第10讲 万有引力定律（寒假预习讲义）高一物理人教版

第10讲 万有引力定律 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题·讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点·强知识：5大核心考点精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：行星与太阳间的引力 【问题情景】 行星在各自的轨道上绕太阳运行，且遵循一定的运动规律。这些行星为什么会如此运转?是什么力量支配着行星如此和谐的运动? 牛顿对行星运动的解释：行星做曲线运动时，受到了力的作用，使行星沿圆轨道运动需要有指向圆心的力，这个力就是太阳对它的引力。牛顿从研究太阳与行星之间的引力，想到“天上”与“地上”力的统一，在前人研究的基础上提出了万有引力定律，获得巨大成功，为近代物理学的发展作出了突出的贡献。 1. 太阳对行星的引力 （1）模型构建 假设行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向心力F． （2）太阳对行星引力的推导 设行星的质量为m，运动线速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M．则由匀速圆周运动的规律可知： …… ① …… ② 由①②得，． ③ 又由开普勒第三定律，……④ 由③④式得 …… ⑤ 即：……⑥ 这表明：太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳距离的平方成反比． 2. 行星对太阳的引力 根据牛顿第三定律，力的作用是相互的，且等大反向，因此地球对太阳的引力F′也应与太阳的质量成正比，且F′＝-F． 即 ……⑦ 3. 太阳与行星间的引力 比较⑥⑦式不难得出，写成等式，式中G是比例系数，与太阳、行星无关． 注意：在中学阶段只能将椭圆轨道近似成圆形轨道来推导引力公式，但牛顿是在椭圆轨道下推导引力表达式的． （1）G是比例系数，，与行星和太阳均没有关系。 （2）太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。 （3）由于太阳的质量远大于各行星的质量，一般只考虑太阳与行星间的引力，不计行星间的相互吸引力。 知识点2：月——地检验 牛顿的思考：太阳与行星间的引力、行星与卫星间的引力以及地球对其表面上物体的引力，这些力的本质是否相同?它们是否为同一种性质的力? 1.提出问题 研究月球和地球间的相互作用力，如果地球对月球的作用力所产生的加速度遵从 F=ma的规律，即可确定“天上”的力与“地上”的力本质相同。 设地球的半径为R，地球与月球间的距离为r，取地球表面上的物体（苹果）和月球为研究对象，假若所受作用力的本质相同，则理论推导的结论与实际观测的结果就相同。 2.理论推导 3.天文观测 4. 结论 地面上的物体所受地球的引力、月球索道地球的引力、太阳与行星间的引力是同一性质的力，都遵循相同的规律。 知识点3：万有引力定律 牛顿的思考：树上的苹果砸在了牛顿的头上，使牛顿思考地球“拉着”月球运转的力与地球“拉着”苹果的力是香性质是否相同？ “月一地检验”证实了地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一性质的力，于是牛顿大胆地把这种作用推广到宇宙的万物之间，认为自然界中任意两个物体间也存在这样的力。 1. 万有引力定理 （1）内容： 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比。 （2）公式 ，其中G为万有引力常量， （3）适用条件 ①万有引力公式适用于质点间引力大小的计算。对于实际物体间的相互作用，两个物体的距离远大于本身大小（物体可视为质点）时也适用。 ②两个质量分布均匀的球体间的万有引力，也可用此定律来计算，其中r是两球心间的距离。 ③ 一个均匀球体与球外一个质点之间的万有引力也可用此定律来计算，其中r为球心到质点间的距离 知识点4：万有引力常量的测定 1. 卡文迪许 牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G. 英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值.通常情况下取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 2. 引力常量的测定意义 （1）卡文迪什实验对引力常量的测定，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性; （2）引力常量的测定使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值; （3）扭秤实验巧妙地利用“光杠杆”使微小量放大，开创了测量弱力的新时代; （4）万有引力常量G的测定表明：物理伟大的发现需要理论上的推理和实验的反复验证才能完成。 知识点5：重力和万有引力的关系 1. 物体在地球表面上所受引力与重力的关系： 除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图所示. 2. 两个特殊位置的重力 （1）在赤道上：物体的万有引力的两个分力F向和mg在一条直线上，则F=F向+mg，所以mg=F－F向=G－mω2R最大，此时重力最小。 （2）当在两极处：向心力为零，故重力等于万有引力，即：mg＝F引mg＝G. 从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F向＝mω2r减小，F向与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大. 3.重力与高度的关系 若距离地面的高度为h，则mg′＝G（R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度）.在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小. （1）重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力. （2）在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G. 教材习题01 既然任何物体间都存在着引力，为什么当两个人接近时他们不会吸在一起？我们通常分析物体的受力时是否需要考虑物体间的万有引力？请你根据实际情况，应用合理的数据，通过计算说明以上两个问题。 解题方法 假设两个人的质量都为60kg，相距1m，则它们之间的万有引力为 这样小的力，我们无法察觉，因此当两个人接近时他们不会吸在一起，所以我们通常分析物体的受力时是否需要考虑物体间的万有引力。 【答案】略 教材习题02 木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中三颗卫星的周期之比为1∶2∶4。小华同学打算根据万有引力的知识计算木卫二绕木星运动的周期，她收集到了如下一些数据。 木卫二的数据：质量、绕木星做匀速圆周运动的轨道半径m。 木星的数据：质量、半径m、自转周期9.8h。 万有引力常量： 但她不知道应该怎样做，请你帮助她完成木卫二运动周期的计算。 解题方法 已知木星的质量：M=1.9×1027kg，木卫二绕木星做匀速圆周运动的轨道半径：r=6.7×108m，根据万有引力提供向心力可知 解得木卫二的运行周期 代入数据解得 【答案】 考点1：万有引力定律的内容及理解 【典例1】（24-25高一下·河南·期末）万有引力定律公式是结合行星运动的规律以及圆周运动的知识推导而得出，关于该公式的理解，下列说法正确的是（　　） A．该公式只适用于天体之间引力的计算 B．若两物体之间的距离趋近于零，则两物体间的万有引力趋近于无穷大 C．若、、同时加倍，则两物体间的万有引力也加倍 D．任何两物体间都存在万有引力，但不一定都能用公式计算 【变式1-1】（24-25高一下·江西抚州·期末）下列关于万有引力定律说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什测得了引力常量 B．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 C．根据表达式可知，当趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 D．根据表达式得，由此可知引力常量与、、、有关 【变式1-2】（24-25高一下·浙江·期中）万有引力定律表达式中，的单位用国际单位制基本单位组合表示正确的是（　　） A． B． C． D． 考点2：万有引力的计算 【典例2】（24-25高一下·安徽·月考）北京时间2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，随后与空间站组合体完成自主快速交会对接。我国空间站目前在轨质量约为100吨，在距离地面400km的高度绕地运行，绕地周期约为90min。 已知地球半径为6400 km，请根据以上信息，估算空间站在轨运行时所受合力的大小约为（    ） A．9.2×105 N B．9.2×107 N C．9.2×109 N D．9.2×1011 N 【变式2-1】（23-24高一下·天津南开·期末）两个可视为质点的物体之间的万有引力为，当它们之间的距离变为原来的3倍，它们的质量均变为原来的6倍时，两个物体间的万有引力变为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·广东深圳·期末）2025年5月17日我国发射了“北邮二号”卫星，用于推动6G空天信息网络建设。已知北邮二号卫星绕地球做匀速圆周运动，周期为，离地面高度为，质量为。地球质量为，地球半径为，引力常量为。则北邮二号卫星受到地球的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 考点3：“填补法”求万有引力 【典例3】如图所示，一个质量均匀分布的半径为的球体对球外质点的万有引力为。如果在球体中央挖去半径为的一部分球体，且，则原球体剩余部分对质点的万有引力为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·广东深圳·期中）有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点，两者之间的万有引力大小为。现从球体中挖去一个半径为的小球体，如图所示，剩余球体部分对质点的万有引力大小为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·吉林长春·月考）如图所示，两个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环的圆心。环的质量分布均匀，且其粗细忽略不计。若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图中环对球的万有引力大小为（　　） A．F B． C． D． 考点4：空壳内及地表下的万有引力 【典例4】（24-25高一下·湖北·期中）在凡尔纳的科幻小说《地心游记》中，作者将严谨的科学推测与天马行空的幻想结合，创造了一个既符合地质学逻辑又超越现实认知的地下世界。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。如图所示，若该地下世界地面距地球表面的深度为，地球可认为质量分布均匀，且半径为，质量为，万有引力常量为，则该地下世界地面的重力加速度为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】2023年3月26日记者从中国石油大庆油田获悉，大庆油田累计生产原油突破25亿吨．已知地球的质量为M，半径为R（地球视为质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零），引力常量为G，假如大庆油田的某油井向地心挖掘的深度为（k为常数），则井底一个质量为m的挖井工人与地球之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·重庆·期中）已知物体在均匀球壳内部任意一点受到的万有引力为零。若地球质量分布均匀，半径为R，当某个物体下降到距离地球表面某一深度时，其所在位置的重力加速度为地球表面处重力加速度的，则该位置距离地球球心的距离为（　　） A． B． C． D． 考点5：不同纬度的重力加速度 【典例5】（24-25高一下·内蒙古包头·期末）将地球视作均匀球体，考虑到地球自转的影响，下列表示地表处重力加速度方向可能正确的是 A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·河北·期中）人造地球卫星按运行轨道可以分为低轨道卫星、中高轨道卫星与地球静止轨道卫星。若某人造地球卫星在圆轨道上绕地球运行的向心加速度大小与地球表面重力加速度大小的比值为，地球的半径为R，忽略地球的自转，则该卫星的轨道半径为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·北京东城·二模）质量为的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为，半径为，自转周期为，引力常量为。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小等于（　　） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·山西吕梁·阶段练习）物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，促进了人类文明的进步，下列说法符合史实的是（　　） A．开普勒总结了行星运动定律，指出了太阳处在所有行星运行轨道的中心上 B．牛顿提出了万有引力定律，并通过实验精确测量了引力常量G的数值 C．开普勒、胡克、哈雷等科学家为万有引力定律的发现作出了贡献 D．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验” 2．某行星绕太阳运动的轨道为椭圆，如图所示。该行星经过轨道上a、b、c、d四个位置时，与太阳之间的万有引力最大对应的位置是（　　） A．a B．b C．c D．d 3．（24-25高一下·四川雅安·期末）将地球视为半径为R的均匀球体，物体受地球引力大小F随它距地面高度h变化的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·天津河北·期末）已知嫦娥六号质量为m，某段时间沿环月轨道做匀速圆周运动，某时刻距离月球表面的高度为h。若将月球视为质量分布均匀的球体，质量为M，半径为R。引力常量为G，则此时嫦娥六号受到月球的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广西南宁·期中）中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，地球的质量为M，半径为R，且质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，当“海斗一号”下潜深度为h时，所处的重力加速度大小g是（    ） A． B． C． D． 6．上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（　　） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·河南安阳·期末）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同，已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，由此可知地球的半径为（　　） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高一下·河北保定·期末）如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为，质量为，在其内挖去一个半径为的小球，形成球形腔的球心为，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为，图中O₁、O₂、O₃共线，下列说法正确的是（　　） A．剩余部分对小球O₃的引力大小为 B．剩余部分对小球O₃的引力大小为 C．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则新球体对小球O₃的引力大小为 D．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则新球体对小球O₃的引力大小为 9．（多选）（24-25高一下·陕西榆林·期中）一个质量均匀分布的球体，半径为，在其内部挖去一个半径为的球形空穴，其表面与球面相切，如下图所示。已知挖去小球的质量为，在球心和空穴中心连线上，距球心处有一质量为的质点，若被挖去的小球挖去前对的万有引力为，剩余部分对的万有引力为，则（　　） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高一下·山东菏泽·期中）将质量为m的物体悬挂在弹簧测力计上，物体处于静止状态。若在地球赤道表面测量，弹簧测力计的示数为，若在地球两极表面测量，弹簧测力计的示数为。已知地球半径为R，当质量为的物体静止在赤道表面时，下列说法正确的是（　　） A．该物体对地面的压力为 B．该物体的向心加速度为 C．该物体的角速度为 D．该物体的线速度为 11．（22-23高一下·辽宁锦州·期中）如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地球上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为、，求水星与金星的公转线速度之比。 12．（20-21高一下·湖南邵阳·阶段练习）天问一号在火星表面着陆前的最后两个运动阶段分别为动力减速阶段和着陆缓冲阶段。在动力减速阶段，探测器发动机打开，经40s速度由87m/s减至7m/s。将天问一号在动力减速阶段的运动看作竖直方向的匀变速直线运动，已知天问一号的质量约为5t，火星半径约为地球半径的二分之一，火星质量约为地球质量的十分之一，地球表面的重力加速度g＝10m/s2。求： （1）火星表面的重力加速度g火的大小； （2）动力减速阶段发动机提供的力的大小。 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，为隧道的中点，与地心O的距离为，如图所示。假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P点到的距离为x，引力常量为G，求： (1)列车在P点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg的比值； (2)列车在P点沿隧道AB方向的加速度大小。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 万有引力定律 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题·讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点·强知识：5大核心考点精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：行星与太阳间的引力 【问题情景】 行星在各自的轨道上绕太阳运行，且遵循一定的运动规律。这些行星为什么会如此运转?是什么力量支配着行星如此和谐的运动? 牛顿对行星运动的解释：行星做曲线运动时，受到了力的作用，使行星沿圆轨道运动需要有指向圆心的力，这个力就是太阳对它的引力。牛顿从研究太阳与行星之间的引力，想到“天上”与“地上”力的统一，在前人研究的基础上提出了万有引力定律，获得巨大成功，为近代物理学的发展作出了突出的贡献。 1. 太阳对行星的引力 （1）模型构建 假设行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向心力F． （2）太阳对行星引力的推导 设行星的质量为m，运动线速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M．则由匀速圆周运动的规律可知： …… ① …… ② 由①②得，． ③ 又由开普勒第三定律，……④ 由③④式得 …… ⑤ 即：……⑥ 这表明：太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳距离的平方成反比． 2. 行星对太阳的引力 根据牛顿第三定律，力的作用是相互的，且等大反向，因此地球对太阳的引力F′也应与太阳的质量成正比，且F′＝-F． 即 ……⑦ 3. 太阳与行星间的引力 比较⑥⑦式不难得出，写成等式，式中G是比例系数，与太阳、行星无关． 注意：在中学阶段只能将椭圆轨道近似成圆形轨道来推导引力公式，但牛顿是在椭圆轨道下推导引力表达式的． （1）G是比例系数，，与行星和太阳均没有关系。 （2）太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。 （3）由于太阳的质量远大于各行星的质量，一般只考虑太阳与行星间的引力，不计行星间的相互吸引力。 知识点2：月——地检验 牛顿的思考：太阳与行星间的引力、行星与卫星间的引力以及地球对其表面上物体的引力，这些力的本质是否相同?它们是否为同一种性质的力? 1.提出问题 研究月球和地球间的相互作用力，如果地球对月球的作用力所产生的加速度遵从 F=ma的规律，即可确定“天上”的力与“地上”的力本质相同。 设地球的半径为R，地球与月球间的距离为r，取地球表面上的物体（苹果）和月球为研究对象，假若所受作用力的本质相同，则理论推导的结论与实际观测的结果就相同。 2.理论推导 3.天文观测 4. 结论 地面上的物体所受地球的引力、月球索道地球的引力、太阳与行星间的引力是同一性质的力，都遵循相同的规律。 知识点3：万有引力定律 牛顿的思考：树上的苹果砸在了牛顿的头上，使牛顿思考地球“拉着”月球运转的力与地球“拉着”苹果的力是香性质是否相同？ “月一地检验”证实了地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一性质的力，于是牛顿大胆地把这种作用推广到宇宙的万物之间，认为自然界中任意两个物体间也存在这样的力。 1. 万有引力定理 （1）内容： 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比。 （2）公式 ，其中G为万有引力常量， （3）适用条件 ①万有引力公式适用于质点间引力大小的计算。对于实际物体间的相互作用，两个物体的距离远大于本身大小（物体可视为质点）时也适用。 ②两个质量分布均匀的球体间的万有引力，也可用此定律来计算，其中r是两球心间的距离。 ③ 一个均匀球体与球外一个质点之间的万有引力也可用此定律来计算，其中r为球心到质点间的距离 知识点4：万有引力常量的测定 1. 卡文迪许 牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G. 英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值.通常情况下取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 2. 引力常量的测定意义 （1）卡文迪什实验对引力常量的测定，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性; （2）引力常量的测定使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值; （3）扭秤实验巧妙地利用“光杠杆”使微小量放大，开创了测量弱力的新时代; （4）万有引力常量G的测定表明：物理伟大的发现需要理论上的推理和实验的反复验证才能完成。 知识点5：重力和万有引力的关系 1. 物体在地球表面上所受引力与重力的关系： 除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图所示. 2. 两个特殊位置的重力 （1）在赤道上：物体的万有引力的两个分力F向和mg在一条直线上，则F=F向+mg，所以mg=F－F向=G－mω2R最大，此时重力最小。 （2）当在两极处：向心力为零，故重力等于万有引力，即：mg＝F引mg＝G. 从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F向＝mω2r减小，F向与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大. 3.重力与高度的关系 若距离地面的高度为h，则mg′＝G（R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度）.在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小. （1）重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力. （2）在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G. 教材习题01 既然任何物体间都存在着引力，为什么当两个人接近时他们不会吸在一起？我们通常分析物体的受力时是否需要考虑物体间的万有引力？请你根据实际情况，应用合理的数据，通过计算说明以上两个问题。 解题方法 假设两个人的质量都为60kg，相距1m，则它们之间的万有引力为 这样小的力，我们无法察觉，因此当两个人接近时他们不会吸在一起，所以我们通常分析物体的受力时是否需要考虑物体间的万有引力。 【答案】略 教材习题02 木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中三颗卫星的周期之比为1∶2∶4。小华同学打算根据万有引力的知识计算木卫二绕木星运动的周期，她收集到了如下一些数据。 木卫二的数据：质量、绕木星做匀速圆周运动的轨道半径m。 木星的数据：质量、半径m、自转周期9.8h。 万有引力常量： 但她不知道应该怎样做，请你帮助她完成木卫二运动周期的计算。 解题方法 已知木星的质量：M=1.9×1027kg，木卫二绕木星做匀速圆周运动的轨道半径：r=6.7×108m，根据万有引力提供向心力可知 解得木卫二的运行周期 代入数据解得 【答案】 考点1：万有引力定律的内容及理解 【典例1】（24-25高一下·河南·期末）万有引力定律公式是结合行星运动的规律以及圆周运动的知识推导而得出，关于该公式的理解，下列说法正确的是（　　） A．该公式只适用于天体之间引力的计算 B．若两物体之间的距离趋近于零，则两物体间的万有引力趋近于无穷大 C．若、、同时加倍，则两物体间的万有引力也加倍 D．任何两物体间都存在万有引力，但不一定都能用公式计算 【答案】D 【详解】A．万有引力定律不仅适用于天体之间引力的计算，也适用于任何两个可以看成质点的有质量物体，故A错误； B．当两物体距离趋近于零时，无法视为质点，公式不再适用，不能得到两物体间的万有引力趋近于无穷大的结论，故B错误； C．若、、同时加倍，代入公式可得 可知两物体间的万有引力不变，故C错误； D．万有引力普遍存在，但公式仅适用于质点或均匀球体，其他情况可能无法直接计算，故D正确。 故选D。 【变式1-1】（24-25高一下·江西抚州·期末）下列关于万有引力定律说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什测得了引力常量 B．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 C．根据表达式可知，当趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 D．根据表达式得，由此可知引力常量与、、、有关 【答案】A 【详解】A．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什通过扭秤实验测定了引力常量，故A正确； B．万有引力是两物体间的相互作用力，大小相等、方向相反，作用在不同物体上，属于作用力与反作用力，而非平衡力（平衡力需作用在同一物体），故B错误； C．万有引力公式仅适用于质点或均匀球体间的计算。当趋近于零时，物体无法视为质点，公式不适用，故C错误； D．引力常量是普适常数，与、、、无关，公式变形仅用于计算，不改变的性质，故D错误。 故选A。 【变式1-2】（24-25高一下·浙江·期中）万有引力定律表达式中，的单位用国际单位制基本单位组合表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据，可得，又 可知的单位用国际单位制基本单位组合表示为。 故选A。 考点2：万有引力的计算 【典例2】（24-25高一下·安徽·月考）北京时间2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，随后与空间站组合体完成自主快速交会对接。我国空间站目前在轨质量约为100吨，在距离地面400km的高度绕地运行，绕地周期约为90min。 已知地球半径为6400 km，请根据以上信息，估算空间站在轨运行时所受合力的大小约为（    ） A．9.2×105 N B．9.2×107 N C．9.2×109 N D．9.2×1011 N 【答案】A 【详解】空间站绕地球做圆周运动，所受合力即向心力，根据万有引力提供向心力，有 故选A。 【变式2-1】（23-24高一下·天津南开·期末）两个可视为质点的物体之间的万有引力为，当它们之间的距离变为原来的3倍，它们的质量均变为原来的6倍时，两个物体间的万有引力变为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据万有引力公式有 当质量均变为原来的6倍，距离变为原来的3倍时，则引力为 故选B。 【变式2-2】（24-25高一下·广东深圳·期末）2025年5月17日我国发射了“北邮二号”卫星，用于推动6G空天信息网络建设。已知北邮二号卫星绕地球做匀速圆周运动，周期为，离地面高度为，质量为。地球质量为，地球半径为，引力常量为。则北邮二号卫星受到地球的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据万有引力定律，卫星所受引力大小为 其中为卫星到地心的距离，即 代入得 故选B。 考点3：“填补法”求万有引力 【典例3】如图所示，一个质量均匀分布的半径为的球体对球外质点的万有引力为。如果在球体中央挖去半径为的一部分球体，且，则原球体剩余部分对质点的万有引力为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设球心点与球外质点的距离为，没挖去前，球体质量为，球外质点质量为，挖去部分的质量为，根据，，，可知， 则没挖去前，球体对质点的万有引力 挖去的部分对球外质点的万有引力 则球体剩余部分对球外质点的引力，故C正确ABD错误。 故选C。 【变式3-1】（24-25高一下·广东深圳·期中）有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点，两者之间的万有引力大小为。现从球体中挖去一个半径为的小球体，如图所示，剩余球体部分对质点的万有引力大小为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由公式和 解得挖去的小体质量 由题意及万有引力公式，可知 挖去的小球体与质点间的万有引力大小 则剩余球体部分对质点的万有引力大小 可知 故选C。 【变式3-2】（24-25高一下·吉林长春·月考）如图所示，两个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环的圆心。环的质量分布均匀，且其粗细忽略不计。若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图中环对球的万有引力大小为（　　） A．F B． C． D． 【答案】B 【详解】利用分割法将甲环分成三个圆环，则关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力必为0，根据题意得剩余圆环对球的万有引力大小为F。再利用分割法将乙环分成两个圆环，则每个圆环对球的万有引力大小均为F，由数学知识易得二者的合力为，故A、C、D错误，B正确； 故选B。 考点4：空壳内及地表下的万有引力 【典例4】（24-25高一下·湖北·期中）在凡尔纳的科幻小说《地心游记》中，作者将严谨的科学推测与天马行空的幻想结合，创造了一个既符合地质学逻辑又超越现实认知的地下世界。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。如图所示，若该地下世界地面距地球表面的深度为，地球可认为质量分布均匀，且半径为，质量为，万有引力常量为，则该地下世界地面的重力加速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以该地下世界地面的重力加速度大小为半径为R-d的球体表面的重力加速度，设半径为R-d的球体的质量为，则 由牛顿第二定律得 联立解得该地下世界地面的重力加速度为，故选B。 【变式4-1】2023年3月26日记者从中国石油大庆油田获悉，大庆油田累计生产原油突破25亿吨．已知地球的质量为M，半径为R（地球视为质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零），引力常量为G，假如大庆油田的某油井向地心挖掘的深度为（k为常数），则井底一个质量为m的挖井工人与地球之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设地球密度为，将地球分别看作半径为的球（质量设为）和厚度为的球壳．由于质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，即球壳对井底工人的引力为零，则井底工人和地球之间的万有引力为 根据球体质量与体积的关系可知，联立可得 故选A。 【变式4-2】（23-24高一下·重庆·期中）已知物体在均匀球壳内部任意一点受到的万有引力为零。若地球质量分布均匀，半径为R，当某个物体下降到距离地球表面某一深度时，其所在位置的重力加速度为地球表面处重力加速度的，则该位置距离地球球心的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据万有引力定律，距离地表某一深度h时，有 联立可得 距离地表 则该位置距离地心距离为： 故选A。 考点5：不同纬度的重力加速度 【典例5】（24-25高一下·内蒙古包头·期末）将地球视作均匀球体，考虑到地球自转的影响，下列表示地表处重力加速度方向可能正确的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】P点处万有引力指向地心，充当合力，是平行四边形对角线，随地球自转的向心力垂直指向地轴，是万有引力的一个分力，另一个分力就是重力，因向心力很小，远小于万有引力，根据平行四边形定则可知，重力方向在PO连线的左下方且靠近PO连线，即地表处重力加速度方向在PO连线的左下方且靠近PO连线。 故选B。 【变式5-1】（24-25高一下·河北·期中）人造地球卫星按运行轨道可以分为低轨道卫星、中高轨道卫星与地球静止轨道卫星。若某人造地球卫星在圆轨道上绕地球运行的向心加速度大小与地球表面重力加速度大小的比值为，地球的半径为R，忽略地球的自转，则该卫星的轨道半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据万有引力与重力关系有，对卫星有，解得 故选C。 【变式5-2】（2025·北京东城·二模）质量为的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为，半径为，自转周期为，引力常量为。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对物块，由牛顿第二定律有 解得物块受到的支持力 根据牛顿第三定律，可知物块对桌面的压力F大小为。 故选C。 1．（24-25高一下·山西吕梁·阶段练习）物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，促进了人类文明的进步，下列说法符合史实的是（　　） A．开普勒总结了行星运动定律，指出了太阳处在所有行星运行轨道的中心上 B．牛顿提出了万有引力定律，并通过实验精确测量了引力常量G的数值 C．开普勒、胡克、哈雷等科学家为万有引力定律的发现作出了贡献 D．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验” 【答案】C 【详解】A．开普勒第一定律指出行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，而非所有轨道的中心，故A错误； B．牛顿提出了万有引力定律，但引力常量G的测量由卡文迪许完成，故B错误； C．开普勒的行星定律为万有引力定律奠定基础，胡克提出引力概念，哈雷推动理论完善，故C正确； D．“月地检验”是比较月球公转向心加速度与地球表面重力加速度的关系，而非地球赤道物体的向心加速度，故D错误。 故选C。 2．某行星绕太阳运动的轨道为椭圆，如图所示。该行星经过轨道上a、b、c、d四个位置时，与太阳之间的万有引力最大对应的位置是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【详解】根据万有引力表达式可得太阳之间对行星的引力为 图中d位置离太阳最近，所以行星在d位置受到太阳的万有引力最大。 故选D。 3．（24-25高一下·四川雅安·期末）将地球视为半径为R的均匀球体，物体受地球引力大小F随它距地面高度h变化的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据万有引力表达式 根据题图可知 当时， 故选D。 4．（24-25高一下·天津河北·期末）已知嫦娥六号质量为m，某段时间沿环月轨道做匀速圆周运动，某时刻距离月球表面的高度为h。若将月球视为质量分布均匀的球体，质量为M，半径为R。引力常量为G，则此时嫦娥六号受到月球的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据万有引力定律，引力大小为，其中为物体到月球中心的距离。嫦娥六号距离月球表面的高度为，因此到月球中心的距离为。受到月球引力为。 故选C。 5．（23-24高一下·广西南宁·期中）中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，地球的质量为M，半径为R，且质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，当“海斗一号”下潜深度为h时，所处的重力加速度大小g是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设地球密度为，则有 当“海斗一号”下潜深度为h时，有，其中，联立解得 故选B。 6．上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零 则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有 设半径为（R－d）球的质量为，由密度公式得 所以，解得，F的大小为 B正确，ACD错误。 故选B。 7．（23-24高一下·河南安阳·期末）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同，已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，由此可知地球的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在地球表面两极处有 在地球表面赤道处有 联立可得，地球的半径为 故选B。 8．（多选）（24-25高一下·河北保定·期末）如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为，质量为，在其内挖去一个半径为的小球，形成球形腔的球心为，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为，图中O₁、O₂、O₃共线，下列说法正确的是（　　） A．剩余部分对小球O₃的引力大小为 B．剩余部分对小球O₃的引力大小为 C．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则新球体对小球O₃的引力大小为 D．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则新球体对小球O₃的引力大小为 【答案】AC 【详解】AB．设挖去部分小球的质量为，则由，得，解得 假设将球形空腔填满恢复均匀球形，大球对小球O₃的引力大小为，则 填补的小球对小球O₃的引力大小为 所以剩余部分对小球O₃的引力大小为，故A正确，B错误； CD．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则填充部分的质量为 所以新填补的小球对小球O₃的引力大小为 则新球体对小球O₃的引力大小为，故C正确，D错误。 故选AC。 9．（多选）（24-25高一下·陕西榆林·期中）一个质量均匀分布的球体，半径为，在其内部挖去一个半径为的球形空穴，其表面与球面相切，如下图所示。已知挖去小球的质量为，在球心和空穴中心连线上，距球心处有一质量为的质点，若被挖去的小球挖去前对的万有引力为，剩余部分对的万有引力为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】被挖部分对质点的引力为 由其内部挖去一个半径为的球形空穴，挖去小球的质量为m，可知球体密度为 设挖去之前的球的质量为M，则 故挖去前的球体对质点的引力为 挖去后剩余部分的引力为，所以 故选BD。 10．（多选）（24-25高一下·山东菏泽·期中）将质量为m的物体悬挂在弹簧测力计上，物体处于静止状态。若在地球赤道表面测量，弹簧测力计的示数为，若在地球两极表面测量，弹簧测力计的示数为。已知地球半径为R，当质量为的物体静止在赤道表面时，下列说法正确的是（　　） A．该物体对地面的压力为 B．该物体的向心加速度为 C．该物体的角速度为 D．该物体的线速度为 【答案】AD 【详解】A．质量为m的物体，静止在赤道表面时，有 当质量为的物体，静止在赤道表面时，有，联立解得 根据牛顿第三定律可知压力，故A正确； B．题意知在两极，因为，联立解得向心加速度，故B错误； C．因为，解得，故C错误； D．该物体的线速度为，故D正确。 故选 AD。 11．（22-23高一下·辽宁锦州·期中）如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地球上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为、，求水星与金星的公转线速度之比。 【答案】 【详解】由牛顿第二定律，有 得，则 由题可知，，得 12．（20-21高一下·湖南邵阳·阶段练习）天问一号在火星表面着陆前的最后两个运动阶段分别为动力减速阶段和着陆缓冲阶段。在动力减速阶段，探测器发动机打开，经40s速度由87m/s减至7m/s。将天问一号在动力减速阶段的运动看作竖直方向的匀变速直线运动，已知天问一号的质量约为5t，火星半径约为地球半径的二分之一，火星质量约为地球质量的十分之一，地球表面的重力加速度g＝10m/s2。求： （1）火星表面的重力加速度g火的大小； （2）动力减速阶段发动机提供的力的大小。 【答案】（1） 4m/s2；（2） 3 × 104N 【详解】（1）在地球表面，重力等于万有引力 在火星表面，重力等于万有引力， 代入数据联立解得 （2）天问一号在动力减速阶段 根据牛顿第二定律可知 联立解得动力减速阶段发动机提供的力的大小为 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，为隧道的中点，与地心O的距离为，如图所示。假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P点到的距离为x，引力常量为G，求： (1)列车在P点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg的比值； (2)列车在P点沿隧道AB方向的加速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设地球的质量为，则在地面附近时 设P点到地心的距离为r，则有 其中，， 代入可得 （2）设，则 结合上述分析可知，P点的重力加速度为 列车运动到P点加速度满足，解得 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $