数学一模保分卷05（全国二卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为.故选：D 2．已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 【答案】B 【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故， 展开式中的系数为，故选：B 3．下列关于复数的命题错误的是（   ） A．复数的虚部是1 B．的共轭复数的模为2 C．方程的两根之和不等于 D．满足方程的 【答案】C 【详解】对于A，复数，虚部是1，故A正确； 对于B， 的共轭复数为，模为，故B正确； 对于C， 方程的两根之和为，故C错误； 对于D， ，则，故D正确.故选：C 4．（新情景）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的方程为，即为， 可知直线经过点且以向量为方向向量， 可得，所以点到距离为.故选：B. 5．（热点）在人工智能模型训练中，为避免模型后期震荡，常采用指数学习率衰减策略，学习率与训练轮次T满足公式（其中是初始学习率，k是衰减系数）．已知当训练轮次时，学习率降至初始学习率的；当训练轮次时，学习率为；当训练轮次时，学习率为，那么约为（   ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【详解】由学习率与训练轮次T满足公式， 当时，学习率降至初始学习率的，可得， 即，两边取对数，可得，所以， 当时，可得； 当时，可得，所以.故选：A. 6．设，，，则下列说法错误的为（   ） A． B．为奇函数 C． D．， 【答案】C 【详解】由题可得：, 所以，故A正确； ,由于为奇函数，所以为奇函数，故B正确； 由于,而与不相等，故C错误； 当时，，则，故D正确；故选：C 7．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【答案】C 【详解】因为正方体棱长为，所以内切球的半径（内切球直径等于正方体棱长）, 对于球：球与正方体的三个面相切，故其球心坐标为； 球与球相切，两球心距离为，该距离等于， 由此得到递推关系：，整理得， 所以是首项，公比的等比数列. 对于A：，A正确；对于B：以上已证明，B正确； 对于C：等比数列前项和，因为， 所以，所以，C错误； 对于D：球的体积，， 因为是首项为，公比为的等比数列， 所以 所以，D正确；故选：C. 8．（改编题）已知实数满足，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，变形为. 令，，.则不等式变为. 因，当，；当，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数. 又，当时，，；当，，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数. 又因为成立，且，. 所以只能是，所以，解得，所以.故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（新情景）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为偶图.下列四个图为偶图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，A正确. 对于选项B，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，B正确. 对于选项C，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点在一个子集内，这显然不符合偶图的定义，C错误. 对于选项D，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，D正确. 故选：ABD 10．已知苗圃中树苗的高度服从正态分布，现从苗圃中随机抽取了100棵树苗进行高度统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，将样本频率当作概率，则下列结论正确的是（    ） A．， B．树苗高度的下四分位数的估计值为105 C．若从高度位于第一组和第七组的样本树苗中随机抽取2棵，记他们的高度分别为，，则的概率为 D．已知落在的平均高度是88，方差是8，落在的平均高度为96，方差是4，则两组树苗合并后的方差为17 【答案】ACD 【详解】由频率和为1可得：，解得：； 利用中点值来估计平均数：，故A正确； 树苗高度的下四分位数，即分位数，设下四分位数为， 则，解得：， 即树苗高度的下四分位数的估计值为，故B错误； 根据频率可计算高度位于第一组和第七组的样本树苗各有棵， 从这10棵树苗中随机抽取2棵，记他们的高度分别为，，则的概率，故C正确； 已知落在的平均高度是88，方差是8，落在的平均高度为96，方差是4， 由频率分布直方图可知：两组树苗落在和的频率分别为， 可得这两组树苗合并后的平均数为：， 根据分层计算的方差公式， 可得：，故D正确；故选：ACD 11．三棱锥中，，，两两垂直，且，设空间中一动点到点的距离是到直线的距离的两倍，记的运动轨迹为，则（   ） A．点可能在直线上 B．若在内（包含边界），则的长度为 C．用平行于底面的平面截，所得的曲线恒为圆 D．若在平面内，则直线上存在一点，使得恒成立 【答案】ACD 【详解】因为，，两两垂直，所以以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，,,，设， 则到点的距离是到直线的距离的两倍可表示为， 整理得. 选项A：直线PB上任意一点可表示为，代入，可得， 可得，故存在实根，故存在这样的位于直线PB上，故A正确； 选项B：若在内，则令，所以， 设圆与底面坐标轴的交点为，令，解得，令，解得，圆心， 则，，则，，设圆在底面ABC内的部分的圆心角为， 则，而，可得， 该圆在底面ABC内的部分为圆心角为的圆弧，弧长为，故B错误； 选项C：用平行于底面ABC的平面截，则始终为一定值，故， 所以所得的曲线在过点且平行于底面ABC的平面上， 是恒以为圆心，为半径的圆，故C正确； 选项D：若在平面PAC内，则令，得到， 故是在平面PAC内以为中心，实轴长为4，焦距为8的双曲线， 故恰好为双曲线的焦点，所以存在轴上的一点， 使得恒成立，故D正确.故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．平面向量满足，，则的值为 【答案】 【详解】由可得， 又，所以，所以 所以.故答案为： 13．设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P.现有下列三组函数： ①，；②，；③，． 其中具有性质P的是 .（填序号） 【答案】① 【详解】对于①：函数和定义域均为R，且存在使得， 所以函数和在R上具有性质P；对于②：函数和定义域均为R， 如图，函数与图象关于x轴对称，与图象只有一个交点， 所以只存在一个实数使得，所以函数和在R上不具有性质P； 对于③：与定义域均为R， 令，所以上切线斜率为的切点为， 所以该点处切线方程为，该切线与平行， 又， 所以，所以，所以， 所以该切线在y轴上的截距为， 所以该切线在直线上方，所以直线与函数图象没有交点， 又直线与关于x轴对称， 所以不存在实数x，使得，则函数和在R上不具有性质P.故答案为：① 14．直线恒与圆相切，则圆的方程为 ，若过双曲线的左焦点，交双曲线的右支于点，双曲线的右焦点为，三角形的面积为，则 ． 【答案】 【详解】因为原点到直线的距离为， 所以，直线与圆心为原点，半径为的圆恒相切，故圆的方程为， 因为为的中点，则，则， 不妨设点位于第一象限，则，， 则 ，可得， 又因为，可得，即点，其中， 因为，整理可得， 解得，则，故.故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1)(2). 【详解】（1）选①在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得：，又，因此， 又，所以（3分） 选②由，得， 因为，所以，又，所以.（3分） 选③由，得到， 所以，又，所以.（3分） 根据余弦定理， 得.即，整理得. 解得或（舍去）.所以.（6分） （2）由，得，， 因为，则，，（8分） 所以， ，（10分） 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为.（13分） 16．（15分）体育赛事中，常有“局胜制”、“局胜制”、、“局胜”制，．现有甲、乙两队比赛，甲获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，且无平局．为鼓励提高比赛水平及厂商的广告需要，比赛结束后参加一项抽奖活动．箱中共有张奖券，其中有张奖券金额各万元，另外张奖券无奖金．若赛完，某队某场获胜且每局都赢，则由该队在该箱中一次性抽张奖券，而另一队不参与抽奖；若赛完，某场比赛的局数中各有输赢，则先由甲队任取张后，再由乙队从余下奖券中任抽张． (1)当，时，求甲获胜的概率； (2)当，时，求乙队获得奖金金额（万元）的分布列与期望； (3)在“局胜”制比赛中，随着增大，甲、乙谁获胜的可能性更大？证明你的结论． 【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)答案见解析. 【详解】（1）当，时，即采用局胜制， 设甲获胜为事件，则甲前两局都赢，或者甲第三局赢，前两局赢一局输一局， 则． （2）甲全胜的概率为：，乙全胜的概率为：， 各有输赢的概率为：，所以的所有可能值为、、， ， ， ， 所以，随机变量的分布列如下： 所以． （3）设局胜制中，甲的获胜概率为，可分为以下三类： 当时，①局中甲获胜的概率为：； ②局中胜局且后续局至少胜局的概率为：； ③局中胜局且后续局全胜的概率为：． 所以， 所以， 令，则，，所以单调递增， 由，得，，且组合数与概率项均为正，故，即单调递增， 当时，甲最终获胜的可能性更大； 当时，，，即甲、乙最终获胜的可能性一样大； 当时，得，，且组合数与概率项均为正，故，即单调递减， 则当时，乙最终获胜的可能性更大． 17．（15分）如图，将四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形ABCDE，其中.连接，过点作平面，满足. (1)证明：. (2)若，且. （i）求AC到平面的距离与BD到平面的距离的平方和； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii） 【详解】（1）取AC的中点，连接BM，DM. 因为为AC的中点，所以， 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以.（4分） （2）（i）连接EM，因为，所以，由（1）知平面， 则四点共面.结合题意知，可得， 在四边形EBMD中，，根据对称性，可知EM垂直平分. 因为，所以在平面内存在点F，G，使得， 则，平面，即得平面（6分） 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设，直线AC到平面的距离为到平面的距离为，则.（7分） 因为，所以解得， 故AC到平面的距离与BD到平面的距离的平方和为.（9分） （ii）设平面的法向量为，而， 则，即，取. （11分） 设平面AEB与平面的夹角为，取平面的一个法向量为，（13分） 则，故平面AEB与平面夹角的余弦值为（15分） 18．（17分）已知是椭圆：的右焦点，定点，直线被椭圆截得的线段的中点恰在直线上 (1)求的标准方程； (2)过F作斜率为k的直线，与交于A，B两点，其中A在x轴上方，，T为上一点，且平分，求的取值范围； (3)P，Q为曲线上两个动点，且平分，证明：直线过定点，并求出该定点. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析，定点 【详解】（1）由题意可知：直线：，即，斜率， 设直线与椭圆的交点为，    则，，即， 因为M，N在椭圆上，则， 两式相减得，整理得， 即，可得，且，即，解得，， 所以椭圆的方程为.（4分） （2）由题意可知：直线与椭圆必相交，且，    设，，，， 设，直线的方程为，其中，（5分） 将直线与椭圆方程联立，消去x得， 由韦达定理得：，，（6分） 则，可得， 因为，则，可得， 且，则，解得，所以的取值范围为.（10分） （3）设，，则，，，    且（12分） 同理可得， 由题意可得：，即，（14分） 两边同时减2得，即，故P，Q和三点共线， 所以直线必过定点.（17分） 19．（17分）已知函数() (1)讨论函数的单调性 (2)若函数存在两个零点，求证:； (3)已知数列的前项和为，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数，使得对任意正整数，均有，求的最大值. 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)5 【详解】（1）对求导有（）， ①当时，，故在单调递减；（2分） ②当时，由；由. 所以在单调递减，在单调递增.（4分） （2），令，则有， 由；由. 所以在上单调递增，在单调递减．（6分） 若函数存在两个零点，则不妨有，且有， 要证，即证，即证，即证， 即证，等价于， 令（）， （8分） 则有， 令，则有，则， 所以在上单调递增，所以，得证.（10分） （3），当时，符合，所以. 设公比为，则有，即恒成立，则， 对任意，均有，即（时）恒成立．（12分） 分别令，，则，所以在上单调递增，在单调递减， ，令，则，（14分） 当时，，所以在上单调递减. 所以，故，所以在上单调递减.（15分） ①当时：，解得， ②当时：，解得（不成立）， 所以的最大值为．（17分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) a 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C B A C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】 13．【答案】① 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【答案】(1)(2). 【详解】（1）选①在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得：，又，因此， 又，所以（3分） 选②由，得， 因为，所以，又，所以.（3分） 选③由，得到， 所以，又，所以.（3分） 根据余弦定理， 得.即，整理得. 解得或（舍去）.所以.（6分） （2）由，得，， 因为，则，，（8分） 所以， ，（10分） 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为.（13分） 16．（15分） 【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)答案见解析. 【详解】（1）当，时，即采用局胜制， 设甲获胜为事件，则甲前两局都赢，或者甲第三局赢，前两局赢一局输一局， 则． （2）甲全胜的概率为：，乙全胜的概率为：， 各有输赢的概率为：，所以的所有可能值为、、， ， ， ， 所以，随机变量的分布列如下： 所以． （3）设局胜制中，甲的获胜概率为，可分为以下三类： 当时，①局中甲获胜的概率为：； ②局中胜局且后续局至少胜局的概率为：； ③局中胜局且后续局全胜的概率为：． 所以， 所以， 令，则，，所以单调递增， 由，得，，且组合数与概率项均为正，故，即单调递增， 当时，甲最终获胜的可能性更大； 当时，，，即甲、乙最终获胜的可能性一样大； 当时，得，，且组合数与概率项均为正，故，即单调递减， 则当时，乙最终获胜的可能性更大． 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii） 【详解】（1）取AC的中点，连接BM，DM. 因为为AC的中点，所以， 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以.（4分） （2）（i）连接EM，因为，所以，由（1）知平面， 则四点共面.结合题意知，可得， 在四边形EBMD中，，根据对称性，可知EM垂直平分. 因为，所以在平面内存在点F，G，使得， 则，平面，即得平面（6分） 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设，直线AC到平面的距离为到平面的距离为，则.（7分） 因为，所以解得， 故AC到平面的距离与BD到平面的距离的平方和为.（9分） （ii）设平面的法向量为，而， 则，即，取. （11分） 设平面AEB与平面的夹角为，取平面的一个法向量为，（13分） 则，故平面AEB与平面夹角的余弦值为（15分） 18．（17分） 【答案】(1)(2)(3)证明见解析，定点 【详解】（1）由题意可知：直线：，即，斜率， 设直线与椭圆的交点为，    则，，即， 因为M，N在椭圆上，则， 两式相减得，整理得， 即，可得，且，即，解得，， 所以椭圆的方程为.（4分） （2）由题意可知：直线与椭圆必相交，且，    设，，，， 设，直线的方程为，其中，（5分） 将直线与椭圆方程联立，消去x得， 由韦达定理得：，，（6分） 则，可得， 因为，则，可得， 且，则，解得，所以的取值范围为.（10分） （3）设，，则，，，    且（12分） 同理可得， 由题意可得：，即，（14分） 两边同时减2得，即，故P，Q和三点共线， 所以直线必过定点.（17分） 19．（17分） 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)5 【详解】（1）对求导有（）， ①当时，，故在单调递减；（2分） ②当时，由；由. 所以在单调递减，在单调递增.（4分） （2），令，则有， 由；由. 所以在上单调递增，在单调递减．（6分） 若函数存在两个零点，则不妨有，且有， 要证，即证，即证，即证， 即证，等价于， 令（）， （8分） 则有，令，则有，则， 所以在上单调递增，所以，得证.（10分） （3），当时，符合，所以. 设公比为，则有，即恒成立，则， 对任意，均有，即（时）恒成立．（12分） 分别令，，则，所以在上单调递增，在单调递减， ，令，则，（14分） 当时，，所以在上单调递减. 所以，故，所以在上单调递减.（15分） ①当时：，解得， ②当时：，解得（不成立）， 所以的最大值为．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 2．已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 3．下列关于复数的命题错误的是（   ） A．复数的虚部是1 B．的共轭复数的模为2 C．方程的两根之和不等于 D．满足方程的 4．（新情景）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（   ） A． B． C． D． 5．（热点）在人工智能模型训练中，为避免模型后期震荡，常采用指数学习率衰减策略，学习率与训练轮次T满足公式（其中是初始学习率，k是衰减系数）．已知当训练轮次时，学习率降至初始学习率的；当训练轮次时，学习率为；当训练轮次时，学习率为，那么约为（   ） A． B． C．10 D． 6．设，，，则下列说法错误的为（   ） A． B．为奇函数 C． D．， 7．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 8．（改编题）已知实数满足，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（新情景）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为偶图.下列四个图为偶图的是（   ） A． B． C． D． 10．已知苗圃中树苗的高度服从正态分布，现从苗圃中随机抽取了100棵树苗进行高度统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，将样本频率当作概率，则下列结论正确的是（    ） A．， B．树苗高度的下四分位数的估计值为105 C．若从高度位于第一组和第七组的样本树苗中随机抽取2棵，记他们的高度分别为，，则的概率为 D．已知落在的平均高度是88，方差是8，落在的平均高度为96，方差是4，则两组树苗合并后的方差为17 11．三棱锥中，，，两两垂直，且，设空间中一动点到点的距离是到直线的距离的两倍，记的运动轨迹为，则（   ） A．点可能在直线上 B．若在内（包含边界），则的长度为 C．用平行于底面的平面截，所得的曲线恒为圆 D．若在平面内，则直线上存在一点，使得恒成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．平面向量满足，，则的值为 13．设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P.现有下列三组函数： ①，；②，；③，． 其中具有性质P的是 .（填序号） 14．直线恒与圆相切，则圆的方程为 ，若过双曲线的左焦点，交双曲线的右支于点，双曲线的右焦点为，三角形的面积为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 16．（15分）体育赛事中，常有“局胜制”、“局胜制”、、“局胜”制，．现有甲、乙两队比赛，甲获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，且无平局．为鼓励提高比赛水平及厂商的广告需要，比赛结束后参加一项抽奖活动．箱中共有张奖券，其中有张奖券金额各万元，另外张奖券无奖金．若赛完，某队某场获胜且每局都赢，则由该队在该箱中一次性抽张奖券，而另一队不参与抽奖；若赛完，某场比赛的局数中各有输赢，则先由甲队任取张后，再由乙队从余下奖券中任抽张． (1)当，时，求甲获胜的概率； (2)当，时，求乙队获得奖金金额（万元）的分布列与期望； (3)在“局胜”制比赛中，随着增大，甲、乙谁获胜的可能性更大？证明你的结论． 17．（15分）如图，将四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形ABCDE，其中.连接，过点作平面，满足. (1)证明：. (2)若，且. （i）求AC到平面的距离与BD到平面的距离的平方和； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）已知是椭圆：的右焦点，定点，直线被椭圆截得的线段的中点恰在直线上 (1)求的标准方程； (2)过F作斜率为k的直线，与交于A，B两点，其中A在x轴上方，，T为上一点，且平分，求的取值范围； (3)P，Q为曲线上两个动点，且平分，证明：直线过定点，并求出该定点. 19．（17分）已知函数() (1)讨论函数的单调性 (2)若函数存在两个零点，求证:； (3)已知数列的前项和为，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数，使得对任意正整数，均有，求的最大值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 2．已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 3．下列关于复数的命题错误的是（   ） A．复数的虚部是1 B．的共轭复数的模为2 C．方程的两根之和不等于 D．满足方程的 4．（新情景）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（   ） A． B． C． D． 5．（热点）在人工智能模型训练中，为避免模型后期震荡，常采用指数学习率衰减策略，学习率与训练轮次T满足公式（其中是初始学习率，k是衰减系数）．已知当训练轮次时，学习率降至初始学习率的；当训练轮次时，学习率为；当训练轮次时，学习率为，那么约为（   ） A． B． C．10 D． 6．设，，，则下列说法错误的为（   ） A． B．为奇函数 C． D．， 7．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 8．（改编题）已知实数满足，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（新情景）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为偶图.下列四个图为偶图的是（   ） A． B． C． D． 10．已知苗圃中树苗的高度服从正态分布，现从苗圃中随机抽取了100棵树苗进行高度统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，将样本频率当作概率，则下列结论正确的是（    ） A．， B．树苗高度的下四分位数的估计值为105 C．若从高度位于第一组和第七组的样本树苗中随机抽取2棵，记他们的高度分别为，，则的概率为 D．已知落在的平均高度是88，方差是8，落在的平均高度为96，方差是4，则两组树苗合并后的方差为17 11．三棱锥中，，，两两垂直，且，设空间中一动点到点的距离是到直线的距离的两倍，记的运动轨迹为，则（   ） A．点可能在直线上 B．若在内（包含边界），则的长度为 C．用平行于底面的平面截，所得的曲线恒为圆 D．若在平面内，则直线上存在一点，使得恒成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．平面向量满足，，则的值为 13．设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P.现有下列三组函数： ①，；②，；③，． 其中具有性质P的是 .（填序号） 14．直线恒与圆相切，则圆的方程为 ，若过双曲线的左焦点，交双曲线的右支于点，双曲线的右焦点为，三角形的面积为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 16．（15分）体育赛事中，常有“局胜制”、“局胜制”、、“局胜”制，．现有甲、乙两队比赛，甲获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，且无平局．为鼓励提高比赛水平及厂商的广告需要，比赛结束后参加一项抽奖活动．箱中共有张奖券，其中有张奖券金额各万元，另外张奖券无奖金．若赛完，某队某场获胜且每局都赢，则由该队在该箱中一次性抽张奖券，而另一队不参与抽奖；若赛完，某场比赛的局数中各有输赢，则先由甲队任取张后，再由乙队从余下奖券中任抽张． (1)当，时，求甲获胜的概率； (2)当，时，求乙队获得奖金金额（万元）的分布列与期望； (3)在“局胜”制比赛中，随着增大，甲、乙谁获胜的可能性更大？证明你的结论． 17．（15分）如图，将四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形ABCDE，其中.连接，过点作平面，满足. (1)证明：. (2)若，且. （i）求AC到平面的距离与BD到平面的距离的平方和； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）已知是椭圆：的右焦点，定点，直线被椭圆截得的线段的中点恰在直线上 (1)求的标准方程； (2)过F作斜率为k的直线，与交于A，B两点，其中A在x轴上方，，T为上一点，且平分，求的取值范围； (3)P，Q为曲线上两个动点，且平分，证明：直线过定点，并求出该定点. 19．（17分）已知函数() (1)讨论函数的单调性 (2)若函数存在两个零点，求证:； (3)已知数列的前项和为，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数，使得对任意正整数，均有，求的最大值. / 学科网（北京）股份有限公司 $