20.2 勾股定理的逆定理及其应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(人教版·新教材)河北专版

课题

勾股定理的逆定理及其应用

课型

新授课

教学内容

教材第34-37页的内容

教学目标

1.通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的产生、发展和形成的过程．

2.会用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用．

3.会认识并判别勾股数．

4.利用勾股定理的逆定理解决问题.

教学重难点

教学重点：勾股定理的逆定理及其应用．

教学难点：勾股定理的逆定理的证明．

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入新课

【问题1】前面我们学习了勾股定理，你能说出它的题设和结论吗?

师生活动:师生共同回忆勾股定理，请同学指出其题设和结论，并揭示勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系.

教师追问:我们知道一个直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，则有a2+b2=c2.反过来，若一个三角形的三边具有a2+b2=c2的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢?今天我们一起来研究这个问题.

【问题2】古埃及人画直角的方法：把一根长绳子打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成

通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，引导学生自然合理地提出问题.

介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴

一个三角形.你认为这个三角形是直角三角形吗？

师生活动：学生利用准备好的绳子，以小组为单位动手操作，观察，作出合理的推断．教师深入小组当中，帮助并指导学生讨论．

2.发现探究，学习新知

【实验操作】(1)画一画:下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长(单位:cm）画出三角形:①2.5，6，6.5;②6，8，10.

（2）量一量:用量角器测量上述各三角形的最大角的度数.

（3）想一想:请判断这些三角形的形状，并提出猜想.

师生活动：教师指导学生按要求画出三角形，并计算三边的数量关系，如2.52＋62=6.52，62+82=102.接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为90°.在此基础上用《几何画板》软件展示具有a2+b2=c2的三条线段(长度可变，数量关系不变)，并以这三条线段为边作三角形，通过度量发现在最大角都为90，并提出猜想，得到命题2:

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

【问题3】命题1和命题2有怎样的联系？

教师追问：如何证明命题2？

师生活动：学生独立画出图形，写出已知、求证，教师通过多媒体资源（或板书）显示图形、已知及求证.

已知:如图，△ABC的三边长a， b，c满足a2+b2=c2.

求证:△ABC是直角三角形.

【问题4】要证明△ABC是直角三角形，只要证明∠C=90°.由命题的已知条件，能直接证明吗?

教师追问:对于△ABC，我们难以直接证明它是一个直角三角

趣.

教学中先要求学生画几个三角形，测量边长，然后计算边长的平方，并分析最长边的平方与其他两边平方和之间的关系，最后引导得出结论，这种测量、计算、归纳和猜想的过程，是典型的几何探索过程.

引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务.

本问题中，难以直接

形，怎么办?

师生活动:教师启发，如果能证明△ABC与一个以a，b为直角边长的Rt△A'BC'全等，那么就证明了△ABC是直角三角形.为此，我们可以先构造 Rt△A'B'C'.

如图，在△A′B′C′中，∠C′=90°，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2，

∵a2＋b2＝c2，∴A′B′＝c.

在△ABC和△A′B′C′中，

∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).

∴∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形．

归纳：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.这个定理称为勾股定理的逆定理．

3.学以致用，应用新知

考点1 利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形

【例1】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：

(1)a＝15，b＝8，c＝17；   (2)a＝13，b＝14，c＝15.

解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，

所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．

(2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，

所以132＋142≠152，这个三角形不是直角三角形．

师生活动：学生说出问题(1)的判断思路，教师板书详细解答过程，部分学生板演问题(2).教师纠正学生出现的问题，最后介绍勾股数的概念.

在活动中教师应重点关注:(1)学生的解题过程是否规范.(2)是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较.(3)是否理解了勾股数的概念，即勾股数必须满足以下两个

证明△ABC是直角三角形.联想到三角形全等这一工具，通过构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前三角形是直角三角形.让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点.

通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，即勾股定理的逆定理及其运用.