19.1二次根式及其性质寒假预习讲义（4知识点+5题型+过关检测） 2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.1二次根式及其性质寒假预习讲义 （4知识点+5题型+过关检测） 预习目标导航 1.了解二次根式的概念. 2.理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中 3.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。预习内容概览 核心知识 点梳理 1.二次根式定义 2.二次根式有意义的条件 3.二次根式的性质 4.二次根式的化简 常考题型 精讲精炼 1.二次根式的定义 2.二次根式的值 3.二次根式中的参数 4.二次根式有意义的条件 5.二次根式的化简 强化巩固 过关检测 (15题) 知识点梳理 【知识点1 二次根式】 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 【知识点2 二次根式有意义的条件】 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 【知识点3 二次根式的性质】 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 4）与 的区别与联系 区别 表示意义不同 表示非负数a的算术平方根的平方 表示实数a的平方的算术平方根 取值范围不同 a≥0 a为任意实数 读法不同 读作“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方” 读作“根号下a的平方”或“a的平方的算术平方根” 被开方数不同 被开方数是a 被开方数是a² 运算顺序不同 先开方后平方 先平方后开方 运算结果、运算依据不同 ，依据平方与开平方互为逆运算得到 依据算术平方根的定义得到 作用不同 ，正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式 正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆向运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内 联系 (1)含有两种相同的运算，都要进行平方与开方； (2)结果都是非负数； (3)当a≥0时, 【知识点4 二次根式的化简】 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 题型精讲精练 【题型1 二次根式的定义】 【典例】．下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数． 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 【跟随训练1】．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 【跟随训练2】．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 【跟随训练3】．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 【题型2 二次根式的值】 【典例】．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 【跟随训练1】．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 【跟随训练2】．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 【跟随训练3】．当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【题型3 二次根式中的参数】 【典例】．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 【跟随训练1】．已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可． 【详解】解：∵，是整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 【跟随训练2】．对于，当是整数时，最小的正整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 【跟随训练3】．已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值． 【详解】解：， 是整数， ∴正整数的最小值是． 故答案为：． 【题型4 二次根式有意义的条件】 【典例】．使有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故选：B． 【跟随训练1】．当 时，二次根式无意义． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确“二次根式无意义时，被开方数小于”，进而列不等式求解． 二次根式无意义的条件是被开方数小于，据此分析即可． 【详解】解：二次根式​有意义的条件是被开方数，反之，当被开方数时，二次根式无意义． 解不等式，得： ，即． 故答案为：． 【跟随训练2】．二次根式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选D． 【跟随训练3】．若为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：中，， ， 解得， 则， ， 故答案为：． 【题型5 二次根式的化简】 【典例】．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质，，计算即可求解． 【详解】解：由二次根式的性质，．由于，故，因此． 故答案为： 【跟随训练1】．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答． 【详解】解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【跟随训练2】．化简： ． 【答案】2 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【详解】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、和二次根式有意义的条件，解题关键是先确定的范围，再结合范围化简二次根式． 【跟随训练3】．已知，求，的值及的平方根． 【答案】，，的平方根是． 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入求出的值，最后计算的平方根． 【详解】解：根据二次根式的被开方数非负，可得： 解得：． 将代入原式，得： 解得：． ． ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、平方根的计算，解题关键是利用二次根式被开方数非负的性质确定的值，进而求出其他量．过关检测训练 1．式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负．据此求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，即 ． 选项 A．，B．，C．，均不满足； 选项D． ，满足． 故选D． 2．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质逐一判断选项解答即可． 【详解】解：A、，等号右边无意义，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、与的大小关系无法确定，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 3．下列说法中，正确的是（   ） A．8的算术平方根是4 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．64的立方根是 【答案】C 【分析】本题考查了化简二次根式，算术平方根、平方根和立方根的定义．根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、的算术平方根是，故本选项错误； B、的算术平方根是，故本选项错误； C、的平方根是，故本选项正确； D、64的立方根是，故本选项错误． 故选：C． 4．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对值是解题的关键． 先从数轴确定的符号及的正负，再利用二次根式的性质化简，最后结合绝对值的化简规则计算式子结果． 【详解】解：由数轴可知，，且，因此， 故， ∵， ∴ 原式 ． 故选：A． 5．已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形三边关系、二次根式以及绝对值的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 先根据化简二次根式，然后利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内的正负，从而化简表达式． 【详解】解：∵ 是 的三边， ∴ ，即 ， ∴ . 又 ∵，即， ∴. ∴ 原式   . 故选：D． 6．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，代数式有意义需满足分母不为零且根号内非负，即且，即可求解． 【详解】解：∵代数式 有意义， ∴，且即， ∴且， 故选：D． 7．要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数x的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解得，再结合为正整数，即可得出答案。 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， ∵为正整数， ∴的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）， 8．若整数满足，则能使为整数的的值是 ． 【答案】或3 【分析】根据绝对值不等式确定整数的取值范围，再根据算术平方根为整数的条件，逐一验证可能的值． 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由整数满足 得可取． 计算 ： 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数． ∴能使 为整数的 的值是和 ； 故答案为：或． 9．已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：8． 10．已知三角形的三条边的长分别为5，，，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围，再利用二次根式的性质将根号转化为绝对值，结合的范围化简绝对值，最后计算式子结果． 根据三角形三边关系确定的取值范围，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】解：由三角形三边关系，得． ，． ∴原式． 故答案为：． 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用绝对值的性质、二次根式的性质和立方根的定义分别化简，再相加即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 12．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的化简，实数的乘方，去绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据二次根式的化简，实数的乘方，去绝对值的运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 13．已知，分别为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 【答案】10或11 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件和等腰三角形的定义与周长．先根据二次根式有意义的条件求出，，再分情况求出三角形的周长即可． 【详解】解：∵，根据二次根式有意义的条件得到， ， 若腰长为3，三边为，∵∴能构成三角形，则周长为， 若腰长为4，三边为，∵∴能构成三角形，则周长为， 三角形的周长为10或11． 14．若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系与二次根式的化简，掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，及的化简规则是解题的关键． 先利用三角形三边关系求出第三条边的取值范围，再将根号内的式子化为完全平方式，结合的范围判断根号内式子的正负，去掉根号后进行化简． 【详解】解：由三角形的三边关系，得， ，， 原式 ． 15．求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________． (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮  因式分解错误 (2) 【分析】（1）需根据二次根式的性质，结合的取值判断绝对值内式子的正负，分析小亮和小芳的解法； （2）先将被开方数化为完全平方式，再利用二次根式性质化简，代入的值计算． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的， 错误的原因是：对化简时，错误地将变形为（实际应为），且未正确利用的性质判断符号． （2）解：原式． 根据二次根式性质，已知，则，故： 代入化简： 原式． 将代入， 解得：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题关键是先将被开方数化为完全平方式，再结合字母的取值判断绝对值内式子的正负，进而正确化简． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1二次根式及其性质寒假预习讲义 （4知识点+5题型+过关检测） 预习目标导航 1.了解二次根式的概念. 2.理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中 3.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。预习内容概览 核心知识 点梳理 1.二次根式定义 2.二次根式有意义的条件 3.二次根式的性质 4.二次根式的化简 常考题型 精讲精炼 1.二次根式的定义 2.二次根式的值 3.二次根式中的参数 4.二次根式有意义的条件 5.二次根式的化简 强化巩固 过关检测 (15题) 知识点梳理 【知识点1 二次根式】 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 【知识点2 二次根式有意义的条件】 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 【知识点3 二次根式的性质】 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 4）与 的区别与联系 区别 表示意义不同 表示非负数a的算术平方根的平方 表示实数a的平方的算术平方根 取值范围不同 a≥0 a为任意实数 读法不同 读作“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方” 读作“根号下a的平方”或“a的平方的算术平方根” 被开方数不同 被开方数是a 被开方数是a² 运算顺序不同 先开方后平方 先平方后开方 运算结果、运算依据不同 ，依据平方与开平方互为逆运算得到 依据算术平方根的定义得到 作用不同 ，正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式 正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆向运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内 联系 (1)含有两种相同的运算，都要进行平方与开方； (2)结果都是非负数； (3)当a≥0时, 【知识点4 二次根式的化简】 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 题型精讲精练 【题型1 二次根式的定义】 【典例】．下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【题型2 二次根式的值】 【典例】．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟随训练1】．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【跟随训练2】．当时，二次根式的值为 ． 【跟随训练3】．当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【题型3 二次根式中的参数】 【典例】．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【跟随训练1】．已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ． 【跟随训练2】．对于，当是整数时，最小的正整数 ． 【跟随训练3】．已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是 【题型4 二次根式有意义的条件】 【典例】．使有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【跟随训练1】．当 时，二次根式无意义． 【跟随训练2】．二次根式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．若为实数，且，则的值为 ． 【题型5 二次根式的化简】 【典例】．化简： ． 【跟随训练1】．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．化简： ． 【跟随训练3】．已知，求，的值及的平方根． 1．式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．6 2．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．8的算术平方根是4 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．64的立方根是 4．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 6．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 7．要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数x的值可以是 ．（写出一个即可） 8．若整数满足，则能使为整数的的值是 ． 9．已知，则 ． 10．已知三角形的三条边的长分别为5，，，化简的结果是 ． 11．计算：． 12．计算：． 13．已知，分别为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 14．若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 15．求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________． (2)求代数式的值，其中． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $