第08讲乘法公式（2）平方差公式（寒假预习讲义）（2大知识点+9大题型+过关检测）七年级数学新教材苏科版

第08讲平方差公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点2：平方差公式的几何背景 （1）如图所示，图①中红色阴影部分的面积为a²一b²,把图①剪拼成图②，则图②中红色 阴影部分的面积为(a十b)(a一b),两部分面积相等，故(a十b)(a-b)=a²-b². 【题型1】平方差公式的适用条件 【例1】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·甘肃张掖·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东佛山·月考）下列各式中能用平方差公式的计算的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）利用乘法公式化简下列式子： ． 【题型2】 运用平方差公式进行整式乘法计算 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型3】 利用平方差公式进行简算 【例3】（24-25七年级下·江苏·期末）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【变式训练】 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型4】 利用平方差公式进行化简求值 【例4】（2023·吉林白城·二模）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练】 10．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）已知，则代数式的值为 ． 11．（24-25七年级下·广东清远·期中）先化简，后求值：，其中，，． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中a，b的值满足的结果中不含x的二次项和一次项． 【题型5】 利用平方差公式进行多个因式相乘 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 【变式训练】 13．（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算： ． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 15．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）小丽在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似的方法计算： ． 16．（22-23七年级下·湖南永州·期中）阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律与交换律，已知，则的值是 ． 【题型6】利用平方差公式解决末位数字问题 【例6】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【变式训练】 17．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）的个位数字为（ ） A．9 B．7 C．3 D．1 18．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）计算，结果的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 19．（24-25八年级上·全国·期中）已知：，，，，，，…，设，则的个位数字是 ． 【题型7】 平方差公式的规律探究问题 【例7】（24-25八年级上·福建福州·期末）观察下列算式，完成问题： 算式①：        算式②： 算式③：        算式④： …… (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：______； (2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立； (3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【变式训练】 20．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列等式： ； ； ； ； … (1)请将2024写成两个整数平方差的形式： ； (2)用含有字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并用已学的数学知识验证这一规律； (3)相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由． 21．（22-23七年级下·江苏常州·期中）观察下列等式： ； ； ； ……． 根据上述规律解答下列问题： (1)任意写出一个有相同规律的等式； (2)直接写出用含有字母n（，且n是正整数）表示上述规律的等式，并说明等式成立． 22．（22-23八年级上·山西太原·月考）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【题型8】 平方差公式的几何背景问题 【例8】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：________________（请选择正确的选项）； A．             B． C．             D． (2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列问题： ①试说明（为整数）是3的倍数； ②已知，，求的值． 【变式训练】 23．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为21的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为3，则图中阴影部分的总面积为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 25．（24-25七年级下·湖南郴州·月考）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)通过观察，图1阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分的面积是 ，可以得到的乘法公式是 ；（用含a，b的等式表示） (2)应用上述乘法公式解答下列问题： ①计算：； ②若，，求的值． 26．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示．    (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； (3)拓展：计算． 【题型9】平方差公式的新定义问题 【例9】（22-23七年级下·福建三明·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． (1)32这个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式． (2)设两个连续奇数是和（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为39，求阴影部分的面积． 【变式训练】 27（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如：，，则8，16均为“美好数”，在不超过2025的正整数中，所有的“美好数”之和的末尾数字为 ． 28．（24-25七年级下·湖南常德·期末）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，称这个正整数为“智慧数”．例如：，那么、、、、、为“智慧数”．根据以上信息，第个“智慧数”是 ． 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：，，，因此4，12，20都是“幸运数”． (1)请判断：36____________“幸运数”（填“是”或“不是”）． (2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①佳佳发现：两个连续偶数和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数． ②琪琪发现：2026是“幸运数”． 30（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)正整数52______（填“是”或“不是”）奇巧数；正整数72______（填“是”或“不是”）奇巧数． (2)设两个连续偶数为（其中为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数______（填“是”或“不是”）8的倍数．请通过计算说明理由． (3)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数．请通过计算说明理由． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）下列运算正确的是（　 ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若三角形的底边长为，该底边上的高为，则此三角形的面积为 （　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏南京·月考）下列算式中，能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024七年级下·江苏无锡·专题练习）若干名战士排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么原有战士（   ）人． A．904 B．480 C．240 D．360 5．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 6．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如，，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（   ） A．58 B．60 C．62 D．64 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有两类正方形A、B，其边长分别为a、，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（ ） A．29 B．25 C．18 D．24 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）（ ）． 10．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则的值为 ． 11．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算：的值为 ． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）当时，代数式的值为 ． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）利用平方差公式计算： ． 15．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）观察等式：；；；若，则用含m的式子表示的结果是 ． 16．（24-25七年级下·四川成都·月考）观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为 ． 17．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ． 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为 ． 三、解答题 19．（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中，． 21．（24-25七年级下·江苏南京·月考）已知下列等式： ； ； ； … 小明发现规律：比任意一个偶数大3的数，与该偶数的平方差能被3整除． (1)填空：___________； (2)直接写出计算的结果：___________； (3)设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除． 22．（24-25七年级下·江苏南京·月考）请观察下列算式，并解答下列问题． ①；②；③； (1)请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：______； (2)设两个连续奇数为，（其中为正整数），写出它们的平方差，并说明结果是的倍数． 23．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为 ，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部． b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． 【理解】 （1）填空： ___________． 【运用】（2）若是的共轭复数，求 的值； 【拓展】（3）已知，求的值． 24．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，边长为a的正方形和边长为的正方形拼在一起，其中，B，C，E三点在同一直线上，设图1，图2中阴影部分的面积分别为． (1)试通过计算说明，的值与a的大小无关； (2)①___________（用含a，b的代数式表示）； ②若，，则的值为___________． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲平方差公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点2：平方差公式的几何背景 （1）如图所示，图①中红色阴影部分的面积为a²一b²,把图①剪拼成图②，则图②中红色 阴影部分的面积为(a十b)(a一b),两部分面积相等，故(a十b)(a-b)=a²-b². 【题型1】平方差公式的适用条件 【例1】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的形式． 平方差公式为，其结构特征为两个括号中一项相同，另一项互为相反数，需逐一分析各选项是否满足此条件． 【详解】解：选项A：，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算； 选项B：，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算； 选项C：，符合平方差公式形式，可用平方差公式计算； 选项D：，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·甘肃张掖·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平方差公式的计算，根据平方差公式计算即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东佛山·月考）下列各式中能用平方差公式的计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个数的和乘以这两个数的差的标准去判断解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. ，式子中有四个不同的数，不符合公式要求的只有两个相同的数，不符合题意； B. ，都是差，没有两个数的和，不符合题意； C. ，符合要求；     D. 都是两个数的和的形式，不符合要求； 故选：C． 3．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）利用乘法公式化简下列式子： ． 【答案】 【分析】此题考查了利用平方差公式计算．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型2】 运用平方差公式进行整式乘法计算 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式 ，解题关键在于熟练掌握其运算方法即可求解. 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式. 【变式训练】 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式的运算，运用平方差公式展开进行计算，即可作答． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可； （3）根据平方差公式计算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)255 【分析】本题考查了平方差公式的运算， （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据平方差公式进行计算即可； （4）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法． （1）根据平方差公式计算即可； （2）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可； （3）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【题型2】 利用平方差公式进行简算 【例3】（15-16七年级下·江苏·期末）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式运算，熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）将原式整理为，然后根据平方差公式进行计算即可； （2）将原式整理为，然后根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】9 【分析】本题考查了平方差公式，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键． 先将变形为，再根据平方差公式进行简便计算． 【详解】解： ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了简便运算，解题的关键是掌握平方差公式． （1）将式子运用平方差公式进行变形，结合零指数幂即可得； （2）先将前两项运用平方差公式进行变形，计算得出结果后再运用平方差公式进行变形计算即可得； （3）运用平方差公式进行变形计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查的是利用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，灵活运用完全平方公式和平方差公式是解决此题的关键． （1）利用完全平方公式进行简便运算即可； （2）利用平方差公式进行简便运算即可； （3）利用平方差公式进行简便运算即可； （4）利用平方差公式进行简便运算即可； （5）利用完全平方公式进行简便运算即可； （6）利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【题型4】 利用平方差公式进行化简求值 【例4】．（2023·吉林白城·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式训练】 10．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式的运算，先化简所求的式子，再将变形得，最后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·广东清远·期中）先化简，后求值：，其中，，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式运算——化简求值，完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式，先通过完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式运算法则化简，然后把，代入即可求解，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中a，b的值满足的结果中不含x的二次项和一次项． 【答案】(1)，9 (2)，59 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项，代入数据进行求值即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项；将按照多项式乘以多项式展开，合并，根据结果中不含的二次项和一次项，求得和的值，从而问题可解． 【详解】（1）解：原式． 当，时， 原式． （2）解：原式 ． ． ∵的结果中不含x的二次项和一次项， ∴，， 解得，． 当，时， 原式 ． 【题型5】 利用平方差公式进行多个因式相乘 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）为了利用平方差公式，将原式第一部分乘以和进行配凑然后再连续利用平方差公式计算； （2）把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据有理数的乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式训练】 13．（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记平方差公式是正确解题的关键．平方差公式．完全平方和公式，完全平方差公式． 【详解】解：． 故答案为： ． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式．再原式的基础上乘以，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 15．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）小丽在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似的方法计算： ． 【答案】2 【分析】根据平方差公式解决此题． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键． 16．（22-23七年级下·湖南永州·期中）阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律与交换律，已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是根据平方差公式对所求式子进行化简．根据平方差公式对所求式子进行化简得到，再代入值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 原式， 故答案为：． 【题型6】利用平方差公式解决末位数字问题 【例6】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ... ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故答案为：6． 【变式训练】 17．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）的个位数字为（ ） A．9 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，有理数的乘方运算，解题关键是掌握平方差公式． 先利用平方差公式计算，化简算式后，再求出（为正整数）的个位数字的规律，然后利用规律求解． 【详解】解： ∵，，，，，… ∴（为正整数）的个位数字以3，9，7，1，四个数为一循环， ， ∴的个位数字为， 故选：B． 18．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）计算，结果的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 通过构造平方差公式简化乘积，结合2的幂次个位循环规律求解即可． 【详解】解： ． ∵，，，，，……， ∴2的幂次个位循环规律为：，，，，周期为4． 余0，对应第4位，故的个位为6， 即的个位为， 故选：C． 19．（24-25八年级上·全国·期中）已知：，，，，，，…，设，则的个位数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．把写成后，利用平方差公式化简，归纳总结得到一般性规律，即可确定出的个位数字． 【详解】解： ． 观察已知等式，个位数字以循环，且，能整除， 所以的个位数字是． 故答案为：． 【题型7】 平方差公式的规律探究问题 【例7】（24-25八年级上·福建福州·期末）观察下列算式，完成问题： 算式①：        算式②： 算式③：        算式④： …… (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：______； (2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立； (3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解； (3)不成立，理由见详解； 【分析】本题考查了因式分解——平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．（1）根据规律写出算式⑤即可得到答案； （2）利用平方差公式进行因式分解证明即可得到答案； （3）设两个连续奇数分别为和（为整数），利用平方差公式进行因式分解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意规律可得， ， 故答案为：； （2）证明：设两个连续偶数为和， ∵ ， ∴； （3）解：不成立，理由如下， 证明：设两个连续奇数分别为和（为整数）， ∵ ， ∴ 【变式训练】 20．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列等式： ； ； ； ； … (1)请将2024写成两个整数平方差的形式： ； (2)用含有字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并用已学的数学知识验证这一规律； (3)相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】(1)507，505 (2)规律：，验证见解析 (3)不是．理由见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据并结合题中所给式子即可得解； （2）根据题中所给式子得出规律，再结合平方差公式验证即可； （3）设相邻的两个整数分别为，，其中为整数，再利用平方差公式验证即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：规律：，验证如下： ∵， ∴； （3）解：相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下： 设相邻的两个整数分别为，，其中为整数， ∴， ∵为奇数，不是的倍数， ∴相邻的两个整数的平方差不是4的倍数． 21．（22-23七年级下·江苏常州·期中）观察下列等式： ； ； ； ……． 根据上述规律解答下列问题： (1)任意写出一个有相同规律的等式； (2)直接写出用含有字母n（，且n是正整数）表示上述规律的等式，并说明等式成立． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)；见解析． 【分析】（1）根据题意找规律即可解答； （2）将原题中的规律用含有字母n的等式表示出来再化简即可． 【详解】（1）根据题意可知： （2）根据题意可知： 即 故等式成立． 【点睛】本题考查了数字类规律探索、平方差公式、代数式化简等知识点，根据题意找出规律是解答本题的关键． 22．（22-23八年级上·山西太原·月考）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题目中等式的特点，写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，写出猜想，再将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）. （2））第个等式：. 证明：∵等式左边等式右边， ∴等式成立. 【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，了解等式的特点，是解题关键． 【题型8】 平方差公式的几何背景问题 【例8】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：________________（请选择正确的选项）； A．             B． C．             D． (2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列问题： ①试说明（为整数）是3的倍数； ②已知，，求的值． 【答案】(1)D (2)①见解析；② 【分析】本题考查完全平方公式及平方差公式在几何中得应用，解题的关键是利用公式表示出图形的面积； （1）表示出两个图阴影部分的面积，再根据相等即可求解； （2）①计算出，再根据为整数，得出是3的倍数即可；②利用完全平方公式及平方差公式进行因式分解得出即可求解． 【详解】（1）解：根据图1知，阴影部分的面积是等于大正方形的面积减去小正方形的面积为， 图2知，阴影部分的面积是矩形的面积为， 故， 故选：D； （2）解：①， ∵为整数， ∴整数， ∴是3的倍数， ∴（为整数）是3的倍数； ②∵， ∴，，， ， ∵， ∴． 【变式训练】 23．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何应用，分别表示出图甲、图乙阴影部分的面积，再结合两个图形中阴影部分的面积相等即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：图甲阴影部分的面积可以表示为：， 图乙阴影部分的面积可以表示为：， ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：C． 24．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为21的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为3，则图中阴影部分的总面积为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的应用，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为3，即， ∴阴影面积为． 故选：D． 25．（24-25七年级下·湖南郴州·月考）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)通过观察，图1阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分的面积是 ，可以得到的乘法公式是 ；（用含a，b的等式表示） (2)应用上述乘法公式解答下列问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；②5 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据几何图形得出平方差公式，并利用平方差公式和完全平方公式进行计算，本题熟练掌握平方差公式是关键． （1）分别根据面积公式进行计算，根据图1的面积图2的面积列式即可； （2）①利用平方差公式和完全平方公式进行计算，即可得到计算结果；②先将化为，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积是， 图2中阴影部分的面积是， 可以得到的乘法公式是； 故答案为：；；； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示．    (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； (3)拓展：计算． 【答案】(1) (2)①15；②1 (3)36 【分析】题目主要考查利用平方差公式进行求解计算，熟练掌握是解题关键． （1）根据题中图形求解即可； （2）①将原式因式分解，然后代入求解即可；②利用平方差公式求解即可； （3）根据题意，利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）①因为，， 所以；     ② ； （3） ． 27． 【题型9】平方差公式的新定义问题 【例9】（22-23七年级下·福建三明·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． (1)32这个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式． (2)设两个连续奇数是和（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为39，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，； (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据即可求解； （2）利用平方差公式进行计算，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数； （3）利用阴影部分面积为：，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴32是奇特数； （2）解：由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数， 理由： ； ∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数； （3）解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分的面积是解题关键． 【变式训练】 27．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如：，，则8，16均为“美好数”，在不超过2025的正整数中，所有的“美好数”之和的末尾数字为 ． 【答案】8 【分析】本题考查平方差公式，理解“美好数”的意义是解决问题的前提，得出计算结果的规律性是解决问题的关键． 根据，确定在不超过2025的正整数中，“美好数”共有253个，再求和，根据计算结果可得出答案． 【详解】解：依题意设连续的两个奇数为，， ∴ 解得： 在不超过2025的正整数中，“美好数”共有253个，它们之和为 ， ∴所有的“美好数”之和的末尾数字为8． 故答案为：8 28．（24-25七年级下·湖南常德·期末）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，称这个正整数为“智慧数”．例如：，那么、、、、、为“智慧数”．根据以上信息，第个“智慧数”是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式探究出规律是解题的关键．从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．得出第个“智慧数”是第组中的第2个数，即可求解． 【详解】解：设是正整数，由于， 所以，除1外，所有奇数都是智慧数； 又因为， 所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；被4除余2的正整数都不是智慧数． 从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． 因此，在正整数列中前四个正整数只有为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”． ∵ ∴是第组的第2个数，又每组中第二个不是智慧数．则 故答案为：． 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：，，，因此4，12，20都是“幸运数”． (1)请判断：36____________“幸运数”（填“是”或“不是”）． (2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①佳佳发现：两个连续偶数和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数． ②琪琪发现：2026是“幸运数”． 【答案】(1)是 (2)①佳佳发现的结论正确．理由见解析②琪琪发现的结论错误．理由见解析 【分析】本题考查平方差公式的应用，理解“幸运数”的定义是解题的关键． （1）判断是否可以用两个连续偶数的平方差表示即可； （2）①化简，判断化简后的式子是否为的倍数即可；②令，判断是否是整数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是“幸运数”． 故答案为：是． （2）解：①佳佳发现的结论正确．理由如下： 因为两个连续偶数和2k（其中k取非负整数）构造了“幸运数”， 且 ， 所以两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“幸运数”也是的倍数． ②琪琪发现的结论错误．理由如下： 由①得， 解得． 因为不是非负整数， 所以琪琪的发现不成立，不是“幸运数”． 30．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)正整数52______（填“是”或“不是”）奇巧数；正整数72______（填“是”或“不是”）奇巧数． (2)设两个连续偶数为（其中为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数______（填“是”或“不是”）8的倍数．请通过计算说明理由． (3)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数．请通过计算说明理由． 【答案】(1)是；不是 (2)不是，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于正确理解奇巧数定义． （1）结合奇巧数定义判断即可； （2）计算出的结果并判断，即可解题； （3）设连续的偶数为，，．根据题意列式求差，即可解题． 【详解】（1）解：，， 正整数52是奇巧数，正整数72不是奇巧数； 故答案为：是；不是． （2）解：由题意知： ，（用完全平方公式整理也可） ∴这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数． 故答案为：不是． （3）解：由题意知： 设连续的偶数为，，．（m为整数） 则由题意知： ，（用完全平方公式整理也可） ∴任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数． 或者 ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）下列运算正确的是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项，完全平方公式，平方差公式，积的乘方运算与幂的乘方运算，掌握运算法则是解决此题的关键．利用合并同类项法则，完全平方公式，平方差公式，积的乘方运算法则判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意； B．，故错误，不符合题意； C．，故错误，不符合题意； D．，故正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若三角形的底边长为，该底边上的高为，则此三角形的面积为 （　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形面积计算公式和平方差公式，解题的关键是根据三角形的面积公式列出算式并利用平方差公式进行正确的计算． 利用三角形的面积等于底与高乘积的一半列式求解即可． 【详解】解：三角形的面积为：， 故选A. 3．（24-25七年级下·江苏南京·月考）下列算式中，能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：．根据平方差公式进行判断即可． 【详解】解：A、，不可以用平方差公式计算，不符合题意； B、，可以用平方差公式计算，符合题意； C、，不可以用平方差公式计算，不符合题意； D、，不可以用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 4．（2024七年级下·江苏无锡·专题练习）若干名战士排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么原有战士（   ）人． A．904 B．480 C．240 D．360 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用，设原来每一列中有n人，则8列一共有人，增加120人后组成一个方阵的边长为a，减少120人后组成一个方阵的边长为b，由题意得，，，且a、b都是4的倍数，进而得，再利用240的约数情况进行讨论，求出a、b的值即可求解． 【详解】解：设原来每一列中有n人，则8列一共有人，增加120人后组成一个正方形队列的边长为a，减少120人后组成一个正方形队列的边长为b， ∴增加120人后组成一个正方形队列总人数为，减少120人后组成一个正方形队列总人数为，且a、b都是4的倍数， 由此可得，， ∴， ， ∴当时，满足， 则人， 当时，满足， 则人， ∴原有战士有904人或136人， 故选：A． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方,同底数幂的乘法．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键．由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解： …… ， ∵， ∴每4个为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如，，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（   ） A．58 B．60 C．62 D．64 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，理清“创新数”的定义是解答本题的关键． 根据“创新数”的定义，利用平方差公式逐一判断即可． 【详解】解：设两个连续奇数是和（其中取正整数）， ， 由这两个连续奇数构造的“创新数”是8的倍数． 58、60、62都不是8的倍数， 它们不是“创新数”， 64是8的倍数，且， 64是“创新数”． 故选：D． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，由题意得，根据，，，即可求解； 【详解】解析：大正方形与小正方形的面积之差是， ， ∵，， 由图可得： ． 故选：B 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有两类正方形A、B，其边长分别为a、，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（ ） A．29 B．25 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可． 【详解】解：设正方形，的边长各为，， 得图1中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图2中阴影部分的面积为， 可得：， 解得：或（舍去）； 图3阴影部分的面积为：， ； 故选：A． 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）（ ）． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式结构特征求解即可，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：由， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的用法；根据平方差公式求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，先把原式变形为，然后利用平方差公式计算，即可得出答案．解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算：的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，解题的关键是将原式变形为平方差的形式． 在原式前乘以，再根据平方差公式进行求解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）当时，代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】根据得，根据，变形计算即可. 本题考查了已知式子的值求代数式的值，熟练变形是解题的关键. 【详解】解：，得， 故 故答案为：3. 14．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）利用平方差公式计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．添加构造成平方差公式的形式，再根据平方差公式即可求解； 【详解】解：原式 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）观察等式：；；；若，则用含m的式子表示的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的运算，同底数幂的乘法的逆运算，平方差公式，将要求的算式进行转化是解题的关键，由所给等式，对比两边式子的变化规律，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·四川成都·月考）观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索、求代数式的值，由题意得出根据，结合，得到，求出，代入到代数式求值即可． 【详解】解：∵，，… ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ． 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式的应用以及通过图形面积关系求解差值，解题的关键是明确与两个正方形面积的关系，再结合已知条件计算． 根据图形可知为边长为m的正方形面积减去重叠部分面积，为边长为n的正方形面积减去重叠部分面积，故等于两个正方形面积之差；利用平方差公式结合已知和计算差值． 【详解】解：由图形可知，，． 则． 根据平方差公式 已知 所以． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是根据图形求出面积．设大正方形的边长是小正方形的边长是则，大正方形的面积是，小正方形的面积表示为，阴影部分的面积为8，即，即，化简可得，据此解答． 【详解】解：设大正方形的边长是小正方形的边长是则， ∵阴影部分的面积为8， ∴， ∴， ， ∴． ∴大正方形的面积与小正方形的面积之差为16． 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键 （1）利用多项式乘多项式法则计算即可； （2）先变形，再利用平方差公式计算即可； （3）先变形利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可； （4）先变形两个因式，再利用平方差公式计算，最后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 20．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，熟练掌握乘法公式、准确计算是解题的关键．先根据完全平方、平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算展开，再代值计算． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21．（24-25七年级下·江苏南京·月考）已知下列等式： ； ； ； … 小明发现规律：比任意一个偶数大3的数，与该偶数的平方差能被3整除． (1)填空：___________； (2)直接写出计算的结果：___________； (3)设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除． 【答案】(1)19 (2)1509 (3)见解析 【分析】本题利用平方差公式和观察规律解决问题． （1）根据平方差公式可得出相应的结果； （2）同样利用平方差公式可得出相应的结果； （3）求出比大3的数，再根据平方差公式来证明题目所给的两个数是否能被3整除． 【详解】（1）解：． 故答案为：19． （2）解：． 故答案为：1509． （3）证明：由题意知，比大3的数为， 根据平方差公式，， 由于是整数，因此能被3整除， 即比大3的数与的平方差能被3整除． 22．（24-25七年级下·江苏南京·月考）请观察下列算式，并解答下列问题． ①；②；③； (1)请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：______； (2)设两个连续奇数为，（其中为正整数），写出它们的平方差，并说明结果是的倍数． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查算式规律问题，平方差公式，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． （1）根据题干中的等式写出第④个算式即可； （2）根据题意写出平方差，然后根据已知等式写出等式，再根据已知条件进行说明即可． 【详解】（1）解：由题干中的等式可得第④个算式为， 故答案为：； （2）解：设两个连续奇数为，其中为正整数， 则， 为正整数， 是的倍数，即结果是的倍数． 23．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为 ，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部． b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． 【理解】 （1）填空： ___________． 【运用】（2）若是的共轭复数，求 的值； 【拓展】（3）已知，求的值． 【答案】（1）17；（2）289；（3） 【分析】本体需要利用复数的四则运算，理解题意掌握运算法则是解题的关键． （1）利用平方差公式展开，再根据复数的计算方法进行计算即可； （2）根据共轭复数求出的值，即可得到答案； （3）解出方程得到，即可得到答案． 【详解】解∶（1）， 故答案为：17； （2）， 是的共轭复数， ，， ； （3）由条件可知，， 即， ，， 解得，， ， ， 有个加数， ， ， ， ． 24．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，边长为a的正方形和边长为的正方形拼在一起，其中，B，C，E三点在同一直线上，设图1，图2中阴影部分的面积分别为． (1)试通过计算说明，的值与a的大小无关； (2)①___________（用含a，b的代数式表示）； ②若，，则的值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②10 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）阴影部分面积等于两个正方形的面积和减去空白部分三个三角形的面积，据此列式整理，即可得出结论； （2）①用两个三角形面积之和求出阴影部分的面积即可； ②根据图形列式求出，表示出，然后利用完全平方公式求出，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意知：， ∴的值与a的大小无关； （2）解：① ； ②， ， ， ， ， ， ， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $