专题04 相似三角形中（双）A字型模型（3大题型）（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似三角形中（双）A字型模型 月录 A题型建模·专项突破 题型一、“A”字模型 4,, 题型二、反“A”字模型… .3 题型三、同向双“A”字模型.4 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似： D “A”字模型条件：如图，DE‖BC;结论：△ADE~△ABC⊙ADAB=AEAC=DEBC. 例题1.如图、在ABC中，DE∥sC,始，若8C=9,则DE等于() B A.4.5 B.3 C.3.5 D.4 例题2.如图，在ABC中，DE∥BC,AD=2,DB=4,BC=9. 0求瓷的值： (2)求DE的长， 1/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二、反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. D 反“A”字模型条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△ADE~△ACB=ADAC=AEAB=DEBC. 例题3.如图，△ADEn△ACB，DE=3，S△ADE:S西边形cD=9:I6,则BC的长 D B C 例题4.如图，在ABC中，AB=6,AC=8,D、E分别在AB、AC上，BD=2,CE=5. (I)求证：△AED∽△ABC. (2)若DE=5,求BC的长 题型三、同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角)，再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似， 同向双“A”字模型 条件：如图，EFBC,结论：△AEF-△ABC,△AEG-△ABD,△4GF-△4DCEG_FG-AG BD CD AD 例题5.如图，在ABC中，BC=18cm,高AD=I2cm,矩形EFGH的边EF在线段BC上，点G,H分 别在边AC,AB上，EH:EF=1:3,求HG的长度为() 2/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H G A.4cm B.8cm C.12cm D.16cm 例题6.如图，AD是ABC的一条中线，P为ABC的重心，EF∥BC,交AB,AC于点E,F,交AD于 点P E 4 B D (I)求AE与AB的比值. (2)若BC=6,求EP的长. 例题7.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，∠AED=∠B,AG分别交线段DE,BC于点F, G,且ADDF AC CG (1)求证：AG平分∠BAC; 2)求证： EF DF BG CG 例题8.如图，D,E分别是AC,AB上的点，LADE=LB,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F, AD=3,AB=5. E 3/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1)求 示的值， (2)求ADE与ABC的周长之比； (3)若ADE的面积为4，求ABC的面积. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26九年级上北京·课后作业)如图有一块四边形草地ABCD,AD∥BC,其中AB=4,BC=5,由 于连续降雨使AD与BC之间积满污水，现在BA、CD的延长线的交点P处测得PA=3,则AD的长度为() P A D 15 A.2 B. c.I 20 4 7 D. 7 2.(24-25九年级下·北京海淀·开学考试)如图，正方形CEDF的顶点D,E,F分别在ABC的边AB,BC,AC 上.AD=5,DB=3,则△AFD与BDE面积之和等于() D E A.5.5 B.6 C.7.5 D.8 3.(2023八年级下·全国·竞赛)在等腰三角形ABC中，边AB和BC的长度相等.在下图中，由平行于AC的 线段形成的ABC中的两个阴影部分具有相同的面积.两个空白部分的高度分别为11和5.问ABC的高 h是多少？ B B 11 h 5 A A.14.6 B.14.8 C.15 D.15.2 E.15.4 4/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.2425九年级上四巴中期如图，4BC中，点D、E分别在B、AC上，且轮装=)下一 列结论正确的是() D B A.DE:BC=1:2 B.ADE与ABC的面积比为1：9 C.ADE与ABC的周长比为1：2 D.连接CD,则ADE与△DEC的面积比为1：3 二、填空题 5.(20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)如图，ABC,DE∥BC,AE=4,CE=8,DE=3,则 BC= B 6.(2025云南模拟预测)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且 DE=9,则BC= D 7.(20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)如图，ABC,EG∥BC,BD=CD,EF=5,则 FG= G R D 8.(21-22九年级上广东东莞·期中)如图，RtAABC∽Rt△ADE,且∠B=60°，CD=2,DE=1,则BC的 长是 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 9.(21-22九年级上江苏南通期末)如图，在ABC中，点E,F分别是AB,AC上的点，且EF∥BC,若 S西造形BCFE=8,SABP=L,AF=3,则CF的长是多少？ A B 10.(25-26九年级上河北阶段练习)已知如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，∠AED=∠B, AD=3,AB=8,AE=4.求AC的长度. D B 11.(21-22九年级上·广东清远期末)有一块两条直角边BC、AC的长分别为30厘米和40厘米的 Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个面积尽量最大的正方形.甲、乙两位师傅的加工方案分别如图1和 图2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计). D B B F 图1 图2 12.（25-26九年级上·宁夏银川期中)如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A出发沿 AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4Cm/s的速度移动，如果P、Q同时 出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？ 6/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 13.(25-26九年级上·上海课后作业)如图，在△ABC中，DE∥BC,交AB于D,交AC于E,F为BC上 ，的点，DE交4E于G,B三气，AE=5,求： E B F (I)4G AF (2)AC的长. 14.(25-26九年级上·吉林长春·开学考试)如图，在ABC中，DE1/BC,G为BC上一点，连接AG交DE 于点F, AF2 D F U ①)求4D的值， AB (2)当DE=6时，求BC的长度 15.(22-23九年级上广西梧州期末)如图，在ABC中，AB=8,AC=6,BC=9,如果动点D以每秒2 个单位长度的速度，从点B出发沿边BA向点A运动，此时直线DE∥BC,交AC于点E,记x秒时DE的 长度为y E B (I)求出y关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； (2)若(1)的图像与x轴交于点M,与y轴交于点N,求△MN0的面积. 7/8 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8/8 专题04 相似三角形中（双）A字型模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、“A”字模型 1 题型二、反“A”字模型 3 题型三、同向双“A”字模型 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 　 “A”字模型 条件：如图，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 例题1．如图，在中，，，若，则等于（   ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．注意确定对应线段． 证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ 故选：B． 例题2．如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质. （1）由可知，则，将数据代入计算即可； （2）由（1）知，根据计算即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ，， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴． 题型二、反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 例题3．如图，，，，则的长 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ∴相似比为，即， ， ， 故答案为：5． 例题4.如图，在中，，，D、E分别在、上，，． (1)求证：． (2)若，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握对应边成比例是解题关键． （1）根据两边成比例且夹角相等，可证明两个三角形相似； （2）根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：，，，， ，， ， 又， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ． 题型三、同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 同向双“A”字模型 条件：如图，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 例题5．如图，在中，，高，矩形的边在线段上，点，分别在边，上，，求的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，根据矩形的性质，推出，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴，， ∵为的高， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴设，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴； ∴； 故选C． 例题6．如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的重心可得，则可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得； （2）先求出，再根据三角形的重心可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的比值为． （2）解：∵是的一条中线，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 例题7.如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 例题8.如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定与性质求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：． 2．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，正方形的顶点分别在的边上．，则与面积之和等于（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】由，推出，设，，在中，则有，可得，求出，的面积即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ∴， ，设，， 在中，则有， ， ， ， ， ， 故选：. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 3．（2023八年级下·全国·竞赛）在等腰三角形中，边和的长度相等．在下图中，由平行于的线段形成的中的两个阴影部分具有相同的面积．两个空白部分的高度分别为11和5．问的高h是多少？ A． B． C．15 D． E． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．，得出，求出；证明，得出，即可得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 4．（24-25九年级上·四川巴中·期中）如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（   ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．连接，则与的面积比为 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得到，证明，通过相似三角形的性质判定A、B、C，再利用，即可判定D． 【详解】解：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项A错误； 与的面积比为，周长比为， 故选项B正确，选项C错误； 连接， ∵， ∴与的面积比为， 故选：B． 二、填空题 5．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，，，，，则 ． 【答案】9 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，由，，求得，由，证明，得，进而可求得的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 6．（2025·云南·模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边，上，且 ，若，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先得出，相似比为，进而得出，即可得出答案． 【详解】∵，且， ∴，相似比为， ∴， ∴． 故答案为：15． 7．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，则根据相似三角形的性质得到，再证明，根据相似三角形的性质得到，利用等比代换得到，再由得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：5． 8．（21-22九年级上·广东东莞·期中）如图，，且，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，特殊三角函数值等知识点的应用，解决此题的关键是合理的运用特殊三角函数值和正确的计算；先根据相似三角形得到角相等，再运用三角函数特殊值即可解决问题； 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴； 故答案为：． 三、解答题 9．（21-22九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，点分别是上的点，且，若，则的长是多少？ 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的面积比与相似比，根据已知面积求出根据得，从而可得，再根据即可求解． 【详解】∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 10．（25-26九年级上·河北·阶段练习）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 11．（21-22九年级上·广东清远·期末）有一块两条直角边、的长分别为30厘米和40厘米的的铁片，现要把它加工成一个面积尽量最大的正方形．甲、乙两位师傅的加工方案分别如图1和图2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）． 【答案】见解析 【分析】在图中设正方形的边长为x，则，，由相似三角形的判定定理得出，根据相似三角形的对应边成比例即可求出x的值；在图中首先由三角形的面积公式求出的长度，然后由相似三角形的判定定理得出，设，根据相似三角形的对应边成比例求出y的长度，比较出x，y的大小即可得出结论． 【详解】解：在图中设正方形的边长为x，则，， ，， ， ，即， 解得， ， ， 在图中，， ， ， ，， ， ， 设，则， 解得， ， ， 图方法符合要求． 【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生理论联系实际的能力． 12．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 【答案】秒和2秒 【分析】本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动． 可得，． 因为，所以． 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得． 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 13．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 14．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）掌握相似三角形判定，通过得到对应边成比例，即可计算得出结论； （2）利用得到，利用对应边成比例，即可计算得出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，， 在和中， ， ． ． （2）由题意可知，， ，， 在和中， ， ， 由（1）可知，， ，即． 【点睛】本题的关键是掌握相似三角形的判定，两个三角形，对应的两个内角相等，则三角形相似；相似三角形的性质，两个三角形相似，则对应边成比例． 15．（22-23九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边向点A运动，此时直线，交于点E，记x秒时的长度为y． (1)求出y关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； (2)若（1）的图像与x轴交于点M，与y轴交于点N，求的面积． 【答案】(1)， (2)18 【分析】本题主要考查了一次函数和三角形的综合，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据题意求出x的取值范围，再利用平行线的性质求出相等的角，证明，利用相似三角形的性质得出对应边成比例，列出解析式即可； （2）根据一次函数的图象和性质，分别求出交点坐标，然后求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴； ∴的面积为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $