精品解析：北京市通州区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

通州区2025——2026学年第一学期九年级期末质量检测 数学试卷2026年1月 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 已知⊙O的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 在圆O上或圆O外 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外． 根据点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与半径的大小即可判断． 【详解】解：∵点P到圆心O的距离为，⊙O的半径为，， ∴点P在圆内． 故选A． 2. 如图，是上的四点，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：四边形为的内接四边形， ， ， ， 故选：B． 3. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义得出，代入数据即可求解． 【详解】解：， ， 在中，． 故选：C． 4. 如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，坡比是，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，理解坡度的概念是解题的关键． 根据坡度的定义直接求解即可． 【详解】解：∵堤高，坡比是， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 5. 在中，都是锐角，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理，根据特殊角的三角函数值，确定的度数，然后利用三角形内角和求出的度数，判断所有角均为锐角，从而确定三角形形状． 【详解】解：∵在中，都是锐角，且， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故选：A． 6. 已知反比例函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数图象分布在第二、四象限 B. 图象经过点 C. 若，则 D. 在各自象限内，y的值随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，求反比例函数值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据解析式可判断函数图象分布的象限，以及在每个象限内的增减性，再求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y的值随x的增大而减小，故A说法错误，D说法正确； 在中，当时，， ∴图象不经过点，故B说法错误； 在中，当时，，且在每个象限内y的值随x的增大而减小， ∴若，则，故C说法错误， 故选：D． 7. 如图，点 是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为 ，在 点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着 点转动，转动过程中，边界的两条光线分别与圆交于 ，两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下结论正确的是（ ） A. 点 到弦 所在直线的距离存在最大值 B. 弦 的大小改变 C. 弦 与 的长度之和不变 D. 图中阴影部分的面积不变 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查圆的基本性质，圆周角定理，点到直线的距离，掌握基础知识的综合运用是解此题的关键．根据圆周角定理，点到直线的距离的定义、极限思想和三角形三边关系、三角形面积公式等进行逐一判断即可． 【详解】解：A、如图，连接， 当时，此时点P到弦所在直线的距离最大，故A正确； B、根据题意得：点A，B是圆O上的定点，所以所对的弦的大小不变，即的大小不变，故B错误； C、当点P无限接近点B时，线段与的长度之和无限接近，而当点P从点B向点A移动过程中，线段与的长度之和发生变化，故C错误； D、阴影部分面积分为弓形面积和面积之和，弓形面积不变，而点P到距离不一定，所以面积非定值，故阴影部分面积随着点P的移动发生变化，故D选项错误； 故选：A． 8. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式及求函数值等知识；数形结合是解题的关键． 首先确定抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，根据图象得出当时，y的值最大，即可得出结果． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点， ∴抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图所示三条抛物线分别经过A、D、C， B、D、C，A、B、D， 当经过A、D、C三点时，由图像得：当时，y的值最大，即取得最大值， 故选：C 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】(0，-2) 【解析】 【分析】抛物线的顶点坐标为：(0，k)， 从而可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是(0，-2)， 故答案为：(0，-2)． 【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，掌握“抛物线的顶点式”是解本题的关键． 10. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案：． 11. 如图，E是□ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中______对相似三角形． 【答案】3 【解析】 【分析】由□ABCD可得，，再由平行线性质推导而证明△AFE∽△CFD∽△BCE，从而完成求解． 【详解】∵□ABCD ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ △CFD∽△BCE ∴△AFE∽△CFD∽△BCE 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形和相似三角形的知识；求解的关键是熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质，从而得到答案． 12. 如图，已知点P为反比例函数的图象上的一点，过点P作横轴的垂线，垂足为M，则的面积为_______． 【答案】2 【解析】 【详解】根据反比例函数k的几何意义可得：S△OPM= k=2 13. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，求弧长，根据题意得出，将已知数据代入弧长公式，即可求解． 【详解】解：∵过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为． ∴， ∴， ∴圆曲线的长为 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 15. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为__________．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，矩形，平行四边形，关键是由矩形、平行四边形的面积推出． 由矩形、平行四边形的面积得到，即可求出的值， 【详解】 解：如图，作于， ∵，， ∴， ∴， 令，， ∴， ∴=， 故答案为： 16. 如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，点M为上一动点，连接，过点C作垂直直线于点H，连接，则弦的长度为______，点M在运动过程中，线段的长度的最大值为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 连接，由题意得，，先由勾股定理求解，然后根据垂径定理得到，连接，取中点，连接，确定点在以为圆心，为半径的圆上运动，则，由等腰三角形的性质得到，则，再由，得到，故当点三点共线，且在延长线上时，取得最大值为． 【详解】解：连接 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，取中点，连接， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点三点共线，且在延长线上时，取得最大值 故答案为：，． 三、解答题（本题共68分，第17题4分；第18－21题每题5分；第22－26题每题6分；第27、28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题的关键熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值代入求值即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦等于邻边除以斜边代入求出，再结合勾股定理即可得到答案； （2）根据正弦等于对边除以斜边代入求解解即可得到答案； 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴； 【点睛】本题考查正弦，余弦，解题的关键是熟练掌握：余弦等于邻边除以斜边，正弦等于对边除以斜边． 19. 下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆上一点． 求作：直线，使得为的切线，为切点． 作法：如图， ①连接并延长到点； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）； ③以点为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，作直线． 直线就是所求作的直线． 根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据） 证明：连接． ∵ ① ∴点在上， ∴是的直径． ∴ ② ．（ ③ ） ∴ ④ ． ∵是的半径， ∴是的切线．（ ⑤ ） 【答案】；；直径所对的圆周角是直角；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】根据画法得，则点C在上，即是的直径即可得，即可得，根据是的半径即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴点C在上， ∴是的直径． ∴．（直径所对的圆周角是直角） ∴． ∵是的半径， ∴是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：；；直径所对的圆周角是直角；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】本题考查圆的性质，切线的判定，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是掌握圆周角的推论，切线的判定． 20. 如图，中，，点D在上，．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得的长即可． 【详解】解：∵在中，， ， ， ， ， ， ∴的长度为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，解题关键解直角三角形求出，进而求出． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，求反比例函数解析式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，正比例函数的图象经过第二、四象限和原点，此时必定不满足题意；当，可求出关于x的不等式的解集为，根据当时不等式要成立得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴该函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，正比例函数的图象经过第二、四象限和原点， 而当时，反比例函数的图象在第一象限， 故此时不能满足当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值， 当，且时，则， ∴， ∴， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 22. 下表是二次函数图象上部分点的自变量x和函数值y． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 3 0 0 m 8 … （1）观察表格，______________； （2）求此二次函数的表达式，并画出该函数的图象； （3）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）3 （2），图象见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由表格可求出该抛物线的对称轴，从而即可求出m的值； （2）根据表格结合（1）可知其顶点坐标为，故可设该抛物线解析式为．再将，代入，即可求出a的值，即得出其解析式，最后描点画图即可； （3）根据该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，结合图象可知．再根据抛物线的对称性可知点A和点B关于直线对称，即点A到直线的距离和点B到直线的距离相等．最后根据，得出点B到直线的距离，即时，满足，结合表格即可知． 【小问1详解】 由表格可知当时，；当时，， ∴该抛物线的对称轴为直线． ∴当时的函数值与时的函数值相等． ∵当时，， ∴当时，，即． 故答案为：3； 【小问2详解】 由（1）知该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∴可设该抛物线解析式为． ∵当时，， ∴， 解得：， ∴该抛物线解析式为． 该二次函数的图象如图， 【小问3详解】 ∵该二次函数的图象与直线有两个交点A，B， ∴． 由二次函数的对称性可知点A和点B关于直线对称，即点A到直线的距离和点B到直线的距离相等． ∵， ∴点B到直线的距离． ∴当，即时，满足． ∴．　 综上可知． 【点睛】本题考查二次函数图象的对称性，利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 23. 港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作于点D，设米，在中，利用三角函数值得，进而得，在中，利用三角函数值得，进而求解即可． 【详解】解：过点A作于点D，设米， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：该主塔的高度为米． 24. 如图，点F在平行四边形的对角线上，，连结，使得平分， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质及解三角形，熟练掌握菱形的判定与性质及解三角形是解题的关键． （1）根据题意得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义可得，然后可证，则有，最后问题可证； （2）过点B作于点H，由（1）得：四边形是菱形，，则有，进而可得，，，然后问题可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过点B作于点H，如图所示： 由（1）得：四边形是菱形，， ∵，， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 25. 如图，为的直径，点C在上，连接，过点O作于点D，过点C作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理等知识点． （1）连接，由等腰三角形得到，再由圆的切线的性质得到，然后根据互余关系证明即可； （2）由圆周角定理得到，故，则，由垂径定理得到，再运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图： ∵ ∴ 又为圆O的切线 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵是直径， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，过圆心， ∴， ∴． 26. 平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴的交点为P，过点P作直线l垂直于y轴． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若点都在抛物线上，则的大小关系为______（用“＜”连接） （3）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点为图形G上任意两点． ①当时，画出图形G，并结合图形判断，当时，与的大小关系； ②若对于，都有，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①图见详解；；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）将变为顶点式即可； （2）根据二次函数的图像的特点求解即可； （3）①画出图像，通过观察x与y的变化趋势即可； ②通过平移抛物线的对称轴，观察与的位置关系即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解： ∵关于对称，开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，y值越大， ∵，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①当时， 图形G如图所示： 为图形G上任意两点． 观察图形发现y随x的增大而减小，当时，； ②若对于，都有， 当时，, 当，对于，都有， 当时，对称轴， 当时，对于，都有， 由①知，当时，； ∴对于，都有， m的取值范围是． 27. 如图，中，于点D，点B关于直线的对称点为点P，连结，Q为线段上一点（不与点P重合），且满足． （1）用等式表示线段的数量关系，并证明； （2）连结，取的中点E，连接，判断与的位置关系，并证明． 【答案】（1）；见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键在于熟练掌握轴对称的性质，确定线段、角度之间的数量关系． （1）连接，过点A作，根据轴对称的性质得出，确定，根据等腰三角形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，即可确定结果； （2）作交于K，根据相似三角形的判定和性质得出，再由线段垂直平分线的判定和性质即可得出结果 【小问1详解】 证明：连接，过点A作，如图所示： ∵点B关于直线的对称点为点P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，作交于K， ∴， ∴E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B关于直线的对称点为点P， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段，直线m和图形M给出如下定义：线段关于直线m的对称线段为（分别是P，Q的对应点）．若与均与图形M（包括内部和边界）有公共点，则称线段为图形M关于直线m的“像—关联线段”． （1）如图1，已知的半径是3，点A，B，C，D，E，F的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，关于直线的“像—关联线段”的是______； （2）如图2，已知点，A，B，，若线段是关于直线的“像—关联线段”，求k的取值范围； （3）已知的半径为r，点，线段的长度为1．若对于任意过点的直线m，都存在线段为关于直线m的“像—关联线段”，直接写出r的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系； （1）根据“像—关联线段”的定义，线段本身和关于直线的对称线段都要与的圆周或圆的内部有公共点，据此通过画图判断即可； （2）分类讨论：①当直线平分时，线段关于直线的对称线段会刚好落在边上，求出；②当直线平分时，线段关于直线的对称线段会刚好落在边上，求出；所以当或时，线段是关于直线的“像—关联线段”； （3）圆与圆关于直线m对称，连接，，若对于任意直线m，都存在线段为关于直线m的“像—关联线段”，即对于任意的直线m，圆与要存在公共点，即圆与相切或相交，当圆与外切求出，所以即为所求． 【小问1详解】 解：借助网格图分别画出线段，，关于直线对称的线段，分别为、、，如图所示： ∵和都在内部，符合“像—关联线段”的定义， ∴是关于直线的“像—关联线段”， 同理：是关于直线的“像—关联线段”， ∵关于直线对称的线段为， 又∵在外部， ∴与及内部没有公共点， ∴不是关于直线的“像—关联线段”， 综上：，是关于直线的“像—关联线段”． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵A，B，， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∵直线， 令，则， ∴直线经过定点，即点C，如图所示： ①当直线平分，即时，此时线段关于直线的对称线段会刚好落在边上， ∵， ∴点，代入直线， 得：，解得：， 当时，线段关于直线的对称线段与有公共点， ②当直线平分，即时，此时线段关于直线的对称线段会刚好落在边上， ∵， ∴点，代入直线， 得：，解得：， 当时，线段关于直线的对称线段与有公共点， 综上：当或时，线段是关于直线的“像—关联线段”． 【小问3详解】 解：∵点，， ∴点Q在以为圆心，以1为半径的圆上， 圆与圆关于直线m对称，连接，，如图所示： ∵，， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上， ∴线段关于直线m的对称线段就是圆的半径， 若对于任意的直线m，都存在线段为关于直线m的“像—关联线段”， 即对于任意的直线m，圆与要存在公共点， 当在y轴上，圆与相切时，此为极限状态， 此时， ∴， ∴， ∴若对于任意的直线m，都存在线段为关于直线m的“像—关联线段”则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2025——2026学年第一学期九年级期末质量检测 数学试卷2026年1月 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 已知⊙O半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 在圆O上或圆O外 2. 如图，是上的四点，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，坡比是，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，都是锐角，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 已知反比例函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数图象分布第二、四象限 B. 图象经过点 C. 若，则 D. 在各自象限内，y的值随x的增大而减小 7. 如图，点 是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为 ，在 点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着 点转动，转动过程中，边界的两条光线分别与圆交于 ，两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下结论正确的是（ ） A. 点 到弦 所在直线的距离存在最大值 B. 弦 的大小改变 C. 弦 与 的长度之和不变 D. 图中阴影部分的面积不变 8. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 抛物线的顶点坐标是_______． 10. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为_____． 11. 如图，E是□ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中______对相似三角形． 12. 如图，已知点P为反比例函数的图象上的一点，过点P作横轴的垂线，垂足为M，则的面积为_______． 13. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为________． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 15. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为__________．     16. 如图，以为圆心，半径为6圆与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，点M为上一动点，连接，过点C作垂直直线于点H，连接，则弦的长度为______，点M在运动过程中，线段的长度的最大值为______． 三、解答题（本题共68分，第17题4分；第18－21题每题5分；第22－26题每题6分；第27、28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）求的值． 19. 下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆上一点． 求作：直线，使得为的切线，为切点． 作法：如图， ①连接并延长到点； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）； ③以点为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，作直线． 直线就是所求作的直线． 根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据） 证明：连接． ∵ ① ∴点在上， ∴是的直径． ∴ ② ．（ ③ ） ∴ ④ ． ∵是的半径， ∴是切线．（ ⑤ ） 20. 如图，中，，点D在上，．若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围． 22. 下表是二次函数图象上部分点的自变量x和函数值y． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 3 0 0 m 8 … （1）观察表格，______________； （2）求此二次函数表达式，并画出该函数的图象； （3）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围． 23. 港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 24. 如图，点F在平行四边形的对角线上，，连结，使得平分， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 如图，为的直径，点C在上，连接，过点O作于点D，过点C作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 26. 平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴的交点为P，过点P作直线l垂直于y轴． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若点都在抛物线上，则的大小关系为______（用“＜”连接） （3）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点为图形G上任意两点． ①当时，画出图形G，并结合图形判断，当时，与的大小关系； ②若对于，都有，直接写出m的取值范围． 27. 如图，中，于点D，点B关于直线的对称点为点P，连结，Q为线段上一点（不与点P重合），且满足． （1）用等式表示线段的数量关系，并证明； （2）连结，取的中点E，连接，判断与的位置关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段，直线m和图形M给出如下定义：线段关于直线m的对称线段为（分别是P，Q的对应点）．若与均与图形M（包括内部和边界）有公共点，则称线段为图形M关于直线m的“像—关联线段”． （1）如图1，已知的半径是3，点A，B，C，D，E，F的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，关于直线的“像—关联线段”的是______； （2）如图2，已知点，A，B，，若线段是关于直线的“像—关联线段”，求k的取值范围； （3）已知的半径为r，点，线段的长度为1．若对于任意过点的直线m，都存在线段为关于直线m的“像—关联线段”，直接写出r的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $