20.1勾股定理及其应用（1）寒假预习讲义（3知识点+12题型+过关检测） 2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.1勾股定理及其应用（1）寒假预习讲义 （3知识点+12题型+过关检测） 预习目标导航 1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2.会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，初步感知实数与数轴上的点的一一对应关系. 3.能够从实际问题中抽象出符合勾股定理的数学模型，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明. 预习内容概览 核心知识 点梳理 1.勾股定理的内容 2.勾股定理的证明 常考题型 精讲精炼 1.用勾股定理理解三角形 2.已知两点坐标求两点距离 3.勾股数问题 4.以直角三角形为边长的图形面积 5.勾股定理与网格问题 6.勾股定理与折叠问题 7.用勾股定理求线段的平方和(差) 8.用勾股定理证明线段的平方关系 9.勾股定理的经典证明方法汇总 10.以弦图为背景的计算题 11.借助勾股定理构造图形解决问题 12.勾股定理与无理数的联系及应用 强化巩固 过关检测 (20题) 知识点梳理 【知识点一 勾股定理】 1.文字表述 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号表述 若直角三角形的两条直角边长度分别为a、b，斜边长度为c， 则公式为：a2+b2=c2 3.适用条件 仅适用于直角三角形，对锐角三角形和钝角三角形不成立。 文字语言 图示 符号语言 变式 应用 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 注意 勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.已知直角三角形的两边长，求第三边长，首先必须明确所求边是斜边还是直角边，然后决定用勾股定理的原式还是变式. 提示 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在应用 时，斜边只能是 c.若b为斜边，则关系式是 若 a为斜边，则关系式是 【知识点二 勾股定理的证明】 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理。 对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，现摘取几种著名的证法. 方法 图形 证明 赵爽“勾股圆方图”(“赵爽弦图”) 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c².又大正方形的面积 所以 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则 .根据“出入相补，以盈补虚”的原理，又有 所以 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则 又 所以 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积 由图②得大正方形的面积 比较两式易得 欧 几 里 得证法 图中 矩形ADLM,、 正方形AFHC,∴ S矩形ADLM =a²,同 理 可 得 S矩形MLEB = b²,∴ S正方形 即 提示- 勾股定理的验证是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题. 【知识点三 勾股定理的作用】 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段. 题型概览 题型精讲精练 【题型1 用勾股定理解三角形】 【典例】．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（    ） A． B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，利用勾股定理直接计算斜边长． 【详解】解：∵ 直角三角形两直角边分别为3和4， ∴ 斜边长c满足 ， ∴． 故选：B． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·山西·月考）某区域设置了一个无人机监控中心，以监控中心为原点，每隔画一个同心圆，并将每个圆周平均分成12等份（对应12个方位）．若无人机在监控画面中发现两个目标，，则，两目标之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角和勾股定理的应用，根据题意求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， 由题意可知：，，， ∴， 故选C． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形中，，，将长方形沿折叠，使得点落在边上处，则的长是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换、勾股定理等知识，根据题意可得，，利用勾股定理求出，进而得到，由勾股定理可得，求解即可． 【详解】解：将长方形沿折叠，使得点落在边上处，，， ，， ， ， ， 解得， 故选：． 【跟踪训练3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）若等腰三角形的顶角为，腰长为，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形，利用等腰三角形性质求出底角和高的长度，再运用勾股定理计算底边一半的长度，最后得出底边长； 本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 等腰三角形顶角为，腰长， ∴ 底角． 作高，则； 在中，， ∴（角邻边为斜边的）， ∴. 故选：B． 【题型2 已知两点坐标求两点距离】 【典例】．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中两点距离，掌握坐标系中两点的距离公式是解题的关键． 点在轴上，设其坐标为，根据，利用距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴=， 两边平方得， 化简得， 解得， 故点的坐标为， 故选B． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·河北张家口·期末）点C在第二象限，距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度，则点C的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点的坐标，勾股定理．先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【详解】解：∵点C在第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度， ∴点距离x轴个单位长度， ∴点的坐标为． 故选：B． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·广东佛山·期末）若点，可知，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称-最短路径问题．把式看成点到两点和的距离之和，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，再根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：， ∵把式看成点到两点和的距离之和， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即的值最小，且最小值为的长， ∵， ∴的最小值为5， 故选：B． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，，点在线段上运动，当时，y的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查两点距离公式及平面直角坐标系，熟练掌握两点距离公式及平面直角坐标系是解题的关键；由于点A和B的横坐标相同，线段垂直于x轴，则点C的横坐标为，纵坐标y满足，计算的长度为，的长度为，由得到不等式，然后问题可求解． 【详解】解：∵点，， ∴线段垂直于x轴，则点C的坐标为，其中， ∵， ∴， ∵， ∴， 两边平方得：， 解得：或 又∵， ∴； 故选：A． 【题型3 勾股数问题】 【典例】．（25-26八年级上·河北张家口·月考）下列四组数中，是勾股数的一组是（    ）． A．1，1，2 B．，， C．3，4，5 D．3，4，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故此项不是勾股数，不符合题意； B、，，，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； C、，且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意； D、，故此项不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐一进行判定即可． 【详解】解：A．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； B．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； C．，，，故该选项是勾股数，符合题意； D．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 【详解】解：A选项：，而，，不满足勾股数条件； B选项：，而，，不满足勾股数条件； C选项：，而，，满足勾股数条件； D选项：，而，，不满足勾股数条件； 故选：C. 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A．1，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是指三个正整数，且满足．根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足． A：，不是正整数，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； B：、、不是正整数，不是“勾股数”故此选项不符合题意； C：，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； D：，是“勾股数”，故此选项符合题意． 故选D． 【题型4 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例】．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为（由正方形B和正方形C“生长”出来的四个正方形的面积之和等于正方形B和正方形C的面积之和）， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， 以此类推可知，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为． 故选：A． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，用勾股定理的知识来求解是本题的关键．根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形的面积和正方形的面积分别表示出的平方及的平方，又三角形为直角三角形，根据勾股定理求出的平方，即为所求正方形的面积． 【详解】解：正方形的面积等于225， 即， 正方形的面积为289， ， 又为直角三角形，根据勾股定理得： ， ， 则正方形的面积为64． 故选：． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，中，；分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，运用代数推导思想，解题关键是建立面积与边长平方的联系． 通过勾股定理将正方形面积转化为直角三角形边长的平方，进而推导阴影部分面积即可． 【详解】解：设的三边为，，， 由题意得，，；由勾股定理， 已知，即， ∴， 解得， ∵阴影部分是一个三角形，以等长的边为底，高等于的长度， ∴阴影面积为． 故选：A． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据三个正方形的面积为直角三角形的三边的平方，结合勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， 由勾股定理，得，即， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【题型5 勾股定理与网格问题】 【典例】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个围棋棋盘的局部．若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理在网格中的应用，解题关键是确定两棋子的横向、纵向间隔长度，再利用勾股定理计算两点间距离． 利用勾股定理计算黑白两棋子的距离，先确定两棋子在网格中的横向、纵向间隔数，再代入勾股定理公式计算． 【详解】解：观察网格，设黑棋子的位置为一个端点，白棋子为另一个端点，两棋子在网格中横向间隔个小正方形边长，纵向间隔个小正方形边长． 根据勾股定理，两棋子的距离为：． 故选：D． 【跟踪训练1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】首先确定的长度，再利用“以为圆心，为半径画弧”可知，接着结合网格确定的长度，最后在直角三角形中运用勾股定理计算的长度． 【详解】解：如图，连接， 由网格图可知：， ∵以为圆心，为半径画弧， ∴． 在中， ． ∴． 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理和网格中线段长度的计算，解题关键是根据半径相等确定点的准确位置，再结合勾股定理计算目标线段的长度． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在单位长度为1的的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，由勾股定理分别计算，，，的长度，即可获得答案． 【详解】解：由勾股定理可得，，，，． 故选：D． 【跟踪训练3】．（25-26九年级上·北京·月考）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理的运算方法，即斜边的平方等于两直角边的平方和．本题分别计算各线段的长即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴长度为的是线段， 故选：B． 【题型6 勾股定理与折叠问题】 【典例】．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，折叠长方形，使点落在对角线上的点处，若，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得，则可求出，设，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·山东·期末）如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再由翻折可得，设，则，，在，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由、、，满足， 故是直角三角形，， 沿翻折后，落在上的点， 因此：，，， 即，设，则，； 又， 在中， ，即， 解得，即． 故选：C． 【跟踪训练2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质与勾股定理，解题的关键是利用折叠的“对应边相等”，结合勾股定理求出线段长度． 利用折叠的性质得到对应边相等，结合已知边长计算的长度． 【详解】解：由折叠的性质可知，折叠后． 在中，，，， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：A． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查翻折变换，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点E作，由折叠可知：，，由勾股定理可得，再得，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， 由题意可得：， 由折叠可知：，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：D． 【题型7 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【典例】．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 【跟踪训练1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 【跟踪训练2】．（24-25八年级上·广东梅州·期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 【题型8 利用勾股定理证明线段平方关系】 【典例】．（上海市普陀区2025-2026学年上学期八年级期末复习综合卷（B））如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，为的中线，过点A作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点若的面积为13，的面积为4，则的面积为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积、三角形中线的性质等知识，熟练掌握勾股定理和三角形中线的性质是解题的关键． 由三角形中线的性质得出，，再证，然后由勾股定理得出，推出，即可得出答案． 【详解】解：的面积为13，的面积为4， ， 为的中线， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故选：C． 【跟踪训练2】．（24-25九年级下·江西·期末）设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 【跟踪训练3】．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用， 将绕点B顺时针旋转得到，连接，根据全等三角形的性质得，进而说明，可得，接下来得出，可得答案． 【详解】如图所示．将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 可知， ∴， 即． 故选：C． 【题型9 勾股定理的证明方法】 【典例】．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（   ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 【答案】C 【分析】本题考查数学思想，熟练掌握每种数学思想的适用场合是关键． 结合题干的描述，判断对应的数学思想即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现数形结合思想． 故选：C． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键． 利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， D、利用C中结论，本选项不符合题意． 故选B． 【跟踪训练3】．（24-25七年级下·山东济南·月考）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 【题型10 以弦图为背景的计算题】 【典例】．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理、赵爽弦图、阴影部分的面积，熟练掌握勾股定理是关键． 由四边形与四边形均为正方形，点H是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，结合勾股定理算出，所以得出正方形面积为5，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， ∴分别为的中点， ， ，， ， 依题意，， ， ∵的长为5， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ， 故选：A． 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．连接，，若，，则大正方形的边长为（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，先对运用勾股定理求出，再对运用勾股定理求出，则即可求得，最后对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． 观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为39，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为． 故选：A． 【题型11用勾股定理构造图形解决问题】 【典例】．（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键． 设，则，故，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，解得：． ∴绳索的长是． 故选：C． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ） A．14 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 设绳索有尺长，此时绳索长，向前推出的尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设的长为尺， 尺，尺， 尺， 在中，尺，尺，尺，则由勾股定理得， 解得， 秋千绳索或的长度为尺， 故选：B． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·四川·期中）如图，《九章算术》卷九勾股第五题原文“今有木长一丈四尺，围之二尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树(将树看成一个圆柱)，高1丈4尺，底面周长为2尺，一条生长在树下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平，这条藤的长度是（    ）尺 A．14 B． C． D．16 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【详解】解：如图，一条直角边(即大树的长)长14尺， 另一条直角边长(尺， 因此葛藤长(尺． 故选：B． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·全国·期中）如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理，运用化曲为直的转化思想．解题关键是将圆柱侧面展开为矩形，明确彩带路径在展开图中是直角三角形的斜边，需准确计算水平和竖直方向的直角边长度；易错点是忽略“缠绕2圈”对水平长度的影响，导致水平边长计算错误． 首先把圆柱侧面沿高展开成矩形，确定彩带缠绕2圈后，水平方向长度为底面周长的2倍（米），竖直方向长度为圆柱的高（4米）．其次此时彩带的最短路径为展开图中直角三角形的斜边，根据勾股定理计算斜边长度：米．最后对比选项，得出答案为C． 【详解】解：圆柱高米，彩带缠绕2圈，因此展开后竖直方向的总高度为4米； 底面周长为米，缠绕2圈后，水平方向的总长度为米． 将圆柱侧面展开后，彩带的路径可看作直角三角形的斜边，其中： 水平直角边：3米， 竖直直角边：4米， 根据勾股定理，斜边（彩带长度）为： 米． 故选：C． 【题型12 勾股定理与无理数】 【典例】．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使．以O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与无理数，无理数的估算，利用勾股定理求出的长，从而得到点P所表示的数，再根据无理数的估算即可求得答案 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴P点所表示的数就是， ∵， ∴， 即点P所表示的数介于3和4之间， 故选C 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与数轴的综合应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴点表示的数． 故选：． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，结合以及数轴的特点即可求解． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴点E表示的实数是． 故选：D． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 利用勾股定理求出，进而根据点A的位置，即可求解． 【详解】解：点对应的数是， ， ， ， 根据勾股定理，可得， ， 点A在数轴上对应的数是． 故选：A． 过关检测训练 1．（浙江省嘉兴市2025-2026学年八年级上学期数学学科期末试卷）如图，在中，，点D为中点，以为边向下作等边三角形，若的最小值为1，则的长为（   ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，灵活运用三角形的三边关系求最值是解题的关键． 由等腰三角形的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可知三点共线时，取最小值1，再根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，，点D为中点， ∴， ∵为边向下作等边三角形， ∴， ∵， ∴三点共线时，取最小值1， 如图：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，旗杆折断部分的高度． 故选：C． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，有一张矩形纸片，点是上一点，将纸片沿折叠，点分别落在点处，当点在上时，则线段的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是解决本题的关键．先求出，设，则，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】解：矩形纸片，由折叠得： ， ， ， 设，则， 在中， ， 解得：， ， 故选：B． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，将折叠，使点C落在边上的点E处，是折痕，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，掌握其相关知识点是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用翻折的性质可得，推出即可解决问题． 【详解】解：在中，， ∴， 由翻折的性质可知：，， ∴， ∴的周长． 故选：C． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，小李在钓鱼时，发现鱼线没入水中的长度为米，在与鱼线水平距离为米（米）、水下距离为米（米）的处有一条鱼，发现了处的鱼饵，于是鱼以米／秒的速度向处游去，则这条鱼从游到需（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并构造直角三角形是解题的关键．先作辅助线构造直角三角形，结合已知条件确定直角边长度，再用勾股定理求斜边的长度，最后根据时间=路程÷速度计算鱼游到处的时间． 【详解】解：如图，过点作于． 米，米，米， 米，米， 是直角三角形， ∴由勾股定理：米， 鱼游到处的时间秒， 故选：B． 6．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，在中，，点为中点，，绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，连接，由等腰直角三角形的性质得到，则可证明是等腰直角三角形，得到，证明，得到，，则可证明，是等腰直角三角形，据此可判断④；利用勾股定理可得，据此可判断①；证明，由勾股定理即可判断②；证明即可判断③． 【详解】解：如图所示，连接， ，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，是等腰直角三角形，故④正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，即， 在中，由勾股定理得， ∴，故②正确； ， ∵点为中点， ∴， ∴，故③正确； 正确的有①②③④． 故选：D． 7．（25-26七年级上·全国·期中）如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面展开的最短路径问题．先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将台阶展开成平面图形，根据两点之间，线段最短得到最短路线，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：将台阶展开成平面图形，如图所示， 在中，，， ， 即一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是． 故选：C． 8．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．8 B．9.6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，勾股定理，等腰三角形的性质，作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N，则，为所求的最小值，根据勾股定理求出，再根据面积不变求出即可． 【详解】解：如图，作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N，则，为所求的最小值， ∵，D是边上的中点， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， ∵，，D是边上的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知正方形的边长为5，且为的中点，四边形为正方形，则阴影面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 可根据正方形的性质和全等三角形的判定证明，则，，由勾股定理，结合线段中点定义可求得，，， 同理可得，然后根据三角形和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为5，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， ∴，则，， 同理可得， ∴阴影部分面积为． 故答案为：15． 10．（浙江省嘉兴市2025-2026学年八年级上学期数学学科期末试卷）由平面镜成像可知物与像关于镜面成轴对称．如图，物体平行镜面，点Q处恰好能从镜面点G处看到点，点是点P的像，则P与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质，将问题转化为求，先过点作于A，得出为的中点，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作于A，如图： 由题意知：， ， 由对称性知，点是点P的像，关于对称，则P与之间的距离为， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 通过延长线构造全等三角形，得出的长度，结合勾股定理先求出的长度，再求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：延长交的延长线于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∵， ∴, ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，分别以，为直角边，为直角顶点向外作等腰和等腰，连接，．在的边变化的过程中，当最大时，的长是 ． 【答案】 【分析】先证明，再根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，结合三角形三边关系，得三点共线时，最大，画出图形，由勾股定理即可求得． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线，即点在上时，最大，如图所示： ， 的最大值， 过点作于，如图所示： 由等腰三角形“三线合一”得， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、勾股定理，证明以及由三角形三边关系得三点共线时，最大，是解题的关键． 13．（北京市房山区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题）如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是，，，． （1）计算： ； （2）按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加1，则 ． 【答案】 4 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据等角的余角相等得到，判定，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，所以，利用同样方法可得到，即可得到答案； （2）据此类推，；再计算即可． 【详解】解：（1）如图： 图中的四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ． 故答案是：4； （2）由（1）可知，这7个正方形摆放的规律是斜放的正方形面积等于左右两边正方形面积之和． ； ； ； ； ． 故答案为：2500． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和正方形的性质，规律探索，熟练掌握以上知识点并找到规律是解题的关键． 14．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）13；（3） 【分析】本题考查勾股定理的几何应用，正方形的特征，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）利用正方形的面积减去两个三角形的面积即可求解； （3）根据勾股定理得出，根据正方形的性质分别求出，，，然后代入化简即可． 【详解】解：（1）； ， ； （2），， ， ， 故答案为：13； （3）在中，由勾股定理得： 在正方形中，，， ， 同理， 且， ． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形的面积为36？ (2)时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查梯形的面积，全等三角形的判定及性质，勾股定理和等腰三角形的判定及性质，根据设问找到对应线段之间的等量关系是解题关键． （1）分两种情况讨论，用含t的代数式表示出对应线段，通过梯形的面积公式求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不确定，分两种情况讨论，借助勾股定理和全等三角形的判定与性质，用含t 的代数式表示出对应线段，利用腰相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：分两种情况讨论： 第一种：点P抵达点C前，则，，，， 由题意，可得，， ∴即为梯形的高， 由梯形的面积公式可得，梯形的面积为， 令， 解得， 第二种：点P抵达点C后， ，， ∴当点P抵达点C时，，， ∴， 故梯形的面积为， 故该种情况不存在， ∴； （2）解：由（1）可知，此时点P在抵达点C前，则，，，， 分两种情况讨论： 第一种：如图，，过点Q作于点E，连接， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 解得； 第二种，如图，，过点P作于点E， 同第一种情况，可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 综上，，或． 16．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，在等腰中，，点是斜边上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，熟记全等三角形的判定定理与性质定理及勾股定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质及角的和差求出，，，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵在等腰中，， ，， 是等腰三角形，且， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ，， 在等腰中，， ， ，即， ， ， ． ∵， ∴（舍负）． 17．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标___________； (2)若是以为底边的等腰三角形，且点在轴上，则点的坐标是___________． 【答案】(1)作图见解析， (2)或． 【分析】本题考查的知识点是画轴对称图形、勾股定理、等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义与性质等知识点.． （1）关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，连接对称点即可； （2）设，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 故答案为： （2）解：设 依题意，，，， ∴ 解得：或 ∴的坐标为：或． 故答案为：或． 18．（2026九年级·全国·专题练习）如图，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米/秒，参考数据：） 【答案】火箭从A到B处的平均速度约为335米/秒 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解一元一次方程，解题的关键是掌握以上性质． 设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，表示出相关线段的长度，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质，求出相关线段的长度，利用等腰直角三角形的判定和性质得出，然后利用线段相等列出方程求解即可． 【详解】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知，， 在中，，米， 米， ∴由勾股定理得（米）． 米， （米）， 在中，， ． ， ， 解得． 答：火箭从A到B处的平均速度约为335米/秒． 19．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米? (3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少千米 (3)见解析， 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 20．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）【思维启迪】 （1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为_______，位置关系为________． 【思维应用】 （2）如图2，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； 【思维探索】 （3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）相等，平行；（2），见解析；（3）的长为或 【分析】（1）直接利用即可求证全等，继而得到，故； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G，同上可得：，可证明，则，故，在中，由勾股定理求得，那么，中，由勾股定理求得，则；当点在延长线上时，构造上述辅助线，同理可求． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：相等，平行； （2）解：，理由如下： 延长至点M，使，连接，如图所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴； （3）解：当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理求得， ∴， ∴， ∴； 当点在延长线上时，构造上述辅助线， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点，正确构造全等三角形是解决本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1勾股定理及其应用（1）寒假预习讲义 （3知识点+12题型+过关检测） 预习目标导航 1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2.会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，初步感知实数与数轴上的点的一一对应关系. 3.能够从实际问题中抽象出符合勾股定理的数学模型，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明. 预习内容概览 核心知识 点梳理 1.勾股定理的内容 2.勾股定理的证明 常考题型 精讲精炼 1.用勾股定理理解三角形 2.已知两点坐标求两点距离 3.勾股数问题 4.以直角三角形为边长的图形面积 5.勾股定理与网格问题 6.勾股定理与折叠问题 7.用勾股定理求线段的平方和(差) 8.用勾股定理证明线段的平方关系 9.勾股定理的经典证明方法汇总 10.以弦图为背景的计算题 11.借助勾股定理构造图形解决问题 12.勾股定理与无理数的联系及应用 强化巩固 过关检测 (20题) 知识点梳理 【知识点一 勾股定理】 1.文字表述 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号表述 若直角三角形的两条直角边长度分别为a、b，斜边长度为c， 则公式为：a2+b2=c2 3.适用条件 仅适用于直角三角形，对锐角三角形和钝角三角形不成立。 文字语言 图示 符号语言 变式 应用 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 注意 勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.已知直角三角形的两边长，求第三边长，首先必须明确所求边是斜边还是直角边，然后决定用勾股定理的原式还是变式. 提示 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在应用 时，斜边只能是 c.若b为斜边，则关系式是 若 a为斜边，则关系式是 【知识点二 勾股定理的证明】 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理。 对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，现摘取几种著名的证法. 方法 图形 证明 赵爽“勾股圆方图”(“赵爽弦图”) 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c².又大正方形的面积 所以 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则 .根据“出入相补，以盈补虚”的原理，又有 所以 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则 又 所以 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积 由图②得大正方形的面积 比较两式易得 欧 几 里 得证法 图中 矩形ADLM,、 正方形AFHC,∴ S矩形ADLM =a²,同 理 可 得 S矩形MLEB = b²,∴ S正方形 即 提示- 勾股定理的验证是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题. 【知识点三 勾股定理的作用】 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段. 题型概览 题型精讲精练 【题型1 用勾股定理解三角形】 【典例】．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（    ） A． B．5 C．7 D．8 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·山西·月考）某区域设置了一个无人机监控中心，以监控中心为原点，每隔画一个同心圆，并将每个圆周平均分成12等份（对应12个方位）．若无人机在监控画面中发现两个目标，，则，两目标之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形中，，，将长方形沿折叠，使得点落在边上处，则的长是（    ） A． B． C． D．2 【跟踪训练3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）若等腰三角形的顶角为，腰长为，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C． D． 【题型2 已知两点坐标求两点距离】 【典例】．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·河北张家口·期末）点C在第二象限，距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度，则点C的坐标为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·广东佛山·期末）若点，可知，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．2 D．3 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，，点在线段上运动，当时，y的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【题型3 勾股数问题】 【典例】．（25-26八年级上·河北张家口·月考）下列四组数中，是勾股数的一组是（    ）． A．1，1，2 B．，， C．3，4，5 D．3，4，6 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A．1，， B．，， C．，， D．，， 【题型4 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例】．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，中，；分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型5 勾股定理与网格问题】 【典例】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个围棋棋盘的局部．若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在单位长度为1的的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．（25-26九年级上·北京·月考）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【题型6 勾股定理与折叠问题】 【典例】．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，折叠长方形，使点落在对角线上的点处，若，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·山东·期末）如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【跟踪训练2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【题型7 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【典例】．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【跟踪训练1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25八年级上·广东梅州·期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【题型8 利用勾股定理证明线段平方关系】 【典例】．（上海市普陀区2025-2026学年上学期八年级期末复习综合卷（B））如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，为的中线，过点A作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点若的面积为13，的面积为4，则的面积为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【跟踪训练2】．（24-25九年级下·江西·期末）设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【跟踪训练3】．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【题型9 勾股定理的证明方法】 【典例】．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（   ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．（24-25七年级下·山东济南·月考）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【题型10 以弦图为背景的计算题】 【典例】．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．连接，，若，，则大正方形的边长为（   ） A．6 B． C． D．5 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 【题型11用勾股定理构造图形解决问题】 【典例】．（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ） A．14 B． C．15 D． 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·四川·期中）如图，《九章算术》卷九勾股第五题原文“今有木长一丈四尺，围之二尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树(将树看成一个圆柱)，高1丈4尺，底面周长为2尺，一条生长在树下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平，这条藤的长度是（    ）尺 A．14 B． C． D．16 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·全国·期中）如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 【题型12 勾股定理与无理数】 【典例】．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使．以O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【跟踪训练1】．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【跟踪训练2】．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 过关检测训练 1．（浙江省嘉兴市2025-2026学年八年级上学期数学学科期末试卷）如图，在中，，点D为中点，以为边向下作等边三角形，若的最小值为1，则的长为（   ） A．4 B． C． D．6 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，有一张矩形纸片，点是上一点，将纸片沿折叠，点分别落在点处，当点在上时，则线段的长为（   ） A． B． C． D．5 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，将折叠，使点C落在边上的点E处，是折痕，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．14 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，小李在钓鱼时，发现鱼线没入水中的长度为米，在与鱼线水平距离为米（米）、水下距离为米（米）的处有一条鱼，发现了处的鱼饵，于是鱼以米／秒的速度向处游去，则这条鱼从游到需（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 6．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，在中，，点为中点，，绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 7．（25-26七年级上·全国·期中）如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．8 B．9.6 C．10 D．12 9．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知正方形的边长为5，且为的中点，四边形为正方形，则阴影面积是 ． 10．（浙江省嘉兴市2025-2026学年八年级上学期数学学科期末试卷）由平面镜成像可知物与像关于镜面成轴对称．如图，物体平行镜面，点Q处恰好能从镜面点G处看到点，点是点P的像，则P与之间的距离为 ． 11．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为 ． 12．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，分别以，为直角边，为直角顶点向外作等腰和等腰，连接，．在的边变化的过程中，当最大时，的长是 ． 13．（北京市房山区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题）如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是，，，． （1）计算： ； （2）按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加1，则 ． 【答案】 4 14．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形的面积为36？ (2)时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 16．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，在等腰中，，点是斜边上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标___________； (2)若是以为底边的等腰三角形，且点在轴上，则点的坐标是___________． 18．（2026九年级·全国·专题练习）如图，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米/秒，参考数据：） 19．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米? (3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 20．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）【思维启迪】 （1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为_______，位置关系为________． 【思维应用】 （2）如图2，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； 【思维探索】 （3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $