专题09 相似三角形中的动点问题（5大题型）（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题09相似三角形中的动点问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） .5 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 10 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题..14 题型五：相似三角形中的动点与儿何图形探究问题…19 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 例1.(24-25九年级上·甘肃兰州期末)如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P由点A出发 沿AB方向向点B匀速移动，速度为2cm/s,点Q由点D出发沿DA方向向点A匀速移动，速度为lcm/s, 如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接PQ、PC,设运动的时间为t(s)(0≤1≤6).若以Q、A、P为 顶点的三角形与△BPC相似时，则t的值为■ D B 知识点总结 1.相似三角形判定与性质：需掌握A4(两角对应相等)、S4S(两边对应成比例且夹角相等)、SSS(三边 对应成比例)判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，这是列比例式的基础。 2.动点运动规律：明确动点的起点、终点、速度，用含时间t的代数式表示线段长度，注意运动过程中线 段长度的变化及取值范围，避免漏解。 解题技巧 1.分类讨论图形位置：动点移动会导致三角形顶点位置变化，需按相似三角形的不同对应关系分类（如 不同顶点对应)，分别列出比例方程，避免只考虑一种情况。 2.验证解的合理性：求出的值后，需代入线段长度表达式，检查是否符合图形实际（如线段长度非负、 动点未超出运动范围)，排除不合理的解。 【变式1-1K24-25九年级上·福建莆田·开学考试)如图，在RtABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm 动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以 每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为1秒0<1<10 , 连接MN.若△BMN与ABC相似，求t的值 为 1/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式1-2】(24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习)如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10, BC=12,有两动点P、Q分别在边AB、BC上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒 2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段AB按A→B方向向终点B运动，点Q沿线 段BC按B→C方向向终点C运动.当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 秒，请解答下列问题： B B →Q 图1 图2 (1)当t=】 时，以点P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似； (2)当t= 时，△PCQ的面积等于4. 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 例2.(24-25九年级上·河南南阳·期末)如图，在等边ABC中，边长为30，点M为线段AB上一动点， 将等边ABC沿过M的直线折叠，折痕与直线AC交于点N,使点A落在直线BC上的点D处，且 BD:DC=1:4设折痕为MN,则AN的值为 M B D 知识点总结 1.相似三角形的判定与对应关系：需熟练运用A4、S4S、SSS判定定理，明确动点移动中三角形可能形成 的不同对应顶点组合，因对应关系不同，线段比例式也会不同，这是产生多解的核心原因。 2.用变量表示线段长度：根据动点速度和时间，用含t的代数式表示相关线段，同时明确动点运动的范围 (如线段端点、边界位置)，确定变量的取值限制，为后续计算提供依据。 解题技巧 1.按对应顶点分类列比例：根据动点位置变化，列举所有可能的相似对应方式（如顶点A对应D或E), 分别列出不同比例式，避免遗漏对应关系导致的漏解。 2.结合图形验证线段合理性：求出线段长度后，结合动点运动轨迹，检查线段是否符合图形逻辑（如长 度为正、未超出原线段范围)，排除因计算或对应错误产生的不合理解。 【变式2-1】(2025江苏南京一模)如图，在四边形ABCD中，AB=5,AD=4,CD=0.8, 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠A=∠D=120°，在边AD上有一动点P,若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似， 则AP的长为 P B 【变式2-2】(24-25九年级上·广东河源·期中)如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O,E是OD的中点，F是边BC(不与B、C重合)上的一个动点，过点E作EG⊥EF,交 CD与G,当△DEG为等腰三角形时，CF的长为一 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 例3.(2025山东淄博·三模)如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E是AD边上的一个动点，以CE为 边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接DG,BE,BG,则BG+BE的最小值 是 知识点总结 1.相似三角形性质与动态线段表达：利用相似三角形对应边成比例的性质，结合动点速度、时间，用含 变量的代数式表示相关线段长度，明确变量的取值范围（受动点运动边界限制）。 2.最值求解相关定理：涉及垂线段最短、两点之间线段最短（如将军饮马模型），以及二次函数顶点最值 (当线段表达式为二次函数时，利用顶点坐标求最值)。 解题技巧 1.转化线段表达式：通过相似比将所求线段或线段和转化为含单变量的代数式，若为二次函数形式，利 用配方法或顶点公式求最值：若为一次函数，结合变量范围找端点值。 2.结合几何模型构造对称点：对于线段和最值，若涉及定点与动点，可通过构造对称点，将折线转化为 直线，利用“两点之间线段最短”求解，再结合相似关系确定动点位置及对应线段长。 【变式3-1】(2025陕西西安模拟预测)如图，在Rt△ABC中，己知∠ACB=90°，AC=4,BC=2V5, 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点D、E分别是AB、AC边上的两个动点，且始终保持AD=CE,连接BE、CD，,则当CD+BE取最小值时， AE= D E B 【变式3-2】(24-25八年级下·山东济南期末)如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，点E,F分别 是边AB,对角线BD上的动点，且满足EF∥AD,若点G是CE的中点，则线段FG的最小值为 F 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 例4.(2024山东聊城一模)如图，在ABC中，AB=10,BC=6,AC=8,点P为线段AB上的动点， 以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止，过点P作PM⊥AC于点M,作PN⊥BC 于点N,连结MN,线段MN的长度y与点P的运动时间t(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的 坐标为 8 M 10x 知识点总结 1.相似三角形的判定与性质：需掌握AA、SAS、SSS等判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应高 的比等于相似比等性质，为建立线段关系提供依据。 2.函数表达式的构建与图像特征：根据动点运动规律，用含时间t的代数式表示线段长度，结合相似关系 转化为函数解析式（如一次函数、二次函数），并理解函数图像的增减性、顶点等特征。 解题技巧 1.分段分析运动过程：动点在不同阶段可能形成不同的相似三角形，需按运动临界位置分段，分别列出 对应函数表达式，避免因过程遗漏导致图像错误。 2.结合函数性质求关键点：根据相似关系确定函数定义域，利用函数图像的顶点、端点等关键点，对应 动点位置，解决与图像趋势、最值相关的问题。 【变式4-1】(2025·黑龙江大庆·三模)如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一动点，设PC=x,PE+PB=y,图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的纵坐标为25，则点 Q的横坐标为 D E 0 图① 图② 【变式4-2】(24-25八年级下·江苏苏州阶段练习)如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是BC边的 中点，P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x,PE与PC的长度和为y,图2是y关于x的函数图象， 其中H是图象上的最低点，则a+b的值为_ A 6 D 6 图1 图2 题型五：相似三角形中的动点与几何图形探究问题 例5.(2025河南南阳·二模)(1)在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图1，己知正方形ABCD, 正方形CEFG.将正方形CEFG绕点C旋转，连接BE,DG,则BE与DG的数量关系为； (2)创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形ABCD和矩形 DEFG中，AD=2DE,AB=2DG,AD=DG,将矩形DEFG绕点D旋转，直线AE,CG交于点P,AE 与CG有怎样的数量关系？请你给出证明， (3)善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,点E 是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接BG,DG,BE,则 BG+二BE的最小值是 图1 图2 图3 5/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点总结 1.相似三角形的判定与动态量化：掌握AA、S4S等判定定理，能根据动点运动速度、时间，用含变量的 代数式表示线段长度，再通过相似比建立等量关系，实现几何量的动态转化。 2.实际场景几何建模：需将应用问题（如测量、运动轨迹）转化为几何图形，结合图形性质（如三角形 稳定性、四边形特征)，明确相似三角形在实际场景中的对应关系。 解题技巧 1.从实际问题抽象几何模型：剥离应用场景中的非关键信息，提炼出含动点的三角形结构，确定已知量、 未知量及相似条件，将实际问题转化为纯几何计算。 2.用变量追踪动态变化：设时间或距离为变量，表达动点关联线段，结合相似性质列方程，同时根据实 际意义限定变量范围，确保解的合理性，解决长度、距离等应用问题。 【变式5-1】(24-25九年级上·广东深圳期中)如图1，在正方形ABCD中，点E是BC上一动点，将正方 形沿着AE折叠，使点B落在F处，连接BF、AF,延长BF交CD于点G. E E 图 图2 D 图3 图4 (I)【初步探究】在E的运动过程中，△ABE与△BCG始终保持全等的关系，请说明理由 入探究】把图1中的P延长交CD于点瓜，如图2，若花-BE=7,求线毁C (3)【拓展延伸】如图3，将正方形改成矩形，同样沿AE折叠，连接BF,延长BF、AF交直线CD与点G、 H两点，若 BC=mC=,直接写出CE的值_（用含m的代数式表示. AB HF 4 BE 【变式5-2】(2025贵州中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点 E为射线BP上的一点（点E与点B不重合）. E 图① 图② 备用图 【问题解决】 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=度，线段BP与线段AC的位置关系是_； 【问题探究】 (2)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探究线段BE与线段EC 的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G,若 BE=2FG,AB=5,求AP的长. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25九年级上·广东河源期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E是 BA的延长线上一动点，连接OE交AD于点F,若CD=5,BC=8,AE=2,则AF的长为() 16 A. 9 B. a. D.2 2.(24-25九年级上安徽合肥期末)如图，矩形ABCD中，E是BC边上一动点， BC _EF=2, AB AE ∠AEF=90°，若BE=1,那么CF的长度为() D ⊙ A.√2 B.√5 C.2 D.5 3.(2025广东中山模拟预测)如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P,Q同时从点B出发，点P 沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s,设 P,Q同时出发s时，BPQ的面积为cm2.已知y与t的函数关系如图2所示（曲线0M为抛物线的一部 分)，则下列结论错误的是(). 7/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y/cm2 10 0 57 H 图1 图2 A.AE =3cm B.当5≤t≤7时，BPQ的面积是10cm2 C.当0st≤5时，y= 2 5时，B00 D.当t= Pg。7 二、填空题 4.(24-25九年级上海南海口·期中)如图，在ABC中，AD=3,DB=6,AC=10,点E为边AC上的一个 动点，当AE= 时，ADE和ABC相似. B 5.(24-25九年级上·四川成都期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，动点M、N分别在BC 、AB上，且AN=2BM>0,连接AM、CN.若AC=1,则CN+2AM的最小值为 B M 6.(2025河南驻马店·三模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=10,BC=12,点E是线段BC上 一动点（不与点B,C重合），连接AE,将△ABE沿直线AE折叠，点B落到点F处，连接CF,BF,当 △BFC为等腰三角形时，BE的长为一· B式 E 三、解答题 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(2025九年级上全国·专题练习)如图，直线AB:y= 2+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,P为线 段OA上的一个动点（点P与点O,A不重合），过点P作PC⊥AB于点C,连接BP并延长，过点A作 AD⊥BP于点D,当△BOP与△ABD相似时，求点P的坐标. 8.(24-25九年级上河北衡水·期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm,BC=6cm,动点M从点 C出发，在CA边上以每秒1cm的速度向点A匀速运动，同时动点P从点A出发，在AB边上以每秒2cm的 速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0<t<5),连接PM. B (备用图) (I)是否存在某一时刻t,使△AMP的面积是ABC面积的 ？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理 10 由. (②)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使△AMP是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明 理由. 9.(25-26九年级上·全国·周测)【问题发现】 )如图D,在Ri△4BC中，∠BMC=90A伦，P是边BC上一动点（不与点B重合》 LPAD=90°，LAPD=LB,连接CD.填空： ①的值为 CD ②∠ACD的度数为 【拓展探究】 （2)如图②，在R1△ABC中，∠BAC=90°，4B=k,P是边BC上一动点（不与点B重合）， AC LPAD=90°，LAPD=LB,连接CD.请判断∠B与∠ACD的数量关系以及PB与DC之间的数量关系，并说 明理由. 9/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 10.(24-25九年级上·全国·期中)如图1，在矩形ABCD中，AB=4,BC=mm>4),点P是BC上的一 个动点（不与点B、C重合），连接PA,过点P作PE⊥PA交CD于点E. D 0 C 图1 图2 (1)求证： ABP∽PCE; (②)若APE是面积为10的等腰直角三角形，求m的值： (3)当m=10时， ①存在点P使得点E与点D重合，求出此时BP的长： ②如图2，连接BD,若PE∥BD,求CE的长 11.(2025河南郑州模拟预测)综合与实践：如图，ABC是等边三角形，点D是射线AC上一个动点， 连接BD,将BD绕点B逆时针旋转60°得到BE,连接CE,DE. A B 备用图 观察发现 (I)∠BDE=°，LBCE=°； 迁移探究 (2)当点D在线段AC时上，请判断线段AB,CD,CE三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 (3)若点D在射线AC上，直线BC和直线DE相交于点F,且CE=3CD,请直接写 BC的值： CE 12.(24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习)【问题探究】 在ABC中，AB=AC,D为直线AC上一动点，∠BDE=∠LA,且DB=DE,连接BE、CE,其中D=k CE 10/11 专题09 相似三角形中的动点问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 5 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 10 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 14 题型五：相似三角形中的动点与几何图形探究问题 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 例1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在矩形中，，，点P由点A出发沿方向向点B匀速移动，速度为，点Q由点D出发沿方向向点A匀速移动，速度为，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接、，设运动的时间为．若以Q、A、P为顶点的三角形与相似时，则t的值为 ．    【答案】或 【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的性质、解一元二次方程，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．与都是直角三角形，两个三角形相似时，的对应边是或．分两种情形构建方程，分别求解即可． 【详解】解：由题意，Q在上运动最大时间为，P在上运动最大时间为，，，， 分两种情况： ①当时，， 即， 或（舍去）， ； ②当时，， 即， ， 或， 经检验，是分式方程的解，不符合题意，舍去， 当或时，以Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 知识点总结 1.相似三角形判定与性质：需掌握AA（两角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例）判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，这是列比例式的基础。 2.动点运动规律：明确动点的起点、终点、速度，用含时间t的代数式表示线段长度，注意运动过程中线段长度的变化及取值范围，避免漏解。 解题技巧 1.分类讨论图形位置：动点移动会导致三角形顶点位置变化，需按相似三角形的不同对应关系分类（如不同顶点对应），分别列出比例方程，避免只考虑一种情况。 2.验证解的合理性：求出t的值后，需代入线段长度表达式，检查是否符合图形实际（如线段长度非负、动点未超出运动范围），排除不合理的解。 【变式1-1】（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 【变式1-2】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段AB按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）当 时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （2）当 时，的面积等于4． 【答案】 或 5 【分析】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． （1）当时，则，当，则，两种情况建立方程求解即可； （2）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可． 【详解】（1）解：当时，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 当 或 时，以点P、B、 Q为顶点的三角形与相似． 故答案为：或 （2）如图，过P作，垂足为D，作边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，故不合题意， ∴，即存在，使得的面积等于4． 故答案为：5 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 例2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图， 在等边中，边长为30，点M为线段上一动点，将等边沿过M的直线折叠，折痕与直线交于点N，使点A落在直线上的点D处，且设折痕为，则的值为 ． 【答案】21或65 【分析】分当点D在上与的反向延长线上两类讨论，根据是等边三角形得到，，根据沿折叠得到可得，，，结合三角形内外角关系即可得到，即可得到，则可得．设，则，，代入比例式中，可得，，根据，求出x的值，即可得到答案； 【详解】解：①当点D在上时， ∵是等边三角形， ∴，， ∵沿折叠得到， ∴，，， 在中， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， 设，则，， ∴，， ， 又∵, ∴， 解得， ∴； ②当点D在的反向延长线上时， 与①同理可得，， ∴， ∵，且 ∴，， 设，则，， ， ∴，， ， ， ， 解得， ． 故答案为：21或65． 【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，等边三角形性质，折叠的性质，解题的关键是根据折叠相等及三角形内外角关系得到相似的条件． 知识点总结 1.相似三角形的判定与对应关系：需熟练运用AA、SAS、SSS判定定理，明确动点移动中三角形可能形成的不同对应顶点组合，因对应关系不同，线段比例式也会不同，这是产生多解的核心原因。 2.用变量表示线段长度：根据动点速度和时间，用含t的代数式表示相关线段，同时明确动点运动的范围（如线段端点、边界位置），确定变量的取值限制，为后续计算提供依据。 解题技巧 1.按对应顶点分类列比例：根据动点位置变化，列举所有可能的相似对应方式（如顶点A对应D或E），分别列出不同比例式，避免遗漏对应关系导致的漏解。 2.结合图形验证线段合理性：求出线段长度后，结合动点运动轨迹，检查线段是否符合图形逻辑（如长度为正、未超出原线段范围），排除因计算或对应错误产生的不合理解。 【变式2-1】（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】2或 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 【变式2-2】（24-25九年级上·广东河源·期中）如图所示，在边长为4的正方形中，对角线与相交于点O，E是的中点，F是边（不与B、C重合）上的一个动点，过点E作，交与G，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键注意分类讨论思想的运用．当为等腰三角形时，根据 ①，②，③ 三种情况讨论即可解决问题． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 当为等腰三角形时， ①若，如图，过E作，，垂足分别为M、N， 得矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴； ③若，， ∴， ∵， ∴， ∴点F与点B重合（不符合题意舍去）， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 例3．（2025·山东淄博·三模）如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等角的余角相等，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，最短距离问题，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 本题先根据矩形的性质得出，，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，作交于点N，交的延长线于点，作点关于直线的对称点，连接，与交于点，连接，可得，，根据矩形的判定与性质得出，，，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，即可求出，根据两点之间，线段最短得出当点B、G、三点共线时，的值最小，最小值为，结合勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 作交于点N，交的延长线于点M，作点D关于直线的对称点，连接，与交于点H，连接，如图： 则，， ∵， 又∵，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 故当点B、G、三点共线时，的值最小，最小值为． 在中，， 故答案为：． 知识点总结 1. 相似三角形性质与动态线段表达：利用相似三角形对应边成比例的性质，结合动点速度、时间，用含变量的代数式表示相关线段长度，明确变量的取值范围（受动点运动边界限制）。 2. 最值求解相关定理：涉及垂线段最短、两点之间线段最短（如将军饮马模型），以及二次函数顶点最值（当线段表达式为二次函数时，利用顶点坐标求最值）。 解题技巧 1. 转化线段表达式：通过相似比将所求线段或线段和转化为含单变量的代数式，若为二次函数形式，利用配方法或顶点公式求最值；若为一次函数，结合变量范围找端点值。 2. 结合几何模型构造对称点：对于线段和最值，若涉及定点与动点，可通过构造对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求解，再结合相似关系确定动点位置及对应线段长。 【变式3-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，已知，，，点、分别是、边上的两个动点，且始终保持，连接，则当取最小值时， ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形和全等三角形的综合应用，同时涉及勾股定理和最值问题．本题综合性较强，能合理构建出全等三角形以及转化线段是学生解决本题的关键．先构建出，转化，即可利用三角形三边关系得出，进一步根据以及勾股定理进行分析即可． 【详解】解：将移动至，使与、与分别重合， 则，，, ， 当三点共线时，, ， , , ，， ， 此时, ， 在中由勾股定理可得， ， ． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，菱形的边长为，点，分别是边，对角线上的动点，且满足，若点是的中点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短等知识．解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，将求线段的最小值转化为求的最小值，再利用三角形面积公式求出的最小值，进而得到的最小值． 解题思路：辅助线作法见详解．利用中位线定理得到，根据菱形的性质证得，再利用平行线性质可证，得到，利用含角直角三角形的性质及勾股定理可求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用面积相等法求得高的长度，等于其一半，即为的最小值． 【详解】如图，延长至点H，使，连接．延长与交于点M，因G为的中点，故． ∵且菱形对角线平分， ∴， 由，得；由得， ∴，则，又， ∴，则， 由得，；由得， ∴，则，即， ∴． 自点M作延长线的垂线，垂足为点N，则， ∴，，则， 在直角三角形中，， 当时，因，所以最短时，也相应最短， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 例4．（2024·山东聊城·一模）如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点，作于点，连结，线段的长度与点的运动时间(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的最小值，连接，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形为矩形，利用矩形的对角线相等得到，再利用垂线段最短的性质得到当时，取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可求解，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵， ，， ∴，， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为线段上的动点，由于垂线段最短， ∴当时，取得最小值，即取最小值， 过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴当时，取最小值为， ∴函数图象最低点的坐标为， 故答案为：． 知识点总结 1.相似三角形的判定与性质：需掌握AA、SAS、SSS等判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应高的比等于相似比等性质，为建立线段关系提供依据。 2.函数表达式的构建与图像特征：根据动点运动规律，用含时间t的代数式表示线段长度，结合相似关系转化为函数解析式（如一次函数、二次函数），并理解函数图像的增减性、顶点等特征。 解题技巧 1.分段分析运动过程：动点在不同阶段可能形成不同的相似三角形，需按运动临界位置分段，分别列出对应函数表达式，避免因过程遗漏导致图像错误。 2.结合函数性质求关键点：根据相似关系确定函数定义域，利用函数图像的顶点、端点等关键点，对应动点位置，解决与图像趋势、最值相关的问题。 【变式4-1】（2025·黑龙江大庆·三模）如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的纵坐标为，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．连接，，由正方形的性质可得，，，证明，得到，则可推出当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，在图②中，图象上最低点的坐标为，则；由勾股定理可得，则，即，再根据，，然后求出即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形。 ，，， 在和中， ， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 图②中，图象上最低点的纵坐标为， ， 点是的中点， ， 在中，由勾股定理可得 ， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，图2是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．由、关于对称，推出，推出，推出当、、共线时，的值最小，观察图象可知，当点与重合时，，推出，，分别求出的最小值，的长即可解决问题． 【详解】解：在菱形中，， ， 为等边三角形， 点是边的中点， ， 、关于对称， ， ， 当、、共线时，的值最小，即的长． 观察图象可知，当点与重合时，， ，， 在中，， 的最小值为， 点的纵坐标， ∵， ∴， ， ， 点的横坐标， ． 故答案为：． 题型五：相似三角形中的动点与几何图形探究问题 例5．（2025·河南南阳·二模）（1）在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图1，已知正方形，正方形．将正方形绕点C旋转，连接，，则与的数量关系为______； （2）创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形和矩形中，，，，将矩形绕点D旋转，直线交于点P，与有怎样的数量关系？请你给出证明． （3）善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，则的最小值是______． 【答案】（1）；（2），理由见解析（3） 【分析】（1）证明，即可得到； （2）证明，即可得到； （3）证明，得，作于N，交的延长线于M，然后证明，得，所以，得点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，连接交于G，此时的值最小，最小值为，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 在矩形和矩形中， ， ∴， ∴． 又∵，，， ∴， ∴， ∴． ∴； （3）∵四边形、四边形都是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 作于N，交的延长线于M，如图3， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，连接交于G，此时的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，轴对称－最短线段问题，正确作出辅助线是解题的关键． 知识点总结 1. 相似三角形的判定与动态量化：掌握AA、SAS等判定定理，能根据动点运动速度、时间，用含变量的代数式表示线段长度，再通过相似比建立等量关系，实现几何量的动态转化。 2. 实际场景几何建模：需将应用问题（如测量、运动轨迹）转化为几何图形，结合图形性质（如三角形稳定性、四边形特征），明确相似三角形在实际场景中的对应关系。 解题技巧 1. 从实际问题抽象几何模型：剥离应用场景中的非关键信息，提炼出含动点的三角形结构，确定已知量、未知量及相似条件，将实际问题转化为纯几何计算。 2. 用变量追踪动态变化：设时间或距离为变量，表达动点关联线段，结合相似性质列方程，同时根据实际意义限定变量范围，确保解的合理性，解决长度、距离等应用问题。 【变式5-1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，使点B落在F处， 连接，延长交于点G． (1)【初步探究】在E的运动过程中，与始终保持全等的关系，请说明理由． (2)【深入探究】把图1中的延长交于点H，如图2，若 ，求线段的长． (3)【拓展延伸】如图3，将正方形改成矩形，同样沿折叠，连接，延长交直线CD与点G、H两点，若 ，直接写出的值 （用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，利用证明即可； （2）折叠，得到，，等边对等角，得到，利用正方形的性质，对顶角相等，等角对等边推出，设，得到，求出的值，连接，利用勾股定理进行求解即可； （3）分H在上和H在的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴． 在△ABE与△BCG中， ， ∴． （2）解：根据折叠性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴设， ∴， 由（1）知： ∴， ∴， 解得：． 连接，则：在中，，在中， ∴， ∴， ∴． （3）解：设， ①当H在线段上时，连接， 由折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 设， ∴， 利用折叠性质可得， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴，即， ∴． 同（2）利用勾股定理可得：， 即， 解得：． ∴． ②当H在的延长线上时，如图4所示， 同理可得，， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 利用勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 综上，的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形与折叠，矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【变式5-2】（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长为或. 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E是的延长线上一动点，连接交于点F，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，过点O作，交于点H，证明是的中位线，求出，，，再证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点O作，交于点H，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．连接，可得，得到，，进而得，即得，据此解答即可求解． 【详解】解：连接，如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．（2025·广东中山·模拟预测）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（ ）． A． B．当时，的面积是 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查动点的函数图象、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，从图象中有效的获取信息是解题的关键． 由函数图象得，当时，点Q到达点C，点P到达点E，进而得到当时，点P在上运动，，即可判断B；再求出的长，勾股定理求出的长，即可判断A；如图：过点P作于点H，证明，可求，即可判断C；求出时，的长，即可判断D选项． 【详解】解：由函数图象得，当时，点Q到达点C，点P到达点E， 当时，点P在上运动，， 当时，点P到达点D，故选项B正确，不符合题意； ∵当时，， ∴，解得：， ∴，故选项A正确，不符合题意； 当时，点P在线段上，则， 如图：过点P作于点H，则：， ∴， ∴， ，即，解得：， ，故选项C错误，不符合题意； ， ∴当时，点P在线段上，此时，， ，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，在中，，点E为边上的一个动点，当 时，和相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质分两种情况，由相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵与相似， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 5．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，动点、分别在、上，且，连接、．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键；通过证明，可得，由，则当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点作，且，连接， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ∴， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值， 的最小值为， 故答案为：． 6．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，，，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿直线折叠，点落到点处，连接，．当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】分三种情况：①时，作于，则，设，由折叠的性质得：，证明，得出，在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可；②时，由折叠的性质得：，证明，得出，求出；③时，由折叠的性质得：垂直平分，由知，得出点与重合，不符合题意． 【详解】解：当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，如图1所示：作于， 则， 设， 由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ， ∴，即， 解得：， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：，或（不合题意舍去）， ； ②当时，如图2所示： 由折叠的性质得：， ，， ， ， ， 即， 解得：； ③当时，连接，如图3所示： 由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ∴点E与C重合，不符合题意； 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 三、解答题 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点为线段上的一个动点（点与点不重合），过点作于点，连接并延长，过点作于点．当与相似时，求点的坐标． 【答案】 点的坐标为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相似三角形的判定定理及相关性质是解题的关键． 由勾股定理可求的值，再由相似三角形的性质可得，即可求解. 【详解】解：对于直线，令，则；令，则， 点的坐标为，点的坐标为， ， ． 与相似，， ， ． 又． ， ， ，即， ． 又， 即， ， 解得， ∴点的坐标为． 8．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在．理由见解析 (2)存在或或时，使是等腰三角形．理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，解题的关键是作出恰当的辅助线． （1）过P作，由得，再代入相关的数据即可求得t的值，再进行判断即可． （2）分三种情况讨论，利用等腰三角形与相似三角形的性质即可求得t值． 【详解】（1）解：过P作， 因，则． ∴， ∴，又， ∴． ∴． 又． 根据题意，若存在某一时刻t，使， 则有：． 解得：（另一解因不满足，故舍去）， ∴存在这样的，使的面积是面积的． （2）解：若要使是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，，解得：． ②当时，过P作，垂足为点H（参考上图），则， 由知，，即， 解得：． ③当时，自点M作，则， 由得， ∴，即，解得：． 综合以上三种情况可知，存在或或时，使是等腰三角形． 9．（25-26九年级上·全国·周测）【问题发现】 （1）如图①，在中，是边上一动点（不与点B重合），，连接．填空： ①的值为________； ②的度数为________． 【拓展探究】 （2）如图②，在中，是边上一动点（不与点B重合），，连接．请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①1；②；（2）．理由见解析 【分析】（1）根据已知条件推出，根据全等三角形的性质得到，，于是得到； （2）根据已知条件得到，由相似三角形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质得到结论. 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴. 故答案为：①1    ② （2）．理由如下： ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10．（24-25九年级上·全国·期中）如图1，在矩形中，，．点P是上的一个动点（不与点B、C重合），连接，过点P作交于点E． (1)求证：； (2)若是面积为10的等腰直角三角形，求m的值； (3)当时， ①存在点P使得点E与点D重合，求出此时的长； ②如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为6 (3)①或；② 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理． （1）利用矩形性质得，结合，通过角的互余关系推出，从而证明． （2）由等腰直角三角形性质得，结合相似推出全等，得到、，再在中利用勾股定理和三角形面积公式列方程求解． （3）①设，根据点与重合得，结合相似三角形对应边成比例列方程求解．②先由得，再结合推出，利用相似比求出，最后再根据求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：为等腰直角三角形， ， ， ， ，， 在中，， ， ， 解得：，（舍去）， 的值为； （3）解：①设，则， 点与点重合， ， ， ， ， 整理得，， 解得，， 当，且点与点重合时，或； ②四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即， 解得：． 11．（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2） ，理由见解析；（3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： ， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 12．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题探究】 在中，，D为直线上一动点，，且，连接、，其中， （1）如图1，若，点D在线段上，则与之间有怎样的数量关系，并求k的值； （2）如图2 ，若 ，点D在的延长线上，试探究与之间有怎样的数量关系，并求k的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，D为上一点，以为边，在其左侧作正方形，点O为正方形的对称中心，且，求的长． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）分别证明、为等边三角形，则可得出，，，根据等式的性质得出，根据证明，得出，，即可求解； （2）证明，得出，，再证明，根据相似三角形的性质求解即可； （3）连接，，根据正方形的性质，等腰直角三角形的性质可得出，，证明，求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，即； （3）连接，， ∵点O为正方形的对称中心， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $