20.1 第1课时 勾股定理-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学习题课件(人教版·新教材)河北专版

该初中数学课件聚焦勾股定理，涵盖定理的认识、证明、计算及应用，通过梯形面积法、赵爽弦图等方式导入，从基础证明到变式计算，再到综合应用与微专题拓展，构建循序渐进的学习支架。 其亮点在于以“等面积法”和“赵爽弦图”培养数学思维中的推理能力与几何直观，设置分层练习（练基础、提升、素养）及探究性问题，如构造直角三角形求面积，助力学生发展创新意识与应用意识，教师可借助分层素材提升教学效率。

2 第二十章　勾股定理 20.1　勾股定理及其应用 第1课时　勾股定理 3 练基础 练提升 目 录 练素养 4 练基础 知识点1　勾股定理的认识及证明 1. 已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若∠C=90°，则△ABC中： （1）三个角之间的等量关系为___________________________________； （2）三条边之间的等量关系为______________. ∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180° a2+b2=c2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 5 2. 将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A，E，D在同一条直线上. （1）用不同的方法表示梯形ABCD的面积； 解：（1）方法一：∵∠A=∠D=90°，∴S梯形ABCD= =. 方法二：∵Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE=∠DEC. ∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠DEC+∠AEB=90°， ∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形. ∴S梯形ABCD=S△ABE+S△BEC+S△DEC= + + =ab+ 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 6 （2）利用（1）中的结论证明勾股定理. 解：（2）由（1）得 =ab+ ， ∴ = ， ∴a2+b2=c2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 7 3. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=4，则BC的长为 （　　） A. 5 B. C. 5或 D. 5或 【变式】　（易错题）若一直角三角形的两边长分别为8和6， 则第三边的长为 （　　） A. 10 B. 28 C. 10或28 D. 10或2 知识点2　利用勾股定理进行计算 B D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 8 4.（教材P26T3改编）如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（1，），则OA的长为 （　　） A. 1 B. 2 C. D. B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 9 5. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则AB2+AC2+BC2的值为________. 32 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 10 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC=________，AC=________. 2 2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 11 7.（教材P30T7改编）在△ABC中，∠C=90°，若AC=，AB=，则∠B=________. 45° 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 12 8. 如图，∠B=∠ACD=90°，AD=26，CD=24，BC=6，则AB的长为________. 8 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 13 9.（教材P25T1改编）已知在△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. （1）如果a=7，b=24，求c； （2）如果a∶c=1∶2，b=，求a，c. 解：（1）由勾股定理，得c===25. （2）∵a∶c=1∶2，∴设a=x，则c=2x. 由勾股定理，得x²+（）²=（2x）²，解得x=（负值舍去）， ∴a=，c=2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 14 练提升 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，那么AB边上的高CD为 （　　） A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D. B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 15 11. 用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形的斜边长为2，最短边长为1，则图中阴影部分的面积为 （　　） A. 1 B. 3 C. 4-2 D. 4+2 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 16 12. 如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=4，BC=3. 若将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使得AD=AB，且点D在射线AC上，则扩充后的△ABD的底边BD的长是________. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 17 13.（新趋势 过程性学习）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积. 学习小组经过交流，提出了“构造直角三角形”的解题思路，如下图. 请你按照他们的解题思路完成解答过程. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 18 解：如图，作AD⊥BC，垂足为D. 设BD=x，则CD=14-x. 在Rt△ABD和Rt△ACD中，分别应用勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-x2， AD2=AC2-CD2=132-（14-x）2， 故152-x2=132-（14-x）2，解得x=9. ∴AD==12. S△ABC= BC·AD= ×14×12=84. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 19 练素养 14.（原创题 探究性问题）我国古代数学家赵爽用教材第24页的方法证明了勾股定理. （1）王明阅读教材后发现“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的大正方形（如图1），可以用“等面积法”证明勾股定理：设直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，斜边长为c，则大正方形的面积可以表示为c2或4×ab+_________，进而可得a2+b2=c2. （b-a）2　 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 20 （2）爱动脑筋的王明又用这四个全等的直角三角形围成了另一个大的正方形（如图2），也能用“等面积法”证明勾股定理，请你帮助他完成证明过程. 解：（2）题图2中大正方形的面积可表示为（a+b）2或4×ab+c2， ∴（a+b）2=4×ab+c2， 整理得b2+a2+2ab=2ab+c2，∴a2+b2=c2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 21 【方法指导】在如图所示的“勾股树”中，由勾股定理可得a2+b2=c2，又S1=a2，S2=b2，S3=c2，由此得到面积关系S1+S2=S3. 微专题3　“勾股树”中的面积问题 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 22 【针对训练】 1. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为 （　　） A. 6 B. 5 C. 11 D. 16 A 解析：如图，由题意，得∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC. 在△ABC和△CDE中， ∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC=DE. ∴AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc， ∴Sc=Sb-Sa=11-5=6. 故选A. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 23 2. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，这三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示. 若继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图2所示，“生长”了2 026次后，形成的图形中所有正方形的面积和是 （　　） A. 2 026 B. 2 027 C. 22 026 D. 22 027-1 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 24 25 $