第六章 特殊平行四边形（单元自测·培优卷）数学鲁教版五四制八年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第6章 特殊平行四边形·培优卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ）A．4 B．8 C．12 D．16 2．如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ）A．4 B．6 C．8 D．12 4．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 5．如图，小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，改变其内角度数，四边形可变为四边形，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形．当时，下列针对值的说法正确的是（    ） A．或 B．或 C． D． 7．在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置，其中点在轴上，点在轴上，已知正方形的边长为，，则正方形的边长是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，平分交于点E，过点D作于点O，延长交于点F，连接，，若点M是的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，，，则四边形的面积是，其中正确的结论有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 10．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，正方形的边长等于，是正三角形，则 ． 12．如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是 ． 13．如图，在面积为96的菱形中，对角线，点O是线段上的动点，于E，于F．则 ． 14．如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 15．如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是 ．    16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求的度数． 18．（8分）如图，在平行四边形中，点F是边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若与满足什么关系时，则四边形是矩形？请证明． 19．如图，点在内部，连接． (1)作菱形，使点落在射线上．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，，求菱形的面积．（用含的代数式表示） 20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为． (1)填空：_______； (2)点M是线段上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 21．（9分）如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点． ①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； ②当平分时，求四边形的面积． 22．（9分）已知四边形和四边形都是正方形，且． (1)如图1，连接．求证：； (2)如图2，如果正方形绕点C旋转到某一位置恰好使得，． ①求的度数； ②若正方形的边长是，请求出的面积． 23．（10分）【综合与实践】 （1）如图1，在正方形中，点、分别在、的延长线上，，连接、，则线段与长度的大小关系为______．（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题解决】 （2）为响应国家“乡村振兴”号召，李伯伯计划将一块五边形空地开发成农业休闲旅游基地．如图2，，，，．过点作于点，过点作于点，，，李伯伯将四边形区域设置为休闲区，四边形区域设置为住宿区，区域设置为餐饮区，为吸引游客，现要沿线段修一条景观水渠，请你求出景观水渠的长． 24．（10分）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平；再一次折叠，使点落到上的点处，折痕为；延长交于点． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形． (3)为线段上一动点，为的中点，连接，．若，则的最小值是__________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第6章 特殊平行四边形·培优卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，以及矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长； 故选B． 2．如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】首先证明四边形是菱形，得出，，，利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图，   平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ∵由作图可得， ∴， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解决问题的关键． 3．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质． 如图所示，过点P作，首先得到，证明出四边形，，，是矩形，得到，然后根据矩形的性质推出，，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点P作 ∵四边形是矩形，是对角线 ∴ ∵， ∴四边形，，，是矩形 ∴ ∴， ∴ ∵，分别是矩形和的对角线 ∴， ∴ ∴阴影部分的面积的和为． 故选：C． 4．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 5．如图，小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，改变其内角度数，四边形可变为四边形，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形，菱形的判定与性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，分母有理化等知识，解题的关键是掌握以上知识点．首先证明出四边形是正方形，设正方形的边长为a，然后利用勾股定理求出，连接，过点作交的延长线于点E，得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴设正方形的边长为a ∴ ∴ 如图所示，连接，过点作交的延长线于点E ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 6．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形．当时，下列针对值的说法正确的是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数． 【详解】如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上， 分两种情况讨论： ①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ∵GC=GB， ∴GH⊥BC， ∴四边形ABHM是矩形， ∴AM=BH=， ∴GM垂直平分AD， ∴GD=GA=DA， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=60°； ②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=360°-60°=300°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 7．在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置，其中点在轴上，点在轴上，已知正方形的边长为，，则正方形的边长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的性质平行线的性质，以及直角三角角形的性质，得出正方形的边长变化规律是解题关键．利用正方形的性质结合直角三角角形的性质得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． 【详解】解：正方形的边长为1，，， 四边形、、、都是正方形， ，，每个内角都为， ∴， ，, 则, ∵即 则， 同理可得：， 故正方形的边长是：， 则正方形的边长为：， 故选：A． 8．如图，在中，平分交于点E，过点D作于点O，延长交于点F，连接，，若点M是的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，，，则四边形的面积是，其中正确的结论有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】先证明，，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论①正确；证明四边形是平行四边形，可得是的中位线，可得结论②正确；过点D作于点N，求解菱形的面积，可得的面积菱形ADEF的面积，求解的面积，可得的面积的面积，进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，结论①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，结论②正确； 过点D作于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积， ∴的面积菱形ADEF的面积， ∵， ∴的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积，结论③错误． 故选：A 【点睛】本题考查的平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 9．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，正方形的边长等于，是正三角形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形，勾股定理． 作于，于，由正方形的性质和等边三角形的性质可得，，，由勾股定理可得，从而可得，根据含角的直角三角形的直角边与斜边的关系可得，从而可得，由即可得． 【详解】解：作于，于， ∵正方形的边长等于， ∴，， ∴， ∵是正三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是 ． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了菱形的判定，熟悉掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先判定出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴只需要添加一组邻边相等或对角线垂直即可证明是菱形， 故答案为：(答案不唯一) ． 13．如图，在面积为96的菱形中，对角线，点O是线段上的动点，于E，于F．则 ． 【答案】9.6 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及面积公式，理解菱形的面积可由对角线乘积的一半进行计算是解题关键．连接交于点，延长交于点，根据菱形面积公式可得，由菱形的性质可知，，，则由勾股定理可得，根据菱形的对称性得，则，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，延长交于点， 在面积为96的菱形中，对角线， ， ， 由菱形的性质可知：，，， ， 根据菱形的对称性得：， ， 根据菱形的面积公式：， ， 解得：， 即． 故答案为：9.6． 14．如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．连接、交于点，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，求出四边形的面积，总结规律，关键规律解答即可． 【详解】解：解：如图，连接、交于点， 四边形为菱形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形， ，，，，， 四边形为矩形， 四边形的面积为， 则四边形的面积是， 故答案为：． 15．如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是 ．    【答案】 【分析】取的中点，连接，并延长交于点，交于点，根据三角形中位线定理得出，，，，证明四边形是矩形，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，并延长交于点，交于点，   ，分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，根据三角形中位线的性质和已知条件得到是解答本题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算，掌握交点的计算是关键． 根据题意得到点到点之间的整点有，结合题意得到点的横坐标的范围为，分别代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，顶点，且轴， ∴， ∴点到点之间的整点有， ∵线段上有3个整点（包含线段端点）时，即点的横坐标的范围为， 当，即点在直线上时，， 解得，， 当点，即点在直线上时，， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握菱形的性质与判定是本题的关键． （1）由题意可证，四边形是平行四边形，即可证四边形为菱形； （2）由三角形内角和定理求出，由菱形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴且四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 18．（8分）如图，在平行四边形中，点F是边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若与满足什么关系时，则四边形是矩形？请证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，，得，因为点F是边的中点，得，证明，即可作答． （2）与满足，先证明四边形是平行四边形，得，因为四边形是平行四边形，得，因为，得，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点F是边的中点， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∵ ∴； （2）解：，理由： ∵四边形是平行四边形， ∴ 由（1）得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 19．如图，点在内部，连接． (1)作菱形，使点落在射线上．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，，求菱形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，线段的尺规作图，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）以点P为圆心，的长为半径画弧交射线于Q，再分别以O、Q为圆心，的长为半径画弧，二者交于点M，连接，则四边形即为所求； （2）设交于点H，设，由菱形的性质可得，由勾股定理得，，解得，再求出的长，进而求出的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半计算求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：设交于点H，设， ∵四边形是菱形， ∴，   ∵， ∴，   ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为． (1)填空：_______； (2)点M是线段上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 【答案】(1) (2)在坐标平面内存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，的坐标为或或． 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、菱形的性质，熟练掌握一次函数上点的坐标特征以及菱形的性质是解题的关键． （1）由直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为，即可求得的值； （2）先求出的长度，设出点的坐标，分三种情况讨论：以为对角线、以为对角线、以为对角线，根据菱形的性质（四条边相等、对角线互相垂直平分等）列出方程，求解出点的坐标，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：由（1）知直线的解析式为，则， ∴． 设（），则，， 情况一：以为对角线时， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 展开得， 移项化简得， ∴ ∴ ∵菱形对角线互相平分，中点坐标为，. ， ∴的坐标为， 情况二：以为对角线， ∵四边形是菱形， ∴， 即， 解得（舍去），， ∴， ∵菱形对角线互相平分，中点坐标为，， ∴的坐标为， 情况三：以为对角线， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 即， ， ， ∵， ∴， 则， ∵菱形对角线互相平分，中点坐标为，， ∴的坐标为， 综上，在坐标平面内存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，的坐标为或或． 21．（9分）如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点． ①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； ②当平分时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①（答案不唯一），理由见解析；②或 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点P即为所求； （2）①添加的条件为，由三角形外角的性质和角平分线得到，推出，然后得到，最后结合即可证明出四边形为矩形； ②如图所示，过点A作交于点H，首先证明出四边形为矩形，求出，勾股定理求出，然后求出，勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点F在线段上时和当点F在线段上时，分别求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； 由题意得， ∴四边形是菱形； （2）①添加的条件为 理由：∵为的外角的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵，即 ∴ 又∵ ∴四边形为矩形； ②如图所示，过点A作交于点H， 由①得 ∴四边形为矩形 ∴ ∵， ∴ ∴ 当平分时，即 由①得 ∴ ∴ ∴ ∴ ②如图所示，当点F在线段上时， ∴ ∴四边形的面积； 如图所示，当点F在线段上时， ∴ ∴四边形的面积； 综上所述，四边形的面积为或． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等角对等边，三线合一等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22．（9分）已知四边形和四边形都是正方形，且． (1)如图1，连接．求证：； (2)如图2，如果正方形绕点C旋转到某一位置恰好使得，． ①求的度数； ②若正方形的边长是，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①② 【分析】（1）根据正方形的性质可以得出，再由证明就可以得出结论； （2）①连接，根据平行线的性质可以得出，可以得出，由证得，得出，证得为正三角形即可以得出结果； ②延长交于点H，过点G作于N，由证明，得出，得出，，由勾股定理求出的值，得出的值，证出是等腰直角三角形，得出，由三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形为正方形， ∴． ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴； （2）解：①连接，如图2所示： 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②延长交于点H，过点G作于N，如图3所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等是解题的关键． 23．（10分）【综合与实践】 （1）如图1，在正方形中，点、分别在、的延长线上，，连接、，则线段与长度的大小关系为______．（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题解决】 （2）为响应国家“乡村振兴”号召，李伯伯计划将一块五边形空地开发成农业休闲旅游基地．如图2，，，，．过点作于点，过点作于点，，，李伯伯将四边形区域设置为休闲区，四边形区域设置为住宿区，区域设置为餐饮区，为吸引游客，现要沿线段修一条景观水渠，请你求出景观水渠的长． 【答案】（1）=；（2） 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据正方形的性质得出，根据证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）先证明四边形是正方形得到、、，再证明；如图：过点C作于点H，易证可得、，再证明，进而得到，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：=； （2）∵ ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 如图：过点C作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ 在中，， ∴． 24．（10分）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平；再一次折叠，使点落到上的点处，折痕为；延长交于点． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形． (3)为线段上一动点，为的中点，连接，．若，则的最小值是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由折叠的性质得到是等边三角形得出，易得．然后根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质得出，利用三线合一得到，由折叠的性质及等量代换得到，即可证明结论； （3）根据，可得当D，E，H三点共线时，取得最小值，最小值为的长，然后运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 由折叠可知，，，为的垂直平分线， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， ，即， 在和中， ， （2）解：， ， ， ，即， 为等边三角形． （3）解：如图所示，连接， 由折叠可得：， ∴， ∴当D，E，H三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 由（1）可知是等边三角形， ∵，H为的中点， ∴， 在中， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定、轴对称的性质、矩形的性质等知识点，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． 试卷第34页，共37页 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第6章特殊平行四边形培优卷（参考答案） 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 2 D A A A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.31 4-4 12.AC⊥BD(答案不唯一) 13.9.6 14. 29 15.√10 16.-7<b≤-5 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(I)证明：，DE∥BC,DF∥AB, .四边形DEBF是平行四边形， ,DE∥BC, ∴.∠EDB=∠DBF, .BD平分∠ABC, :∠ABD=∠DBF=∠ABC, 2 ∴.∠ABD=∠EDB, ∴.DE=BE且四边形BEDF为平行四边形， ∴.四边形BEDF为菱形；…(4分) (2)解：，∠A=80°，∠C=30°， ∴.∠ABC=180°-80°-30°=70°， 1/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形BEDF为菱形， ∴.∠EDF=LABC=70°， ∠BDE=∠EDF=35°，.(8分) 18.(8分) 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD, ∴.∠ABF=∠ECF, ,点F是边BC的中点， ..BF=CF, 在△ABF和△ECF中， [∠ABF=∠ECF BF=CF ∠AFB=∠EFC ∴.△ABF≌△ECF(ASA ∴.CE=AB, AB=CD .CE=CD;…(4分) (2)解：∠AFC=2LD,理由： ,四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, 由(1)得AB=CE, ∴.四边形ABEC是平行四边形， ∴.AE=2AF,BC=2BF, ,四边形ABCD是平行四边形， .∠ABF=∠D, .∠AFC=2∠D,∠AFC=∠ABF+∠BAF, ∴.∠ABF=∠BAF, ∴AF=BF, ∴.AE=BC, 2/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABEC是平行四边形，AE=BC ∴四边形ABEC是矩形.…(8分) 19.(9分)如图，点P在∠AOB内部，连接OP. B (I)作菱形POMQ,使点Q落在射线OB上.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在(1)的条件下，延长MP交射线OA于点N,若ON=MN=n,OP=1,求菱形POMQ的面积.（用含 的代数式表示) 【详解】(1)解：如图所示，即为所求； …(4分)》 M (2)解：设MP、OQ交于点H,设PH=x, H B M ,四边形POMQ是菱形， ∴.PM⊥OQ,MP=2HP=2HM,OQ=2OH, .ON MN ∴.NH=MN-HM=n-x, ∴.由勾股定理得0H2=0P2-HP2=0N2-NH2, 12-x2=n2-(n-x)2, 3/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..x= 2n 1 .o#-op-PH-m V4n2-1 2n ∴.00= √4n2-1 ∴菱形POMQ的面积L4n-1.1-V4r-i 2 nn 2n2 20.(9分) 【详解】1解：直线=-}+b分别与X维、y轴交于点A、,且点A的坐标为40， 、3 ×4+b=0, 4 解得b=3, 故答案为：3；…（2分) (2解：由1知直线4B的解折式为y=-+3,则80小， .0B=3. 设子+3 owe(g时j,w-可-m 情况一：以OB为对角线时， B M A ,四边形OMBN是菱形， ∴.OM=BM, 6m2、 展开得m2+9 2m+9=m2+9 m2, 16 6 9 移项化简得-三m+9=0, 9 m=-9 2 4/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .m=2 2别 菱形对角线互相平分，0B中点4坐标为0引，M(2引· 3w份坐标为2》 情况二：以ON为对角线， A ,四边形OBNM是菱形， ..0B=0M=3, .OM2=m2+ 3 2 m+3 =32 4 即m2+ 9 m- 16 2m0, 解得m1=0（舍去)，m2= 72 25 ..M 7221 (25'25 /3648 ,菱形对角线互相平分，MB中点坐标为 2525 0(0,0), 7296 .N的坐标为 25’25 情况三：以OM为对角线， B ,四边形ONMB是菱形， ∴.OB=BM=3, 5/13 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BM2=m2+ 32 =32, 9 即m2+9m2=9, 16 25 m2=9, 16 m2-144 25 0<m<4, 5’ 则传9》 580,3, 63) ,菱形对角线互相平分，M0中点坐标为 129 .N的坐标为 55 综上，在坐标平面内存在另一个点N,使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，N的坐标为 33) 或 7296 129 25'25 或55 …(7分) 21.(9分) 【详解】(1)解：如图所示，四边形ABPC即为所求； D GE B PX 由题意得，AB=AC=BP=CP ∴.四边形ABPC是菱形；…(3分) (2)①添加的条件为AF⊥AE 理由：，AG为ABC的外角∠BAD的平分线， ∠B4E-B40 ,∠ABC+∠C=∠BAD,AB=AC=5 1 ∴∠ABC=∠C=5∠BAD 2 6/13 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAE=∠ABC ∴.AE∥BC ,BE⊥AG,即∠BEA=90° ∴.∠EBC=90° 又：AF⊥AE 四边形AEBF为矩形；…(7分) ②如图所示，过点A作AH⊥BC交BC于点H, 由①得LBEA=EBC=90 ∴.四边形AEBF为矩形 ∴.BH=AE=4 .AB=AC=5,BC=8 .BH-CH -7BC-4 ..BE=AH =AB2 BH2 =3 当FE平分∠AFB时，即∠AFE=∠BFE 由①得AE∥BC .∠AEF=∠BFE .∠AEF=∠AFE ,∴.AE=AF=4 ∴.FH=AF2-AH2=V万 ②如图所示，当点F在线段BH上时， D GE B F H .BF BH-FH=4-7 六用边形46的面积-+8服=4-万+4到x312-3Y 如图所示，当点F在线段BH上时， 7/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G E 分 ∴.BF=BH+FH=4+√7 品四边形F的面积-8F+)BE=×4+7+4利×3=12+ 2 综上所达，四边形4EBF的面积为12-3万或12+3万.(9分) 2 2 【点晴】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等角对等边，三线合一等知识，解题的关键是掌握以 上知识点. 22.(9分) 【详解】(1)证明：四边形ABCD和四边形CEFG为正方形， ∴.BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠GCE=90°. .∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG, .ZBCG ZDCE 在△BCG和△DCE中， BC=DC ∠BCG=∠DCE, CG=CE ∴.△BCG≌ADCE(SAS ∴.BG=DE;…(4分) (2)解：①连接BE,如图2所示： D 图2 由(1)可知：BG=DE, CG∥BD, 8/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠DCG=∠BDC=45°， ∴.∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°+45°=135°， .∠GCE=90°， .∠BCE=360°-∠BCG-∠GCE=360°-135°-90°=135°， ∴.∠BCG=LBCE, 在△BCG和ABCE中， BC=BC ∠BCG=∠BCE, CG=CE .△BCG≌△BCE(SAS), :BG=BE, .BG=BD DE, ∴BD=BE=DE, .BDE为等边三角形， ∴.∠BDE=60°；…(6分) ②延长EC交BD于点H,过点G作GN⊥BC于N,如图3所示： D H 图3 在△BCE和△DCE中， BE=DE BC=CD, CE=CE .△BCE≌△DCE(SSS), ∠BEC=LDEC, EH⊥BD,BH=BD, :BC=CD=√2， 9/13 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.BD=√2BC=2, ∴.BE=2,BH=1, .CH=1, 在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH=√BE2-BH?=√22-1P=√5， CE=√5-1， .∠BCG=135°， .LGCN=45°， ∴.△GCN是等腰直角三角形， ow-5c095-小 5w-c6wx5x95--51.-9分y 2 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的 判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质、证明 三角形全等是解题的关键. 23.(10分) 【详解】解：(1)，四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD. ∴.LCBE=∠DCF=90°， 在ACBE和aDCF中， BC=CD ∠EBC=∠FCD, BE=CF .△CBE≌△DCF(SAS, ∴.DF=CE. 故答案为：=；…(2分) (2),AB⊥AE,DG⊥AB,EF⊥DG .LGAE=∠AGF=∠EFG=90°， ∴.四边形AGFE是矩形， 又，AE=EF, 10/13 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第6章 特殊平行四边形·培优卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 5．如图，小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，改变其内角度数，四边形可变为四边形，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形．当时，下列针对值的说法正确的是（    ） A．或 B．或 C． D． 7．在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置，其中点在轴上，点在轴上，已知正方形的边长为，，则正方形的边长是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，平分交于点E，过点D作于点O，延长交于点F，连接，，若点M是的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，，，则四边形的面积是，其中正确的结论有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 10．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，正方形的边长等于，是正三角形，则 ． 12．如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是 ． 13．如图，在面积为96的菱形中，对角线，点O是线段上的动点，于E，于F．则 ． 14．如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 15．如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是 ．    16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求的度数． 18．（8分）如图，在平行四边形中，点F是边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若与满足什么关系时，则四边形是矩形？请证明． 19．如图，点在内部，连接． (1)作菱形，使点落在射线上．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，，求菱形的面积．（用含的代数式表示） 20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为． (1)填空：_______； (2)点M是线段上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 21．（9分）如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点． ①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； ②当平分时，求四边形的面积． 22．（9分）已知四边形和四边形都是正方形，且． (1)如图1，连接．求证：； (2)如图2，如果正方形绕点C旋转到某一位置恰好使得，． ①求的度数； ②若正方形的边长是，请求出的面积． 23．（10分）【综合与实践】 （1）如图1，在正方形中，点、分别在、的延长线上，，连接、，则线段与长度的大小关系为______．（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题解决】 （2）为响应国家“乡村振兴”号召，李伯伯计划将一块五边形空地开发成农业休闲旅游基地．如图2，，，，．过点作于点，过点作于点，，，李伯伯将四边形区域设置为休闲区，四边形区域设置为住宿区，区域设置为餐饮区，为吸引游客，现要沿线段修一条景观水渠，请你求出景观水渠的长． 24．（10分）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平；再一次折叠，使点落到上的点处，折痕为；延长交于点． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形． (3)为线段上一动点，为的中点，连接，．若，则的最小值是__________． 试卷第34页，共37页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $