精品解析：吉林省长春市朝阳区长春吉大附中实验学校2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

2025-2026学年上学期高二年级 期末考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题（本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用是一个常数值，得出直线是一条垂直于轴的直线，从而得出直线的倾斜角． 【详解】是一条垂直于轴的直线， 直线的倾斜角为，故D正确． 故选：D． 2. 如果，a，b，c，成等比数列，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解. 【详解】依题意，，，得， 所以. 故选：B 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导得，从而可求解. 【详解】由题意得，所以.故A正确. 故选：A. 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且 ，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 5. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 6. 已知等比数列的前项和为，，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据和式关系可得，再由题设中的数据可得的值. 【详解】因为为等比数列，故， 所以，故，故， 故选：A. 7. 过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若 的最大值为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据 最大有且圆心到直线l的距离最短，利用圆的切线性质得，再应用点线距离公式列方程求参数值. 【详解】当时，圆心到直线l的距离最短， 最大， 因为 的最大值为， 在，中，，，所以， 当 最大时，圆心M到直线l的距离为4，即，解得 （舍）或． 故选：C 8. 已知圆，若过点有且仅有两条直线被圆所截得的弦长为，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆的性质求出过点的直线被圆所截弦长为的弦中点所在图形，再利用点与圆的位置关系列式求解. 【详解】圆的圆心 ，半径， 令过点的直线被圆所截弦长为的弦中点为，则， ，因此点在以原点为圆心，为半径的圆上， 此时为圆的切线，依题意，过点可以作圆的两条切线， 则点在圆外，于是，解得或， 所以的取值范围是. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则（ ） A. 当时，是焦距为的椭圆 B. 当是焦点在轴上的椭圆时， C. 若曲线为椭圆，的取值范围是 D. 若椭圆的离心率为时， 【答案】AB 【解析】 【分析】当时，求出椭圆的焦距，可判断A选项；根据方程所表示的曲线的形状求出的取值范围，可判断BC选项； 对椭圆焦点位置进行分类讨论，根据椭圆的离心率公式可得出关于的等式，求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，曲线的标准方程为，则，， 所以，此时椭圆是焦距为的椭圆，A对； 对于B选项，若是焦点在轴上的椭圆，则，解得，B对； 对于C选项，若曲线为椭圆，则，解得或，C错； 对于D选项，若椭圆的焦点在轴上时，，则，， 所以，解得，符合题意， 若椭圆的焦点在轴上，则，解得， 则，，所以，解得， 综上所述，若椭圆的离心率为时，或，D错. 故选：AB. 10. 设等差数列的前项和为，公差为， ，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当 时，的最大值为13 D. 数列前项和为，最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析数列的单调性，结合已知条件可判断A，结合题意并利用等差数列的性质判断B，利用等差数列的求和公式可判断C，令，结合等差数列的定义分析可知，，判断D即可. 【详解】对于A，若 ，则为递增数列， 所以，与矛盾， 若，则为常数列，所以，，与矛盾， 若，则为递减数列，则， 由，可得，合乎题意，故A正确， 对于B，由已知得，且为递减数列， 则数列的前项均为正数，从第项开始出现负数， 可得的最大值为，故B正确， 对于C，由A可知，，， 得到，， 则当 时，的最大值为，故C错误， 对于D，由题意得，则， 则， 得到数列为等差数列，且其首项为，公差为， 由，得，由得，， 由得，，即， 令，，则等差数列为递减数列， 且，，， 得到数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数有极小值，且极小值小于0，其中，都是实数，则（ ） A. B. C. D. 在内有2个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】求导得，分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调性及极值的情况，得出且，，即可判断A；由函数的极小值小于0，可得，从而，即可判断B；求出，结合及对数函数的单调性可判断C；时，单调递减，可得出时，单调递减，则在内至多有一个零点，即可判断D. 【详解】的定义域为 ，， 当 且时，，函数不存在极值； 当 且时，，函数在 上单调递增，不存在极值； 当 且时，，函数在 上单调递减，不存在极值； 所以， 由，得， 函数有极小值，所以在 上有实数解， 所以，从而， 当且时， 时， ，单调递增；时， ，单调递减， 故在 上有极大值，没有极小值，不符合题意； 当且时， 时， ，单调递减；时， ，单调递增， 故当时，在 上有极小值，极小值， 综上，且，，故A正确； 函数的极小值小于0，即， 所以，可得，从而， ，故B错误； ，故C正确； ∵时，单调递减，而，∴ 时，单调递减， 从而时，单调递减，则在内至多有一个零点，故D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且共面，则______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】由共面可知存在实数使得，结合向量的坐标表示建立方程组，解之即可. 【详解】由题意知，共面， 则存在实数使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可. 【详解】若数列为递减数列，且， 则， 可得对任意恒成立， 可知当时，取到最小值9，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若椭圆是“黄金椭圆”，则_______，若“黄金椭圆”两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则_______ 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由离心率的定义可求得，利用结合椭圆定义可求解． 【详解】由题，，所以． 如图， 连接，设内切圆半径为， 则，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． （1）求双曲线C的标准方程； （2）过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率，再结合实轴长求解； （2）设的方程为 ，与双曲线的方程联立，再利用弦长公式求解. 【小问1详解】 由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 ∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为 ，设， 由，消去，得， ∴， ∴． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，无极小值. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程. （2）对函数求导，根据定义域确定函数的单调性，从而确定极值点和极值. 【小问1详解】 因为，所以. 所以切线斜率为，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令 ，则，求得. 因为，当时， ；当时， ； 所以函数在单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值为. 所以函数的极大值为，无极小值. 17. 如图①所示，四边形是直角梯形、，，且，为线段的中点，现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接 ，其中为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，，则在线段（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面 所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等分点. 【解析】 【分析】（1）通过线面垂直可证面，再由线面垂直的性质定理可得再通过线面垂直的判定定理证明即可. （2）由条件可得，为等边三角形，再由第一问的结论可建立空间直角坐标系，利用空间向量表示线面角的正弦值，解方程求出的比值即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，，所以 ，， ， 又因为，为线段的中点，所以， 所以四边形为正方形，由翻折可知，，， 又因为，面， 所以面，因为面，所以， 因为四边形为正方形，所以，所以， 因为，为线段的中点，所以， 又因为，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，，所以为等边三角形， 又因为，所以，. 如图，取中点，连接， 又因为为等边三角形，所以，过点作， 由（1）可得， 面，又因为面，所以， 所以，而，， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 所以，所以，，，，， 设，因为，，三点共线， 所以，所以，， 所以，即， 所以，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以， 令，所以，，则， 记直线与平面所成角为， 则， 即，解得或（舍），所以， 所以存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等分点. 18. 已知为正项等差数列， ，为的前项和. （1）求数列的通项公式： （2）求数列的前项和; （3）设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 因为，所以 裂项化简通项 所以 因为 ，所以，得证. 【解析】 【分析】（1）根据条件求出 ，得到 ，所以 . （2）先求出，代入得到，利用错位相减法求得 ； （3）化简得到，利用裂项相消法求出，则 【小问1详解】 利用等差数列性质： ，结合 所以 是方程 的根， 因为为正项等差数列，所以公差 ，，所以 由 ，所以 所以 【小问2详解】 由（1）知等差数列前n项和： 所以，利用错位相减法求前项和， 两式相减得到 所以 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，． （1）求抛物线的方程； （2）已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求 与 面积和的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②40 【解析】 【分析】（1）由抛物线的方程表示焦点为的坐标，由直线方程的点斜式表示直线的方程，再将直线方程与抛物线方程联立表示出过焦点的弦长，计算即可. （2）①设出直线的方程，与抛物线联立，用韦达定理找出坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点. ②利用三角形面积公式结合二次函数的基本性质，即可求得 与 面积和的最小值． 【小问1详解】 抛物线,抛物线的焦点坐标为， 当直线的斜率为1时，直线的方程为， 联立，得：， 由，解得：， 抛物线的方程为． 【小问2详解】 ①证明：由题意，可设直线的方程为， 联立，得， 所以，， 设，，则直线的方程为：， 如图所示， 联立，得：，， 同理： ，. 当直线的斜率存在时，， 直线的方程为：， 化简，得，即 令，则，直线过定点． 当直线的斜率不存在时，易知， 代入，得：， 直线的方程为：，直线过定点． 综上，直线过定点． ②由①知， ， ， 当且仅当 时等号成立， 与 面积和的最小值为40． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二年级 期末考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题（本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如果，a，b，c，成等比数列，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且 ，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前项和为，，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 7. 过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若 的最大值为，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，若过点有且仅有两条直线被圆所截得的弦长为，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则（ ） A. 当时，是焦距为的椭圆 B. 当是焦点在轴上的椭圆时， C. 若曲线为椭圆，的取值范围是 D. 若椭圆的离心率为时， 10. 设等差数列的前项和为，公差为， ，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当 时，的最大值为13 D. 数列前项和为，最大 11. 已知函数有极小值，且极小值小于0，其中，都是实数，则（ ） A. B. C. D. 在内有2个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且共面，则______． 13. 已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是___________． 14. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若椭圆是“黄金椭圆”，则_______，若“黄金椭圆”两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． （1）求双曲线C的标准方程； （2）过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 17. 如图①所示，四边形是直角梯形、，，且，为线段的中点，现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接 ，其中为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，，则在线段（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面 所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知为正项等差数列， ，为的前项和. （1）求数列的通项公式： （2）求数列的前项和; （3）设数列的前项和为，证明：. 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，． （1）求抛物线的方程； （2）已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求 与 面积和的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $