第10讲轴对称（寒假预习讲义）（4大知识点+9大题型+过关检测）七年级数学新教材苏科版

第10讲 轴对称（4大知识点+9大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：轴对称的概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点2：线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 知识点3：轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点4：轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 【题型1】成轴对称的概念 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·月考）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A．B．C． D． 【变式训练】 1．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）把一张正方形纸片如图对折两次后，再挖去一个正方形小孔，则展开后的图形是（   ） A． B． C． D． 【题型2】轴对称的性质 【例2】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，内有一点P，P点关于的对称点是G，P点关于的轴对称点是H，分别交、于点A、B．若的长为14，则的周长为 ． 【变式训练】 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025七年级上·上海·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于，的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是 ． 【题型3】 线段的垂直平分线 【例3】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则 °． 【变式训练】 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图是一个风筝的骨架示意图（可称为筝形）．已知垂直平分，则筝形的周长为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，直线是线段的垂直平分线，垂足为O，若，则 ． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知线段，以点，点为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为．作直线，连接．则下列说法：①四边形是轴对称图形；②平分；③直线垂直平分线段；④是等边三角形；其中正确的有 ．（填序号） 【题型4】 轴对称图形 【例4】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）以下是四款常用人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【变式训练】 10．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）下列图形中，不是轴对称图形的一项是（　　） A． B． C． D． 11．（2025·山西·模拟预测）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）正方体的下列展开图为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型5】 对称轴 【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是 ． 【变式训练】 13．（23-24七年级上·江苏盐城·开学考试）下面图形中，对称轴的数量最少的是（ ）． A．圆 B．扇形 C．正方形 D．长方形 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列图形中，是轴对称图形且一共有三条对称轴的是 ．（请填写序号） 【题型6】 轴对称的作图问题 【例6】（24-25七年级下·江苏·期末）网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位．已知，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），直线l在格线上． (1)请画出向上平移5个单位后的； (2)请画出，使它与关于直线对称； (3)请在直线l上画出一点P，使得线段的长度和最小． 【变式训练】 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是两个的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．请在给定的网格中按照下列要求画图，且使所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，画一条不与AB重合的线段，使得与AB关于某条直线对称． (2)在图②中，画出，使其与关于某条直线对称． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）按如下要求作图： (1)如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点在小正方形的顶点上， ①的面积为 ②将向上平移4个单位长度得到 ③在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)如图2，在中，画出的角平分线，线段的垂直平分线．（要求：利用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；） 17．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到． (1)在网格中画出； (2)在网格中画出，使得与关于点成中心对称； (3)问：与是否成轴对称？（回答“是”或“否”） 【题型7】轴对称与桌面对称问题 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练】 18．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 19．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 20．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【题型8】 轴对称与光线反射 【例8】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】 21．（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 22．（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则 ． 【题型9】轴对称与图形折叠问题 【例9】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）把一张长方形的纸片按照如图所示的方式折叠后，B，D两点分别落在B′，D′处，若，则的度数为 ． 【变式训练】 24．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，、为两条折痕，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 25．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、、若重合部分的，则的度数为 °．（用含的代数式表示）． 26．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点处，折痕为．点F为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点B落在点处（折痕为）．若，则 ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史．下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·开学考试）下列图形一定是轴对称图形的是（　　） A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．长方形 3．（24-25七年级下·江苏南京·月考）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．无法确定 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，正三角形图与正三角形图完全相同．如果图经过一次轴对称变换后得到图，那么点A，B，C的对应点分别是 ． 10．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形纸条折叠，若，则 °． 11．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，有一个英语单词（只画出了部分），四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的中文是 ． 12．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是 ． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为．则 ． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为 ． 15．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，将三角形纸片的折叠，使得点B的对应点落在直线上，折痕为，再将折叠，使得折叠后点C的对应点落在直线上，折痕为，此时可得，若，则的度数为 ． 16．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 三、解答题 17．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）图1是由两张大小相同的正方形纸片摆放成的一幅美丽的图案，它既是轴对称图形又是中心对称图形．请在图2中再画出一个正方形，使它们组成与图1形状相同的图案． 要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，用铅笔或黑色水笔加黑加粗． 18．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． (2)如图②，过点P作直线，使得． 19．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 20．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在三个图中分别作出直线l． 21．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P． (2)如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 23．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）【观察发现】（1）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使落在上，为折痕，则的度数为________； 【思维拓展】（2）若规定：当两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”． 即：若，则和是一组“巧角”（，）． ①在条件（1）中，当点、、三点共线时，和是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，和还是一组“巧角”，且，，求的度数． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 轴对称（4大知识点+9大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：轴对称的概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点2：线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 知识点3：轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点4：轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 【题型1】成轴对称的概念 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·月考）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【变式训练】 1．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形，正确利用轴对称图形的特点做题是解决此题的关键．根据题意可知，得到的是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合题意的选项即可 解答 【详解】解：A、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； B、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； C、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后能得到此图形，符合题意； D、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； 故选：C ． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案． 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）把一张正方形纸片如图对折两次后，再挖去一个正方形小孔，则展开后的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了作轴对称图形， 将原折叠过程反过来作两次轴对称图形，可得答案. 【详解】解：从第二次对折反过来作轴对称图形，可得 ； 再作第一次反过来的轴对称图形， . 故选：B. 【题型2】轴对称的性质 【例2】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，内有一点P，P点关于的对称点是G，P点关于的轴对称点是H，分别交、于点A、B．若的长为14，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，，然后可得答案． 【详解】解：∵P点关于的轴对称点是G，P点关于的轴对称点是H， ∴，， ∵的长为14， ∴的周长为：， 故答案为：14． 【变式训练】 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵线段与线段关于直线成轴对称， ∴，， ∴，，， ∴， 所以结论不一定正确的是． 故选：C． 5．（2025七年级上·上海·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线关于直线对称，因此交点一定在上．D错误； 故选：D． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于，的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；由轴对称的性质可知，然后根据及三角形的周长公式可进行求解． 【详解】解：由轴对称的性质可知， ∵，的周长， ∴的周长， 故答案为：9． 【题型3】 线段的垂直平分线 【例3】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则 °． 【答案】20 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，根据题意可知，垂直平分线段，再根据垂直平分线的性质得出，再根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，垂直平分线段， ， ， ， ， 故答案为：20． 【变式训练】 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图是一个风筝的骨架示意图（可称为筝形）．已知垂直平分，则筝形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到两端点的距离是解决问题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到,即可求得答案． 【详解】解：∵垂直平分，, ∴, ∴筝形的周长. 故选：D． 8．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，直线是线段的垂直平分线，垂足为O，若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，由此即可得到答案． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，垂足为O， ∴， ∴． 故答案为：10． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知线段，以点，点为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为．作直线，连接．则下列说法：①四边形是轴对称图形；②平分；③直线垂直平分线段；④是等边三角形；其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，轴对称图形的识别，根据题意可得，据此可判断①；可证明，得到四边形是轴对称图形，，据此可判断②③；根据现有条件无法证明是等边三角形，据此可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴直线垂直平分线段，故③正确； 又∵， ∴， ∴四边形是轴对称图形，，故①正确； ∴平分，故②正确； 根据现有条件无法证明是等边三角形，故④错误， 故答案为：①②③． 【题型4】 轴对称图形 【例4】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）以下是四款常用人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D．是轴对称图形 ，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 10．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）下列图形中，不是轴对称图形的一项是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形知识，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此解答即可． 【详解】 解：上面图形中，不是轴对称图形的一项是． 故选：C． 11．（2025·山西·模拟预测）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 12．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）正方体的下列展开图为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果． 【详解】解：由轴对称图形定义可知：A，B，D不能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形， 故选：C． 【题型5】 对称轴 【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 【变式训练】 13．（23-24七年级上·江苏盐城·开学考试）下面图形中，对称轴的数量最少的是（ ）． A．圆 B．扇形 C．正方形 D．长方形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴条数．分别确定各图形的对称轴条数即可． 【详解】解：圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是其对称轴；扇形有1条对称轴，是过圆心和弧中点的直线；正方形有4条对称轴，分别是对边中点所在的直线，对角线所在的直线；长方形有2条对称轴，分别是对边中点所在的直线； 综上可知，对称轴的数量最少的是扇形， 故选：B． 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列图形中，是轴对称图形且一共有三条对称轴的是 ．（请填写序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，数形结合，找出对称轴是解题的关键． 根据图示，找出对称轴即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得，如图所示， 是轴对称图形且一共有三条对称轴的是①③， 故答案为：①③ ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是两个的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．请在给定的网格中按照下列要求画图，且使所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，画一条不与AB重合的线段，使得与AB关于某条直线对称． (2)在图②中，画出，使其与关于某条直线对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，利用轴对称的性质画出关于某条直线对称的线段和三角形，正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，找出图①中线段关于某条直线对称的线段，有多种画法，只要保证与关于某条直线对称即可； （2）根据轴对称的性质，找出图②中关于某条直线对称的三角形，同样有多种画法，需保证与关于某条直线对称即可． 【详解】（1）解：如图①，线段即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图②，即为所求（答案不唯一）． 【题型6】 轴对称的作图问题 【例6】（24-25七年级下·江苏·期末）网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位．已知，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），直线l在格线上． (1)请画出向上平移5个单位后的； (2)请画出，使它与关于直线对称； (3)请在直线l上画出一点P，使得线段的长度和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了图形的平移、轴对称以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握这些图形变换的性质进行作图． （1）根据平移的性质，将的每个顶点向上平移5个单位，再连接各顶点得到平移后的三角形． （2）根据轴对称的性质，找到各顶点关于直线l的对称点，再连接各对称点得到对称后的三角形． （3）作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点， 因为和关于直线对称，所以，则， 根据两点之间线段最短，的长度就是的最小值，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，交直线于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求． 【变式训练】 16．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）按如下要求作图： (1)如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点在小正方形的顶点上， ①的面积为 ②将向上平移4个单位长度得到 ③在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)如图2，在中，画出的角平分线，线段的垂直平分线．（要求：利用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；） 【答案】(1)①4；②见详解；③见详解 (2)见详解 【分析】（1）①利用割补法求三角形面积，即通过用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算的面积；②将各顶点向上平移4个单位后，再连接各个顶点即可求解；③根据轴对称性质，找到各顶点关于直线l的对称点，再连接成即可； （2）按基本的尺规作图即可求解． 【详解】（1）解：①， 故答案为：4； ②如图，即是所求作的三角形； ③如图，即是所求作的三角形； （2）如图所示，是所求作的的平分线，直线是所求作的线段的垂直平分线， 【点睛】本题考查了三角形面积计算（利用割补法）以及图形的平移和轴对称及尺规作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等相关知识，解题的关键是理解用割补法将不规则图形转化为规则图形面积的差来计算；图形的平移是图形上所有点按照相同方向移动相同距离；轴对称是找到图形上各点关于对称轴的对称点再连接．尺规作图依据的是“边边边”公理． 17．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到． (1)在网格中画出； (2)在网格中画出，使得与关于点成中心对称； (3)问：与是否成轴对称？（回答“是”或“否”） 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了平移变换、中心对称变换以及轴对称的识别，熟练掌握平移、中心对称的性质及轴对称的概念是解题的关键． （1）根据平移的性质，分别将、、按“向上平移个单位，再向左平移个单位”的规则找到对应点、、，再连接成三角形． （2）依据中心对称的性质，找、关于的对称点、，然后连接得到三角形． （3）通过观察图形，判断与是否能沿某条直线折叠后重合，确定是否成轴对称． 【详解】（1）解：确定、、平移后的对应点： 点向上平移个单位，再向左平移个单位得到； 点向上平移个单位，再向左平移个单位得到； 点向上平移个单位，再向左平移个单位得到． 连接、、，得到． （2）解：找关于的对称点：延长到，使 ． 找关于的对称点：延长到，使 ． 连接、、，得到 （3）解：观察图形，尝试找一条直线，使沿此直线折叠后与重合，发现不存在这样的直线， ∴与不成轴对称， 故答案为“否” ． 【题型7】轴对称与桌面对称问题 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观． 【分析】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 【变式训练】 18．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 19．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 20．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 【题型8】 轴对称与光线反射 【例8】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，，， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 21．（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 22．（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 23．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型9】轴对称与图形折叠问题 【例9】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）把一张长方形的纸片按照如图所示的方式折叠后，B，D两点分别落在B′，D′处，若，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查了图形的折叠问题，平角的性质，解题的关键是理解折叠的性质，得到． 由折叠得，结合解答即可． 【详解】解：由折叠得， ∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 24．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，、为两条折痕，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，几何图形中的角度计算． 由折叠得、，结合，利用平角关系求出，则，根据计算即可． 【详解】解：，． ∵， ∴． 又，， ∴． ∴． 故选：C． 25．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、、若重合部分的，则的度数为 °．（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得，则由平角的定义和角的和差关系可得，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点处，折痕为．点F为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点B落在点处（折痕为）．若，则 ． 【答案】108或72 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握折叠变换的性质并采用分类讨论的数学思想是解题的关键．由折叠的性质可推出，，再分两种情况讨论，①当在的外部，则，求得，则；②当在的内部，则，求得，则，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，， ，， ①当在的外部，如图 ，且， ， ， ∴； ②当在的内部，如图 ，且， ， ， ． 故答案为：108或72． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史．下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项B、C、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，不符合题意； 选项A，不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·开学考试）下列图形一定是轴对称图形的是（　　） A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．长方形 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．等腰三角形、等边三角形是轴对称图形，三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．平行四边形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．等腰梯形是轴对称图形，梯形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．长方形一定是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 3．（24-25七年级下·江苏南京·月考）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单图形折叠问题的应用，对折后的矩形纸上面扎出的“B”，展开的图形“B”关于折痕成轴对称图形，据此选择． 【详解】 解：将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到． 故选：D． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，对折前后角相等，可得，再由平行线的性质解答即可． 本题考查图形的翻折变换，平行线的性质．熟练掌握轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，解方程可得到的度数，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， ∵四边形形沿折叠形成四边形， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， 即的度数为． 故选：B． 7．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质和三角形的面积，熟练掌握并运用轴对称的性质是解题的关键． 由对称的性质证明，再根据三角形面积计算即可． 【详解】解：如图， ，点与点关于对称，点与点关于对称， ，，， ， ， 即， ． 故选B． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，正三角形图与正三角形图完全相同．如果图经过一次轴对称变换后得到图，那么点A，B，C的对应点分别是 ． 【答案】D，F，E 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，关键是掌握轴对称图形的对称轴两边的图形能完全重合．轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，据此判断分析即可． 【详解】解：如图所示： 图经过一次轴对称变换后得到图，则点A，B，C的对应点分别是D，F， 故答案为：D，F， 10．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形纸条折叠，若，则 °． 【答案】68 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），先利用平角定义可得：，然后利用折叠的性质可得：，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， 故答案为：68． 11．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，有一个英语单词（只画出了部分），四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的中文是 ． 【答案】书 【分析】本题考查轴对称图形.根据轴对称图形的性质，组成图形，即可作答． 【详解】解：如图： 这个单词是， ∴这个英语单词的中文是：书． 故答案为：书． 12．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是 ． 【答案】30 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 根据对称的性质可知，，再根据即可求出周长． 【详解】∵点P关于，的对称点分别为点，， ∴， ∵， ∴的周长． 故答案为：30． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为．则 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是平移的性质，轴对称的性质，如图，作出两条直径平移后关于圆心对称的线段；结合图形的对称性列式计算即可． 【详解】解：如图，作出两条直径平移后关于圆心对称的线段； 由对称性可得：，，， 中间长方形的长为，宽为， ∴长方形 长方形的面积 ； 故答案为： 14．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，垂线段最短，作交的延长线于点H，则，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点H，则． ∵点B关于直线作轴对称变换得到点 E， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，将三角形纸片的折叠，使得点B的对应点落在直线上，折痕为，再将折叠，使得折叠后点C的对应点落在直线上，折痕为，此时可得，若，则的度数为 ． 【答案】70 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键； 由折叠的性质可得：，求出，从而得出，即可推出，再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：70． 16．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质得出及，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图所示， ∵点D关于的对称点分别记作点E，F， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）图1是由两张大小相同的正方形纸片摆放成的一幅美丽的图案，它既是轴对称图形又是中心对称图形．请在图2中再画出一个正方形，使它们组成与图1形状相同的图案． 要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，用铅笔或黑色水笔加黑加粗． 【答案】见解析 【分析】本题考查了复杂作图——作垂直平分线和相等线段，理解题意是解题关键．先作出相邻两边的垂直平分线，再以两条垂直平分线的交点为圆心，对角线长度的一半作弧，与垂直平分线有四个交点，依次连接即可得到图形． 【详解】解：如图即为所求作图形． 18．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． (2)如图②，过点P作直线，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的定义，尺规作垂线，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）连接，作的垂直平分线即可； （2）以点P为圆心，任意长为半径作弧，交于E、F两点，再分别以E、F两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，连接即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，即为所求． 19．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 【答案】7 【分析】先根据轴对称的性质可得，据此可得，再利用两个三角形的周长的差可得BC的长，进而得出CE的长． 本题考查了轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E， ， ， ∵的周长为18，的周长为32， ∴， ， 20．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在三个图中分别作出直线l． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形的对称轴，熟练掌握其画法是解题的关键． 根据对称轴的定义即可求解． 【详解】解：延长对应线段，找到交点，过交点作直线即可，如图①②③所示． 21．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P． (2)如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键． （1）由点B关于l的对称点为P，可得直线l为线段的垂直平分线，即可作图； （2）点P关于m的对称点落在上，可得直线m为的平分线所在的直线，即可作图． 【详解】（1）解：如图①，连接，作线段的垂直平分线l， 则直线l即为所求． （2）解：如图②，作的平分线， 则的平分线所在的直线m即为所求． 22．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，，由平行线的性质得，推出，即可得出． （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，可以得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）【观察发现】（1）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使落在上，为折痕，则的度数为________； 【思维拓展】（2）若规定：当两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”． 即：若，则和是一组“巧角”（，）． ①在条件（1）中，当点、、三点共线时，和是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，和还是一组“巧角”，且，，求的度数． 【答案】（1）  （2）①或  ②或 【分析】本题考查的是折叠的性质及角的和差计算、一元一次方程的应用， （1）由折叠得，，根据平角的定义解答即可； （2）①得出，根据“巧角”定义得出，解方程即可解答； ②设，得出，分两种情况：当，无重叠时，或当，有重叠时分别列方程解决． 【详解】解：（1）由折叠可得：，， ∴， 故答案为：； （2）①∵， ∴，即， 又∵和是一组“巧角”， ∴， 解得或； ②∵沿着，分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处， ， 与 是一组“巧角”， ∴设， ， 如图， ， ， 解得， ， ； 如图， ∴， ， ， 综上所述，的度数为或 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $