第07讲 向心加速度（寒假预习讲义）高一物理人教版

第07讲 向心加速度 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题·讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点·强知识：5大核心考点精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：匀速圆周运动的加速度方向 【问题情景】如图所示，小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，速度大小虽然不变，但方向时刻变化，加速度不为零，如何看待加速度的方向? 1.向心加速度的方向 物体做匀速圆周运动时，所受合力提供向心力，合力的方向总是指向圆心。根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与它所受合力的方向相同，因此，物体做匀速圆周运动时的加速度方向总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。 圆周运动中向心加速度的方向 如下图所示的匀速圆周运动中，物体由A运动到B，在B点作vA和vB的矢量，从vA末端指向vB末端的矢量即为△v。当物体由A运动到B的时间时，的方向沿半径指向圆心，加速度的方向与方向一致，故物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 2.向心加速度的理解 方向 总是指向圆心 特点 与速度的方向总是垂直；向心加速度总是在变化 作用 向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小 意义 描述线速度方向变化快慢的物理量，线速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小 性质 匀速圆周运动是加速度时刻变化的变加速运动 知识点2：匀速圆周运动加速度的大小 1.圆周运动向心力的表达式的推导 由： 2.变速圆周运动的加速度 3.对向心加速度的理解 （1）向心加速度的表达式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。 （2）在变速圆周运动中，物体所受合力不指向圆心，物体的实际加速度也不指向圆心，沿半径指向圆心方向的分加速度为向心加速度a。 （3）在匀速圆周运动中，向心加速度、运动物体的质量、合力三者的关系符合牛顿第二定律。 教材习题01 一部机器与电动机通过皮带连接，机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3倍（图），皮带与两轮之间不发生滑动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度为0.10。 (1)电动机皮带轮与机器皮带轮的转速之比是多少？ (2)机器皮带轮上A点到转轴的距离为轮半径的一半，A点的向心加速度是多少？ (3)电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度是多少？ 解题方法 (1)因电动机和机器由同一皮带连接，所以它们边缘线速度相等，设电动机半径为r1，角速度ω1，机器轮半径为r2，角速度为ω2，由题意知 根据v=rω，得 即 所以 根据ω=2πn，故角速度与转速成正比，故 (2)因A与皮带边缘同轴转动，所以角速度相等，向心加速度与半径成正比，根据a=rω2，得 (3)两轮边缘的线速度相等，根据 得，得 【答案】(1)3：1；(2)0.05m/s2；(3)0.3m/s2 教材习题02 A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比是3：2，它们的向心加速度之比是多少？ 解题方法 【详解】A、B两艘快艇做匀速圆周运动，由于在相同的时间内它们通过的路程之比是4：3，所以它们的线速度之比 由于在相同的时间内运动方向改变的角度之比是3：2，所以它们的角速度之比 由于向心加速度a=vω，故向心加速度之比为 【答案】2：1 考点1：向心加速度的分析与计算 【典例1】（24-25高一下·江苏·阶段练习）静止的湖面上有一小船被绳子拴在湖中的一根木桩上，绳长10m，小船绕木桩转动做匀速圆周运动，10分钟转了3圈，求 (1)小船运动的周期； (2)小船运动的线速度大小； (3)小船运动的向心加速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小船运动的周期 （2）小船运动的线速度大小 （3）小船运动的向心加速度大小 【变式1-1】长l=0.2m的轻绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以大小v=6m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，小球可视为质点，求： (1)小球做匀速圆周运动的向心加速度大小a； (2)小球做匀速圆周运动的角速度ω。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球做匀速圆周运动的向心加速度大小为 （2）小球做匀速圆周运动的角速度为 【变式1-2】如图所示，小球（可视为质点）通过细线绕圆心O在足够大的光滑水平面上做匀速圆周运动。已知小球质量m=0.40kg，线速度大小v=1.0m/s，细线长L=0.25m。求： （1）小球的角速度大小； （2）小球运动一周的时间； （3）小球的向心加速度大小。 【答案】（1）ω=4.0rad/s；（2）；（3）a=4m/s2 【详解】（1）根据，解得 （2）根据，解得 （3）根据向心加速度公式a=rω2 解得 考点2：传动装置中的向心加速度的问题 【典例2】（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）如图所示为一种古老的舂米机。舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O转动，在横梁前端B处固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起；然后提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落，稻谷变为大米。已知，则在横梁绕O转动的过程中（　　） A． B、C的向心加速度大小之比为1:2 B． B、C的角速度大小之比为2:1 C．B、C的线速度大小之比为2:1 D．舂米锤击打稻谷时对稻谷的作用力大于稻谷对舂米锤的作用力 【答案】A 【详解】B．B、C两点的角速度相同，B、C的角速度大小之比为1:1，B错误； A．根据向心加速度表达式，结合，可得B、C的向心加速度大小之比为1:2，A正确； C．根据线速度和角速度的关系，结合，可得B、C的线速度大小之比为1:2，C错误； D．舂米锤击打稻谷时对稻谷的作用力与稻谷对舂米锤的作用力为一对相互作用力，大小相等，方向相反，D错误。 故选A。 【变式2-1】所图所示，定滑轮的半径，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度向下做匀加速运动。在重物由静止下落的瞬间，滑轮边缘上P点向心加速度为多大？ 【答案】 【详解】由得重物下落的速度： P点线速度 P点向心加速度 【变式2-2】如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍。压路机匀速行驶时，以压路机车架为参考系，大轮边缘上A点的向心加速度是12 cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度大小是多少？大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度大小是多少？ 【答案】24cm/s2；4 cm/s2 【详解】AB两点的线速度大小相等，根据，可知，解得 AC两点角速度相同，则根据，可知，解得 考点3：圆周运动中的连接体问题 【典例3】（多选）如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够大的拉力），A、B、C、在同一直线上。时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图（b）所示，则下列说法中正确的有（　　） A．两钉子间的距离为绳长的 B．时细绳拉力的大小为6N C．时细绳拉力的大小为10N D．细绳第三次碰钉子到第四次碰钉子的时间间隔为3s 【答案】ABD 【详解】A．设绳长为，内拉力不变，知 在时线速度大小不能突变，拉力发生突变。内拉力大小保持不变，有 代入图中拉力大小，解得 两钉子之间的间距 故A正确； B．第一个半圈经历的时间为6s，则 第二个半圈的时间为 则在时小球在转第二个半圈，则绳子的拉力为，故B正确； C．小球转第三个半圈的长度 对应时间 时，小球在第三个半圈运动过程中，有 故C错误； D．细绳第三次碰钉子到第四次碰钉子的时间间隔为转第四个半圈对应的时间，则有 ， 故D正确。 故选ABD。 【变式3-1】如图所示，两个小球A、B固定在长为2L的轻杆上，球A质量为2m，球B质量为m。两球绕杆的端点O在竖直面内做匀速圆周运动，B球固定在杆的中点，A球在杆的另一端，不计小球的大小，当小球A在最高点时，OB杆对球B的作用力恰好为零，重力加速度为g。若整个装置在光滑的水平面上绕杆的另一端点O匀速转动时，OB杆的拉力F1与AB杆的拉力F2之比为（　　） A．5∶4 B．4∶5 C．1∶4 D．4∶1 【答案】A 【详解】整个装置在光滑的水平面上绕杆的另一端点O匀速转动时，角速度相同，对A球 对B球 OB杆的拉力F1与AB杆的拉力F2之比为5：4. 故选A。 【变式3-2】一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起。如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大不得超过（两物体均看作质点）（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当m以最大角速度转动时，以M为研究对象 F＝μMg 以m为研究对象 F＋μmg＝mLω2 可得 ω＝ 故选D。 考点4：向心加速度的大小比较 【典例4】如图，竖直放置的正三角形框架，绕过框架顶点的竖直轴匀速转动，A、B为框架上的两点，用aA、aB分别表示A、B两点的向心加速度大小。则aA、aB的大小关系为（    ） A．aA<aB B．aA=aB C．aA>aB D．无法确定 【答案】A 【详解】A、B两点绕竖直轴转动，具有相同的角速度，根据题意可知，根据可知 故选A。 【变式4-1】如图所示是一个陀螺玩具，a、b、c是陀螺表面上的三个点，a、b离中心轴线的距离相同，当中心轴线垂直于地面，且陀螺以角速度稳定旋转时（　　） A．a、b两点的角速度比c点的大 B．a、b两点的加速度比c点的大 C．a、b两点的线速度相同 D．a、b、c三点的线速度大小相等 【答案】B 【详解】A．根据题意知a、b、c三点是同轴转动，角速度相等，A错误； B．由a=rω2，ra=rb＞rc知 aa=ab＞ac 故B正确； CD．由和ra=rb＞rc可知 va=vb＞vc 由于线速度是矢量，所以a、b两点的线速度大小相等，都大于c点的线速度大小，但方向不同，CD错误。 故选B。 【变式4-2】（多选）现在很多小区车库出入口采用如图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成；P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，横杆PQ始终保持水平，在杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两点都是以O点为圆心做匀速圆周运动 B．P、Q两点的线速度始终相同 C．P、Q两点的加速度不同 D．P、Q两点的角速度始终相同 【答案】BD 【详解】A．根据题意可知，Q点到O点的距离一直在变化，故并不是以O点为圆心做匀速圆周运动，故A错误； BCD．P点绕O点做匀速圆周运动，杆PQ始终保持水平，则Q点的运动轨迹也是一个圆周，Q点绕另一个圆心做匀速圆周运动，二者保持相对静止，具有相同的加速度，而且两点的线速度大小相等，则角速度大小相等，故BD正确C错误； 故选BD。 考点5：加速度的突变问题 【典例5】如图所示，质量为m的小球用长为L的悬线固定于O点，在O点正下方O′处钉一个钉子，把悬线拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，则（　　） A．小球的线速度不变 B．小球的向心加速度a突然变小 C．小球的角速度ω不变 D．悬线的张力突然变2倍 【答案】A 【详解】A．当悬线碰到钉子时，线速度大小不变，故A正确； B．当悬线碰到钉子时，线速度大小不变，摆长变小，根据 知，向心加速度变大，故B错误； C．线速度大小不变，摆长变小，根据 知，角速度变大，故C错误； D．根据牛顿第二定律得 线速度大小不变，摆长变小，则悬线的张力变大，但是不一定变为2倍，故D错误。 故选A。 【变式5-1】如图所示，一水平圆盘上放着两个木块和，放在圆盘的边缘处，放在圆心与中间，、与圆心在同一条直线上。、随圆盘绕竖直中心轴一起匀速转动，转动过程中、与圆盘间均未发生相对滑动，下列说法正确的是（　　）    A．两木块的线速度大小相等 B．两木块的向心加速度大小相等 C．两木块运动的周期相等 D．两木块的向心力的大小一定相等 【答案】C 【详解】AC．、随圆盘绕竖直中心轴一起匀速转动，转动过程中、与圆盘间均未发生相对滑动，则两个木块是同轴转动，角速度、周期相同，则由，可知M的线速度大，故A错误，C正确； BD．由，可知M的向心加速度较大，由 可知两木块的质量未知，故向心力关系未知，故D错误。 故选C。 【变式5-2】如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA=OB=AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程中OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是(   ) A．OB绳的拉力范围为0～mg B．OB绳的拉力范围为mg～mg C．AB绳的拉力范围为mg～mg D．AB绳的拉力范围为0～mg 【答案】B 【详解】转动的角速度为零时，OB绳的拉力最小，AB绳的拉力最大，这时二者的值相同，设为T1，则有 2T1cos30°=mg 解得 T1=mg 增大转动的角速度，当AB绳的拉力刚好为零时，OB绳的拉力最大，设这时OB绳的拉力为T2，则有 T2cos30°=mg 解得 T2=mg 因此OB绳的拉力范围mg～mg，AB绳的拉力范围0～mg，故B正确，ACD错误。 故选B。 1．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，A、B两点是风力发电机同一叶片上的两点，A、B两点到转轴的距离之比为2：1，若A点转动的角速度大小为ω1、线速度大小为v1、周期为T1、向心加速度大小为a1；B点转动的角速度大小为ω2、线速度大小为v2、周期为T2、向心加速度大小为a2，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AC．由于A、B两点是同轴转动，因此，，故A、C错误； B．已知，由可知，故B正确； D．由可知，故D错误。 故选B。 2．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）如图所示为电动汽车传动系统中的两个转轮，、两点分别位于大、小轮的边缘上，用、、、分别表示角速度、线速度、周期、向心加速度大小。它们之间靠摩擦传动，接触面不打滑。大轮以某一恒定角速度转动时，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AC．由于大、小两轮属于传动关系，故两点线速度大小相等，即，又因为，根据向心加速度公式，可得，故A正确、C错误； BD．由于，，根据可知，根据可知 故B、D错误。 故选A。 3．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图所示，某同学用苍蝇拍拍打苍蝇时，苍蝇拍上各点均可视为绕拍柄上点做匀速圆周运动，、点分别为拍柄、拍头上的点，且，则、点处质点的向心加速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、两点做同轴转动，角速度相等，根据，结合 可知、点处质点的向心加速度大小之比 故选A。 4．（24-25高一下·河南·期末）如图所示为一种可折叠的四连杆晾衣架结构，四根长度均为的金属细杆通过铰链连成四边形，点固定在墙面支架上。初始时点与点重合，四根细杆紧贴墙面收起。用变力拉动点沿垂直墙面方向运动。已知某时刻点的速率为，则此时点的向心加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A点绕固定点做圆周运动，速度与杆垂直，根据向心加速度公式 解得 故选D。 5．（24-25高一下·福建泉州·期末）德化白瓷制作中，修坯工序需将粗坯置于水平转台上旋转。如图所示，粗坯的对称轴与转台转轴OO′重合，P和Q为粗坯上两点。当转台匀速转动时，P、Q两点（　　） A．加速度大小相等 B．线速度大小相等 C．角速度大小相等 D．一个周期内通过的路程相等 【答案】C 【详解】C．因PQ两点同轴转动，则角速度大小相等，故C正确； A．根据a=ω2r可知，PQ两点转动半径不相等，可知加速度大小不相等，故A错误； B．根据v=ωr可知，PQ两点转动半径不相等，可知线速度大小不相等，故B错误； D．一个周期内通过的路程x=2πr可知，路程不相等，故D错误。 故选C。 6．（24-25高一下·四川广安·期末）2025年春晚节目《秧BOT》中机器人以其灵动的舞姿惊艳全场，展现了科技赋能文化的巨大潜力。图甲是节目中穿着花棉袄的H1机器人正在表演旋转“八角巾”在竖直面内做匀速圆周运动的情境，图乙是“八角巾”边缘上某质点从A点逆时针第一次运动到B点时的过程简化图。线段BC是水平直径，∠AOC=θ（单位：弧度），线段OA是半径，其长度为r，质点运动的时间为t。则该质点的向心加速度的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】质点运动的角速度为 质点运动的向心加速度为 解得 故选D。 7．（24-25高一下·安徽·月考）自行车的局部图如图所示，某同学骑自行车时，与脚踏板相连的大齿轮边缘点线速度为，角速度为，向心加速度为。与后车轮同轴的小齿轮边缘处有一点，后车轮边缘处有一点。已知大齿轮的半径为，小齿轮的半径为，后车轮的半径为。下列判断正确的是（　　） A．点的线速度大小为 B．点的角速度大小为 C．点的向心加速度大小为 D．点的向心加速度大小为 【答案】B 【详解】A．A点与B点靠链条传动，所以线速度大小相等，故错误； B．A点的线速度与角速度之间的关系有 B、C同轴转动，所以B点与C点的角速度相等，即，故正确； C．根据向心加速度公式，A点的向心加速度 B点的向心加速度，故C错误； D．C点的向心加速度，故D错误。 故选B。 8．（多选）（24-25高一下·福建漳州·期末）指尖陀螺是近年来流行的一种减压玩具，让人们在专注于陀螺旋转的过程中，放松身心，缓解紧张情绪。如图所示是一个正在高速旋转的指尖陀螺，a、b是陀螺上的两点，a到转轴的距离是b的两倍，则a、b两点（　　） A．角速度之比为1∶1 B．运动周期之比为2∶1 C．线速度大小之比为2∶1 D．向心加速度大小之比为4∶1 【答案】AC 【详解】根据题意可知，a的运动半径是b运动半径的两倍 AB．根据题意可知，a、b两点做同轴转动，周期相等，角速度相等，故A正确，B错误； C．根据v=ωr可知线速度大小之比为2∶1，故C正确； D．根据an=ω2r可知向心加速度大小之比为2∶1，故D错误。 故选AC。 9．（多选）（24-25高一下·福建宁德·期末）陶瓷是中华瑰宝，是中华文明的重要名片。图甲为陶瓷的拉坯过程，其简化模型如图乙。当粗坯随转台绕中心转轴OO′匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两点的周期相等 B．P、Q两点的向心加速度相等 C．P点的角速度大于Q点的角速度 D．P点的线速度小于Q点的线速度 【答案】AD 【详解】AC．P、Q两点同轴转动，所以P、Q两点的周期相等，角速度相等，故A正确，C错误； BD．根据a=ω2r，v=ωr 由于rP<rQ，可知P点的向心加速度小于Q点的向心加速度，P点的线速度小于Q点的线速度，故B错误，D正确。 故选AD。 10．（多选）（23-24高一下·河北秦皇岛·期末）大型游乐装置“大摆锤”的简图如图所示，摆锤和配重锤分别固定在摆臂两端，并可绕摆臂上的转轴在纸面内转动。若、到的距离之比为2：1，在摆臂匀速转动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．、的线速度大小之比为2：1 B．、的角速度大小之比为1：2 C．、的向心加速度大小之比为2：1 D．、的向心加速度大小之比为1：4 【答案】AC 【详解】、两点同轴转动，所以角速度相等，根据 可得、的线速度大小之比为 根据 可得、的向心加速度大小之比为 故选AC。 11．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，压路机的大轮半径是小轮半径的2倍。压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是，求： (1)小轮边缘上点的向心加速度是多大？ (2)若小轮半径，则压路机行驶的速度是多少。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可知，两轮边缘上的点线速度相等，在匀速圆周运动中，圆周上的点的向心加速度 可得 解得 （2）根据向心加速度 可得 代入数据解得 12．（23-24高一下·四川·阶段练习）运动员趴在雪橇上从山坡沿截面为圆弧型的冰道快速滑降至水平面上的大圆冰道上。雪橇和运动员（可视为质点）的总质量为m，以速度v在大圆轨道上做匀速圆周运动。冰道横截面为半径为的圆的一部分，水平大圆冰道轨道圆心为O，轨道半径为，如图所示。雪橇离圆弧型冰道最低点的竖直高度为h=0.4R。忽略摩擦和空气阻力，重力加速度为g。其中未知，求： （1）圆弧型冰道对雪橇的支持力； （2）雪橇向心加速度的大小； （3）雪橇匀速圆周运动的半径。 【答案】（1），指向横截面为半径为R的圆的圆心；（2）；（3） 【详解】（1）设雪车和横截面为半径为R的圆的圆心连线与竖直方向的夹角为α，则 解得 圆弧型冰道对雪橇的支持力大小为 方向为指向横截面为半径为R的圆的圆心； （2）由牛顿第二定律 解得 （3）由向心加速度公式 解得 13．如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形AB（圆半径比细管的内径大得多）和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知AB部分的半径。弹射装置将一个质量为的小球（可视为质点）以的水平初速度从A点射入轨道，小球从C点离开轨道随即水平抛出，桌子的高度，不计空气阻力，g取。求： （1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω、向心加速度a的大小； （2）小球在空中做平抛运动的时间及落到地面D点时的速度大小。 【答案】（1）ω = 3rad/s，a = 9m/s2；（2）t = 0.4s，vD = 5m/s 【详解】（1）小球在半圆轨道上做匀速圆周运动运动，则有 v0 = ωR，a = ω2R 代入数据有 ω = 3rad/s，a = 9m/s2 （2）小球在空中做平抛运动，竖直方向有 h = gt2，vy = gt 解得 t = 0.4s，vy = 4m/s 则D点的速度大小为 vD = = 5m/s 14．如图所示长方形光滑水平台面WXYZ，WX边长为1.0m，XY边长为1.5m，距离地面h=0.8m。一质量m=1kg的小球从W静止出发，在CD区域之间受到沿着WZ方向恒力F1的作用，F1=25N，CD区域沿WZ方向间距为d，d=0.5m。当小球到达D点时撤去F1，并立即对小球施加变力F2，使得小球开始做半径R=1m的匀速圆周运动，最终小球从Y点离开光滑水平台面开始做平抛运动。取g=10m/s2： （1）求F2的大小； （2）求小球在光滑水平台面运动的总时间； （3）求小球平抛的水平位移。 【答案】（1）；（2）0.51s；（3）2m 【详解】（1）小球在CD之间，根据牛顿第二定律 匀变速直线运动 解得 之后做匀速圆周运动 （2）小球开始匀加速时间，结合（1）得到 小球做匀速圆周运动，根据线速度公式 得到 运动总时间 （3）小球做平抛运动，在竖直方向则有 在水平方向有 解得 ， 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 向心加速度 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题·讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点·强知识：5大核心考点精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：匀速圆周运动的加速度方向 【问题情景】如图所示，小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，速度大小虽然不变，但方向时刻变化，加速度不为零，如何看待加速度的方向? 1.向心加速度的方向 物体做匀速圆周运动时，所受合力提供向心力，合力的方向总是指向圆心。根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与它所受合力的方向相同，因此，物体做匀速圆周运动时的加速度方向总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。 圆周运动中向心加速度的方向 如下图所示的匀速圆周运动中，物体由A运动到B，在B点作vA和vB的矢量，从vA末端指向vB末端的矢量即为△v。当物体由A运动到B的时间时，的方向沿半径指向圆心，加速度的方向与方向一致，故物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 2.向心加速度的理解 方向 总是指向圆心 特点 与速度的方向总是垂直；向心加速度总是在变化 作用 向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小 意义 描述线速度方向变化快慢的物理量，线速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小 性质 匀速圆周运动是加速度时刻变化的变加速运动 知识点2：匀速圆周运动加速度的大小 1.圆周运动向心力的表达式的推导 由： 2.变速圆周运动的加速度 3.对向心加速度的理解 （1）向心加速度的表达式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。 （2）在变速圆周运动中，物体所受合力不指向圆心，物体的实际加速度也不指向圆心，沿半径指向圆心方向的分加速度为向心加速度a。 （3）在匀速圆周运动中，向心加速度、运动物体的质量、合力三者的关系符合牛顿第二定律。 教材习题01 一部机器与电动机通过皮带连接，机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3倍（图），皮带与两轮之间不发生滑动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度为0.10。 (1)电动机皮带轮与机器皮带轮的转速之比是多少？ (2)机器皮带轮上A点到转轴的距离为轮半径的一半，A点的向心加速度是多少？ (3)电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度是多少？ 解题方法 (1)因电动机和机器由同一皮带连接，所以它们边缘线速度相等，设电动机半径为r1，角速度ω1，机器轮半径为r2，角速度为ω2，由题意知 根据v=rω，得 即 所以 根据ω=2πn，故角速度与转速成正比，故 (2)因A与皮带边缘同轴转动，所以角速度相等，向心加速度与半径成正比，根据a=rω2，得 (3)两轮边缘的线速度相等，根据 得，得 【答案】(1)3：1；(2)0.05m/s2；(3)0.3m/s2 教材习题02 A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比是3：2，它们的向心加速度之比是多少？ 解题方法 【详解】A、B两艘快艇做匀速圆周运动，由于在相同的时间内它们通过的路程之比是4：3，所以它们的线速度之比 由于在相同的时间内运动方向改变的角度之比是3：2，所以它们的角速度之比 由于向心加速度a=vω，故向心加速度之比为 【答案】2：1 考点1：向心加速度的分析与计算 【典例1】（24-25高一下·江苏·阶段练习）静止的湖面上有一小船被绳子拴在湖中的一根木桩上，绳长10m，小船绕木桩转动做匀速圆周运动，10分钟转了3圈，求 (1)小船运动的周期； (2)小船运动的线速度大小； (3)小船运动的向心加速度大小。 【变式1-1】长l=0.2m的轻绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以大小v=6m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，小球可视为质点，求： (1)小球做匀速圆周运动的向心加速度大小a； (2)小球做匀速圆周运动的角速度ω。 【变式1-2】如图所示，小球（可视为质点）通过细线绕圆心O在足够大的光滑水平面上做匀速圆周运动。已知小球质量m=0.40kg，线速度大小v=1.0m/s，细线长L=0.25m。求： （1）小球的角速度大小； （2）小球运动一周的时间； （3）小球的向心加速度大小。 考点2：传动装置中的向心加速度的问题 【典例2】（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）如图所示为一种古老的舂米机。舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O转动，在横梁前端B处固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起；然后提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落，稻谷变为大米。已知，则在横梁绕O转动的过程中（　　） A． B、C的向心加速度大小之比为1:2 B． B、C的角速度大小之比为2:1 C．B、C的线速度大小之比为2:1 D．舂米锤击打稻谷时对稻谷的作用力大于稻谷对舂米锤的作用力 【变式2-1】所图所示，定滑轮的半径，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度向下做匀加速运动。在重物由静止下落的瞬间，滑轮边缘上P点向心加速度为多大？ 【变式2-2】如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍。压路机匀速行驶时，以压路机车架为参考系，大轮边缘上A点的向心加速度是12 cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度大小是多少？大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度大小是多少？ 考点3：圆周运动中的连接体问题 【典例3】（多选）如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够大的拉力），A、B、C、在同一直线上。时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图（b）所示，则下列说法中正确的有（　　） A．两钉子间的距离为绳长的 B．时细绳拉力的大小为6N C．时细绳拉力的大小为10N D．细绳第三次碰钉子到第四次碰钉子的时间间隔为3s 【变式3-1】如图所示，两个小球A、B固定在长为2L的轻杆上，球A质量为2m，球B质量为m。两球绕杆的端点O在竖直面内做匀速圆周运动，B球固定在杆的中点，A球在杆的另一端，不计小球的大小，当小球A在最高点时，OB杆对球B的作用力恰好为零，重力加速度为g。若整个装置在光滑的水平面上绕杆的另一端点O匀速转动时，OB杆的拉力F1与AB杆的拉力F2之比为（　　） A．5∶4 B．4∶5 C．1∶4 D．4∶1 【变式3-2】一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起。如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大不得超过（两物体均看作质点）（　　）    A． B． C． D． 考点4：向心加速度的大小比较 【典例4】如图，竖直放置的正三角形框架，绕过框架顶点的竖直轴匀速转动，A、B为框架上的两点，用aA、aB分别表示A、B两点的向心加速度大小。则aA、aB的大小关系为（    ） A．aA<aB B．aA=aB C．aA>aB D．无法确定 【变式4-1】如图所示是一个陀螺玩具，a、b、c是陀螺表面上的三个点，a、b离中心轴线的距离相同，当中心轴线垂直于地面，且陀螺以角速度稳定旋转时（　　） A．a、b两点的角速度比c点的大 B．a、b两点的加速度比c点的大 C．a、b两点的线速度相同 D．a、b、c三点的线速度大小相等 【变式4-2】（多选）现在很多小区车库出入口采用如图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成；P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，横杆PQ始终保持水平，在杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两点都是以O点为圆心做匀速圆周运动 B．P、Q两点的线速度始终相同 C．P、Q两点的加速度不同 D．P、Q两点的角速度始终相同 考点5：加速度的突变问题 【典例5】如图所示，质量为m的小球用长为L的悬线固定于O点，在O点正下方O′处钉一个钉子，把悬线拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，则（　　） A．小球的线速度不变 B．小球的向心加速度a突然变小 C．小球的角速度ω不变 D．悬线的张力突然变2倍 【变式5-1】如图所示，一水平圆盘上放着两个木块和，放在圆盘的边缘处，放在圆心与中间，、与圆心在同一条直线上。、随圆盘绕竖直中心轴一起匀速转动，转动过程中、与圆盘间均未发生相对滑动，下列说法正确的是（　　）    A．两木块的线速度大小相等 B．两木块的向心加速度大小相等 C．两木块运动的周期相等 D．两木块的向心力的大小一定相等 【变式5-2】如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA=OB=AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程中OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是(   ) A．OB绳的拉力范围为0～mg B．OB绳的拉力范围为mg～mg C．AB绳的拉力范围为mg～mg D．AB绳的拉力范围为0～mg 1．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，A、B两点是风力发电机同一叶片上的两点，A、B两点到转轴的距离之比为2：1，若A点转动的角速度大小为ω1、线速度大小为v1、周期为T1、向心加速度大小为a1；B点转动的角速度大小为ω2、线速度大小为v2、周期为T2、向心加速度大小为a2，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）如图所示为电动汽车传动系统中的两个转轮，、两点分别位于大、小轮的边缘上，用、、、分别表示角速度、线速度、周期、向心加速度大小。它们之间靠摩擦传动，接触面不打滑。大轮以某一恒定角速度转动时，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图所示，某同学用苍蝇拍拍打苍蝇时，苍蝇拍上各点均可视为绕拍柄上点做匀速圆周运动，、点分别为拍柄、拍头上的点，且，则、点处质点的向心加速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南·期末）如图所示为一种可折叠的四连杆晾衣架结构，四根长度均为的金属细杆通过铰链连成四边形，点固定在墙面支架上。初始时点与点重合，四根细杆紧贴墙面收起。用变力拉动点沿垂直墙面方向运动。已知某时刻点的速率为，则此时点的向心加速度大小为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建泉州·期末）德化白瓷制作中，修坯工序需将粗坯置于水平转台上旋转。如图所示，粗坯的对称轴与转台转轴OO′重合，P和Q为粗坯上两点。当转台匀速转动时，P、Q两点（　　） A．加速度大小相等 B．线速度大小相等 C．角速度大小相等 D．一个周期内通过的路程相等 6．（24-25高一下·四川广安·期末）2025年春晚节目《秧BOT》中机器人以其灵动的舞姿惊艳全场，展现了科技赋能文化的巨大潜力。图甲是节目中穿着花棉袄的H1机器人正在表演旋转“八角巾”在竖直面内做匀速圆周运动的情境，图乙是“八角巾”边缘上某质点从A点逆时针第一次运动到B点时的过程简化图。线段BC是水平直径，∠AOC=θ（单位：弧度），线段OA是半径，其长度为r，质点运动的时间为t。则该质点的向心加速度的大小是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·安徽·月考）自行车的局部图如图所示，某同学骑自行车时，与脚踏板相连的大齿轮边缘点线速度为，角速度为，向心加速度为。与后车轮同轴的小齿轮边缘处有一点，后车轮边缘处有一点。已知大齿轮的半径为，小齿轮的半径为，后车轮的半径为。下列判断正确的是（　　） A．点的线速度大小为 B．点的角速度大小为 C．点的向心加速度大小为 D．点的向心加速度大小为 8．（多选）（24-25高一下·福建漳州·期末）指尖陀螺是近年来流行的一种减压玩具，让人们在专注于陀螺旋转的过程中，放松身心，缓解紧张情绪。如图所示是一个正在高速旋转的指尖陀螺，a、b是陀螺上的两点，a到转轴的距离是b的两倍，则a、b两点（　　） A．角速度之比为1∶1 B．运动周期之比为2∶1 C．线速度大小之比为2∶1 D．向心加速度大小之比为4∶1 9．（多选）（24-25高一下·福建宁德·期末）陶瓷是中华瑰宝，是中华文明的重要名片。图甲为陶瓷的拉坯过程，其简化模型如图乙。当粗坯随转台绕中心转轴OO′匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两点的周期相等 B．P、Q两点的向心加速度相等 C．P点的角速度大于Q点的角速度 D．P点的线速度小于Q点的线速度 10．（多选）（23-24高一下·河北秦皇岛·期末）大型游乐装置“大摆锤”的简图如图所示，摆锤和配重锤分别固定在摆臂两端，并可绕摆臂上的转轴在纸面内转动。若、到的距离之比为2：1，在摆臂匀速转动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．、的线速度大小之比为2：1 B．、的角速度大小之比为1：2 C．、的向心加速度大小之比为2：1 D．、的向心加速度大小之比为1：4 11．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，压路机的大轮半径是小轮半径的2倍。压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是，求： (1)小轮边缘上点的向心加速度是多大？ (2)若小轮半径，则压路机行驶的速度是多少。 12．（23-24高一下·四川·阶段练习）运动员趴在雪橇上从山坡沿截面为圆弧型的冰道快速滑降至水平面上的大圆冰道上。雪橇和运动员（可视为质点）的总质量为m，以速度v在大圆轨道上做匀速圆周运动。冰道横截面为半径为的圆的一部分，水平大圆冰道轨道圆心为O，轨道半径为，如图所示。雪橇离圆弧型冰道最低点的竖直高度为h=0.4R。忽略摩擦和空气阻力，重力加速度为g。其中未知，求： （1）圆弧型冰道对雪橇的支持力； （2）雪橇向心加速度的大小； （3）雪橇匀速圆周运动的半径。 13．如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形AB（圆半径比细管的内径大得多）和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知AB部分的半径。弹射装置将一个质量为的小球（可视为质点）以的水平初速度从A点射入轨道，小球从C点离开轨道随即水平抛出，桌子的高度，不计空气阻力，g取。求： （1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω、向心加速度a的大小； （2）小球在空中做平抛运动的时间及落到地面D点时的速度大小。 14．如图所示长方形光滑水平台面WXYZ，WX边长为1.0m，XY边长为1.5m，距离地面h=0.8m。一质量m=1kg的小球从W静止出发，在CD区域之间受到沿着WZ方向恒力F1的作用，F1=25N，CD区域沿WZ方向间距为d，d=0.5m。当小球到达D点时撤去F1，并立即对小球施加变力F2，使得小球开始做半径R=1m的匀速圆周运动，最终小球从Y点离开光滑水平台面开始做平抛运动。取g=10m/s2： （1）求F2的大小； （2）求小球在光滑水平台面运动的总时间； （3）求小球平抛的水平位移。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $