7.1.1角的推广（教学课件）高一数学人教B版必修第三册

第1课时 角的推广 7.1 任意角的概念与弧度制 第七章 三角函数 学 习 目 标 1 2 3 理解任意角、象限角以及区间角的概念. 掌握终边相同角的表示 通过终边相同角的集合推导，运用分类讨论思想：理解 k∈Z 的周期性本质，强化逻辑推理能力. 新课导入 如图为生活中常见的摩天轮，结合摩天轮的特点，思考以下问题： （1）摩天轮持续转动时，所转过的角度大小是否会超过360°？ （2）甲、乙两人站在两侧观察，旋转方向相同吗？如何用数学符号区分？ 回顾初中关于角的知识可以发现，以前所学的角，大小一般不会超过360° 这就是我们接下来要学习的《角的推广》 为了解决以上类似的问题，我们需要将角的概念进行推广. 新知探究 探究一：任意角 （1）如图，我们发现，只要时间足够长，摩天轮所转过的角的大小会超过360° （2）回顾初中角的相关概念： 如图，角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 站在摩天轮两侧的人观察到的旋转方向不一样，若一人观察到的是逆时针旋转，那么另一人观察到的就是顺时针旋转 旧定义无法描述！因此我们将对角进行推广. 新知探究 ①如图，规定按照逆时针方向旋转而成的角称为正角 ②如图，规定按照顺时针方向旋转而成的角称为负角 ③当射线没有旋转时，称为零角 由于是旋转生成的，所以也常称为转角 知识小结 任意角 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角 正角：逆时针旋转而成的角称为正角； 负角：顺时针旋转而成的角称为负角； 零角：无旋转时称为零角 也就是说，角的大小是任意的.由 此，我们把角的概念推广到了任意角 新知探究 尝试与发现 作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.如图： 角的概念推广之后，利用转角给出与的几何意义. ①射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为 ②OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为 （ 新知探究 ③OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为 （ ①射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90° ②OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为-30° ③则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为 即时训练 1.如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 _______． 【分析】由任意角的定义即可求解 解：由角的定义可得 新知探究 探究二：象限角 （1）引入坐标系模型 为方便讨论，将角放在平面直角坐标系中：顶点与原点重合，始边落在轴正半轴上 （2）定义象限角 角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角. 例如：①图中的角都是第一象限角 ②第二幅图中的是第____象限角，是第三象限角是第___象限角，不是象限角，其终边在y轴的负半轴上. 一 二 尝试与发现 新知探究 （1）任意两个终边相同角的差是多少？ （2）如何用集合表示所有与终边相同的角？ 任意两个终边相同的角之差是360° （1） （2）角（）与角的终边相同，结合（1）的结论，可将这个集合可记为 当时对应元素为 知识小结 象限角 一、象限角的定义 ①角的顶点与坐标原点重合； ②角的始边落在 轴的正半轴上 满足上述条件，若角的终边落在第几象限，则称这个角为第几象限角； 二、各象限角的集合表示 注：若落在坐标轴上，则称这个角为轴线角，且轴线角不属于任何象限 即时训练 2.与角终边相同的角可以表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】变换，得到答案. 【详解】 故与角终边相同的角可以表示为，. C 例题讲解 如图所示，已知角α的终边为射线OA，分别作出角的终边。 例1 【分析】①由角的定义可知，把角α的终边逆时针方向旋转90°可得角的终边OB ②把角α的终边顺时针方向旋转可得角的终边 ③把角α的终边逆时针方向旋转可得角的终边，如图所示 例题讲解 分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式的元素β写出来 例2 解 ： 解不等式 得，所以可取 因此S中满足的元素是 【分析】建立集合 → 解不等式定范围 → 代值求解 例题讲解 （2） 解不等式 得 ， 所以可取 因此S中满足的元素是 新知探究 区间角 即终边落在某个特定区域(区间)内的所有角组成的集合. 如例2中， 这个区间内的角就可以叫做区间角. 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 例题讲解 例3 写出终边在第一象限内的角的集合. 【分析】因为大于 且小于 的角的终边一定在第一象限，而且如果一个角的终边在第一象限，那么这个角的终边一定与内某个角的终边相同 解：终边在第一象限内的角的集合为 例题讲解 写出终边在轴上的角的集合. 例4 【分析】要得到终边在轴上的角的集合，需结合终边相同的角的表示和整数的奇偶性分类来推到 解：在内，终边在轴上的角有两个，即和，与这两个角终边相同的角组成的集合依次为 为简便起见，我们把集合和的表示方法改为 例题讲解 因为，所以 即集合是终边在x轴上的角的集合. 轴线角集合的通用推导步骤 ②写出每个基础角对应的 “终边相同的角的集合” ③合并集合并简化表示 ④得出最终集合 ①的基础角 巩固提升 1.在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角： (1)； (2)905.3°； 【分析】利用终边相同的角的公式，写出即可. （1） 是第一象限的角 是第一象限的角; （2） 是第三象限的角 是第三象限的角; 巩固提升 2.写出终边在直线上的角的集合． 【分析】在范围内，终边在直线上的角为和，在射线上的角为45°、225°根据象限角的终边公式表示后化简即可. 解：终边在直线上的角的集合为 化简并整理后为 ． 巩固提升 3.找出终边在直线上的角的集合. 【分析】在范围内，终边在直线上的角有两个：、，再根据终边公式写出来即可 解：终边在上的角的集合是： 化简整理后得 巩固提升 4.如图所示，求出终边落在阴影部分的角的取值集合. 解：终边落在射线OA上的角的集合是 终边落在射线OB上的角的集合是 所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是： . 【分析】要解决终边落在阴影部分的角α的取值集合问题，需分析图形中边界角度的周期性. 任意角 任意角 象限角 正角 负角 零角 课堂总结 ①角的顶点与坐标原点重合； ②角的始边落在 轴的正半轴上，满足上述条件，若角的终边落在第几象限，则称这个角为第几象限角 区间角 终边落在某个特定区域(区间)内的所有角组成的集合 感谢聆听! $