20.1勾股定理及其应用（2）寒假预习讲义（4知识点+12题型+过关检测） 2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.1勾股定理及其应用（2）寒假预习讲义 （4知识点+12题型+过关检测） 预习目标导航 1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2.会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，初步感知实数与数轴上的点的一一对应关系. 3.能够从实际问题中抽象出符合勾股定理的数学模型，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明.预习内容概览 预习必备 知识点梳理 1.勾股定理的应用 2.作长为(n为大于1的整数)的线段 3.应用场景:题型核心公式+关键要点 4.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.求梯子滑落高度 2.求旗杆高度 3.求小鸟飞行距离 4.求大树折断前的高度 5.解决水杯中筷子长度问题 6.解决航海问题 7.勾股定理求河宽 8.求台阶上地毯长度 9.判断汽车是否超速 10.判断是否受台风影响 11.选址到两地距离相等 12.最短路径求解 强化巩固 题型通关 (18题) 知识点梳理 【知识点一 勾股定理的应用】 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系.其主要应用如下： (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题。 注意 勾股定理是直角三角形的性质，因此应用勾股定理，必须先找到或构造直角三角形. 【知识点二 作长为(n为大于1的整数)的线段】 画长为 的线段 当直角三角形的两直角边长分别为1，1时，斜边长为 即 ；当两直角边长分别为 ，1时，斜边长为 ,即( )² 依此规律可以画出长为 …的线段 在数轴上表示 构造两条直角边长都是 1 的直角三角形，使用勾股定 理得到斜边长为 ，再用圆 规截取的方法在数轴上画 出表示 的点；构造两直角边长分别为 ，1的直角三角形，用勾股定理得到斜边长为 ，再用圆规截取的方法在数轴上画出表示 点.依此规律可以在数轴上画出表示 ..的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点；若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为✔n(n为大于1的整数)的线段. 【知识点三 题型核心公式+关键要点】 题型序号 题型名称 核心解题公式/思路 公式说明/关键要点 1 求梯子滑落高度 设梯子长度为c，初始竖直高度a₁，水平距离b₁；滑落後水平距离b₂，竖直高度a₂。① c = ② a₂ = ③ 滑落高度Δh = |a₁ - a₂| 梯子长度为斜边，始终不变；墙与地面垂直，构成直角三角形 2 求旗杆高度 设旗杆高h，测角点到旗杆底部距离a，测角点到旗杆顶端的绳长/视线长c。h = 旗杆垂直地面，h和a为直角边，绳长/视线长为斜边 3 求小鸟飞行距离 设小鸟从点A到点B，水平距离a，竖直高度差b。飞行距离c = 水平与竖直方向垂直，飞行路径为直角三角形斜边 4 求大树折断前的高度 设树折断后，底部到折断点的竖直段为a，折断部分（斜边）为c，顶端到树底的水平距离为b。① a = )② 原高度H = a + c 折断后形成直角三角形，a、b为直角边，c为斜边 5 解决水杯中筷子问题 设水杯底面直径为d，高为h，筷子在杯内的长度为L。① 筷子最短长度（竖直）：L短 = h② 筷子最长长度（斜放）：L长 = 水杯为圆柱体，底面直径与高垂直，斜放筷子为斜边 6 解决航海问题 设轮船从A到B沿正北/正南行a，再沿正东/正西行b，到C点。总航程AC = 正北/正南与正东/正西方向垂直，构成直角三角形 7 求河宽 设河岸上一点A，对岸对应点B，沿河岸取点C，使AC⊥AB，测AC = a，BC = c。河宽AB = AB为河宽（直角边），AC为河岸线段（直角边），BC为斜边 8 求台阶上地毯长度 设台阶总高度为h，总水平长度为l。地毯长度L = h + l 地毯铺台阶可展平，长度为竖直高度与水平长度之和（勾股定理推导：展平后为直角三角形两直角边和） 9 判断汽车是否超速 设汽车刹车痕迹为c，刹车时的竖直/水平距离为a，求行驶距离b = ；速度v = bt，与限速比较。 刹车轨迹为斜边，结合时间求速度，判断是否超速 10 判断是否受台风影响 设台风中心移动路径为直线，某点到路径的垂直距离为d，台风影响半径为r。① d =（c为点到路径上某点距离，a为该点到垂足距离）② 若d ≤ r，受影响；若d > r，不受影响 垂直距离为最短距离，是判断核心 11 选址到两地距离相等 设两地为A、B，选址在直线l上的点P，作AB的垂直平分线，与l交于P；用勾股定理：PA² = PB²，即= 垂直平分线上的点到线段两端距离相等，结合勾股定理列方程 12 求最短路径 1. 平面：两点之间线段最短，结合勾股定理求长度c = )2. 立体（长方体正方体）：展平表面，直角边为(长+宽)和高，最短距离 = √[(长+宽)² + 高²]3. 立体（圆柱）：展平为长方形，直角边为πr（底面半周长）和h（高），最短距离 = 立体图形需展平为平面，连接两点的线段为最短路径，利用勾股定理求解 【知识点四 易错点提醒】 1.误用勾股定理：在非直角三角形中直接使用公式。 2.混淆边的类型：求直角边时误用 “a2+c2=b2”（应是b2=c2−a2）。 3.勾股数概念错误：将非正整数（如1，​,​）误认为勾股数。 题型精讲精练 【题型1 求梯子滑落高度】 【典例】．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离： ， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： ． 故选：C． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，，，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， 即梯子底端将向外移， 故答案为：． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； (2)如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为米 (2)4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：在中，米， 米． 答：此时风筝离地面的垂直高度为米． （2）解：米， 由题意可得：米， 在中，米， 米， 答：他应该朝射线方向前进4米． 【题型2 求旗杆高度】 【典例】．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，旗杆折断部分的高度． 故选：C． 【跟踪训练1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，关键是构建直角三角形模型，再利用勾股定理进行解题． 构建模型进行解题，如图，折断旗杆高为，离旗杆，小明高，此时只要计算的长，即可判断小明是否有危险． 【详解】解：如图所示， ，， 由勾股定理得：， ∴此时在离旗杆处玩耍的身高为的小明有危险， 故选：B． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小亮设计了一个方案：如图，小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端，然后将绳子末端拉直到距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面的高度为．如果设旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计），求x的值． 【答案】12.25米． 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理的应用． 由左图，根据勾股定理得，绳长的平方，右图，根据勾股定理得，绳长的平方，建立方程，解方程即得． 【详解】解：设旗杆的高为x米， 由左图，根据勾股定理得，绳长的平方，右图，根据勾股定理得，绳长的平方， ∴， 解得，米． 答：旗杆的高度是12.25米． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·山西太原·月考）综合与实践 如图，有一个由传感器A控制的灯，装在门上方的墙上，任何东西只要移至该灯周围5米及5米以内时，灯就会自动发光．求实小组想利用所学数学知识来测量传感器A的垂直高度，实践报告如下： 课题 传感器离地面垂直高度问题探究 成员 组长：×××        组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺 示意图 及测量数据 ①一位身高米的小组成员（即米）走到灯刚好发光的地方； ②测得此时他距墙4米（即米）． 提出问题 （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出传感器A离地面的垂直高度； 问题迁移 （2）一位身高2米的小组成员走到离墙米的地方时，灯是否会发光？ 解决问题 解：过点C作，交于点E． …… 请你帮助求实小组解决以上两个问题． 【答案】（1）传感器A离地面的垂直高度是米；（2）灯不会发光，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）设米，则米，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （2）根据题意有米，米，先求出的长，再根据勾股定理求出的长，再与5米比较长短即可． 【详解】（1）解：过点C作，交于点E． 由题意可知，米，米，米， ∵于点E， ∴． 设米，则米， 在中， ， ，解得． 答：传感器A离地面的垂直高度是4.5米． （2）解：由（1）可得在中，，， ∵米，米， 米， ∵米，， ∴， 所以灯不会发光． 【题型3 求小鸟飞行距离】 【典例】．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·湖北·月考）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：B． 【跟踪训练2】．（24-25八年级上·重庆·月考）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 【跟踪训练3】．（2024·广东江门·模拟预测）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)小明同学应该再放出8米线 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可； （2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则（米）． 由勾股定理，得（米）， 故（米）． 答：小明同学应该再放出8米线． 【题型4 求大树折断前的高度】 【典例】．（25-26八年级上·山西·月考）如图，垂直于地面的一木杆在离地12米的A处断裂，木杆顶部B落在离木杆底部C处5米远，则的长为（   ） A．13米 B．12米 C．25米 D．17米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据题意得：米，米，，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：米，米，， 在中，米． 故选：A 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是 ． 【答案】12尺 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理列出方程求解x即可． 【详解】解：设尺，则尺， 由勾股定理得，， 解得， ∴尺， 故答案为：12尺． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·吉林长春·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为尺，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设为x尺，则尺，根据勾股定理得： ， 则， 即， 故选：D． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆在距离地面处折断 (2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度． （2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解． 【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 【题型5 解决水杯中筷子问题】 【典例】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，长方体的体对角线是最长的，当木棒在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可． 【详解】解：由题意知：盒子底面对角线长为， 盒子的对角线长：， 又细木棒长， 故细木棒露在盒外面的最短长度是：， 故选：D． 【跟踪训练1】．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得，整理得，即可作答． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺． ∴ 整理得， 故选：D． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 先求出尺，设尺，则芦苇的高度尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇， ∴尺， 设尺，则芦苇的高度尺， ∴， ， 解得：， 即芦苇的高度尺． 故答案为：． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭（jiā）出水”的一道趣题：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺．将芦苇拽至池边中点处，它的末端刚好与水面相齐，那么水有多深？芦苇有多长？求解此题．（注：“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用．1丈尺，1米尺） 【答案】水池深12尺，芦苇长13尺 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；找到题中的直角三角形，设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理可得，进而求解即可． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，由题意得： ， 解得：， ∴芦苇的长度为（尺）， 答：水池深12尺，芦苇长13尺． 【题型6 解决航海问题】 【典例】．（25-26八年级上·浙江温州·月考）一艘轮船从海面上A地出发，向南偏西的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶30海里到达C地，则A，C两地相距为 海里． 【答案】50 【分析】本题考查了方向角，勾股定理，由题意可得，，海里，海里，，则，求出，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， ， 由题意可得：，，海里，海里，， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得：海里， 故A，C两地相距为海里， 故答案为：． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【答案】它们航行两小时后，相距． 【分析】本题考查解决航海问题（勾股定理的应用）． 根据题意可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ∴， ∴它们航行两小时后，相距． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·广东深圳·期中）年月初，我国海警在南海仁爱礁附近海域进行常态化巡逻，对从菲律宾“马德雷山号”坐滩军舰派出的正在骚扰中国渔船的橡皮艇依法管制并予以坚决驱离．管制结束后，上午6时我国海警舰艇与这艘橡皮艇同时从渚碧礁基地点出发．我国海警舰艇以每小时海里的速度沿北偏东方向航行，该橡皮艇以每小时海里的速度沿某一方向航行．上午8时两船分别到达点和点，且相距海里．请通过计算说明该橡皮艇的航行方向． 【答案】北偏西 【分析】本题考查了解决航海问题(勾股定理的应用)， 与方向角有关的计算题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求出两船行走的路程，利用勾股定理的逆定理说明与上午8时两船与P点三个位置成直角三角形，以此求得该橡皮艇的航行方向． 【详解】解：∵上午6时出发，到上午8时，我国海警舰艇以每小时海里的速度，橡皮艇以每小时海里的速度， ∴我国海警舰艇行走的路程为海里， 橡皮艇行走的路程为海里， ∴， ∵上午8时两船分别到达点和点，且相距海里， ∴上午8时我国海警舰艇、橡皮艇与P，三个位置成直角三角形， ∴， ∵我国海警舰艇以每小时海里的速度沿北偏东方向航行， ， ∴该橡皮艇的航行方向为北偏西方向． 【跟踪训练3】．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，运用了三角函数，并巧妙运用了两个直角三角形的公共边． （1）根据题意证得，求得过点作，交于，过点作，交于，，，结合直角三角形利用三角函数即可解答； （2）设货船速度为，观光船速度为， 过作于，于 根据行程关系，利用两个直角三角形的公共边，结合勾股定理列方程求出，用路程除以速度即可解答． 【详解】（1）解：∵在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西方向，且在北偏西方向， ∴，，， 过点作，交于，过点作，交于， 则， ∴， ∴， 则，，（千米）， ∴（千米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（千米）， ∴（千米） 答：港口和小岛的距离为千米． （2）设货船速度为，观光船速度为， 出发小时后：货船行驶的路程 即货船在上的位置距点千米 观光船行驶的路程：， 因故观光船在上距点的距离为（记该点为）， 观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等． 即，， ∴是等腰三角形， 过作于，于， 则， 由（1）得， 在中，，，则： ， ， ， 在中， 在中， ∴， 化简得， 解得或， ∵，故舍去， 货船速度为：， 由（1）可得（千米）， 货船从港口到港口用时：， 答：货船从港口出发小时后到达港口． 【题型7 求河宽】 【典例】．（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度 m． 【答案】300 【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：． 故答案为：300． 【跟踪训练1】．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为 米． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故答案为：24． 【跟踪训练2】．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 【答案】18 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：，，， ， （天)， 即需要18天才能将隧道凿通， 故答案为：18． 【跟踪训练3】．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.5千米 (3) 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用； （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， ∴梯形的面积为或， ， ， 即， （2）解：设千米，则千米， 在中，， 即，解得：，即， （千米）， 答：新路比原路少千米， （3）解：由题得，， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． 【题型8 求台阶上地毯长度】 【典例】．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键. 先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和. 【详解】解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 故选D. 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得出，再计算楼梯表面铺地毯需要的长度即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， 则铺地毯的长为， 故选：D． 【跟踪训练2】．（15-16八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 【答案】13 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米 因此，购买这种地毯至少需要的费用为元， 故答案为：． 【题型9 判断汽车是否超速】 【典例】．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【题型10 判断是否受台风影响】 【典例】．（25-26八年级上·海南儋州·期末）海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 【答案】(1)15小时 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和数形结合，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，利用勾股定理，求出，计算即可求解； （2）根据题意找到受台风影响的临界点，，在利用勾股定理求出、和的长，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，，， 在中，（）， （h）， 则台风中心经过小时从B点移到D点； （2）如图，设台风中心在E、F两点时，A市受影响， 由题意得，， 在中，（）， 在中，（）， （）， （h） 则A市受到台风影响的时间持续12小时． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过从B点移到D点 (2)A市受到台风影响的时间持续 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：在射线上取点E，F，使得， 由得， 在中，， ， ， A市受到台风影响的时间持续． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)学校会处在卡车的噪声影响范围内；理由见解析 (2)6秒 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．    ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为8 米/秒， ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·广东深圳·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由见解析 (2)观测点受台风影响的时间有7小时 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点作于点，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出长度，最后进行比较即可； （2）作，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）解：观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， 由等面积得， ∵， ∴观测点会受到台风“桦加沙”的影响； （2）解：如图所示，作， 由勾股定理得，， 根据题意，， （小时） ∴观测点受台风影响的时间有7小时． 【题型11 选址到两地距离相等】 【典例】．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，表示一条铁路，A、B是两个城市，它们各自到铁路所在的直线的垂直距离分别为60千米和40千米，铁路上C、D两地相距80千米．现要在铁路上C、D两地之间建一个中转站O，使它到A、B两个城市的距离相等． (1)请用圆规和无刻度的直尺在图中作出点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求中转站O离C地的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）作的垂直平分线与交于点O，即； （2）设，则，在中，，在中，，可得，即可求解. 【详解】（1）解：如图；作的垂直平分线与交于点O，即； （2）解：由题可知：， ， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴中转站O离C地的距离为. 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 【答案】千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，根据勾股定理得到，求解即可． 【详解】设，则， ，，， ， ， 解得， 中转站P应修建在离点M千米处． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·江西赣州·月考）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3） 【分析】（1）通过表示四边形的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设长度为未知数，利用结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【详解】解：（1）∵四边形是梯形，， ∴． 又∵， ∴， 展开得， 化简得． （2）设千米，则千米． ∵，，， ∴， 即， 展开得， 化简得， ∴，即千米． （3）构造几何模型：设，点在上，，，作且，且，则代数式． 作点关于的对称点，连接交于点，过作于，则， ∴， ∴的长为的最小值． 在中，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键． 【题型12 求最短路径】 【典例】．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为，高为．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点处，爬行到正方形格子内部底面的顶点处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用—最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，在平面图形上构造直角三角形解决问题；画出侧面展开图，得出蚂蚁从盒外的A点沿礼盒的表面爬到盒内的B点，蚂蚁爬行的最短距离是如图的长度，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将立体图形展开，作A关于的对称点C，连接，得到如下图形，此时即为所求， 根据题意，得，，， ∴， 故选：D． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·河南·月考）如图，在底面周长约为6米的华表柱上，有一条雕龙从柱底点A处沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方点C处，华表柱上刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在华表柱上的巨龙至少为 米． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在华表柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在华表柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：20． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交的延长线于D，    则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，， 在中，． 故选B． 过关检测训练 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，小李在钓鱼时，发现鱼线没入水中的长度为米，在与鱼线水平距离为米（米）、水下距离为米（米）的处有一条鱼，发现了处的鱼饵，于是鱼以米／秒的速度向处游去，则这条鱼从游到需（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并构造直角三角形是解题的关键．先作辅助线构造直角三角形，结合已知条件确定直角边长度，再用勾股定理求斜边的长度，最后根据时间=路程÷速度计算鱼游到处的时间． 【详解】解：如图，过点作于． 米，米，米， 米，米， 是直角三角形， ∴由勾股定理：米， 鱼游到处的时间秒， 故选：B． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据圆柱的侧面展开图为矩形，可知蚂蚁需爬行的最短距离为线段，根据两点之间，线段最短可得解． 【详解】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段， 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇所花时间为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了勾股定理的应用，根据题意，乙向东行走距离为，甲先向南走10步，然后斜向北偏东行走，总路程为，故斜行距离为．利用勾股定理建立方程． 【详解】解：设甲、乙从出发到相遇所花时间为，则乙向东行距离，甲先向南行步，再斜行步与乙会于点． 在中，∵， ∴， 即． 故选：A． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握先根据速度、时间求斜边长度，再利用勾股定理求直角边是解题的关键． 先根据舟艇的速度与行驶时间计算出的长度，再结合礁石到河岸的距离垂直于河岸确定是直角三角形，最后用勾股定理的变形公式计算的长度． 【详解】解：∵舟艇速度为，用时， ∴ ∵是礁石到河岸的距离， ∴，即是直角三角形 由勾股定理得： ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离为米． 故选：B． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当的周长最小值是11时，的长为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再判断出点在上时，最小，求出的长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， ， 当点在上时，最小，最小值为， 的周长最短． ， ， 故选：． 7．（2026八年级上·重庆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点C（点C在点A的右侧），则点C的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，坐标与图形，先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可求出点C的坐标． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ， 由题意知，， 点C的横坐标为， 点C的坐标为； 故答案为：． 8．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是 ． 【答案】41 【分析】要解决蚂蚁从点爬到点的最短路线长度的平方问题，需将立体组合体的表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为直角三角形问题，再通过勾股定理计算．关键是确定展开后直角三角形两条直角边的长度． 【详解】由20个棱长为1的小正方体搭成组合体，观察结构可知：组合体的长为、宽为、高为．蚂蚁在立体表面爬行的最短路径，需将表面展开为平面．点与点在同一平面内形成直角三角形，其两条直角边分别为： 水平方向：宽与高之和，即； 垂直方向：长，即． 根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和．因此，最短路线长度的平方为： 故答案为：41 【点睛】本题的核心是将立体图形表面展开为平面图形，把空间中的最短路径问题转化为平面上的直角三角形问题，再利用勾股定理求解．关键在于准确分析组合体的长、宽、高，并选择合适的展开方式确定直角边长度． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，一点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设点运动时间为，当时，有一动点和轴上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，及勾股定理．先根据当时，，求得，求得，再作点P关于y轴对称的点，作点O关于直线的对称点，则，，连接，交y轴于点D，交直线于点C，则此时值最小，等于线段的长，然后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴当时，，， 作轴于点H，则是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点P关于y轴对称的点，作点O关于直线的对称点，则，，连接，交y轴于点D，交直线于点C，则此时值最小，等于线段的长， ∵，， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·吉林长春·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为 米． 【答案】7 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故答案为：7． 11．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键． 根据题意分为三种情况：或或，进行作图求解即可． 【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴P的坐标是； ②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M， 由作图可知四边形和四边形为长方形， ∴，，，， 在中，设，则，，， ∴， 解得， 则的坐标是； 设，则，，， 在中，， 解得， ，， 即的坐标是； ③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图， 则有， ， 此时的为等边三角形， ∴，，， 代入， 得， ∴排除此种可能． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 12．（25-26八年级上·四川成都·月考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的学生的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果该学生想让风筝沿方向下降12米到点M，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)他应该往回收线米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意并能灵活运用勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出垂直高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， （负值已舍去）， （米）． 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：由题意得，米， （米）． 在中， 由勾股定理得，（米）， （米）． 他应该往回收线米． 13．（25-26八年级上·河北张家口·月考）如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知，，三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，根据勾股定理求出，再根据，即可求解． 【详解】解：， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 即池水看起来变浅了． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解； （2）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ． 15．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 16．（25-26八年级上·吉林长春·期末）某校八年级数学兴趣小组开展了“测量风筝的垂直高度”数学实践活动．小组成员利用课余时间完成了实地测量，并利用皮尺等工具采集了如下实验数据． 【数据采集】甲、乙两名同学手持风筝，小组成员在操场上进行了测量，并记录以下数据： 测量项目 同学甲的数据（单位：m） 同学乙的数据（单位：m） 高度 1.6 1.6 到风筝的水平距离 16 26 已放风筝线的长度（根据手中剩余风筝线长度得出） 20 40 风筝的垂直高度 待测 待测 【问题解决】 (1)图①是同学甲测量的示意图．已知点C、D、E在同一条直线上，于点A，于点E，于D．．求此时风筝的垂直高度； (2)如图②，若同学甲站在点A不动，风筝沿竖直方向从C点的位置上升到点F的位置，，则还需要放出风筝线多少米？ (3)直接写出同学乙所放风筝的垂直高度是________m，在（2）的前提下，两名同学________（填甲或乙）的风筝更高． 【答案】(1)风筝的高度是 (2)还需要放出风筝线14米 (3)，乙 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容是关键． （1）勾股定理求出，即可得到答案； （2）勾股定理求出，即可得到答案； （3）勾股定理求出，再进行比较即可． 【详解】（1）解：∵于点D． 在中，， ∴ ∵， ∴， 即此时风筝的高度是； （2）由（1）知， ∵， ∴， 在中，， ∴ ∴； 即则还需要放出风筝线14米． （3）由题意得，， ∴ ∴同学乙所放风筝的垂直高度是m， ∵， ∴乙的风筝更高， 故答案为：，乙 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1勾股定理及其应用（2）寒假预习讲义 （4知识点+12题型+过关检测） 预习目标导航 1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2.会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，初步感知实数与数轴上的点的一一对应关系. 3.能够从实际问题中抽象出符合勾股定理的数学模型，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明.预习内容概览 预习必备 知识点梳理 1.勾股定理的应用 2.作长为(n为大于1的整数)的线段 3.应用场景:题型核心公式+关键要点 4.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.求梯子滑落高度 2.求旗杆高度 3.求小鸟飞行距离 4.求大树折断前的高度 5.解决水杯中筷子长度问题 6.解决航海问题 7.勾股定理求河宽 8.求台阶上地毯长度 9.判断汽车是否超速 10.判断是否受台风影响 11.选址到两地距离相等 12.最短路径求解 强化巩固 题型通关 (18题) 知识点梳理 【知识点一 勾股定理的应用】 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系.其主要应用如下： (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题。 注意 勾股定理是直角三角形的性质，因此应用勾股定理，必须先找到或构造直角三角形. 【知识点二 作长为(n为大于1的整数)的线段】 画长为 的线段 当直角三角形的两直角边长分别为1，1时，斜边长为 即 ；当两直角边长分别为 ，1时，斜边长为 ,即( )² 依此规律可以画出长为 …的线段 在数轴上表示 构造两条直角边长都是 1 的直角三角形，使用勾股定 理得到斜边长为 ，再用圆 规截取的方法在数轴上画 出表示 的点；构造两直角边长分别为 ，1的直角三角形，用勾股定理得到斜边长为 ，再用圆规截取的方法在数轴上画出表示 点.依此规律可以在数轴上画出表示 ..的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点；若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为✔n(n为大于1的整数)的线段. 【知识点三 题型核心公式+关键要点】 题型序号 题型名称 核心解题公式/思路 公式说明/关键要点 1 求梯子滑落高度 设梯子长度为c，初始竖直高度a₁，水平距离b₁；滑落後水平距离b₂，竖直高度a₂。① c = ② a₂ = ③ 滑落高度Δh = |a₁ - a₂| 梯子长度为斜边，始终不变；墙与地面垂直，构成直角三角形 2 求旗杆高度 设旗杆高h，测角点到旗杆底部距离a，测角点到旗杆顶端的绳长/视线长c。h = 旗杆垂直地面，h和a为直角边，绳长/视线长为斜边 3 求小鸟飞行距离 设小鸟从点A到点B，水平距离a，竖直高度差b。飞行距离c = 水平与竖直方向垂直，飞行路径为直角三角形斜边 4 求大树折断前的高度 设树折断后，底部到折断点的竖直段为a，折断部分（斜边）为c，顶端到树底的水平距离为b。① a = )② 原高度H = a + c 折断后形成直角三角形，a、b为直角边，c为斜边 5 解决水杯中筷子问题 设水杯底面直径为d，高为h，筷子在杯内的长度为L。① 筷子最短长度（竖直）：L短 = h② 筷子最长长度（斜放）：L长 = 水杯为圆柱体，底面直径与高垂直，斜放筷子为斜边 6 解决航海问题 设轮船从A到B沿正北/正南行a，再沿正东/正西行b，到C点。总航程AC = 正北/正南与正东/正西方向垂直，构成直角三角形 7 求河宽 设河岸上一点A，对岸对应点B，沿河岸取点C，使AC⊥AB，测AC = a，BC = c。河宽AB = AB为河宽（直角边），AC为河岸线段（直角边），BC为斜边 8 求台阶上地毯长度 设台阶总高度为h，总水平长度为l。地毯长度L = h + l 地毯铺台阶可展平，长度为竖直高度与水平长度之和（勾股定理推导：展平后为直角三角形两直角边和） 9 判断汽车是否超速 设汽车刹车痕迹为c，刹车时的竖直/水平距离为a，求行驶距离b = ；速度v = bt，与限速比较。 刹车轨迹为斜边，结合时间求速度，判断是否超速 10 判断是否受台风影响 设台风中心移动路径为直线，某点到路径的垂直距离为d，台风影响半径为r。① d =（c为点到路径上某点距离，a为该点到垂足距离）② 若d ≤ r，受影响；若d > r，不受影响 垂直距离为最短距离，是判断核心 11 选址到两地距离相等 设两地为A、B，选址在直线l上的点P，作AB的垂直平分线，与l交于P；用勾股定理：PA² = PB²，即= 垂直平分线上的点到线段两端距离相等，结合勾股定理列方程 12 求最短路径 1. 平面：两点之间线段最短，结合勾股定理求长度c = )2. 立体（长方体正方体）：展平表面，直角边为(长+宽)和高，最短距离 = √[(长+宽)² + 高²]3. 立体（圆柱）：展平为长方形，直角边为πr（底面半周长）和h（高），最短距离 = 立体图形需展平为平面，连接两点的线段为最短路径，利用勾股定理求解 【知识点四 易错点提醒】 1.误用勾股定理：在非直角三角形中直接使用公式。 2.混淆边的类型：求直角边时误用 “a2+c2=b2”（应是b2=c2−a2）。 3.勾股数概念错误：将非正整数（如1，​,​）误认为勾股数。 题型精讲精练 【题型1 求梯子滑落高度】 【典例】．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移 ． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； (2)如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 【题型2 求旗杆高度】 【典例】．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小亮设计了一个方案：如图，小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端，然后将绳子末端拉直到距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面的高度为．如果设旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计），求x的值． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·山西太原·月考）综合与实践 如图，有一个由传感器A控制的灯，装在门上方的墙上，任何东西只要移至该灯周围5米及5米以内时，灯就会自动发光．求实小组想利用所学数学知识来测量传感器A的垂直高度，实践报告如下： 课题 传感器离地面垂直高度问题探究 成员 组长：×××        组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺 示意图 及测量数据 ①一位身高米的小组成员（即米）走到灯刚好发光的地方； ②测得此时他距墙4米（即米）． 提出问题 （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出传感器A离地面的垂直高度； 问题迁移 （2）一位身高2米的小组成员走到离墙米的地方时，灯是否会发光？ 解决问题 解：过点C作，交于点E． …… 请你帮助求实小组解决以上两个问题． 【题型3 求小鸟飞行距离】 【典例】．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·湖北·月考）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【跟踪训练2】．（24-25八年级上·重庆·月考）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【跟踪训练3】．（2024·广东江门·模拟预测）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【题型4 求大树折断前的高度】 【典例】．（25-26八年级上·山西·月考）如图，垂直于地面的一木杆在离地12米的A处断裂，木杆顶部B落在离木杆底部C处5米远，则的长为（   ） A．13米 B．12米 C．25米 D．17米 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是 ． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·吉林长春·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为尺，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【题型5 解决水杯中筷子问题】 【典例】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是 尺． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭（jiā）出水”的一道趣题：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺．将芦苇拽至池边中点处，它的末端刚好与水面相齐，那么水有多深？芦苇有多长？求解此题．（注：“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用．1丈尺，1米尺） 【题型6 解决航海问题】 【典例】．（25-26八年级上·浙江温州·月考）一艘轮船从海面上A地出发，向南偏西的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶30海里到达C地，则A，C两地相距为 海里． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·广东深圳·期中）年月初，我国海警在南海仁爱礁附近海域进行常态化巡逻，对从菲律宾“马德雷山号”坐滩军舰派出的正在骚扰中国渔船的橡皮艇依法管制并予以坚决驱离．管制结束后，上午6时我国海警舰艇与这艘橡皮艇同时从渚碧礁基地点出发．我国海警舰艇以每小时海里的速度沿北偏东方向航行，该橡皮艇以每小时海里的速度沿某一方向航行．上午8时两船分别到达点和点，且相距海里．请通过计算说明该橡皮艇的航行方向． 【跟踪训练3】．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 【题型7 求河宽】 【典例】．（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度 m． 【跟踪训练1】．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为 米． 【跟踪训练2】．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 【跟踪训练3】．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【题型8 求台阶上地毯长度】 【典例】．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 【跟踪训练2】．（15-16八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要 元． 【题型9 判断汽车是否超速】 【典例】．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【跟踪训练3】．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【题型10 判断是否受台风影响】 【典例】．（25-26八年级上·海南儋州·期末）海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·广东深圳·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【题型11 选址到两地距离相等】 【典例】．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，表示一条铁路，A、B是两个城市，它们各自到铁路所在的直线的垂直距离分别为60千米和40千米，铁路上C、D两地相距80千米．现要在铁路上C、D两地之间建一个中转站O，使它到A、B两个城市的距离相等． (1)请用圆规和无刻度的直尺在图中作出点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求中转站O离C地的距离． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·江西赣州·月考）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【题型12 求最短路径】 【典例】．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为，高为．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点处，爬行到正方形格子内部底面的顶点处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·河南·月考）如图，在底面周长约为6米的华表柱上，有一条雕龙从柱底点A处沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方点C处，华表柱上刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在华表柱上的巨龙至少为 米． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 过关检测训练 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，小李在钓鱼时，发现鱼线没入水中的长度为米，在与鱼线水平距离为米（米）、水下距离为米（米）的处有一条鱼，发现了处的鱼饵，于是鱼以米／秒的速度向处游去，则这条鱼从游到需（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇所花时间为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当的周长最小值是11时，的长为（   ） A．8 B． C． D． 7．（2026八年级上·重庆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点C（点C在点A的右侧），则点C的坐标为 ． 8．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是 ． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，一点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设点运动时间为，当时，有一动点和轴上一动点，则的最小值是 ． 10．（25-26八年级上·吉林长春·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为 米． 11．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 12．（25-26八年级上·四川成都·月考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的学生的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果该学生想让风筝沿方向下降12米到点M，则他应该往回收线多少米？ 13．（25-26八年级上·河北张家口·月考）如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知，，三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 14．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 15．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 16．（25-26八年级上·吉林长春·期末）某校八年级数学兴趣小组开展了“测量风筝的垂直高度”数学实践活动．小组成员利用课余时间完成了实地测量，并利用皮尺等工具采集了如下实验数据． 【数据采集】甲、乙两名同学手持风筝，小组成员在操场上进行了测量，并记录以下数据： 测量项目 同学甲的数据（单位：m） 同学乙的数据（单位：m） 高度 1.6 1.6 到风筝的水平距离 16 26 已放风筝线的长度（根据手中剩余风筝线长度得出） 20 40 风筝的垂直高度 待测 待测 【问题解决】 (1)图①是同学甲测量的示意图．已知点C、D、E在同一条直线上，于点A，于点E，于D．．求此时风筝的垂直高度； (2)如图②，若同学甲站在点A不动，风筝沿竖直方向从C点的位置上升到点F的位置，，则还需要放出风筝线多少米？ (3)直接写出同学乙所放风筝的垂直高度是________m，在（2）的前提下，两名同学________（填甲或乙）的风筝更高． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $