函数与导数单元检测卷-2026届高三数学二轮复习

函数与导数单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是偶函数，又在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 4．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，．已知，，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若函数有两个零点，则实数m的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 8．若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 10．已知函数，函数是奇函数，则（    ） A． B．有两个零点 C．不等式的解集为 D．曲线在点处的切线与曲线有三个公共点 11．已知对于，，，，且，则下列说法正确的有（ ） A．为偶函数 B． C．的周期为4 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则 . 13．近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为 14．函数有且只有一个零点，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 16．已知函数． (1)若，求的单调区间和极值； (2)若在区间内有极值，求的取值范围； (3)若在区间内单调递增，求的取值范围． 17．已知函数． (1)过原点是否存在一条直线与的图象相切？并说明理由； (2)当时． ①若，求的取值范围； ②证明：当时，． 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 19．已知函数． (1)设函数，求的最小值； (2)证明：在定义域内有且仅有2个零点； (3)设的两个零点分别为，且，若存在实数，满足，其中，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．下列函数中，既是偶函数，又在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、复合函数的单调性 【分析】根据函数奇偶性的定义及单调性的判断方法即可判断. 【详解】对于A，二次函数关于轴对称，所以函数为偶函数， 在上单调递减，故A错误； 对于B，函数的定义域为， ，，所以函数为偶函数， 函数在上单调递增，当时，， 函数在上单调递增， 根据复合函数的单调性，函数在上单调递增，故B正确； 对于C，函数的定义域为， ，， 即，所以函数为奇函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为， ，， 所以函数为奇函数，故D错误. 故选：B. 3．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】导数的运算法则 【分析】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【详解】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 4．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，．已知，，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用、比较指数幂的大小 【分析】先构造新函数判断其单调性，再利用奇函数性质及单调性比较函数值大小. 【详解】设，因为， 所以在上是增函数， 又因为函数是奇函数，，所以，， 所以，当时，，所以； 当时，，， 又因为，所以在上是增函数， 所以， 因为，所以， 所以. 故选A． 5．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】求出函数的导数，由在上有两个变号零点求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当从大于0的方向趋近于0时，， 当时，，因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 6．已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、分式不等式 【分析】根据题意可得为奇函数，进而得到在，上为减函数，再由分式不等式的等价条件得，再根据奇偶性和单调性解不等式即可． 【详解】因为对任意，，都有， 所以在上为减函数， 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以为奇函数， 所以上为减函数． 则在，上为减函数， 因为，所以， ， 即或， 则或， 解得或， 所以解集为． 故选：C． 7．已知函数，若函数有两个零点，则实数m的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据分段函数单调性画出简图，将零点问题转化为 与 的交点问题求解. 【详解】 当 时， 单调递增，值域为 ； 当 时，，所以在上单调递增， 且 ，，可画简图，如图所示， 要使 有两个零点，即与有两个交点， 结合图象可知，即， 故选：C. 8．若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据给定条件，利用同构思想变形不等式，构造函数，利用单调性可得，再构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】不等式 ，令函数，显然函数在上单调递增， 依题意，不等式恒成立，即， 令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，，， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、函数对称性的应用、具体函数的定义域 【分析】利用函数定义域的求法可判断A；利用复合函数单调性法则可判断BC；利用函数对称性可判断D. 【详解】对于A：令，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B和C：函数， 令，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是增函数，所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误； 对于D：因为， ，所以， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ABD. 10．已知函数，函数是奇函数，则（    ） A． B．有两个零点 C．不等式的解集为 D．曲线在点处的切线与曲线有三个公共点 【答案】BC 【知识点】函数奇偶性的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】对于A，根据题意，确定的解析式即可判断A； 对于B，令，利用因式分解求解即可； 对于C，不等式等价于即，则或，再解不等式组即可； 对于D，利用导数的几何意义得到切线方程为，再联立求解即可判断． 【详解】 ， 函数是奇函数， ，解得， ，故A错误； 令，即，解得或， 所以有两个不同的零点，故B正确； 解不等式，即，移项得， 即， 或， 解得或， 所以，不等式的解集为，故C正确； ，则， 则切线方程为，即， 联立，得， 即，解得， 所以切线与曲线只有一个公共点，故D错误． 故选：BC． 11．已知对于，，，，且，则下列说法正确的有（ ） A．为偶函数 B． C．的周期为4 D． 【答案】AB 【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、求函数值 【分析】由结合可判断A，通过赋值可判断B，由，得到，可判断C，由函数周期可判断D. 【详解】对于A：， 关于对称， ，得，所以， 所以，即， 所以为偶函数，故A正确； 对于B：由，中令得，所以， 中令得，即， 所以，故B正确； 对于C：， 可知，， 可得，则， 所以，可知周期为6，故C错误； 对于D：由，， 中， 令，可得， 所以， ，，，， 所以，又周期为6， 所以，故D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为，即； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得． 故答案为：． 13．近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为 【答案】29h 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、指数幂的运算、对数的运算性质的应用 【分析】由题意可得出，，利用对数恒等式与指数运算性质可求得结果. 【详解】因为当放电电流时，放电时间，则， 当放电电流时，则， 即，可得. 故答案为：29h 14．函数有且只有一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将函数零点问题转化为函数图象交点问题，结合相切的临界条件，即可求出的值. 【详解】函数的定义域为. 函数有且只有一个零点等价于只有一个解， 即函数与的图象在上有且只有一个交点. 函数的图象如图，过点，且在上单调递减，在上单调递增. 函数，图象为顶点在，开口向上的V形折线，对称轴为，且沿轴左右平移. 通过观察图象可知，当与在上相切时，有一个交点； 当与在不相交时，有一个交点. 当与在上相切时， ，令，解得，此时切点坐标为， 代入中，可得. 此时当时，函数与在上有1个交点，满足条件； 同理可得，当时，函数与在上有2个交点， 当时，函数与在上有1个交点，在上有1个交点； 综上，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是和，单调递增区间是 (2) 【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出导数，分别求出和的解，即可得到单调区间； （2）分类讨论的范围，从而得到的单调性，即可求解. 【详解】（1）若，则， 函数定义域为， ． 当时，； 当时，； 当时，， 故的单调递减区间是和，单调递增区间是． （2）， 函数，当，即时，恒成立， 则有，单调递减，此时没有极值点，符合题意． 当时，方程有两个实数根，，不妨设， 则，． 当时，，此时在区间，上单调递减， 在区间上单调递增，所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意； 同理可知，当时，在区间上单调递增，上单调递减，是的极大值点，不符合题意． 综上，a的取值范围是． 16．已知函数． (1)若，求的单调区间和极值； (2)若在区间内有极值，求的取值范围； (3)若在区间内单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由函数在区间上的单调性求参数、根据极值求参数 【分析】（1）求导函数，利用导数等于0，画表格分析的变化情况，可得的单调区间与极值； （2）在区间有极值，等价于方程在其判别式（即或的条件下在区间有解，从而得的取值范围； （3）由题可得在区间内单调递增，令，孤立参数求最值可得的取值范围. 【详解】（1），则， 令，可得，解得或， 则的变化如下表： 递增 极大值 递减 极小值 递增 由表可得的单调增区间是和，单调减区间是； 函数的极大值为，极小值为； （2）因为 当，即时，，单调递增，故无极值点； 当，即或时，有两个根， ，， 由题意可得，①，或②， ①式无解，②式的解为， 故的取值范围是； （3）由已知，得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，故，所以， 即的取值范围为. 17．已知函数． (1)过原点是否存在一条直线与的图象相切？并说明理由； (2)当时． ①若，求的取值范围； ②证明：当时，． 【答案】(1)过原点不存在一条直线与的图象相切，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数来求切线方程，利用切线过原点可得参数的方程，通过方程无解，来判断过原点的切线不存在； （2）①利用导数来求函数在的值域，再结合不等式恒成立，转化为，从而可得的取值范围；②利用极值点偏移证明方法，结合分析法来构造函数求导证明即可. 【详解】（1）设为图象上的任意一点， 因为， 所以在点处的切线斜率为， 所以切线方程为， 假设存在一条切线经过坐标原点，则， 因为，所以，即， 此时等式显然不成立，即方程无解， 所以假设不成立，所以过原点不存在一条直线与的图象相切． （2）①当时，，其中， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 则当时，在处取得最小值为， 因为时，，而， 所以在处取得最大值为， 因为，所以， 即的取值范围为． ②当时，因为在单调递减，在单调递增， 所以不妨设，要证， 只需要证明，又因为，在单调递增， 所以只需要证明， 由于，即只需要证明， 令， ， 因为，所以， 则， 故在上单调递减， 故当时，， 即，其中，所以成立， 故． 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 【答案】(1)答案见解析； (2)1； (3)证明见解析. 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求出函数的定义域和导数，然后根据的取值范围讨论导数的正负，从而确定函数的单调性. （2）将恒成立转化为恒成立，通过构造函数求其最大值，进而得到的最小值. （3）先求出的表达式，根据有两个零点得到相关等式，然后通过构造函数利用函数的单调性证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得, ，即在上单调递增. ，即在上单调递减. 综上， 当时,在上单调递增， 当时,在上单调递减，在上单调递增. （2）由，得对所有成立， 令，则， 令， 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值，. 因为恒成立， 所以,即的最小值为1. （3）. ，且， 令，得， 由有两个零点，且有唯一的正根，此时， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增. 所以是的极小值点，且，两个零点满足. 因为，解得， 又因为，，且是的极小值点， 所以，将代入得到， 若，则，与矛盾， 所以，即，可以得到. 所以位于的递增区间内. ， 将代入得，， 因为，所以， 又与都在的递增区间内， 所以有，即. 19．已知函数． (1)设函数，求的最小值； (2)证明：在定义域内有且仅有2个零点； (3)设的两个零点分别为，且，若存在实数，满足，其中，证明：． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求出，再求导，分析函数的单调性，进而求解即可； （2）求导，分，，，，五种情况讨论求证即可； （3）结合（2）可得，设，，利用导数分析其单调性，可得时，，进而得到，进而求证即可. 【详解】（1）由，则， 所以，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则. （2）证明：由，，则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递增， 又，则函数在上存在唯一零点0； 当时，设， 则， 所以函数在上单调递增， 又，则， 所以函数在上单调递增， 则，则函数在上无零点； 当时，函数为增函数， 又，， 所以存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 则函数在上存在唯一零点； 当时，由（1）可知，在上单调递减， 又在上单调递减，所以函数在上单调递减， 则， 所以函数在上无零点； 当时，， 则函数在上无零点. 综上所述，在定义域内有且仅有2个零点. （3）证明：由（2）可得，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 由题意，不妨设，则， 设，， 则， 所以函数在上单调递减，则， 则时，，则，又， 所以，则， 因为，所以，则， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $