江苏省南京市中华中学2025-2026学年高三上学期数学周测卷（1月7日）

南京市中华中学2025—2026学年高三年级上学期数学周测卷（1月7日） 时间:120分钟 满分:150分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的实部为（    ） A． B． C． D． 2．设是锐角，，则（ ） A． B． C． D． 3．若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在《航拍中国》江西篇中，摄制组的飞机飞过庐山西海时，一座天然的爱心形状岛屿格外吸引眼球.下图左边是庐山西海这座岛屿的地图，其形状如一颗爱心．右边是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A． B． C． D． 5．已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 7．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知函数的图象关于点对称，则函数的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某地区为提升农民亩收入（单位：万元），引进了新型的种植技术，通过抽样调查后发现引进新型种植技术之前农民每亩地的年收入X近似服从正态分布，引进之后每亩地的年收入近似服从正态分布，已知的正态密度曲线的峰值高于的正态密度曲线的峰值（如图），则（    ） A． B． C． D． 10．在斜三角形中，内角所对的边分别为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．三角形为钝角三角形 C．若，且，则 D． 11．如图，在矩形中，，，分别为，的中点．现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（   ） A．三棱锥体积的最大值为 B．三棱锥外接球半径为 C．存在某个位置使 D．直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．某班5位同学参加3项跑步比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则不同的报名方法有 种. 13．已知数列的前项和为，且满足，则 . 14．已知双曲线，其左右焦点分别为，，点在第一象限，且在双曲线右支上，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为 ． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤． 15．(本小题13分) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin(C＋)＝． (1)求A； (2)若D为边BC上一点，BD＝2DC，AD＝6，AD平分∠BAC，求a． 16．(本小题15分) 体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下：    (1)估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数; (2)若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”， （i）采用分层抽样抽取8人，再在这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为Y，求Y的分布列和数学期望; （ii）现从样本中有放回地抽取n次，每次抽取1人，若希望至少抽到1名运动积极型学生的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：） 17．(本小题15分) 设正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＝2，a＝2Sn＋n＋1． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，对任意n∈N*，≥2n2－5n－7恒成立，求实数λ的取值范围． 18．(本小题17分) 已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)若为的右焦点，求的面积的最小值； (3)若，求的取值范围． 19．(本小题17分) 设函数. (1)若，证明：当时，； (2)若，证明：； (3)若存在，使得当且仅当时，，求的取值范围. 试卷第10页，共17页 试卷第11页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市中华中学2025—2026学年高三年级上学期数学周测卷（1月7日） 时间:120分钟 满分:150分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的实部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．设是锐角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 3．若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4．在《航拍中国》江西篇中，摄制组的飞机飞过庐山西海时，一座天然的爱心形状岛屿格外吸引眼球.下图左边是庐山西海这座岛屿的地图，其形状如一颗爱心．右边是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 5．已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，而， 则 ， 当且仅当，时取等号， 由，解得， 所以当时，的最小值为. 6．已知数列满足，设，则数列的前2026项和为（　　） A． B． C． D．506 【答案】A 【详解】因为数列满足， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， ， ，所以， 又的最小正周期，一个周期内的和为，， 所以. 7．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是内一点，且，所以O为的重心 在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 ，所以，即 当M与C重合时，最大，此时， 所以，即 因为在内且不含边界，所以取开区间，即 8．已知函数的图象关于点对称，则函数的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】函数，由，得或， 而，则， 即是函数图象的对称中心，， 函数在上单调递减，而在上单调递增， 则函数在上单调递减，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，当从大于2的方向趋近于2时，， ，则函数在上有唯一零点， 由对称性知函数在有唯一零点，两个零点和为2， 所以函数的零点之和为2. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某地区为提升农民亩收入（单位：万元），引进了新型的种植技术，通过抽样调查后发现引进新型种植技术之前农民每亩地的年收入X近似服从正态分布，引进之后每亩地的年收入近似服从正态分布，已知的正态密度曲线的峰值高于的正态密度曲线的峰值（如图），则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由正态密度曲线的对称性得，故A正确，B错误； 由图像可知正态密度曲线的峰值越高，则方差越小，得，故，故C正确. 因为的方差更小，所以其正态密度曲线右侧下降速度更快，当取足够大的正数时， 有，则，即，故D错误. 10．在斜三角形中，内角所对的边分别为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．三角形为钝角三角形 C．若，且，则 D． 【答案】BC 【详解】根据题意，，因，则， 所以或， 因为为三角形的内角，则或， 因为三角形为斜三角形，，，即角为钝角，故B正确； 则，故A错误； 若，因，则，代入可得， 即，即， 解得或（舍）， 则，正弦定理，可得，得，故C正确； 由于，，可得， 则， 设，且， 则， 因为，故D错误. 11．如图，在矩形中，，，分别为，的中点．现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（   ） A．三棱锥体积的最大值为 B．三棱锥外接球半径为 C．存在某个位置使 D．直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为 【答案】BD 【详解】对于A，当平面平面时，点到平面的距离最大， 又，所以此时三棱锥的体积最大， 在中，由等面积法可得高， 所以三棱锥体积的最大值为，故A错误； 对于B，在翻折的过程中，和都是直角三角形， 所以两个三角形的外接圆圆心都在的中点处，故三棱锥外接球球心为的中点，半径为，故B正确； 对于C，如图，在矩形中连接，由，所以，则， 假设存在某个位置使，又平面，且， 所以平面，又平面， 所以，又，平面，， 所以平面， 又平面，故，即， 这与矛盾，故不成立，故C错误； 对于D，因为球心为的中点，连接，所以， 又因为直线被三棱锥外接球截得的线段长为，其中为球心到直线的距离， 所以的长度和二面角的大小有关，夹角越大，线段越长. 当二面角大小接近时，直线被球截得的线段长最长，趋于直径， 当二面角大小接近时，直线被球截得的线段长最短， 如图翻折后，此时，则， 所以，则，又，， 所以此时直线被球截得的线段长， 综上，直线被球截得的线段长的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．某班5位同学参加3项跑步比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则不同的报名方法有 种. 【答案】 【详解】设报1项的同学有人，报2项的同学有人， 由题意有：5位同学每人报名1项或2项，3个项目每个项目恰有2人报名，总报名名额为， 所以，即恰好有1人报2项，其余4人各报1项， 第一步：先选报2项的同学有种选法， 第二步：选该同学报的2个项目有种选法，假设选的项目是和， 则项目各已有1人，还需各1人，项目还需要2人， 第三步：分配剩余4人，从4人中选1人去项目有种选法，选1人去项目有种选法， 剩余的2人去项目有种选法，共有种选法， 根据分步乘法计数原理有：种选法. 13．已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】350或357 【详解】当为奇数时，，则， 数列的项依次为， 数列是周期为3的数列，所以； 当为偶数时，，则， 数列的项依次为， 数列是首项为8，从第2项起周期为3的数列， 所以. 14．已知双曲线，其左右焦点分别为，，点在第一象限，且在双曲线右支上，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为 ． 【答案】32 【详解】如图： 由题可知， 化简得，即. 因为，所以，所以， 所以双曲线， 设点，则点P在以O为圆心，c为半径的圆上， 所以点P的坐标满足， 解得，即. 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. 当点在第一象限时， 联立，得， 所以或， 所以.所以， 所以直线的斜率为. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤． 15．(本小题13分) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin(C＋)＝． (1)求A； (2)若D为边BC上一点，BD＝2DC，AD＝6，AD平分∠BAC，求a． 【详解】（1）由2sin(C＋)＝及正弦定理得sinC＋cosC＝， ∴sinAsinC＋sinAcosC＝sinB＋sinC＝sin(A＋C)＋sinC， ∴sinAsinC＝cosAsinC＋sinC， ∵C∈(0，π)，sinC≠0，∴sinA－cosA＝1，即2sin(A－)＝1sin(A－)＝， 又∵A∈(0，π)，A－∈(－，)， ∴A－＝，∴A＝； ...............6分 （2）由题可知CD＝，BD＝，∠CAD＝∠BAD＝， 在△ACD，△ABD中由正弦定理得＝①，＝②， ①÷②得＝＝，即c＝2b． ...............8分 又S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，∴bc×sin＝×6×b·sin＋×6×c×sin， ∴bc＝6b＋6c，∴2b2＝6b＋12b，∴b＝3， ...............11分 ∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4b2－4b2×＝3b2， ∴a＝b＝9． ...............13分 16．(本小题15分) 体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下：    (1)估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数; (2)若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”， （i）采用分层抽样抽取8人，再在这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为Y，求Y的分布列和数学期望; （ii）现从样本中有放回地抽取n次，每次抽取1人，若希望至少抽到1名运动积极型学生的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：） 【详解】（1）由题意可得这100名学生日均体育锻炼时长的平均数为：直方图中每个小矩形底边中点乘以每个矩形面积的和， （分钟）...4分 （2）（i）由直方图可得日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生占的比例为， 分层抽样抽取的8人中运动积极型学生有人，其他2人， 由题意可知：Y的可能取值有1，2，3， 则，，， 故Y的分布列为 Y 1 2 3 P 所以数学期望； ...............10分 （ii）由题意可知：每次抽到1名运动积极型学生的概率为， 可得，即， 两边取对数可得，即， 可得， 故至少需抽3次. ...............15分 17．(本小题15分) 设正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＝2，a＝2Sn＋n＋1． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，对任意n∈N*，≥2n2－5n－7恒成立，求实数λ的取值范围． 【详解】（1）因为a＝2Sn＋n＋1，所以a＝2Sn－1＋(n－1)＋1，n≥2， 两式相减可得a－a＝2an＋1，n≥2，即a＝(an＋1)2，n≥2， 又数列{an}的各项为正数，所以an＋1＝an＋1，n≥2， 且a2＝2，a＝2a1＋2，解得a1＝1，所以n＝1上式也成立， 即数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以an＝1＋(n－1)×1＝n ...............5分 （2）由（1）可知，an＝n，则bn＝＝＝－，...............6分 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－) ＝1－， ...............8分 所以1－Tn＝1－1＋＞0， 由≥2n2－5n－7可得λ≥(2n2－5n－7)(1－Tn)， 即λ≥(2n－7)(n＋1)·＝， ...............10分 令Bn＝，则λ≥(Bn)max即可， 当1≤n≤3时，Bn＜0， 当n≥4时，由Bn＋1－Bn＝－＝， 当n＝4时，B5－B4＝＞0，所以B5＞B4， 当n≥5时，Bn＋1－Bn＜0，即Bn＋1＜Bn，所以B5＞B6＞B7＞…， 所以B5为{Bn}中的最大值，且B5＝＝，所以λ≥， 即λ的取值范围为[，＋∞). ...............15分 18．(本小题17分) 已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)若为的右焦点，求的面积的最小值； (3)若，求的取值范围． 【详解】（1）由双曲线方程可得渐近线方程为， 两条渐近线的倾斜角分别为， 所以两条渐近线的夹角为； ...............3分 （2）由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 所以， 所以当时，取最大值，此时面积最小， 即； . ..............9分 （3） 由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 联立，消去得：， 所以， 由，得， 所以 所以， 即， 即， 即，因为，所以， 又P、Q两点在的右支上，所以，， 所以. ...............17分 19．(本小题17分) 设函数. (1)若，证明：当时，； (2)若，证明：； (3)若存在，使得当且仅当时，，求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，故， 所以在区间上单调递减，所以，即. ...............3分 （2）证法一：当时，. 当时，，此时； 设，则， 当时，，当且仅当时取等号， 故在区间上单调递减， 又，因此存在唯一的，使得， 即，即， 且当时，，当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减. 由. 由且，得. 故， 要证等价于证明，即证. 因为，所以，不等式成立， 即得证 . ...............8分 解法二：由（1）知当时，， 当时，，所以， 所以在区间上恒成立， 所以当时，， 由于前面的等号在处取到，后面的等号在处取到， 所以，即. （3）设，不等式等价于， 故题目等价于：对所有恒成立，且对所有恒成立， 由于的图象是一条连续不断的曲线， 故由所有恒成立可知必有， 由对所有恒成立可知必有，故. 现求时满足条件的的范围. ① 当时，， 故在区间上单调递减.则在区间内的最大值为， 因此在区间上恒成立，满足条件； ②当时，，即，记，则， 当时，，故，则在区间上单调递减， 又，故在区间上先递增再递减， 也即在区间上的最小值在或处取得. 又，故在区间上的最小值只能是0或. 要使在上恒成立，需使，解得. 综上，要存在使题设成立，必须满足. 又，当时，. 故的取值范围是. . ..............17分 试卷第10页，共17页 试卷第11页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $