吉林省长春市2025-2026学年华东师大版数学九年级上册期末自编模拟卷

吉林省长春市2025—2026学年九年级数学期末自编模拟卷（华师版） 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1.要使算式□的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为    A. + B. - C. D. 2.长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达，数据2040000000用科学记数法表示为     A. B. C. D. 3.能解释：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是(    ) A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4.下列说法中，①若，则②是不等式的解集;③不等式两边乘或除以同一个数，不等号的方向不变;④是方程的唯一解;⑤不等式组无解.正确的有(    ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5.如图，小冉在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度与注水时间的大致图象是(    ) A. B. C. D. 6.如图是一把圆规的平面示意图， OA是支撑臂， OB是旋转臂.已知，使用时，以点 A为支撑点，笔芯端点 B可绕点A旋转作出圆.若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径 AB长度为(    ) A. B. C. D. 7.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线BD，连接若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 8.已知蓄电池两端电压U为定值，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是     A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 分解因式：______. 10.请写出3m的一个同类项：        . 11.古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱.试问甜苦果几个？”该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组是      . 12.中国体育代表队在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会上的一面金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块.这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形ABCDEF的周长约为，则该正六边形的外接圆半径长为       13.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，若，，则AB的长为          . 14.如图，☉O是的外接圆，BC是☉O的直径，，的平分线交AC于点D，交☉O于点E，连结若，则BD的长为          .  三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15.（6分）先化简，再求值：，其中 16.（6分）吉林省中小学生2025年的雪假时间为12月3日至7日，旨在通过文旅厅和教育厅的联合推动，让学生体验冰雪运动.期间某滑雪场为吸引广大中小学生，除了推出学生免费滑雪3小时外，每天还抽取一定数量的幸运中小学生，每名幸运中小学生可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩.若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运学生小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率令A表示：“滑雪”，B表示：“滑雪圈”，C表示：“雪地摩托” 17.（6分）A，B两种机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ 18.（7分）如图，在中，，AD是BC边上的高，AE是的外角平分线，交AE于点求证：四边形ADCE是矩形． 19.（7分）如图是的正方形网格，网格中所标出的点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹 如图，在线段AB上作点M，使； 如图，在线段AB上作点N，使； 如图，在线段AB上作点P，使 20.（7分）随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势.某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间用x表示，单位：进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下频率分布表和频数分布直方图： 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： 请把频数分布直方图补充完整画图后标注相应数据 调查所得数据的中位数落在          组填字母 该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于的学生人数. 21.（8分）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米.甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行.图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离米与行走时间分钟的函数关系图象. 求OA所在直线的表达式； 出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ 甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离. 22.（9分）【模型提出】如图①，已知线段AB的长度为4，在线段AB所在直线外有一点C，且，想确定满足条件的点C的位置，可以以AB为底边构造一个等腰直角三角形AOB，再以点O为圆心，OA长为半径画圆，则点C在的优弧ACB上.即：若线段AB的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型. 【模型应用】如图②，在正方形ABCD中，，点E、F分别是边BC、CD上的动点，，连结AE、BF，AE与BF交于点 求证：； 点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； 若点I是的内心，连结CI，则线段CI的最小值为______. 23.（10分）如图，点C在线段AB上，，，动点P从点A出发，沿线段AB以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动；同时，动点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动.当点P到达终点时，点Q也随之停止运动. 设点P的运动时间为t秒. 线段AB的长为______. 当点P与点Q相遇时，求t的值. 当点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，求t的值. 当时，直接写出t的值. 24.（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，，点A、B是该抛物线与x轴的交点在B的左侧，点P是该抛物线上一点，横坐标为 求该抛物线所对应的函数表达式； 连结CP、CB，当时，求证：； 设抛物线在B、P两点之间的部分含B、P两点为图象G，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为4，求m的取值范围； 连结CP、CB、AC，当时，直接写出m的值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】略 2.【答案】B  【解析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选 3.【答案】B  【解析】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是两点确定一条直线， 故选： 根据直线的性质解答即可． 此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线． 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查的是二元一次方程的解，不等式的基本性质，一元一次不等式的解法及解集，一元一次不等式组的解法的有关知识，由题意利用二元一次方程的解，不等式的基本性质，一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法进行逐一分析即可. 【解答】 解：①若且，则，故原说法错误； ②解得，，所以，所以是不等式的解集，说法正确； ③不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，故原说法错误； ④方程的解有无数个，所以 不是方程的唯一解，故原说法错误； ⑤不等式组的解集为，故原说法错误， 则正确的只有②，共1个 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数的图象，分三个阶段，分别分析，找出符合题意的函数图象即可. 【解答】 解：①开始阶段，先往小烧杯注水至小烧杯的水满，这段时间大烧杯内的液面高度为0； ②继续匀速注水至大烧杯内的液面高度与小烧杯的高度相同，这段时间大烧杯内的液面高度匀速上升； ③继续匀速注水，这段时间大烧杯内的液面高度匀速上升，但上升的趋势比之前放缓， 综上可知，只有C选项符合题意. 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 先作交AB于点C，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出 【解答】 解：作交AB于点C， ， 平分，点C平分AB， ， ， ， ， ， 故选 7.【答案】C  【解析】略 8.【答案】C  【解析】本题考查反比例函数的实际应用．将代入求出U的值，根据反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意； ，电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意； 故选： 9.【答案】  【解析】【分析】 此题考查利用平方差公式和提取公因式法分解因式.原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可． 【解答】   解：   故答案为 10.【答案】答案不唯一  【解析】解：答案不唯一，如 故答案为：答案不唯一 根据同类项的定义解答即可． 本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：买了甜果和苦果共一千个， ； 买甜果和苦果共花了999文钱， 根据题意可列方程组 故答案为： 利用总价=单价数量，结合用九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：如图，连接CF与AD交于点O， 为正六边形， ，， 为等边三角形， ， 正六边形ABCDEF的周长约为， ， 故答案为： 连接CF与AD交于点O，证明为等边三角形，从而即可得到答案． 本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 13.【答案】  【解析】【点拨】如图，延长BC，AF交于点M，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，，，， 在和中，≌ 在和中，≌， ，过点E作于点N，，，在中，，即， 14.【答案】  【解析】如答图，延长BA，CE，两者相交于点 是☉O的直径， ， 又，， ≌， 平分， 又，， ≌， ， 15.【答案】解： ， 当时，原式  【解析】先根据完全平方公式和平方差公式算乘法，再合并同类项，再求出答案即可． 本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 16.【答案】  【解析】解：令A表示：“滑雪”，B表示：“滑雪圈”，C表示：“雪地摩托”， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中幸运学生小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种， 幸运学生小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率为 画树状图，共有9种等可能的结果，其中幸运学生小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种，再由概率公式求解即可． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17.【答案】A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料．  【解析】解：设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料． 设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料，根据A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18.【答案】解：，是的外角平分线，，，  又，四边形AEDB是平行四边形，平行且等于  又，，，平行且等于DC，  故四边形ADCE是平行四边形．  又，平行四边形ADCE是矩形．  【解析】略 19.【答案】如图  ，点M即为所求；   如图  ，点N即为所求；   如图  ，点P即为所求  【解析】如图，点M即为所求； 如图，点N即为所求； 如图，点P即为所求． 取格点D，连接CD交AB于M，则点M即为所求； 取格点E，连接DE交AB于N，则点N即为所求； 取格点G，连接EG交AB于P，可证明是等腰直角三角形，则，可证明，则，则点P即为所求． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键． 20.【答案】【小题1】 样本容量为， “”的频数为， 据此数据补全频数分布直方图如图所示 【小题2】 C 【小题3】 或，人 答：该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450   【解析】 略  略  略 21.【答案】解：由图象可知，OA所在直线为正比例函数， 设， ， ，， 所在直线的表达式为 由图可知甲机器人速度为：米/分钟， 乙机器人速度为：米/分钟， 两人相遇时：分钟， 答：出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇． 设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离为200t， 则乙机器人分钟后到P地，P地与M地距离， 由，解得， ， 答：P，M两地间的距离为600米．  【解析】利用待定系数法，将代入解析式中，求出答案； 俩机器人相向而行，同时出发，相遇时两人路程应为MN的长度，列出方程即可； 设甲到P地时间为t分钟，乙到P地时间为分钟，分别求出两人到P地时，与M的距离，列出方程，解出答案． 本题以一次函数综合运用为背景，考查了学生在函数中数形结合的能力，此类题目的关键是弄懂题意，求出每个人的速度，明确相向而行时相遇时两人的路程和等于总路程，进而求解． 22.【答案】证明见解析；  ；    【解析】证明：四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ≌ ， ； 解：连接AC，BD，它们交于点O， 四边形ABCD是正方形， ， 由知：， 点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径为以AB为直径的圆中的的圆周长，如图， 点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为 故答案为：； 解：，点I是的内心， ， 点I在以AB为弦，所含圆周角为的劣弧上运动，如图， 设这个劣弧的圆心为O，连接OA，OB，过点O作，交CB的延长线于点M， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 当点O，I，C三点在一条直线上时，CI取得最小值 ，， 的最小值 故答案为： 利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质解答即可； 利用模型得到点G经过的路径为以AB为直径的圆中的的圆周长，再利用弧长公式解答即可； 利用模型得到点I在以AB为弦，所含圆周角为的劣弧上运动，画出该圆，设这个劣弧的圆心为O，连接OA，OB，过点O作，交CB的延长线于点M，利用等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理解答即可． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，点的轨迹，圆的有关计算，本题是阅读型题目，利用已知的模型解答是解题的关键． 23.【答案】14  【解析】解：点C在线段AB上，，， ， 故答案为： 依题意，，， 当点P与点Q相遇时， 解得：； 相遇前点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，， 解得：， 相遇前点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，则， 解得：， 综上所述，当或时，点P与点Q之间的距离为9个单位长度； ， 当P在线段AC上时，，此时， ， ， 解得：舍去 当P在线段CB上时，，此时， ， ， 解得：， 根据即可求解； 依题意，，，根据点P与点Q相遇时，解方程即可求解； 分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解； 分点P在线段AC上和线段CB上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解． 本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 24.【答案】抛物线的解析式为  证明：当时，， ， ， 当时，， 解得， ， ，   或 或4  【解析】解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 证明：当时，， ， ， 当时，， 解得， ， ， 解：由题意可知顶点坐标为， 当时， 此时，，成立； 当时， ，， ， ， 解得，舍； 综上，或； ①当点P在BC上方时，作点A关于y轴对称点，则， 则， ， 过作交CP延长线于点G， 则为等腰直角三角形， ， 过G作轴于点H，则， ， ≌， ，， ， 由点、可得直线CG表达式为， 令， 解得舍去或， ； ②当点P在BC下方时， 此时则有， 过A作交CP于点K， 则为等腰直角三角形， 同理可得， 直线CG解析式为， 令， 解得舍去或， ； 综上，m的值为或 直接将点A、C坐标代入即可； 由题意知，进而可得，据此得证； 根据图象明显可知点P在点A左侧时，最值之差大于4，不合题意，点P在B和顶点之间时，最值只差小于4，不合题意；则分两种情况讨论即可； 分两种情况讨论：当点P在BC上方时，作点A关于y轴对称点，易得，再构造一线三垂直全等可得直线CP解析式，进而联立二次函数解析式求出m值；当点P在BC下方时，易得，同理可求m值． 本题主要考查了求抛物线解析式、二次函数的图象和性质、二次函数最值问题、二次函数角度关系处理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市2025-2026学年九年级数学期末自编模拟卷（华师版） 评分标准、答案得分点及答题步骤分值 总体评分原则 · 选择题（第1-8题）：每题3分，共24分。评分标准为选对得满分3分，选错或不选得0分。无步骤分。 · 填空题（第9-14题）：每题3分，共18分。评分标准为答案正确且格式规范（如因式分解彻底、单位正确）得3分，答案错误或未填得0分。无步骤分。 · 解答题（第15-24题）：共78分，评分按步骤给分。每个题目根据解析分解关键步骤，每个步骤赋予分值。得分点包括公式应用、计算正确、逻辑清晰等。部分题目有多个小问，分值独立计算。 · 其他说明：对于作图题（如题19），评分还包括作图规范；对于证明题（如题18、22），评分注重推理严谨性。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题评分简单：选对得3分，选错得0分。答案得分点仅基于最终选项的正确性。 1. 题1：答案A。评分标准：选A得3分，其他选项得0分。得分点：理解运算符号对结果的影响。 2. 题2：答案B。评分标准：选B得3分，其他得0分。得分点：掌握科学记数法规则。 3. 题3：答案B。评分标准：选B得3分，其他得0分。得分点：理解直线性质。 4. 题4：答案B。评分标准：选B得3分，其他得0分。得分点：分析不等式和方程解的正确性。 5. 题5：答案C。评分标准：选C得3分，其他得0分。得分点：识别函数图象与实际问题的对应。 6. 题6：答案A。评分标准：选A得3分，其他得0分。得分点：应用三角函数求解几何问题。 7. 题7：答案C。评分标准：选C得3分，其他得0分。得分点：通过尺规作图推断角度关系。 8. 题8：答案C。评分标准：选C得3分，其他得0分。得分点：理解反比例函数性质。 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 填空题评分：答案正确得3分，错误得0分。得分点基于最终答案的准确性，无需步骤分。 题9：答案x(x+y)(x−y)。评分标准：答案正确得3分，部分正确（如未彻底分解）得0分。得分点：因式分解彻底。 题10：答案5m（答案不唯一）。评分标准：写出任意同类项（如5m）得3分，非同类项得0分。得分点：理解同类项定义。 题11：【答案】评分标准：方程组正确得3分，错误得0分。得分点：根据题意列对方程。 题12：【答案】 评分标准：答案正确得3分，错误得0分。得分点：计算正六边形外接圆半径。 题13：【答案】​​。评分标准：答案正确得3分，错误得0分。得分点：通过几何构造求解菱形边长。 题14：【答案】 。评分标准：答案正确得3分，错误得0分。得分点：应用圆的性质和全等三角形。 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 解答题评分按步骤给分。我会基于解析分解步骤，并赋予分值。总分值可能因题目而异，但总和等于题目满分。 15. 题15（6分）：先化简，再求值 · 评分标准：满分6分，按步骤给分。得分点包括公式应用、计算正确、代入求值。 · 答案得分点及步骤分值： · 步骤1：展开公式（完全平方和平方差）得2分。 · 步骤2：合并同类项得2分。 · ， · 步骤3：代入a=−2求值得2分。 原式  总分：6分。任何步骤错误扣相应分。 16. 题16（6分）：概率计算 · 评分标准：满分6分，树状图或列表正确得3分，概率计算正确得3分。 · 答案得分点及步骤分值： · 步骤1：画出正确树状图或列出所有等可能结果得3分。 例如：树状图显示9种结果。 · 步骤2：计算概率得3分。 抽中同一项目的结果有3种，概率为为 · 总分：6分。树状图错误扣3分，计算错误扣3分。 17. 题17（6分）：分式方程应用 · 评分标准：满分6分，设未知数得1分，列方程得2分，解方程得2分，检验和答得1分。 · 答案得分点及步骤分值： · 步骤1：设B型机器人每小时搬运x千克，A型搬运x+30千克得1分。 · 步骤2：列方程： =得2分。 · 步骤3：解方程x=60得2分（包括计算过程）。 · 步骤4：检验并写出答案得1分。 A型搬运90千克，B型搬运60千克。 · 总分：6分。未检验扣1分。 18. 题18（7分）：几何证明 · 评分标准：满分7分，证明平行四边形得4分，证明矩形得3分。得分点包括等腰三角形性质、平行线判定。 · 答案得分点及步骤分值： · 步骤1：证明AE // BC（利用外角平分线和平行线）得2分。 · 步骤2：证明四边形AEDB是平行四边形得2分。 · 步骤3：证明AE平行且等于DC，从而四边形ADCE是平行四边形得2分。 · 步骤4：结合∠ADC=90°，证明矩形得1分。 · 总分：7分。推理不完整扣分。 19. 题19（7分）：尺规作图 · 评分标准：满分7分，每个小问作图正确得2分，整体规范得1分。得分点包括作图准确性和理由。 · 答案得分点及步骤分值： 本题涉及三个作图，每个小问分值独立。 · (1) 点M使CM ⊥ AB：作图正确得2分（如取格点D连接CD）。 · (2) 点N使∠ADN=45°：作图正确得2分（如取格点E连接DE）。 · (3) 点P使∠APE=45°：作图正确得2分（如取格点G连接EG）。 · 整体作图规范（如保留痕迹）得1分。 · 总分：7分。每个小问错误扣2分。 20. 题20（7分）：统计应用 · 评分标准：满分7分，补全直方图得2分，中位数判断得2分，估计人数得3分。 · 答案得分点及步骤分值： · 步骤1：补全频数分布直方图（计算“80≤x<100”频数为10）得2分。 · 步骤2：判断中位数落在C组得2分。 · 步骤3：计算时间≥60min的学生比例（0.60）得2分，估计人数750×0.60=450得1分。 · 总分：7分。计算错误扣分。 21. 题21（8分）：函数图象应用 · 评分标准：满分8分，求表达式得3分，相遇时间得2分，距离计算得3分。 · 答案得分点及步骤分值： · 步骤1：求OA所在直线表达式y=200x得3分（包括代入点(5,1000)）。 · 步骤2：计算相遇时间310​分钟得2分（利用速度和距离）。 · 步骤3：设时间t，列方程200t=1000-100(t+1)得2分，解t=3得1分，距离600米得1分。 · 总分：8分。方程列错扣2分。 22. 题22（9分）：几何模型应用 · 评分标准：满分9分，证明（1）得3分，路径长（2）得3分，最小值（3）得3分。得分点包括全等三角形、圆的性质。 · 答案得分点及步骤分值： · (1) 证明AE ⊥ BF：通过△ABE ≌ △BCF得2分，推导∠AGB=90°得1分。 · (2) 求路径长：连接AC、BD，说明点G轨迹为1/4圆周长得2分，计算π得1分。 · (3) 求CI最小值：说明点I轨迹得1分，构造等腰直角三角形得1分，计算   得1分。 · 总分：9分。每个部分独立给分。 23. 题23（10分）：动点问题 · 评分标准：满分10分，AB长（1）得1分，相遇时间（2）得2分，距离9单位（3）得4分，PC+QB=2.5（4）得3分。 · 答案得分点及步骤分值： · (1) 计算AB=14得1分。 · (2) 列方程3t+2t=14得1分，解t=14/5得1分。 · (3) 分相遇前和相遇后：各列方程正确得2分（如3t+2t+9=14和3t+2t-9=14），解t=1或23/5得2分。 · (4) 分P在线段AC和CB上：各列方程正确得1.5分（如3-3t+2t=2.5和3t-3+2t=2.5），解t=17/10得1.5分。 · 总分：10分。多解情况需全面。 24. 题24（12分）：二次函数综合 · 评分标准：满分12分，表达式（1）得3分，证明（2）得3分，图象G（3）得3分，角度条件（4）得3分。 · 答案得分点及步骤分值： · (1) 求抛物线表达式y=-x²+2x+3得3分（代入点A、C）。 · (2) 证明tan∠BCP=1：说明PC∥AB得1分，∠BCP=45°得1分，tan值得1分。 · (3) 求m范围：分情况讨论，-1≤m≤1得1.5分，解得，得1.5分。 · (4) 求m值：分点P在BC上下方，各构造直线得1分，解方程得1分，；或4得1分。 · 总分：12分。讨论不完整扣分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市2025—2026学年九年级数学期末自编模拟卷（华师版） 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1.要使算式□的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为  A  A. + B. - C. D. 2.长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达，数据2040000000用科学记数法表示为  B   A. B. C. D. 【解析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选 3.能解释：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是(  B  ) A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【解析】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是两点确定一条直线， 故选： 根据直线的性质解答即可． 此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线． 4.下列说法中，①若，则②是不等式的解集;③不等式两边乘或除以同一个数，不等号的方向不变;④是方程的唯一解;⑤不等式组无解.正确的有(  B  ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【解析】【分析】 本题主要考查的是二元一次方程的解，不等式的基本性质，一元一次不等式的解法及解集，一元一次不等式组的解法的有关知识，由题意利用二元一次方程的解，不等式的基本性质，一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法进行逐一分析即可. 5.如图，小冉在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度与注水时间的大致图象是(  C  ) A. B. C. D. 【解析】【分析】 本题考查函数的图象，分三个阶段，分别分析，找出符合题意的函数图象即可. 6.如图是一把圆规的平面示意图， OA是支撑臂， OB是旋转臂.已知，使用时，以点 A为支撑点，笔芯端点 B可绕点A旋转作出圆.若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径 AB长度为(  A  ) A. B. C. D. 【解析】【分析】 本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 先作交AB于点C，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出 7.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线BD，连接若，则的度数是( C   ) A. B. C. D. 【解析】略 8.已知蓄电池两端电压U为定值，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是 C    A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 【解析】本题考查反比例函数的实际应用．将代入求出U的值，根据反比例函数的性质逐一判断即可． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 分解因式：______. 【答案】  【解析】【分析】 此题考查利用平方差公式和提取公因式法分解因式.原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可． 10.请写出3m的一个同类项：        . 10.【答案】答案不唯一  【解析】解：答案不唯一，如 故答案为：答案不唯一 根据同类项的定义解答即可． 本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键． 11.古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱.试问甜苦果几个？”该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组是      . 【答案】  【解析】利用总价=单价数量，结合用九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键． 12.中国体育代表队在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会上的一面金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块.这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形ABCDEF的周长约为，则该正六边形的外接圆半径长为       【答案】  【解析】连接CF与AD交于点O，证明为等边三角形，从而即可得到答案． 本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 13.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，若，，则AB的长为          . 【答案】  【点拨】如图，延长BC，AF交于点M，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，，，， 在和中，≌ 在和中，≌， ，过点E作于点N，，，在中，，即， 14.如图，☉O是的外接圆，BC是☉O的直径，，的平分线交AC于点D，交☉O于点E，连结若，则BD的长为          .  【答案】  【解析】如答图，延长BA，CE，两者相交于点 是☉O的直径， ， 又，， ≌， 平分， 又，， ≌， ， 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15.（6分）先化简，再求值：，其中 15.【答案】解： ， 当时，原式  【解析】先根据完全平方公式和平方差公式算乘法，再合并同类项，再求出答案即可． 本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键 16.（6分）吉林省中小学生2025年的雪假时间为12月3日至7日，旨在通过文旅厅和教育厅的联合推动，让学生体验冰雪运动.期间某滑雪场为吸引广大中小学生，除了推出学生免费滑雪3小时外，每天还抽取一定数量的幸运中小学生，每名幸运中小学生可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩.若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运学生小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率令A表示：“滑雪”，B表示：“滑雪圈”，C表示：“雪地摩托” 【答案】  【解析】解：令A表示：“滑雪”，B表示：“滑雪圈”，C表示：“雪地摩托”， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中幸运学生小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种， 幸运学生小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率为 画树状图，共有9种等可能的结果，其中幸运学生小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种，再由概率公式求解即可． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17.（6分）A，B两种机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ 【答案】A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料．  【解析】解：设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料． 设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料，根据A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18.（7分）如图，在中，，AD是BC边上的高，AE是的外角平分线，交AE于点求证：四边形ADCE是矩形． 【答案】解：，是的外角平分线，，，  又，四边形AEDB是平行四边形，平行且等于  又，，，平行且等于DC，  故四边形ADCE是平行四边形．  又，平行四边形ADCE是矩形．  【解析】略 19.（7分）如图是的正方形网格，网格中所标出的点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹 如图，在线段AB上作点M，使； 如图，在线段AB上作点N，使； 如图，在线段AB上作点P，使 【答案】如图  ，点M即为所求；   如图  ，点N即为所求；   如图  ，点P即为所求  【解析】如图，点M即为所求； 如图，点N即为所求； 如图，点P即为所求． 取格点D，连接CD交AB于M，则点M即为所求； 取格点E，连接DE交AB于N，则点N即为所求； 取格点G，连接EG交AB于P，可证明是等腰直角三角形，则，可证明，则，则点P即为所求． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键． 20.（7分）随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势.某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间用x表示，单位：进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下频率分布表和频数分布直方图： 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： 请把频数分布直方图补充完整画图后标注相应数据 调查所得数据的中位数落在          组填字母 该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于的学生人数. 【答案】【小题1】 样本容量为8÷0.16=50， ∴“80≤𝑥<100”的频数为50−8−12−15−5=10， 据此数据补全频数分布直方图如图所示 【小题2】 C 【小题3】 ∵15+10+550=0.60(或0.30+0.20+0.10=0.60)，∴750×0.60=450(人). 答：该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60min的学生人数约为450 【解析】1. 略 2. 略 3. 略 21.（8分）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米.甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行.图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离米与行走时间分钟的函数关系图象. 求OA所在直线的表达式； 出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ 甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离. 【答案】解：由图象可知，OA所在直线为正比例函数， 设， ， ，， 所在直线的表达式为 由图可知甲机器人速度为：米/分钟， 乙机器人速度为：米/分钟， 两人相遇时：分钟， 答：出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇． 设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离为200t， 则乙机器人分钟后到P地，P地与M地距离， 由，解得， ， 答：P，M两地间的距离为600米．  【解析】利用待定系数法，将代入解析式中，求出答案； 俩机器人相向而行，同时出发，相遇时两人路程应为MN的长度，列出方程即可； 设甲到P地时间为t分钟，乙到P地时间为分钟，分别求出两人到P地时，与M的距离，列出方程，解出答案． 本题以一次函数综合运用为背景，考查了学生在函数中数形结合的能力，此类题目的关键是弄懂题意，求出每个人的速度，明确相向而行时相遇时两人的路程和等于总路程，进而求解． 22.（9分）【模型提出】如图①，已知线段AB的长度为4，在线段AB所在直线外有一点C，且，想确定满足条件的点C的位置，可以以AB为底边构造一个等腰直角三角形AOB，再以点O为圆心，OA长为半径画圆，则点C在的优弧ACB上.即：若线段AB的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型. 【模型应用】如图②，在正方形ABCD中，，点E、F分别是边BC、CD上的动点，，连结AE、BF，AE与BF交于点 求证：； 点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； 若点I是的内心，连结CI，则线段CI的最小值为______. 【答案】证明见解析；  𝜋；  2 10−2 2.  【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐵𝐶𝐹=90∘ 在△𝐴𝐵𝐸和△𝐵𝐶𝐹中， 𝐴𝐵=𝐵𝐶∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐵𝐶𝐹𝐵𝐸=𝐶𝐹， ∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆). ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐵𝐹. ∵∠𝐶𝐵𝐹+∠𝐴𝐵𝐹=90∘， ∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐴𝐵𝐹=90∘ ∴∠𝐴𝐺𝐵=90∘. ∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐹； (2)解：连接AC，BD，它们交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝑂𝐵=90∘. 由(1)知：∠𝐴𝐺𝐵=90∘， ∴点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径为以AB为直径的圆中的14的圆周长𝐵𝑂，如图， ∴点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为14×2𝜋×2=𝜋. 故答案为：𝜋； (3)解：∵∠𝐴𝐵𝐺=90∘，点I是△𝐴𝐵𝐺的内心， ∴∠𝐴𝐼𝐺=135∘， ∴点I在以AB为弦，所含圆周角为135∘的劣弧上运动，如图， 设这个劣弧的圆心为O，连接OA，OB，过点O作𝑂𝑀⊥𝐵𝐶，交CB的延长线于点M， ∵∠𝐴𝐼𝐵=135∘， ∴∠𝐴𝑂𝐵=90∘， ∴△𝑂𝐴𝐵为等腰直角三角形， ∴𝑂𝐴=𝑂𝐵= 22𝐴𝐵=2 2. ∵∠𝐴𝐵𝑀=90∘，∠𝐴𝐵𝑂=45∘， ∴∠𝑂𝐵𝑀=45∘， ∴△𝑂𝑀𝐵为等腰直角三角形， ∴𝑀𝐵=𝑂𝑀= 22𝑂𝐵=2， ∴𝐶𝑀=𝐵𝐶+𝑀𝐵=6. 当点O，I，C三点在一条直线上时，CI取得最小值=𝑂𝐶−𝑂𝐼. ∵𝑂𝐶= 𝑂𝑀2+𝑀𝐶2=2 10，𝑂𝐼=𝑂𝐴=2 2， ∴𝐶𝐼的最小值=2 10−2 2. 故答案为：2 10−2 2. (1)利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质解答即可； (2)利用模型得到点G经过的路径为以AB为直径的圆中的14的圆周长𝐵𝑂，再利用弧长公式解答即可； (3)利用模型得到点I在以AB为弦，所含圆周角为135∘的劣弧上运动，画出该圆，设这个劣弧的圆心为O，连接OA，OB，过点O作𝑂𝑀⊥𝐵𝐶，交CB的延长线于点M，利用等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理解答即可． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，点的轨迹，圆的有关计算，本题是阅读型题目，利用已知的模型解答是解题的关键． 23.（10分）如图，点C在线段AB上，，，动点P从点A出发，沿线段AB以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动；同时，动点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动.当点P到达终点时，点Q也随之停止运动. 设点P的运动时间为t秒. 线段AB的长为______. 当点P与点Q相遇时，求t的值. 当点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，求t的值. 当时，直接写出t的值. 【答案】14  【解析】解：(1)∵点C在线段AB上，𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=11， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐵𝐶=3+11=14， 故答案为：14. (2)依题意，𝐴𝑃=3𝑡，𝐵𝑄=2𝑡， 当点P与点Q相遇时3𝑡+2𝑡=14， 解得：𝑡=145； (3)相遇前点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，3𝑡+2𝑡+9=14， 解得：𝑡=1， 相遇前点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，则3𝑡+2𝑡−9=14， 解得：𝑡=235， 综上所述，当𝑡=1或𝑡=235时，点P与点Q之间的距离为9个单位长度； (4)∵𝐴𝐶=3， 当P在线段AC上时，0<𝑡≤1，此时𝑃𝐶=3−3𝑡， ∵𝑃𝐶+𝑄𝐵=2.5， ∴3−3𝑡+2𝑡=5.5， 解得：𝑡=−52(舍去) 当P在线段CB上时，𝑡>1，此时𝑃𝐶=3𝑡−3， ∵𝑃𝐶+𝑄𝐵=2.5， ∴3𝑡−3+2𝑡=5.5， 解得：𝑡=1710， ∴𝑡=1710. (1)根据𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐵𝐶即可求解； (2)依题意，𝐴𝑃=3𝑡，𝐵𝑄=2𝑡，根据点P与点Q相遇时3𝑡+2𝑡=14，解方程即可求解； (3)分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解； (4)分点P在线段AC上和线段CB上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解． 本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 24.（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，，点A、B是该抛物线与x轴的交点在B的左侧，点P是该抛物线上一点，横坐标为 求该抛物线所对应的函数表达式； 连结CP、CB，当时，求证：； 设抛物线在B、P两点之间的部分含B、P两点为图象G，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为4，求m的取值范围； 连结CP、CB、AC，当时，直接写出m的值. 【答案】抛物线的解析式为  证明：当时，， ， ， 当时，， 解得， ， ，   或 或4  【解析】解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 证明：当时，， ， ， 当时，， 解得， ， ， 解：由题意可知顶点坐标为， 当时， 此时，，成立； 当时， ，， ， ， 解得，舍； 综上，或； ①当点P在BC上方时，作点A关于y轴对称点，则， 则， ， 过作交CP延长线于点G， 则为等腰直角三角形， ， 过G作轴于点H，则， ， ≌， ，， ， 由点、可得直线CG表达式为， 令， 解得舍去或， ； ②当点P在BC下方时， 此时则有， 过A作交CP于点K， 则为等腰直角三角形， 同理可得， 直线CG解析式为， 令， 解得舍去或， ； 综上，m的值为或 直接将点A、C坐标代入即可； 由题意知，进而可得，据此得证； 根据图象明显可知点P在点A左侧时，最值之差大于4，不合题意，点P在B和顶点之间时，最值只差小于4，不合题意；则分两种情况讨论即可； 分两种情况讨论：当点P在BC上方时，作点A关于y轴对称点，易得，再构造一线三垂直全等可得直线CP解析式，进而联立二次函数解析式求出m值；当点P在BC下方时，易得，同理可求m值． 本题主要考查了求抛物线解析式、二次函数的图象和性质、二次函数最值问题、二次函数角度关系处理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第20页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $