课后分层练(二十九)　椭圆的简单几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二十九)]　椭圆的简单几何性质 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　 ) A． B．2 C． D．4 解析：选C．椭圆x2＋my2＝1的标准形式为x2＋＝1. 因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍， 所以 ＝2，所以m＝. 2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为(　　 ) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．x2＋＝1 解析：选A．依题意得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝， 故所求椭圆的标准方程是＋＝1. 3．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M，N.若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为(　　 ) A．－1 B．2－ C． D． 解析：选A．因为过F1的直线MF1是圆F2的切线，|MF2|＝c，|F1F2|＝2c，所以|MF1|＝c. 由椭圆的定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a， 所以离心率e＝＝＝－1. 4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(　　 ) A．(－2，0) B．(－3，0) C．(－4，0) D．(－5，0) 解析：选D．因为圆x2＋y2－6x＋8＝0，化为一般式可得(x－3)2＋y2＝1，故其圆心为(3，0)，所以椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F(3，0)，得c＝3.又因为短轴长为2b＝8，得b＝4，所以a＝＝5，可得椭圆的左顶点为(－5，0). 5．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C．如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF2|＝|F2F1|⇒2＝2c⇒e＝＝. 6．若一个椭圆的长轴长与焦距的和是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B．由题意得2a＋2c＝2×2b，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理，得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，所以e＝或e＝－1(舍去). 7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).若过F1的直线和圆＋y2＝c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________． 解析：设过F1的直线与圆的切点为M， 圆心A，则|AM|＝c，|AF1|＝c，所以|MF1|＝c， 所以该直线的斜率k＝＝＝. 因为PF2⊥x轴，所以|PF2|＝， 又|F1F2|＝2c， 所以k＝＝＝＝，得e＝. 答案：　 8．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________． 解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝，知＝，故＝.∵△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，∴a＝4，∴b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1. 答案：＋＝1 9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，过点E的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，求椭圆的离心率． 解：由F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，得＝＝， 从而＝，整理得a2＝3c2， 故离心率e＝＝. 【综合运用】 10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点．若∠MFN＝∠NMF＋90°，则椭圆C的离心率是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A．由题意画出图形，如图所示． 易得tan ∠NMF＝， tan ∠NFO＝.因为∠MFN＝∠NMF＋90°，所以∠NFO＝180°－∠MFN＝90°－∠NMF， 所以tan ∠NFO＝，所以＝，则b2＝a2－c2＝ac，所以e2＋e－1＝0，解得e＝(负值舍去). 11．(多选)(新背景)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为(　　 ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选AD．由题意可知， 解得a＝3，b＝2，c＝1， 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 12．(多选)(新考法)如图所示，用一个与圆柱底面成θ(0<θ<)角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝，则下列结论正确的是(　　 ) A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是＋＝1 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2 解析：选CD．设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝得2a＝＝8，解得a＝4，A不正确； 显然b＝2，则c＝＝2，离心率e＝＝，B不正确； 当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为＋＝1，C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2，D正确． 13．如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点．若·的最大值是12，求椭圆的方程． 解：由题知A(a，0)，设F(－c，0). 因为e＝＝，所以a＝3c. 设P(x0，y0)，则－3c≤x0≤3c. 因为＝(－c－x0，－y0)，＝(a－x0，－y0)， 所以·＝(－c－x0，－y0)·(a－x0，－y0) ＝－ac＋cx0－ax0＋x＋y ＝－ac＋cx0－ax0＋x＋b2－ x ＝ x－(a－c)x0＋b2－ac ＝x－(a－c)x0＋a2－c2－ac ＝x－2cx0＋5c2 ＝(x0－9c)2－4c2. 所以当x0＝－3c时，·有最大值，且最大值为12c2， 所以12c2＝12，所以c2＝1， 所以a2＝9，b2＝a2－c2＝8， 所以椭圆的方程为＋＝1. 14．(2024·钦州高二检测)已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点F1和右焦点F2都在x轴上，长轴长为12，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点M为椭圆C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，求点M的坐标． 解：(1)根据题意：解得a＝6，c＝4，所以b2＝a2－c2＝20， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)因为M在第一象限，所以|MF1|>|MF2|， 当|MF2|＝|F1F2|＝2c＝8时，|MF1|＝2a－|MF2|＝4与|MF1|>|MF2|矛盾． 所以|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8，即|MF2|＝4， 设点M的坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)， 则S△MF1F2＝·|F1F2|·y0＝4y0， 又S△MF1F2＝×4×＝4， 所以4y0＝4，解得y0＝， 所以＋＝1， 解得x0＝3(x0＝－3舍去)， 所以M的坐标为(3，). 【创新探索】 15．如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知|PA|＝2|AB|，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D．由题意知PA与PB的长度不变，已知|PA|＝2|AB|，设|AB|＝x，则|PA|＝2x， 当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长b＝2x，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长a＝3x，故离心率为＝＝. 16．(2025·甘肃兰州高二期末模拟)“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为则下列说法正确的是(　　 ) A．曲线C内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数) B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C．若A(0，－)，B(0，)，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cos ∠APB的最小值为－ D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆．将曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C′：＋＝1后，椭圆C′的蒙日圆方程为x2＋y2＝15 解析：选C．对于选项A，曲线知－2≤x≤2，－3≤y≤2， 当x∈Z时，令x＝－1，0，1，分别代入曲线C的方程， 可得曲线C内部(不含边界)的整数点为(－1，1)，(－1，0)，(－1，－1)，(－1，－2)，(0，1)，(0，0)，(0，－1)，(0，－2)，(1，1)，(1，0)，(1－1)，(1，－2)， 所以整数点有12个，故选项A错误； 对于选项B，曲线C中，当y>0时，x2＋y2＝4，此时曲线上的点到原点的距离为2， 当y≤0时，＋＝1，设半椭圆上动点Q的坐标为(2cos θ，3sin θ)，θ∈[π，2π]， 则|OQ|2＝(2cos θ)2＋(3sin θ)2＝4cos2θ＋9sin2θ＝9－5cos2θ， 又4≤9－5cos2θ≤9，所以2≤|OQ|≤3，故所求最大值与最小值之和为5，所以选项B错误； 对于选项C，因为A(0，－)，B(0，)恰为椭圆＋＝1的两个焦点， 则|PA|＋|PB|＝6，所以|PA|·|PB|≤()2＝9，当且仅当|PA|＝|PB|， 即P在x轴上时取等号， 在△PAB中，|AB|＝2， 由余弦定理得cos∠APB＝ ＝＝ ＝－1≥－1＝－，所以选项C正确； 对于D，由题意知，蒙日圆的圆心为(0，0)，在椭圆C′：＋＝1中取两条切线x＝2和y＝3， 它们的交点为(2，3)，该点在蒙日圆上， 则蒙日圆的半径为＝，故蒙日圆方程为x2＋y2＝13，所以选项D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $