精品解析：北京市师达中学2025-2026学年七年级上学期期末数学试题

北京市师达中学2025-2026学年度第一学期期末练习 七年级数学 （总分：100分 考试时间：90分钟） 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答. 【详解】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱． 故选C． 【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则进行判断即可，此题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．与不是同类项，不能合并同类项，故选项错误，不符合题意； D．与不是同类项，不能合并同类项，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 4. 我国长城总长约6700000米，6700000米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】6700000米米 故选择：D 5. 根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：A、由可得出或，所以A选项不符合题意． B、当时恒成立，而不一定成立，所以B选项不符合题意． C、由可得出，故C选项符合题意． D、由可得出，所以D选项不符合题意． 故选：C． 6. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式加减和去绝对值，根据数轴分别判断各选项的正负，然后比较即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负和正确理解数轴的特点． 【详解】、根据数轴可知，此选项判断错误，不符合题意； 、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意； 、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意； 、根据数轴可知，，则，此选项判断正确，符合题意； 故选：． 7. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际优应用，设物价是x钱，根据每人出8钱多出3钱可知有人，根据每人出7钱，还差4钱可知有人，根据人数不变建立方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 8. 下图是某航海区域的情况，在灯塔O附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中F到灯塔的距离为，海轮F在灯塔和海轮D的中点处． 且，． 则下列说法正确的是（ ） ①若海轮F的速度为，则海轮F抵达灯塔需要20分钟； ②； ③； ④C在灯塔的北偏东的方向上． A. ①④ B. ①② C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方向角和度分秒的换算，熟练掌握方向角的定义和度分秒的换算是关键．分别根据方向角和度分秒的换算判断即可． 【详解】解：①若海轮F的速度为，则海轮F抵达灯塔需要小时=20分钟，故①正确； ②，故②错误； ③，故③正确； ④∵， ∴C在灯塔的北偏东的方向上，故④正确． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 如果向西走10米记作+10米，那么向东走5米记作______米． 【答案】-5 【解析】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】∵向西走10米记作+10米， ∴向东走5米记作-5米． 故答案为：-5． 【点睛】本题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 10. 如果单项式与是同类项，那么________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，掌握同类项的相同字母的指数必须相等是解题的关键． 根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等即可确定a、b的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴． 故答案为 12． 11. 举例说明“若是有理数，则”是错误的，请写出一个的值：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质得出，即可解答． 【详解】解：， ， ∴当时，是错误的， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质．先根据非负数的性质求出、的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 13. 如图所示的网格是正方形网格，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角的比较，根据，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，两个正方形有一个顶点重合，且重合顶点在直线上，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角的有关计算，根据题意正确列式计算是解题的关键． 根据题意得出，计算即可． 【详解】解：由题得， ， 故答案为： ． 15. 当x取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于x的方程的解是________． x 0 1 2 3 14 10 6 2 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】解：根据表格可知当时，，即， 方程的解是． 故答案为：． 16. 在图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”．现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23．若2，4，5，a已填入图中，位置如图所示，则表示的数是______；请按上述要求，将剩余的数填入图中（填出一种即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23，分别代数验证即可． 【详解】解：由题意可得：， 如图所示： 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了整数规律题，解题的关键是根据图形结合数字进行验证． 三、解答题（共60分，第17题9分，第18题8分，第19、21题每题4分，第20、22题每题5分，第23-25题每题6分，第26题7分） 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）7 （2）1 （3）26 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘法，再根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算除法，最后计算加法即可得到答案； （3）根据有理数的乘法分配律求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，解题的关键是正确化简整式；先根据去括号法则（括号前是负号，去掉括号后括号内各项都要变号）去掉括号，再合并同类项，最后将，代入化简后的式子计算． 【详解】解： ， 代入，， 原式 ． 20. 如图，已知点A，B，C，D，请按要求画出图形. （1）画直线AB和射线CB； （2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使.（要求保留作图痕迹） （3）在直线AB上确定一点P，使的和最短，并写出画图的依据. 【答案】解：（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；画图的依据：两点之间，线段最短. 【解析】 【分析】（1）根据直线是向两方无限延伸的画直线AB即可，根据射线是向一方无限延伸的画射线CB； （2）首先画出线段AC，在AB的延长线上依次截取两次AC，使得； （3）连接AB,CD，AB与CD的交点就是P点． 【详解】解：（1）如图所示，直线AB, 射线CB即为所求； （2）如图所示，线段AC、AE即为所求； （3）如图所示，点P即为所求，画图的依据：两点之间，线段最短. 【点睛】本题考查了线段，射线，直线的概念和画法，掌握线段，射线，直线的概念以及两点之间，线段最短是解题的关键. 21. 补全下列解答过程． 已知：如图，，射线在的外部且，平分，平分．求的度数． 解：平分，平分， ， _______（_______）（填写推理依据）， ，， ，_______， _______， 的度数为． 【答案】；角平分线的定义；； 【解析】 【分析】由角平分线的定义可得，，再通过角的和差即可求解；本题主要考查了角平分线的定义，角的和差运算，理解题中的逻辑关系，熟练运用角平分线与角的和差进行推理是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ， （角平分线的定义）， ，， ，， ， 的度数为． 22. 已知：，点C是线段的中点，． （1）如图，点D在线段上，求的长； （2）若点D在直线上，且点E是的中点，请直接写出的长． 【答案】（1）4 （2）1或 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确识别图形． （1）先根据得，即可求出，再根据线段中点的性质和线段的和差计算即可； （2）分两种情况讨论：当点D在线段上时；当点D在点的右侧时；分别根据求出的长，根据线段中点的性质和线段的和差，结合图形计算． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：分以下两种情况讨论： 如图，当点D在线段上时， 由（1）知，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵，点C是线段的中点， ∴， ∴； 如图，当点D在点右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点C是线段中点，点E是的中点， ∴，， ∴． 综上所述，的长为1或． 23. 列方程解决实际问题：某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品．现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成．已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． （1）求这批纪念品共有多少件？ （2）若该外贸公司请甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品，则_______天后完成；在纪念品生产过程中，该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是11000元，每天支付给乙工厂的费用是16000元，且每天的其它支出费用均是1000元．则该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和为_______元． 【答案】（1）这批纪念品共有3600件 （2）6；168000 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用： （1）设这批纪念品共有件，根据两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用 5 天完成列方程，解方程求出的值即可； （2）设甲、乙工厂共同生产这批纪念品需要天完成，先求出两个工厂共同生产的天数，再计算总费用即可． 【小问1详解】 解：设这批纪念品共有件， 依题意，得：， 解这个方程，得， 答：这批纪念品共有3600件． 【小问2详解】 解：设甲、乙工厂共同生产这批纪念品需要天完成， 依题意，得：， 解这个方程，得， 即甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品，则6天后完成； 元， 答：该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和是168000元． 24. 如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”． 例如：方程的解是，方程的解是 所以：方程是方程的“2—后移方程”． （1）判断方程是否为方程的k—后移方程________（填“是”或“否”）； （2）若关于x的方程是关于 x 的方程的“2—后移方程”，求n的值 （3）当时，如果方程是方程的“3—后移方程”求代数式的值． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别求出两个方程的解即可得到答案； （2）分别求出两个方程的解，再根据“2—后移方程”的定义求出n的值即可得到答案； （3）分别求出两个方程的解，再根据“3—后移方程”的定义求出，然后把整体代入所求代数式求解即可． 【小问1详解】 解：解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程是方程的1—后移方程； 【小问2详解】 解∶解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程是关于x的方程的“2—后移方程”， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：解方程，得， 解方程，得， ∵方程是方程的“3—后移方程”， ∴， ∴， 把代入， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，正确理解题意所给的“后移方程”的定义是解题的关键． 25. 给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”． （1）下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是_______（填写序号）： ①；②；③是的角平分线； （2）如图1，当时，在图中画出的一个“倍锐角”； （3）如图2，当时，射线绕点O旋转，每次旋转，可得它的“倍锐角”_______； （4）当是的“倍锐角”且时，则_______． 【答案】（1）②③ （2）见解析 （3）或或 （4）和 【解析】 【分析】本题在角的背景下的新定义问题，主要考查角的和差倍分关系，分类讨论思想等相关知识，解题关键是根据题意进行正确的分类讨论． （1）根据给出的“倍锐角”的定义依次进行判断即可； （2）根据给出的“倍锐角”的定义求解即可； （3）根据给出的“倍锐角”的定义求解即可； （4）根据给出的“倍锐角”的定义分类讨论，画出图形，再求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：①， 若，那么，两个角不是整数倍关系， ∴不是的倍锐角； ②， 若，那么，，两个角是整数倍关系， ∴是的倍锐角； ③∵平分， 若，那么，两个角是整数倍关系， ∴是的倍锐角； 综上所述，能判断是的倍锐角的是②③； 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：，若，那么， 有以下两种情况： 【小问3详解】 解：∵，且射线绕点O旋转，每次旋转， ∴锐角的取值有，，，，，，，，这几种，对每个可能的值进行分析可知，只有三种情况下，是的倍锐角： ①当时，； ②当时，； ③当时，； ∴可能的取值有、和这三种情况； 故答案为：或或； 【小问4详解】 解：∵是的“倍锐角”， ∴， ∴， 几何图示有图中画出的两种情况： ①如图，当在的上方时， ； ②如图，当在的下方时， ； ∴的取值有和这两种情况． 故答案为：和． 26. 在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A，对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即． 例如：当点P是线段的中点时，因为，所以． （1）如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与位于原点的两侧，且到原点的距离相等． ①________； ②比较，，大小_______（用“”连接）； （2）数轴上的点M满足，求； （3）数轴上的点P表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为_______． 【答案】（1）①；② （2）或 （3）4050 【解析】 【分析】（1）①根据定义求出线段与的比值即可解答；②根据定义分别求出，，的值即可比较； （2）分点M在原点的右侧和左侧两种情况进行求解即可； （3）根据题意逐个求出满足条件的p的值，观察可得当时，或，再求其倒数和即可． 【小问1详解】 解：①∵点表示的数是，点与位于原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴点表示的数是， ∵点A表示的数是1， ∴； ②∵，， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ①当点M在原点右侧时，点M表示的数为， ； ②当点M在原点左侧时，点M表示的数为， ； 则的值为或． 【小问3详解】 解：∵且为整数， ∴若， 即点P是线段的中点， 若， 当点P在线段中间时，， 解得， 当点P在点A右边时，， 解得， ∴当，或， 同理若，或， 若，或， … ∴当时，或， 则所有满足条件的p的倒数之和为 ． 故答案为：4050． 【点睛】本题考查了数轴上两点间距离，有理数的运算，倒数，一元一次方程的应用，找规律，理解题目中的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市师达中学2025-2026学年度第一学期期末练习 七年级数学 （总分：100分 考试时间：90分钟） 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 相反数是（ ） A B. C. D. 2. 如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国长城总长约6700000米，6700000米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下图是某航海区域的情况，在灯塔O附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中F到灯塔的距离为，海轮F在灯塔和海轮D的中点处． 且，． 则下列说法正确的是（ ） ①若海轮F的速度为，则海轮F抵达灯塔需要20分钟； ②； ③； ④C在灯塔的北偏东的方向上． A ①④ B. ①② C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 如果向西走10米记作+10米，那么向东走5米记作______米． 10. 如果单项式与是同类项，那么________． 11. 举例说明“若是有理数，则”是错误的，请写出一个的值：______． 12. 若，则的值为__________． 13. 如图所示的网格是正方形网格，则______．（填“”“”或“”） 14. 如图，两个正方形有一个顶点重合，且重合顶点在直线上，则的度数为_______． 15. 当x取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于x的方程的解是________． x 0 1 2 3 14 10 6 2 16. 在图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”．现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23．若2，4，5，a已填入图中，位置如图所示，则表示的数是______；请按上述要求，将剩余的数填入图中（填出一种即可）． 三、解答题（共60分，第17题9分，第18题8分，第19、21题每题4分，第20、22题每题5分，第23-25题每题6分，第26题7分） 17. 计算： （1） （2） （3） 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，已知点A，B，C，D，请按要求画出图形. （1）画直线AB和射线CB； （2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使.（要求保留作图痕迹） （3）在直线AB上确定一点P，使的和最短，并写出画图的依据. 21. 补全下列解答过程． 已知：如图，，射线在的外部且，平分，平分．求的度数． 解：平分，平分， ， _______（_______）（填写推理依据）， ，， ，_______， _______， 的度数为． 22. 已知：，点C是线段的中点，． （1）如图，点D在线段上，求的长； （2）若点D在直线上，且点E是的中点，请直接写出的长． 23. 列方程解决实际问题：某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品．现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成．已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． （1）求这批纪念品共有多少件？ （2）若该外贸公司请甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品，则_______天后完成；在纪念品生产过程中，该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是11000元，每天支付给乙工厂的费用是16000元，且每天的其它支出费用均是1000元．则该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和为_______元． 24. 如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”． 例如：方程的解是，方程的解是 所以：方程是方程的“2—后移方程”． （1）判断方程是否为方程的k—后移方程________（填“是”或“否”）； （2）若关于x的方程是关于 x 的方程的“2—后移方程”，求n的值 （3）当时，如果方程是方程的“3—后移方程”求代数式的值． 25. 给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”． （1）下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是_______（填写序号）： ①；②；③是的角平分线； （2）如图1，当时，在图中画出一个“倍锐角”； （3）如图2，当时，射线绕点O旋转，每次旋转，可得它的“倍锐角”_______； （4）当是的“倍锐角”且时，则_______． 26. 在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A，对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即． 例如：当点P是线段的中点时，因为，所以． （1）如图，点，，为数轴上三个点，点表示数是，点与位于原点的两侧，且到原点的距离相等． ①________； ②比较，，的大小_______（用“”连接）； （2）数轴上的点M满足，求； （3）数轴上的点P表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $