第11讲 万有引理论的成就（寒假预习讲义）高一物理人教版

第11讲 万有引力理论的成就 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题·讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点·强知识：6大核心考点精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：“称量”地球的质量 地球质量远远超出我们的想像，又不能像地面上的物体那样，用天平称量其质量，如何得到地球等天体的质量呢？ 1. “代换法”称量地球的质量（自力更生） （1）称量依据：不考虑地球自转的影响，利用在地球表面或附近的物体m，万有引力近似等于重力，即（g为天体表面的重力加速度） （2）地球质量的大小： 2. “环绕法”计算地球的质量（借助外援） （1）卫星（或航天器）绕地球的运动视为运算圆周运动，所需的向心力由地球对卫星的万有引力提供。 （2）关系式： ①已知卫星做圆周运动的轨道半径为r和周期为T：由，得 ②已知卫星做圆周运动的轨道半径r和线速度v ，，得： ③其他方法：，式中a表示向心加速度，而向心加速度又有、、、这样几种表达式，要根据具体问题，把这几种表达式代入方程，讨论相关问题。 知识点2：计算太阳（或中心天体）的质量 太阳质量的计算方法与地球质量的计算方法是相同的，即“代换法”和“环绕法”。其他中心天体质量的计算方法也是如此。 代换法（或自力更生法） 环绕法（或借助外援法） 情景 已知天体(如地球)的半径R和天体表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动 思路 物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力： mg＝G，gR2＝GM(黄金代换) 行星或卫星受到的万有引力充当向心力： G＝m或G＝mω2r或 结果 天体(如地球)质量：M＝ 中心天体质量：M＝或M＝或M＝ (1)在解答题目时，有些物理量可作为已知条件处理：如地球的公转周期 365 天、地球的自转周期1天、月球的公转周期约 27.3天等都可作为已知条件使用。 (2)求解中心天体的质量时，不考虑中心天体自转对天体表面物体的影响，将环绕椭圆轨道视为圆轨道，如无特别说明或暗示，今后解答题目时都按照近似法处理。 （3）在天体问题的计算中，一定要区分R与r的不同，R通常是中心天体的半径，r是环绕天体的轨道半径。 知识点3：计算天体的密度 （1）基础知识：球体的体积，密度 （2）两种模型：中心天体是恒星和中心天体是行星 1.利用天体表面的重力加速度求密度 取天体表面上质量为m的物体为研究对象，由mg＝G和，得中心天体的密度。其中g为天体表面的重力加速度，R为天体的半径。 2.利用天体的卫星求密度 设绕某天体做圆周运动的卫星的轨道半径为r，周期为T，天体的半径为R，可列方程： 得天体的密度： 宇宙中的双星模型 1. 双星系统 如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫作“双星”． 2．双星模型的特点 (1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度都相同． (4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L. 3. 双星问题的处理方法 双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即：，由此可得： (1)，星体运动的轨道半径和质量成反比，双星系统的转动中心离质量较大的星体近． (2)由于、r1＋r2＝L，可得： ①两恒星质量之和：； ②两轨道半径：， ④星体转动的周期： 知识点4：发现未知天体 1. 海王星的发现 （1）发现问题：18世纪，人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差． (2)理论推导：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信天王星轨道外面还有一颗未发现的行星：并根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道，人们称其为“笔尖下发现的行星”后来，这颗行星被命名为海王星。 (3)实践检验：1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星--海王星。 2. 预言哈雷彗星的回归 英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算了一颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归,这颗彗星就是著名的哈雷彗星。 教材习题01 已知月球的质量是，半径，求： （1）月球表面的自由落体加速度有多大？(保留三位有效数字) （2）这对宇航员在月球表面行走会产生什么影响？ （3）若宇航员在地面上最多举起质量为m的物体，他在月球表面最多能举起质量是m的多少倍？（保留整数） 解题方法 （1）根据物体在月球表明受到的万有引力等于重力，可得 可得月球表面的重力加速度大小为 （2）在月球上人感觉很轻，习惯在地球表面行走的人，在月球表面行走的时是跳跃前进的。 （3）根据 可知宇航员在地面上最多举起质量为m的物体，他在月球表面最多能举起质量是m的6倍。 【答案】（1）；（2）在月球上人感觉很轻，习惯在地球表面行走的人，在月球表面行走的时是跳跃前进的；（3）6 教材习题02 根据万有引力定律和牛顿第二定律说明： (1)为什么不同物体在地球表面的自由落体加速度都是相等的？ (2)为什么高山上自由落体加速度比地面小？ 解题方法 (1)设地球质量为M，半径为R，对质量为m的物体，在地表根据万有引力定律可知 ，解得： ，与物体质量无关，所以不同物体在地球表面的自由落体加速度都是相等的． (2)物体据地表高度为h，则可知， ，所以高山上自由落体加速度比地面小． 【答案】略 教材习题03 地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆（图）。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年。 （1）请你根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍？ （2）若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，请比较哪个速度大，并求得哈雷彗星在近日点和远日点的加速度大小之比。 解题方法 （1）设哈雷彗星轨道的半长轴为r，公转周期为T，地球公转半径为R公转周期为T0，据开普勒行星运动定律有，解得 由题知，T0 = 1年，T = 2061年 - 1986年 = 75年，代入上式解得 （2）由开普勒行星运动面积定律可得，近日点的线速度v1大于远日点的线速度v2。 由牛顿第二定律和万有引力定律有a = ， F = 解得a1：a2 = 【答案】（1）；（2）v1 > v2，a1：a2 = 题型1：“黄金代换式”计算天体的质量 【典例1】2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。我国航天局发布了由“天问一号”拍摄的首张火星图像（如图）。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为，轨道半径为，已知火星的半径为，引力常量为，不考虑火星的自转。下列说法正确的是（　　） A．火星的质量 B．火星的质量 C．火星表面的重力加速度的大小 D．火星表面的重力加速度的大小 【答案】A 【详解】AB．设“天问一号”的质量为，万有引力提供向心力，有，得，故A正确，B错误； CD．不考虑火星自转，则万有引力提供重力，有，将代入可得，故CD错误。 故选A。 【变式1-1】已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】地球表面物体重力等于万有引力，解得引力常量为 地球围绕太阳做圆周运动，由万有引力提供向心力有，解得 上式中代入引力常量的表达式可得 故选B。 【变式1-2】若已知引力常量，重力加速度取，地球半径，则可知地球质量的数量级是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在地球表面有，解得，代入数据得 选项D正确，ABC错误； 故选D。 题型2：利用自由落体运动求中心天体的质量和密度 【典例2】（24-25高一下·广西百色·期中）假设航天员在探索某颗质量为地球质量的4倍、半径也为地球半径的4倍的星球。航天员从离该星球表面高度为1.25m处以大小为的速度水平抛出一小球，取地球表面重力加速度大小，不考虑地球和该星球的自转，则该小球从抛出到落至星球表面过程中的水平位移大小为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 【答案】A 【详解】设质量为的物体在该星球表面上，不考虑该星球的自转，故万有引力等于重力，则有 解得星球表面重力加速度 已知该星球质量，半径 ，则有，代入得 该小球在竖直方向做自由落体运动，则有 ，解得 该小球在水平做匀速直线运动，可得水平位移为 故选A。 【变式2-1】（24-25高一下·山东青岛·期中）某星球的质量为地球质量的5倍，半径为地球半径的3倍，在该星球表面从某一高度以10m/s的初速度竖直向上抛出一物体，已知地球表面重力加速度大小为，不计空气阻力，则该物体从被抛出到上升到最高点时的时间为（　　） A．1s B．1.5s C．1.8s D．2s 【答案】C 【详解】在地球表面上有 解得地球表面的重力加速度为 同理，设该星球的重力加速度为 ，则有 其中， 联立解得 竖直上抛到最高点时速度为零，则运动的时间为 故选C。 【变式2-2】已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为和，则   ：约为　　 A．9：4 B．6：1 C．3：2 D．1：1 【答案】A 【详解】设月球质量为，半径为，地球质量为M，半径为R。已知， 根据万有引力等于重力得 则有，因此…① 由题意从同样高度抛出…② 联立①、②解得 在地球上的水平位移 在月球上的 因此得到，故A正确，BCD错误。 故选A。 题型3：“自力更生法”求天体的质量和密度 【典例3】北京时间2019年4月10日21时，天文学家召开全球新闻发布会，宣布首次直接拍摄到黑洞的照片，体积极小的天体，它的引力很大，连光都无法逃脱。若某黑洞表面的物体速度达到光速c时。恰好围绕其表面做匀速圆周运动，已知该黑洞的半径为R，引力常量为G，则可推测这个黑洞的密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设黑洞的质量为M，半径为，则黑洞的密度 设质量为m的物体在该黑洞表面，则， 黑洞表面的物体做匀速圆周运动的速度为光速c，则根据牛顿第二定律可得， 联立可得，故选A。 【变式3-1】（23-24高一下·云南红河·开学考试）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同，已知地球表面两极处的重力加速度大小为，在赤道处的重力加速度大小为，地球自转的周期为，引力常量为。假设地球可视为质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（　　） A．质量为的物体在地球北极受到的重力大小为 B．质量为的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为 C．地球的半径为 D．地球的密度为 【答案】B 【详解】A．质量为的物体在地球北极受到的重力大小为，故A错误； B．质量为的物体在地球赤道上受到的万有引力大小等于在地球北极受到的万有引力大小，即质量为的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为，故B正确； C．设地球的质量为，半径为，在赤道处随地球做圆周运动物体的质量为，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的周期等于地球自转的周期，轨道半径等于地球半径，对在赤道上随地球自转而做圆周运动的物体，由牛顿第二定律得 在地球两极处的物体受到的重力等于万有引力，则 代入得，地球半径为，故C错误； D．因为，所以质量为 地球的体积为，地球密度为 故D错误。 故选B。 【变式3-2】已知物体在地球赤道上的重力加速度为g，在极点处的重力加速度为，引力常量为G，地球自转周期为T，将地球视为质量均匀分布的球体，则地球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设地球质量为，地球半径为，地球的平均密度为；在极点处有 在赤道处有，又，联立解得 故选B。 题型4：“借助外援法”计算中心天体的质量和密度 【典例4】（24-25高一下·海南海口·期中）已知月球绕地球做圆周运动的半径为，周期为，地球的半径为，引力常量为，下列说法正确的是（    ） A．地球的质量为 B．地球的质量为 C．地球的密度为 D．地球的密度为 【答案】A 【详解】AB．月球绕地球做圆周运动的向心力由地球对月球的万有引力提供，则根据 可得地球的质量为，选项A正确，B错误； CD．地球的密度为，选项CD错误。 故选A。 【变式4-1】（2025·安徽芜湖·二模）2025年中国航天将迎来更多突破，新一代载人飞船和月面着陆器将进入实质性测试阶段，我国第四批预备航天员不仅要执行空间站任务，未来也将执行载人登月任务。假设以同样大小的初速度分别在月面和地面竖直上抛小球（不计地面上的空气阻力），小球在月面上升的最大高度为在地面上的6倍。已知地球半径为月球半径的4倍，则地球和月球的平均密度之比为（　　） A．6∶1 B．1∶6 C．2∶3 D．3∶2 【答案】D 【详解】根据，可得 根据，，可得 故选D。 【变式4-2】（23-24高一下·北京·期末）如图所示，某人造地球卫星对地球的张角为，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，万有引力常量为G，由此可估算地球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设地球半径为，卫星的轨道半径为，根据几何关系可得 根据万有引力提供向心力 解得，又，解得 故选B。 题型5：双星系统 【典例5】（24-25高一下·山东烟台·期末）宇宙中相距较近的两颗恒星组成一个系统，在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上同一点做周期相同的匀速圆周运动，如图所示，a、b两颗恒星的质量分别为m1、m2，现测得a、b的轨道半径之比为1∶3，a、b中心间距离为L，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．a、b的质量之比m1∶m2=1∶3 B．a、b做圆周运动的线速度之比为3∶1 C．a、b做圆周运动的加速度之比为1∶1 D．a、b做圆周运动的角速度为 【答案】D 【详解】A．a、b两颗恒星做圆周运动的角速度相等，由万有引力提供向心力，所以a、b两颗恒星做圆周运动的向心力大小相等，则有，可得a、b的质量之比，故A错误； B．根据v=ωr，可得a、b做圆周运动的线速度之比为，故B错误； C．根据a=ω2r，可得a、b做圆周运动的加速度之比为，故C错误； D．根据万有引力提供向心力可得， 又 联立解得a、b做圆周运动的角速度为，故D正确。 故选D。 【变式5-1】（24-25高一下·天津南开·期中）2021年2月 25日从中国科学院云南天文台获悉，近期国内多个团队合作，利用清华大学一马化腾巡天望远镜(TMTS)，发现了一颗距离地球2761光年的致密双星系统-TMTSJ0526，已知组成某双星系统的两颗恒星A 和B，质量分别为m1和m2，相距为L。在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一点，在同一平面内做匀速圆周运动，运动过程中二者之间的距离始终不变。已知引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．A和B的角速度之比为 B．A和B的向心加速度大小之比为 C．A的轨道半径为 D．A和B的运动周期均 【答案】D 【详解】A．双星系统中，两星体的角速度相同，故A和B的角速度之比为，故A错误； B．双星系统中，由相互作用的万有引力提供向心力，所以A和B的向心力大小相等，则有 可得A和B的轨道半径之比为 根据，可得A和B的向心加速度大小之比为，故B错误； C．根据， 可得A的轨道半径为，故C错误； D．根据万有引力提供向心力可得， 联立解得A和B的运动周期均，故D正确。 故选D。 【变式5-2】（24-25高一下·天津南开·期末）由A、B两颗恒星组成的双星系统如图所示，A、B绕连线上一点O做匀速圆周运动，A、B到O点的距离分别为，A、B的质量分别为，引力常量为G，不计其他天体对该双星系统的作用。下列说法正确的是（　　） A．A恒星受到B恒星的万有引力大小为 B．A恒星做匀速圆周运动的周期为 C．A、B恒星的质量与轨道半径满足关系式 D．A、B恒星的线速度与轨道半径满足关系式 【答案】C 【详解】A．根据万有引力定律知，A恒星受到B恒星的万有引力大小为，故A错误； BC．由牛顿第二定律，对A恒星和B恒星，有 联立，解得， 故B错误；C正确； D．根据，可知A、B恒星的线速度与轨道半径满足关系式，故D错误。 故选C。 题型6：多星运动问题 【典例6】在恒星形成后的演化过程中，一颗恒星可能在运动中接近并捕获另外两颗恒星，逐渐形成稳定的三星系统。如图所示是由三颗星体构成的系统，星体B、C的质量均为，星体A的质量是星体B的4倍，忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内做圆周运动。星体A、B、C的向心加速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由儿何关系知 设B、A间的距离为，则 A所受的合力 联立可得 由几何对称性可知星体B、C受力大小相等，根据牛顿第三定律 又 设星体B所受的合力为，正交分解，有， 则 则 故选A。 【变式6-1】（24-25高一下·湖北荆州·期末）“三星系统”与“双星系统”都是宇宙中存在的天体系统。两种系统中，天体均可在万有引力的作用下绕共同的圆心做匀速圆周运动。如图分别为两种天体系统的示意图，图中五个球形天体的质量均为 M，天体中心连线的长度均为L，星球距离远大于星球半径，万有引力常量为 G。“三星系统”与“双星系统”运动周期之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对“三星系统”中的一颗星进行受力分析然后根据牛顿第二定律得 由几何关系得 对“双星系统”中的一颗星进行受力分析然后根据牛顿第二定律得 联立可得 故选A。 【变式6-2】宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则下列说法中不正确的是（　　） A．每颗星做圆周运动的线速度大小为 B．每颗星做圆周运动的角速度为 C．每颗星做圆周运动的周期为 D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 【答案】D 【详解】每颗星受到的合力为F＝2Gsin 60°＝G，轨道半径为r＝R 由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r＝mr，解得，v＝，， 显然加速度a与m有关，故ABC正确，D错误。 此题选择不正确的，故选D。 1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）地球不仅是人类文明的摇篮，更是宇宙中罕见的宜居行星，其复杂系统与演化历史持续激发科学探索的热情。已知地球星体半径，地球围绕太阳公转的周期，轨道半径，万有引力常量。利用以上物理量，我们可以得到太阳的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】地球绕太阳运动，万有引力提供向心力有 解得 故选B。 2．（24-25高一下·辽宁·期中）某次科学实验中，用火箭将一个质量m=1kg的物体和一颗卫星一起送上太空，某时刻物体随火箭一起竖直向上做加速运动，加速度大小为a=2m/s2，而称量物体的台秤显示物体的重力为4.5N。已知地球表面重力加速度g取10m/s2，地球半径R=6.4×106m，不计地球自转的影响，则下列说法正确的是（　　） A．此处的重力加速度为5m/s2 B．此处的重力加速度为10m/s2 C．此时火箭离地面的高度h=3.2×106m D．此时火箭离地面的高度h=6.4×106m 【答案】D 【详解】对物体受力分析可知，物体受到支持力和万有引力作用，支持力即台秤显示的数值，由牛顿第二定律有 又有 地球表面上物体受到的重力等于万有引力有 其中 解得，，故D正确，ABC错误。 故选D。 3．（24-25高一下·广东广州·期中）火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器。起飞前，火箭静止在地球表面。起飞后，火箭以加速度竖直向上做匀加速直线运动（为地面附近的重力加速度）。升到某一高度时，测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的，已知地球半径为R，该处离地面的高度h为（　　） A．2R B．R C． D． 【答案】B 【详解】设地球质量为M，测试仪器质量为m，取测试仪为研究对象，起飞前，火箭静止在地球表面，可知测试仪对平台压力大小等于重力mg，在某一高度h处，由牛顿第二定律可得 联立解得 根据万有引力等于重力有，联立解得 故选B。 4．（24-25高一下·江西·期中）按照我国的火星探测任务计划，天问三号将于2031年前后采集火星样品返回地球。若火卫一（火星的卫星）绕火星做匀速圆周运动的周期为T、轨道半径为r，引力常量为G，火星的半径为R且看成匀质球体。不考虑星体的自转，则火星表面的重力加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对火卫一，根据万有引力提供向心力有 解得火星质量 在火星表面有 联立解得 故选A。 5．“FAST精细刻画活跃重复快速射电暴”入选2022年度中国科学十大进展，这些快速射电暴极有可能处在超新星遗迹等环境中。假定地球的自转周期变为时，则地表会缺少引力束缚而解体。若FAST检测到的周期为的脉冲是由某种星体的自转所致，即该星的自转周期为，地球的平均密度取，则这种星体的密度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】地表恰好缺少引力束缚时 该星体的密度为 联立可得 假设某种星体的自转的周期为时，恰好未解体，此时其周期为地球自转周期的，则其密度是地球的倍，即为，故自转的周期为时，若未解体，则密度应大于。 故选D。 6．中国天眼发现距地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据科学家测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为60°。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的向心加速度为，则E位置的向心加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A位置的重力加速度由万有引力提供得 D位置万有引力提供重力加速度和向心加速度 E位置的向心加速度，则有 A正确。 故选A。 7．2021年2月，我国“天问一号”火星探测器实现了对火星的环绕。若该探测器在近火星圆轨道运行的线速度为v，火星表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，不考虑火星的自转，则火星的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对探测器由引力作为向心力可得 探测器在火星表面受到的重力等于万有引力 火星的平均密度可表示为 联立解得 故选C。 8．（多选）（2025·安徽·高考真题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有 可得，故A错误，B正确； CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得，可得，故C正确，D错误。 故选BC。 9．（多选）（24-25高一下·内蒙古包头·期中）宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中P、Q两天体绕O点做匀速圆周运动，两天体的轨道半径之比。关于两天体，下列说法正确的是（　　） A．质量之比 B．线速度大小之比 C．向心加速度大小之比 D．若双星的质量之和恒定，则双星间距离越大，其转动周期越大 【答案】BD 【详解】A．设两天体球心间的距离为，由万有引力提供向心力，有 解得，故A错误； B．双星运动的角速度相等，根据，则线速度之比，故B正确； C．由公式，可得向心加速度大小之比，故C错误； D．由万有引力提供向心力，有， 其中，联立解得 可知双星的质量之和恒定，则双星间距离越大，其转动周期越大，故D正确。 故选 BD。 10．（多选）（23-24高二下·山东烟台·期中）如图所示，天文观测中观测到有质量相等的四颗天体位于边长为l的正方形四个顶点a、b、c、d上，四颗天体均做周期为T的匀速圆周运动，已知引力常量为G，不计其他天体对它们的影响，关于这个四星系统，下列说法中正确的是（　　） A．四颗天体线速度大小均为 B．四颗天体线速度大小均为 C．四颗天体的质量均为 D．四颗天体的质量均为 【答案】BD 【详解】AB．四颗天体均做周期为T的匀速圆周运动，其圆心在位于边长为l的正方形的几何中心，由几何关系可得轨道半径均为 由线速度与角速度关系公式，可得四颗天体线速度大小均为，A错误，B正确； CD．以其中一颗天体为研究对象，其所需向心力由其它三颗天体的万有引力的合力提供，则有 由牛顿第二定律可得 解得四颗天体的质量均为，C错误，D正确。 故选BD。 11．（24-25高一下·山西阳泉·期末）宇航员到了某星球表面后做了如下实验：如图所示，用长为L的细线悬挂一质量为m的小球在水平面内做圆锥摆运动，小球以周期T匀速转动时，细线与竖直方向夹角为。已知星球的半径为R，万有引力常量为G，忽略星球自转，求： (1)细线上拉力的大小； (2)该星球表面重力加速度的大小； (3)该星球的密度。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）小球做圆周运动，半径，解得细线上拉力 （2）竖直方向 解得星球表面重力加速度 （3）设星球的质量为，则，，联立解得星球的密度 12．（24-25高一下·陕西西安·期末）深空探测是指脱离地球引力场，进入太阳系空间和宇宙空间的探测。假设一宇航员乘坐探测器，对某星球进行了探测，星球的半径是地球半径的p倍，质量是地球质量的q倍，地球表面的重力加速度大小为g，不考虑星球的自转。 (1)求质量为m的宇航员在星球表面受到的重力G星； (2)若宇航员在地球表面上竖直起跳的最大高度为h，求他在星球表面上竖直起跳的最大高度H。 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设地球质量为M，半径为R，根据万有引力等于重力，在地球表面有 对于该星球，质量，半径 在星球表面 代入上式得 （2）在地球表面竖直起跳，根据运动学公式 在星球表面，重力加速度 同样根据 代入数据可得 13．（24-25高一下·江西·阶段练习）如图所示，火箭内测试仪平台上放置一个压力传感器，有一个物体放在压力传感器上。现在火箭以加速度竖直向上匀加速发射升空，某时刻物体对传感器的压力恰好是在地面发射加速时的。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，求： (1)地球的平均密度； (2)该时刻火箭所在位置的重力加速度大小； (3)该时刻火箭离地面的高度。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）根据万有引力定律得，地球的质量为，解得 （2）根据牛顿第二定律得， 根据题意得，解得 （3）根据万有引力定律得，，解得 14．（23-24高一下·山东潍坊·期中）近期我国科学家使用云南丽江双子天文台WO RC14望远镜再次观测了大熊座螺旋星系M108，该星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为，引力常量为G。求： （1）区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小与的关系； （2）研究表明，星系M108还在高速自转，假设其自转周期为T0，求该螺旋星系不会瓦解的最小密度； （3）已知一个质量均匀分布的球体内，某点所受外层球壳对其万有引力的合力为零，即如图所示P处物质受阴影部分物质的万有引力合力为零。求区域的恒星做匀速圆周运动的周期T。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有，解得 （2）设螺旋星系的半径为，由万有引力提供向心力得，解得 体积为，则该螺旋星系不会瓦解的最小密度为 （3）在内部，星体质量 由万有引力提供向心力得 解得 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 万有引力理论的成就 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题·讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点·强知识：6大核心考点精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：“称量”地球的质量 地球质量远远超出我们的想像，又不能像地面上的物体那样，用天平称量其质量，如何得到地球等天体的质量呢？ 1. “代换法”称量地球的质量（自力更生） （1）称量依据：不考虑地球自转的影响，利用在地球表面或附近的物体m，万有引力近似等于重力，即（g为天体表面的重力加速度） （2）地球质量的大小： 2. “环绕法”计算地球的质量（借助外援） （1）卫星（或航天器）绕地球的运动视为运算圆周运动，所需的向心力由地球对卫星的万有引力提供。 （2）关系式： ①已知卫星做圆周运动的轨道半径为r和周期为T：由，得 ②已知卫星做圆周运动的轨道半径r和线速度v ，，得： ③其他方法：，式中a表示向心加速度，而向心加速度又有、、、这样几种表达式，要根据具体问题，把这几种表达式代入方程，讨论相关问题。 知识点2：计算太阳（或中心天体）的质量 太阳质量的计算方法与地球质量的计算方法是相同的，即“代换法”和“环绕法”。其他中心天体质量的计算方法也是如此。 代换法（或自力更生法） 环绕法（或借助外援法） 情景 已知天体(如地球)的半径R和天体表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动 思路 物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力： mg＝G，gR2＝GM(黄金代换) 行星或卫星受到的万有引力充当向心力： G＝m或G＝mω2r或 结果 天体(如地球)质量：M＝ 中心天体质量：M＝或M＝或M＝ (1)在解答题目时，有些物理量可作为已知条件处理：如地球的公转周期 365 天、地球的自转周期1天、月球的公转周期约 27.3天等都可作为已知条件使用。 (2)求解中心天体的质量时，不考虑中心天体自转对天体表面物体的影响，将环绕椭圆轨道视为圆轨道，如无特别说明或暗示，今后解答题目时都按照近似法处理。 （3）在天体问题的计算中，一定要区分R与r的不同，R通常是中心天体的半径，r是环绕天体的轨道半径。 知识点3：计算天体的密度 （1）基础知识：球体的体积，密度 （2）两种模型：中心天体是恒星和中心天体是行星 1.利用天体表面的重力加速度求密度 取天体表面上质量为m的物体为研究对象，由mg＝G和，得中心天体的密度。其中g为天体表面的重力加速度，R为天体的半径。 2.利用天体的卫星求密度 设绕某天体做圆周运动的卫星的轨道半径为r，周期为T，天体的半径为R，可列方程： 得天体的密度： 宇宙中的双星模型 1. 双星系统 如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫作“双星”． 2．双星模型的特点 (1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度都相同． (4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L. 3. 双星问题的处理方法 双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即：，由此可得： (1)，星体运动的轨道半径和质量成反比，双星系统的转动中心离质量较大的星体近． (2)由于、r1＋r2＝L，可得： ①两恒星质量之和：； ②两轨道半径：， ④星体转动的周期： 知识点4：发现未知天体 1. 海王星的发现 （1）发现问题：18世纪，人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差． (2)理论推导：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信天王星轨道外面还有一颗未发现的行星：并根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道，人们称其为“笔尖下发现的行星”后来，这颗行星被命名为海王星。 (3)实践检验：1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星--海王星。 2. 预言哈雷彗星的回归 英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算了一颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归,这颗彗星就是著名的哈雷彗星。 教材习题01 已知月球的质量是，半径，求： （1）月球表面的自由落体加速度有多大？(保留三位有效数字) （2）这对宇航员在月球表面行走会产生什么影响？ （3）若宇航员在地面上最多举起质量为m的物体，他在月球表面最多能举起质量是m的多少倍？（保留整数） 解题方法 （1）根据物体在月球表明受到的万有引力等于重力，可得 可得月球表面的重力加速度大小为 （2）在月球上人感觉很轻，习惯在地球表面行走的人，在月球表面行走的时是跳跃前进的。 （3）根据 可知宇航员在地面上最多举起质量为m的物体，他在月球表面最多能举起质量是m的6倍。 【答案】（1）；（2）在月球上人感觉很轻，习惯在地球表面行走的人，在月球表面行走的时是跳跃前进的；（3）6 教材习题02 根据万有引力定律和牛顿第二定律说明： (1)为什么不同物体在地球表面的自由落体加速度都是相等的？ (2)为什么高山上自由落体加速度比地面小？ 解题方法 (1)设地球质量为M，半径为R，对质量为m的物体，在地表根据万有引力定律可知 ，解得： ，与物体质量无关，所以不同物体在地球表面的自由落体加速度都是相等的． (2)物体据地表高度为h，则可知， ，所以高山上自由落体加速度比地面小． 【答案】略 教材习题03 地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆（图）。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年。 （1）请你根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍？ （2）若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，请比较哪个速度大，并求得哈雷彗星在近日点和远日点的加速度大小之比。 解题方法 （1）设哈雷彗星轨道的半长轴为r，公转周期为T，地球公转半径为R公转周期为T0，据开普勒行星运动定律有，解得 由题知，T0 = 1年，T = 2061年 - 1986年 = 75年，代入上式解得 （2）由开普勒行星运动面积定律可得，近日点的线速度v1大于远日点的线速度v2。 由牛顿第二定律和万有引力定律有a = ， F = 解得a1：a2 = 【答案】（1）；（2）v1 > v2，a1：a2 = 题型1：“黄金代换式”计算天体的质量 【典例1】2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。我国航天局发布了由“天问一号”拍摄的首张火星图像（如图）。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为，轨道半径为，已知火星的半径为，引力常量为，不考虑火星的自转。下列说法正确的是（　　） A．火星的质量 B．火星的质量 C．火星表面的重力加速度的大小 D．火星表面的重力加速度的大小 【变式1-1】已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】若已知引力常量，重力加速度取，地球半径，则可知地球质量的数量级是（　　） A． B． C． D． 题型2：利用自由落体运动求中心天体的质量和密度 【典例2】（24-25高一下·广西百色·期中）假设航天员在探索某颗质量为地球质量的4倍、半径也为地球半径的4倍的星球。航天员从离该星球表面高度为1.25m处以大小为的速度水平抛出一小球，取地球表面重力加速度大小，不考虑地球和该星球的自转，则该小球从抛出到落至星球表面过程中的水平位移大小为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 【变式2-1】（24-25高一下·山东青岛·期中）某星球的质量为地球质量的5倍，半径为地球半径的3倍，在该星球表面从某一高度以10m/s的初速度竖直向上抛出一物体，已知地球表面重力加速度大小为，不计空气阻力，则该物体从被抛出到上升到最高点时的时间为（　　） A．1s B．1.5s C．1.8s D．2s 【变式2-2】已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为和，则   ：约为　　 A．9：4 B．6：1 C．3：2 D．1：1 题型3：“自力更生法”求天体的质量和密度 【典例3】北京时间2019年4月10日21时，天文学家召开全球新闻发布会，宣布首次直接拍摄到黑洞的照片，体积极小的天体，它的引力很大，连光都无法逃脱。若某黑洞表面的物体速度达到光速c时。恰好围绕其表面做匀速圆周运动，已知该黑洞的半径为R，引力常量为G，则可推测这个黑洞的密度为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·云南红河·开学考试）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同，已知地球表面两极处的重力加速度大小为，在赤道处的重力加速度大小为，地球自转的周期为，引力常量为。假设地球可视为质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（　　） A．质量为的物体在地球北极受到的重力大小为 B．质量为的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为 C．地球的半径为 D．地球的密度为 【变式3-2】已知物体在地球赤道上的重力加速度为g，在极点处的重力加速度为，引力常量为G，地球自转周期为T，将地球视为质量均匀分布的球体，则地球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 题型4：“借助外援法”计算中心天体的质量和密度 【典例4】（24-25高一下·海南海口·期中）已知月球绕地球做圆周运动的半径为，周期为，地球的半径为，引力常量为，下列说法正确的是（    ） A．地球的质量为 B．地球的质量为 C．地球的密度为 D．地球的密度为 【变式4-1】（2025·安徽芜湖·二模）2025年中国航天将迎来更多突破，新一代载人飞船和月面着陆器将进入实质性测试阶段，我国第四批预备航天员不仅要执行空间站任务，未来也将执行载人登月任务。假设以同样大小的初速度分别在月面和地面竖直上抛小球（不计地面上的空气阻力），小球在月面上升的最大高度为在地面上的6倍。已知地球半径为月球半径的4倍，则地球和月球的平均密度之比为（　　） A．6∶1 B．1∶6 C．2∶3 D．3∶2 【变式4-2】（23-24高一下·北京·期末）如图所示，某人造地球卫星对地球的张角为，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，万有引力常量为G，由此可估算地球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 题型5：双星系统 【典例5】（24-25高一下·山东烟台·期末）宇宙中相距较近的两颗恒星组成一个系统，在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上同一点做周期相同的匀速圆周运动，如图所示，a、b两颗恒星的质量分别为m1、m2，现测得a、b的轨道半径之比为1∶3，a、b中心间距离为L，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．a、b的质量之比m1∶m2=1∶3 B．a、b做圆周运动的线速度之比为3∶1 C．a、b做圆周运动的加速度之比为1∶1 D．a、b做圆周运动的角速度为 【变式5-1】（24-25高一下·天津南开·期中）2021年2月 25日从中国科学院云南天文台获悉，近期国内多个团队合作，利用清华大学一马化腾巡天望远镜(TMTS)，发现了一颗距离地球2761光年的致密双星系统-TMTSJ0526，已知组成某双星系统的两颗恒星A 和B，质量分别为m1和m2，相距为L。在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一点，在同一平面内做匀速圆周运动，运动过程中二者之间的距离始终不变。已知引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．A和B的角速度之比为 B．A和B的向心加速度大小之比为 C．A的轨道半径为 D．A和B的运动周期均 【变式5-2】（24-25高一下·天津南开·期末）由A、B两颗恒星组成的双星系统如图所示，A、B绕连线上一点O做匀速圆周运动，A、B到O点的距离分别为，A、B的质量分别为，引力常量为G，不计其他天体对该双星系统的作用。下列说法正确的是（　　） A．A恒星受到B恒星的万有引力大小为 B．A恒星做匀速圆周运动的周期为 C．A、B恒星的质量与轨道半径满足关系式 D．A、B恒星的线速度与轨道半径满足关系式 题型6：多星运动问题 【典例6】在恒星形成后的演化过程中，一颗恒星可能在运动中接近并捕获另外两颗恒星，逐渐形成稳定的三星系统。如图所示是由三颗星体构成的系统，星体B、C的质量均为，星体A的质量是星体B的4倍，忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内做圆周运动。星体A、B、C的向心加速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·湖北荆州·期末）“三星系统”与“双星系统”都是宇宙中存在的天体系统。两种系统中，天体均可在万有引力的作用下绕共同的圆心做匀速圆周运动。如图分别为两种天体系统的示意图，图中五个球形天体的质量均为 M，天体中心连线的长度均为L，星球距离远大于星球半径，万有引力常量为 G。“三星系统”与“双星系统”运动周期之比为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则下列说法中不正确的是（　　） A．每颗星做圆周运动的线速度大小为 B．每颗星做圆周运动的角速度为 C．每颗星做圆周运动的周期为 D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）地球不仅是人类文明的摇篮，更是宇宙中罕见的宜居行星，其复杂系统与演化历史持续激发科学探索的热情。已知地球星体半径，地球围绕太阳公转的周期，轨道半径，万有引力常量。利用以上物理量，我们可以得到太阳的质量为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·期中）某次科学实验中，用火箭将一个质量m=1kg的物体和一颗卫星一起送上太空，某时刻物体随火箭一起竖直向上做加速运动，加速度大小为a=2m/s2，而称量物体的台秤显示物体的重力为4.5N。已知地球表面重力加速度g取10m/s2，地球半径R=6.4×106m，不计地球自转的影响，则下列说法正确的是（　　） A．此处的重力加速度为5m/s2 B．此处的重力加速度为10m/s2 C．此时火箭离地面的高度h=3.2×106m D．此时火箭离地面的高度h=6.4×106m 3．（24-25高一下·广东广州·期中）火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器。起飞前，火箭静止在地球表面。起飞后，火箭以加速度竖直向上做匀加速直线运动（为地面附近的重力加速度）。升到某一高度时，测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的，已知地球半径为R，该处离地面的高度h为（　　） A．2R B．R C． D． 4．（24-25高一下·江西·期中）按照我国的火星探测任务计划，天问三号将于2031年前后采集火星样品返回地球。若火卫一（火星的卫星）绕火星做匀速圆周运动的周期为T、轨道半径为r，引力常量为G，火星的半径为R且看成匀质球体。不考虑星体的自转，则火星表面的重力加速度大小为（　　） A． B． C． D． 5．“FAST精细刻画活跃重复快速射电暴”入选2022年度中国科学十大进展，这些快速射电暴极有可能处在超新星遗迹等环境中。假定地球的自转周期变为时，则地表会缺少引力束缚而解体。若FAST检测到的周期为的脉冲是由某种星体的自转所致，即该星的自转周期为，地球的平均密度取，则这种星体的密度可能是（　　） A． B． C． D． 6．中国天眼发现距地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据科学家测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为60°。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的向心加速度为，则E位置的向心加速度为（　　） A． B． C． D． 7．2021年2月，我国“天问一号”火星探测器实现了对火星的环绕。若该探测器在近火星圆轨道运行的线速度为v，火星表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，不考虑火星的自转，则火星的平均密度为（　　） A． B． C． D． 8．（多选）（2025·安徽·高考真题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高一下·内蒙古包头·期中）宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中P、Q两天体绕O点做匀速圆周运动，两天体的轨道半径之比。关于两天体，下列说法正确的是（　　） A．质量之比 B．线速度大小之比 C．向心加速度大小之比 D．若双星的质量之和恒定，则双星间距离越大，其转动周期越大 10．（多选）（23-24高二下·山东烟台·期中）如图所示，天文观测中观测到有质量相等的四颗天体位于边长为l的正方形四个顶点a、b、c、d上，四颗天体均做周期为T的匀速圆周运动，已知引力常量为G，不计其他天体对它们的影响，关于这个四星系统，下列说法中正确的是（　　） A．四颗天体线速度大小均为 B．四颗天体线速度大小均为 C．四颗天体的质量均为 D．四颗天体的质量均为 11．（24-25高一下·山西阳泉·期末）宇航员到了某星球表面后做了如下实验：如图所示，用长为L的细线悬挂一质量为m的小球在水平面内做圆锥摆运动，小球以周期T匀速转动时，细线与竖直方向夹角为。已知星球的半径为R，万有引力常量为G，忽略星球自转，求： (1)细线上拉力的大小； (2)该星球表面重力加速度的大小； (3)该星球的密度。 12．（24-25高一下·陕西西安·期末）深空探测是指脱离地球引力场，进入太阳系空间和宇宙空间的探测。假设一宇航员乘坐探测器，对某星球进行了探测，星球的半径是地球半径的p倍，质量是地球质量的q倍，地球表面的重力加速度大小为g，不考虑星球的自转。 (1)求质量为m的宇航员在星球表面受到的重力G星； (2)若宇航员在地球表面上竖直起跳的最大高度为h，求他在星球表面上竖直起跳的最大高度H。 13．（24-25高一下·江西·阶段练习）如图所示，火箭内测试仪平台上放置一个压力传感器，有一个物体放在压力传感器上。现在火箭以加速度竖直向上匀加速发射升空，某时刻物体对传感器的压力恰好是在地面发射加速时的。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，求： (1)地球的平均密度； (2)该时刻火箭所在位置的重力加速度大小； (3)该时刻火箭离地面的高度。 14．（23-24高一下·山东潍坊·期中）近期我国科学家使用云南丽江双子天文台WO RC14望远镜再次观测了大熊座螺旋星系M108，该星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为，引力常量为G。求： （1）区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小与的关系； （2）研究表明，星系M108还在高速自转，假设其自转周期为T0，求该螺旋星系不会瓦解的最小密度； （3）已知一个质量均匀分布的球体内，某点所受外层球壳对其万有引力的合力为零，即如图所示P处物质受阴影部分物质的万有引力合力为零。求区域的恒星做匀速圆周运动的周期T。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $