. ②. 42 【解析】 【分析】本题考查了度分秒的换算，关键在于要注意度分秒是60进制． 根据度、分、秒是60进制，用小数部分乘以60，再进行相加计算即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 故答案为：55，42． 12. 如图所示，下列各角中，与互补的角有：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了找角的补角． 由图可知，根据补角的定义找角即可． 【详解】解：由图可知，则， 各角中，只有为， ∴与互补的角有：． 故答案为：． 13. 写出一个解为2的一元一次方程________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义以及一元一次方程的定义，一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；结合一元一次方程的定义写出一个方程即可，注意此题答案不唯一． 【详解】解为2的一元一次方程，可列方程． 故答案为． 14. 如图，若点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的西北方向上，那么的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方位角问题． 直接根据题意作答即可． 【详解】解：∵点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的西北方向上， ∴． 故答案为：． 15. 点M在线段上，，点C为线段的三等分点，若，则的长为______． 【答案】4或12 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差计算，三等分点，根据题意画出图形即可求解，解题的关键是分两种情况计算．由，设，表示和；点C为三等分点，分和两种情况，利用列方程求解． 【详解】解：设，则，， 点C为的三等分点，有两种情况： 当时，如图， ， 由，得，解得， 当时，如图， ， 由，得，解得， 故的长为4或12． 故答案为：4或12． 16. 运动会期间小穆为11位志愿者买餐，下表是一家快餐店套餐的价格和优惠情况： 种类 配餐 价格（元） 优惠活动 A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元 消费满300元，减48元 B餐 1份盖饭杯饮料 28 C餐 1份盖饭杯饮料份小菜 32 小穆一共点了11份盖饭，5份小菜，x杯饮料． （1）若，则小穆一共花了______元． （2）若小穆一共花费了256元，饮料的杯数x是______． 【答案】 ①. 264 ②. 5或8 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解题目中的数量关系是解题的关键． （1）根据所点的套餐中共有6杯饮料，推出A，B，C套餐的份数，据此可解决问题． （2）根据题意，建立关于x的方程即可解决问题．（1）通过设定A餐、B餐、C餐的数量，根据盖饭、小菜和饮料的数量列出方程，求出优惠前总金额后应用优惠规则计算实际支付金额；对于第(2)问，根据实际支付金额反推优惠前总金额，再求解饮料杯数x． 【详解】解：设小穆点了a份A餐，b份B餐，c份C餐， 根据题意，盖饭总数为11，故， 小菜总数为5，故． 饮料总数为x，故． 由，代入，得． 优惠前总金额． 代入，得． 由，得，代入S，得． （1）当时，由，即，故． 则元． 由于元，满足优惠条件“消费满150元减24元”，故实际支付元． 故答案为264． （2）当实际支付元时，需分情况讨论优惠情况． 若S满足150元但不足300元，则，故元． 由，得，故． 则． 若S满足300元或以上，则，故元． 由，得，故． 则． 故或． 故答案为5或8． 三、解答题（本题共52分，第17、19题每小题3分，第18、20-22题每题4分，第23题5分，第24、26题每题6分，第25题7分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则并正确计算是解题关键． （1）利用乘法分配律即可． （2）先算乘方，化简绝对值，然后算乘除，最后算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】,8. 【解析】 【分析】先把所给代数式去括号合并同类项，然后把代入计算即可. 【详解】解:原式 ， ∵， ∴原式. 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握整式的运算法则，将所给多项式化简.本题主要利用去括号合并同类项的知识，注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减,字母与字母的指数不变. 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）去括号，后按照解题步骤进行计算即可． （2）去分母，去括号，后按照解题步骤进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ； 【小问2详解】 解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤，规范求解是解题的关键． 20. 如图，已知点A，B，C，D，按要求画图并填空． （1）画射线，连接； （2）在线段的延长线上截取（尺规作图，保留痕迹） （3）在上画一点P，使最小；其依据是__________________． 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）图见详解；依据是两点之间线段最短． 【解析】 【分析】本题主要考查直线、射线、线段的作法，两点之间线段最短等，理解题意，结合图形熟练运用基础知识点是解题关键． （1）画射线，连接即可； （2）以A为圆心，为半径画弧，与线段的延长线交于点E； （3）连接BD与的交点为点P． 【小问1详解】 解：如图即为所求； 小问2详解】 解：如图即为所求； 【小问3详解】 解：如图即为所求； 依据是两点之间线段最短． 21. （列方程解决实际问题） 为推进全民健身，微信运动和腾讯公益推出了一个“全民捐步大挑战”的活动：参与者可以根据一天中走路的步数，给公益机构捐款． （1）小亮某天走了1.5万步，可以捐款3元，则每一万步可捐款______元； （2）十月份学校组织学生去植物园参观游览，小莉和小晶二人共同捐款6元，已知小莉的步数比小晶的2倍少6000步，求小莉当天走了多少万步？ 【答案】（1）2 （2）小莉走了万步 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数除法的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）根据有理数的除法计算即可； （2）步万步，设小晶当天走了万步，则小莉走了万步，根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：步万步， 设小晶当天走了万步，则小莉走了万步， 由题意得，， 解得， 则小莉走了万步， 答：小莉走了万步． 22. 如图，已知点B在线段上，，． （1）求线段的长； （2）如果点O是线段的中点，求线段的长． 【答案】（1）30 （2）9 【解析】 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差．解题关键是根据已知条件逐步求出相关线段的长度． （1）根据所给图形利用可求出，即得； （2）由点O是线段的中点，求出，再可解． 【小问1详解】 解：∵点B在线段上，，, ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵点O是线段的中点， ∴， ∴ ． 23. 如图，已知，是的平分线． （1）求的度数； （2）过点O作射线，使，求的度数． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． （1）根据角平分线的定义直接求解即可； （2）分两种情况讨论，根据角的和差计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，是的平分线． ∴ 【小问2详解】 解：当点E在下方时， ∵， ∴； 当点E在上方时， ∵， ∴， ∴的度数为或． 24. 如果一元一次方程A：的解和一元一次方程B：的解满足，则称方程A是方程B的t时方程．例如：方程是方程的0时方程；方程是的1时方程． （1）下列选项中，方程A是方程B的2时方程的是______；（填序号） ①A：；B：； ②A：；B：； （2）若关于x的方程是关于x的方程的m时方程，求n的值． （3）若关于x的方程C：的解比关于x的方程D：的解大1，并且方程C是方程D的t时方程，请直接写出s，t的值． 【答案】（1）① （2）2 （3）， 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的解及代数式求值，弄清题中新的定义是解本题的关键． （1）分别求出两个方程的解，根据新定义判断即可； （2）分别表示出两个方程的解，根据新定义列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）分别表示出两个方程的解，根据题意列出关系式求解即可． 【小问1详解】 解：①A：， 解得：； B：； 解得：； 根据题意得：， 解得：，（符合题意）； ②A：； 解得：； B： 解得：； 根据题意得：， 解得：，（不符合题意）； 故答案为：①； 【小问2详解】 解：， 解得：， ， 解得：， ∵关于x的方程是关于x的方程的m时方程， ∴， 整理得：； 【小问3详解】 解：， 解得：， ， 解得：， ∵的解比关于x的方程D：的解大1， ∴， 解得：， ∴，， ∵方程C是方程D的t时方程， ∴， 解得：． 25. 定义：若，且，则称是的差余角．例如：，，则是的差余角．请解决下列问题． 点O在直线上，点C是直线上方的一个定点，过点O作射线． （1）如图1，若是的差余角，则的度数为______； （2）如图2，将直角三角尺按图2方式放置，使得直角顶点与点O重合，且平分， ①求证：； ②图中的差余角有：____________； （3）如图3，将直角三角尺自图3位置（三角尺的一边在上）开始绕直角顶点O顺时针转动，当是的差余角时，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】（1） （2）①见解析；② （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算. （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，据此建立方程求解即可； （2）①根据平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，进一步由平角的定义得到，据此可得结论；②由（2）①的结论得到，根据，得到，据此可得结论； （3）分在左侧，在右侧，在下方三种情况，根据差余角的定义得到，再根据角之间的关系导角求解即可． 【小问1详解】 解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即 ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴的差余角有； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图3-1所示，当在左侧时， ∵是的差余角， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图3-2所示，当在右侧时， ∵是差余角， ∴， ∵， ∴， ∴此种情况不存在； 如图3-3所示，当在下方时， ∵是差余角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 26. 在数轴上，如果线段之间依次排列的点，，，…，将线段n等分，则这个点都叫做线段的n等分点．若是靠近A的第1个n等分点，记为，是靠近A的第2个n等分点，记为，…，是靠近A的第个n等分点，记为． （1）小利探究发现： 如图，点A、B表示的数分别为a、b（）， 点为线段上靠近点A的第2个五等分点，则点表示的数为， 点为线段上靠近点B的第1个五等分点，则点表示的数为． 根据小利的探究，若a、b分别为、4，则点表示的数为______，点表示的数为______； （2）数轴上A、B两点表示的数分别为、， ①数轴上C、D两点表示的数分别为、4，若线段的等分点与线段的等分点重合，则x的值为_____； ②点P从A点出发以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从B点出发以每秒4个单位的速度向左移动，点M为线段的中点，记点A与M的距离为，点为线段的等分点，记点B与的距离为，当与相等时，请直接写出此时t的值． 【答案】（1），2 （2）①3；②和 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、列代数式及一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据等分点公式可直接进行求解； （2）①根据等分点公式列出代数式，再根据两点重合列出方程，再求解即可； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为：再列出方程，最后分类求解即可． 【小问1详解】 解：， 线段的长度为． 点是靠近点的第1个六等分点，其表示的数为： 点是靠近点的第2个六等分点，其表示的数为： 所以，点表示的数为，点表示的数为2． 故答案为：，2； 【小问2详解】 解：①由题意可得：线段的长度．线段的长度． 点在线段上，其表示的数为： 点在线段上，其表示的数为： 由两点重合得： 解得： 所以的值为3． 故答案为：3； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为： 点与点的距离为： 点为线段上靠近点的第3个八等分点，其表示的数为： ， 点与点的距离为： 由得： 分三种情况讨论： 1．当时：．代入得：，解得： 2．当时：．代入得：，解得： 3．当时：．代入得：，解得： 但，不满足，舍去． 综上所述，当时，的值为和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京交大附中2025-2026学年第一学期期末练习 初一数学 说明：本试卷共8页，共100分．考试时长90分钟． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 7 2. 中国天眼（FAST）是世界上最大的单口径球面射电望远镜，它的灵敏度极高，能捕捉到宇宙中极其微弱的电磁信号．它能接收到的最远距离约为137亿光年，将13700000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某立体图形的展开图，则这个立体图形是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 长方体 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，，，点B，O，D在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的平分线，是的平分线．若，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（ ） ①点B对应的数是4； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度不变． A. ②④ B. ②③④ C. ①② D. ①②③④ 二、填空题（本题共18分，每题3分） 11 ____________． 12. 如图所示，下列各角中，与互补的角有：______． 13. 写出一个解为2的一元一次方程________． 14. 如图，若点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的西北方向上，那么的度数为______． 15. 点M在线段上，，点C为线段的三等分点，若，则的长为______． 16. 运动会期间小穆为11位志愿者买餐，下表是一家快餐店套餐的价格和优惠情况： 种类 配餐 价格（元） 优惠活动 A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元 消费满300元，减48元 B餐 1份盖饭杯饮料 28 C餐 1份盖饭杯饮料份小菜 32 小穆一共点了11份盖饭，5份小菜，x杯饮料． （1）若，则小穆一共花了______元． （2）若小穆一共花费了256元，饮料的杯数x是______． 三、解答题（本题共52分，第17、19题每小题3分，第18、20-22题每题4分，第23题5分，第24、26题每题6分，第25题7分） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知，求代数式值． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，已知点A，B，C，D，按要求画图并填空． （1）画射线，连接； （2）在线段的延长线上截取（尺规作图，保留痕迹） （3）在上画一点P，使最小；其依据是__________________． 21. （列方程解决实际问题） 为推进全民健身，微信运动和腾讯公益推出了一个“全民捐步大挑战”的活动：参与者可以根据一天中走路的步数，给公益机构捐款． （1）小亮某天走了1.5万步，可以捐款3元，则每一万步可捐款______元； （2）十月份学校组织学生去植物园参观游览，小莉和小晶二人共同捐款6元，已知小莉的步数比小晶的2倍少6000步，求小莉当天走了多少万步？ 22. 如图，已知点B在线段上，，． （1）求线段的长； （2）如果点O是线段的中点，求线段的长． 23. 如图，已知，是的平分线． （1）求度数； （2）过点O作射线，使，求的度数． 24. 如果一元一次方程A：的解和一元一次方程B：的解满足，则称方程A是方程B的t时方程．例如：方程是方程的0时方程；方程是的1时方程． （1）下列选项中，方程A是方程B的2时方程的是______；（填序号） ①A：；B：； ②A：；B：； （2）若关于x的方程是关于x的方程的m时方程，求n的值． （3）若关于x方程C：的解比关于x的方程D：的解大1，并且方程C是方程D的t时方程，请直接写出s，t的值． 25. 定义：若，且，则称是的差余角．例如：，，则是的差余角．请解决下列问题． 点O在直线上，点C是直线上方一个定点，过点O作射线． （1）如图1，若是的差余角，则的度数为______； （2）如图2，将直角三角尺按图2方式放置，使得直角顶点与点O重合，且平分， ①求证：； ②图中的差余角有：____________； （3）如图3，将直角三角尺自图3位置（三角尺的一边在上）开始绕直角顶点O顺时针转动，当是的差余角时，请直接写出此时与的数量关系． 26. 在数轴上，如果线段之间依次排列的点，，，…，将线段n等分，则这个点都叫做线段的n等分点．若是靠近A的第1个n等分点，记为，是靠近A的第2个n等分点，记为，…，是靠近A的第个n等分点，记为． （1）小利探究发现： 如图，点A、B表示的数分别为a、b（）， 点为线段上靠近点A的第2个五等分点，则点表示的数为， 点为线段上靠近点B的第1个五等分点，则点表示的数为． 根据小利的探究，若a、b分别为、4，则点表示的数为______，点表示的数为______； （2）数轴上A、B两点表示的数分别为、， ①数轴上C、D两点表示的数分别为、4，若线段的等分点与线段的等分点重合，则x的值为_____； ②点P从A点出发以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从B点出发以每秒4个单位的速度向左移动，点M为线段的中点，记点A与M的距离为，点为线段的等分点，记点B与的距离为，当与相等时，请直接写出此时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $