2025-2026学年高二上学期期末数学模拟卷（人教A版选择性必修第一、二册）

2025-2026学年高二上学期期末数学模拟卷 参考答案 选择题 题号 1 2 3 5 7 8 9 10 11 答案 A D C B C C B D BC ABD ACD 一、单项选择题（本大题共8小题， 每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.直线x-y-2=0的倾斜角是() A.45 B.135 C.30 D.150 【解析】A直线x-y-2=0,即y=x-2, 它斜率等于1， 设其倾斜角为a,则tana=1, 因为0°≤<180， 故它的倾斜角为45° 2.椭圆3x2+y2=1的离心率是() B.V3 D 3 3 2 3 x2 【解析】D椭圆3x2+2=1,即广+少=1， 所以r=L62=写则c2-子 故e=S=6 a3 3.正项等比数列{an}中，4，a4047是方程x2-18x+16=0的两根，则10g2a2o24的值是 () A.0 B.1 C.2 D.3 第1页共18页 【解析】C由题意知a,a4o4,=a24=16，等比数列{an}为正项等比数列， 则a2024=4,10g202024=2. 双曲线C:￡-名=1过点V2,V3,且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(） 321 3 C.=1 3 【解析】B:e=C=2,则c=2a,b=VC2-a=V5a,则双曲线的方程为 x2 y a2 3a21, 将点（反V的坐标代入双自线的方程可将子。甘1，解符a=1,故=厅. 因此，双曲线的方程为x- =1 3 5已知点P(x,y)满足Vx-1)2+y2=x+,0(4,0),则P的最小值为() A.2 B.2√2 C.2W3 D.4 【解析】C因为Vx-1)+y2表示点P(x,)到点(1,0)的距离；x+1表示点 P(x,y)到直线x=-1的距离， 又Vx-1)2+y2=x+1,所以点Px,y)到点(1,0)的距离等于点P(x)到直线 x=一1的距离， 由抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线，抛物线方程为y2=4x, 2 +12≥2V3, 当且仅当t=±2√2时，等号成立. 6.已知等差数列{an}满足a=2,a+a=10，数列{b}的前n项和Sn满足 Sn=2b,-3neN),则数列{b}的前10项和为() 第2页共18页 A.2046 B.3069 C.6138 D.6144 【解析】C由题意：4，=2，a4=+a=5,则公差d=0,4=1,得a,=n+1, 2 3 又Sn=2b,-3,Sn-1=2b1-3(n≥2)，两式相减得bn=2b-1(n≥2)， 易知么=3，所以6=3x2.所以6，=b=3×2，故前10项和为 6×1-210) =6×1023=6138 1-2 7.己知圆C:x2-2x+y2=0与直线1：y=mx+2mm>0),过1上任意一点P向圆C吲引 切线，切点为A和B,若线段AB长度的最小值为√，则实数的值为() A.V5 B 25 C v14 D. V14 5 5 7 2 【解析】B圆C的方程可化为x-1)2+y2=1, 设∠ACP=00<0< 则|AB=2sin0, 因为18a=5.所以(sin0)= 2 又0<0<受所以行s0< 又ICP1 ,所以CP= =2 元 cos0 cos 3 而CP的最小值是圆心到直线的距离， 所以m+2-2,又m>0.所以m=25 Vm2+1 第3页共18页 8.如图，已知半椭圆 $$C _ { 1 } ： \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \left( x \ge 0 \right)$$ 与半椭 $$C _ { 2 } ： \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { x ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1 \left( x < 0 \right)$$ 0)组成的曲线称 为“果圆”，其中 $$a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ， a > b > c > 0 .$$ “果圆”与 x 轴的交点分别为 $$A _ { 1 } ， A _ { 2 } ，$$ ，与y轴的交 点分别为 $$B _ { 1 } ， B _ { 2 } ，$$ ，点 为半椭圆 $$C _ { 2 }$$ 上一点(不与 $$A _ { 1 }$$ 重合)，若存在 $$P A _ { 1 } \cdot P A _ { 2 } = 0 ，$$ ，则半椭圆 $$C _ { 1 }$$ 的离心率的取值范围为() y $$B _ { 2 }$$ $$\overrightarrow { A _ { 1 } }$$ $$A _ { 2 }$$ x $$\widehat { B _ { 1 } }$$ $$A . \left( 0 ， \frac { 2 } { 3 } \right)$$ $$B . \left( \frac { 1 } { 2 } ， \frac { 2 } { 3 } \right)$$ $$C . \left( \frac { 1 } { 2 } ， \frac { \sqrt 5 - 1 } { 2 } \right)$$ $$D . \left( \frac { \sqrt 5 - 1 } { 2 } ， \frac { 2 } { 3 } \right)$$ y $$B _ { 2 }$$ P 【解析】D. $$A _ { 1 }$$ $$A _ { 2 }$$ $$\overline { x }$$ $$\overrightarrow { B _ { 1 } }$$ 设 $$P \left( x _ { 0 } ， y _ { 0 } \right) ， x _ { 0 } \in \left( - c ， 0 \right) ，$$ 因为 $$A _ { 1 } \left( - c ， 0 \right) ， A _ { 2 } \left( a ， 0 \right) ， \therefore \overrightarrow { P A _ { 1 } } = \left( - c - x _ { 0 } ， - y _ { 0 } \right) ， \overline { P A _ { 2 } } = \left( a - x _ { 0 } ， - y _ { 0 } \right)$$ $$C _ { 2 }$$ 上一点，所以 $$\frac { y _ { 1 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1 \rightarrow y _ { 0 } ^ { 2 } = b ^ { 2 } - \frac { b ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } ，$$ 所以 $$\overrightarrow { P A _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { P A _ { 2 } } = \left( - c - x _ { 0 } \right) \left( a - x _ { 0 } \right) + y _ { 0 } ^ { 2 } = x _ { 0 } ^ { 2 } + \left( c - a \right) x _ { 0 } - a c + y _ { 0 } ^ { 2 }$$ $$= x _ { 0 } ^ { 2 } + \left( c - a \right) x _ { 0 } - a c + b ^ { 2 } - \frac { b ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = \frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } x _ { 0 } ^ { 2 } + \left( c - a \right) x _ { 0 } - a c$$ 因为存在 $$P A _ { 1 } \cdot P A _ { 2 } = 0 ，$$ 所以 $$\frac { c ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } x _ { 0 } ^ { 2 } + \left( c - a \right) x _ { 0 } - a c + b ^ { 2 } = 0 ，$$ $$\left( c ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) x _ { 0 } ^ { 2 } + c ^ { 2 } \left( c - a \right) x _ { 0 } + \left( - a c + b ^ { 2 } \right) c ^ { 2 } = 0$$ 在 $$x _ { 0 } \in \left( - c ， 0 \right)$$ 上有解， 第4页共18页 因为 (c2-b）x+c2(c-ax+(-ac+b3）c2=[(c2-b)x+(-ac+b）c](x+c, 且x∈-c,0), 所以(c2-b2）x,+(-ac+b2）c=0在x∈(-c,0)上有解， 即飞--c+h在无-e0上有都，所以-e<c+e<0 c2-b2 b2-c2 又因为a2=b2+c2,a>b>c>0, (-ac+b2)c<0 ∫a2-ac-c2<0 所以 l(-ac+b)c>-o-c)3e+ac-2a0 即 e2+e-20解海-15e 1-e-e2<0 3 二，多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.若{an}是等差数列，且a1<0<a2,则() A.4+a2>0 B.a+as>0 C.a>aa D.（a2-a)a2-a3）>0 【解析】BC记{an}的公差为d.因为a<0<a2,所以d>0 4+42的正负不确定，故A错误 a1+a3=2a2>0,故B正确 由aa4=(a3-d)a3+d=a-d2<a,a>0,aa4>0, 所以a>Va,a4,故C正确 (a2-a)(a2-a3=-d2<0,故D错误 10.己知点A为直线：4x+3y+t=0(t∈R)上的动点，向量AB=（2,1,过点B向圆 C:x2+y2=1作两条切线，切点分别为点D,E,则() 第5页共18页 A.若直线1与圆C相切，则t=±5 B当1=1时，直线1截圆C所得的弦长为4V6 C.点B到直线I的距离恒为√5 D.若t<0,则当BCDE取到最小值时，1LBC 【解折1ABDA项：当1与圆C相切时，圆心C到直线的距离为上-1，所以1=士5， A项正确； 1)2 B项：1=1时，圆心C到直线的距离为亏，所以弦长为21- 4V6 ,B项正 5 确； C项：易知，直线的一个法向量为元=(4,3引，AB=(2,1,可知dg1= AB.列_11 同5 C项错误； D项：由C知：B点的轨迹为一条与I平行的直线，不妨设为'，当t<0时，由于 三，易知P与圆C无交月 由切线可知BC⊥DE,S.BDc=S,BEc -cBCDE-2S0c=4.c 因为SaD号8DC0l=BD=scP,所以当aC取最小值时 BCDE有最小值此时'⊥BC,即I⊥BC,D项正确 11.在正方体ABCD-AB,CD中，AB=4,E,F分别为BB,CD的中点，P是BC,上的 动点，则() D A.AF⊥平面AD,E 第6页共18页 B.平面AD,E截正方体ABCD-AB,CD的截面面积为8 C.三棱锥P-ADE的体积与P点的位置无关 D.过AE作正方体ABCD-AB,CD的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为 36π 5 【解析】ACD对于A,如图，以A为原点，AD,AB,AA,为坐标轴建立空间直角坐标 系， 则A0,0,0,E(0,4,2,A0,0,4),F4,2,0,D4,0,4, .AE=(0,4,2,AF=(4,2,-4),AD1=(4,0,4), :AE·A,F=0×4+4×2+2×-4)=0,∴AF⊥AE, :AD·A,F=4×4+0×2+4×-4）=0,∴.AF⊥AD, AE∩AD=A,AE,ADC平面AD,E,.AF⊥平面AD,E,故A正确； 对于B,如图，取BG中点G,连接DG,GE,则GE1/CB且GE=.CB=2N2, 可知CB/1AD,所以A,D,G,E共面，则等腰梯形AD,GE即为截面， 在正方体ABCD-ABCD中，AB=4, 所以40=4F+4=4N2.GE=8C=xP+4-25, 1 =4-4-25, 50E、可-{2 =3√2， 所以等腰梯形AD,GE的面积为4V5+2N5×3=18,故B错误： 2 第7页共18页 A B 对于C,可知正方体中，BC,/IAD,又BC￠平面AD,E,AD1C平面AD,E, 所以BC,//平面AD,E, 因为P是BC,上的动点，所以P到平面AD,E的距离为定值，故三棱锥P-ADE的体 积与P点的位置无关，故C正确： 对于D,设外接球心为O,过O作OO⊥AE,垂足为0'，则以0'为圆心，OA为 半径的圆是过AE面积最小的截面圆， 则012.221，设00 00=-2y-22y-2=0.4,2. 00.正=-21×4+分-2小2=0，解得y=号 则O'A 652 故截面圆的最小面积为π× 5 36m,故D正确 B 0 A B方 D F 第Ⅱ卷（非选择题92分） 第8页共18页 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知等差数列{an}的公差为d(d>0),且满足2a3-a=1,a2·a4=40,则数列 {an}的通项公式an= 【解析】由2a3-a=1,a2·a4=40, 2a,+4d-(a+4d)=1 a=1 得 (a+d(a,+3d)=40’由d>0解得 d=31 所以an=3n-2 13.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC,AB=2,BC=1.点P在线段AC上， 点P到直线BB,的距离的最小值为 B 【解析】由己知，以B为坐标原点，以BC,BA,BB,所在直线为X,y,z轴，建立空间直 角坐标系， B 设直三棱柱ABC-ABC,的侧棱长为h, 则B(0,0,0,A0,2,0),C1,0,h, AC=(1,-2,h,BB,=（0,0,h, 由于点P在线段AC上，设AP=tAC,0≤t≤1，则P(t,-2t+2,ht), 第9页共18页 故BP=（t,-2t+2,ht), 设点P到直线BB,的距离为d,则 BP BP.BB BB, -+-2+2+-g =V52-81+4 当1=时 5!-)+考取最小值号则的地小值为2 5 14点P(x,y是椭圆+y'=1上的动点，若k-y-5到+k-y+m的值为定值，则m的 取值范围是 【解析】由x-y-5+x-y+m为定值，即K=y-5,-y+m 为定值， 2 √2 所以椭圆上任意一点到直线x-y-5=0、x-y+m=0的距离之和为定值， 显然x-y-5=0、x-y+m=0平行或重合， 且y+5+y=1,则5y2+10y+21=0,即△=10-4×5×21<0. 所以【-y-5=0与稀圆父+y=1无交点。 4 综上，只需保证椭圆在直线x-y-5=0、x-y+m=0之间即可，如下图， x-y+m=0 x-y-5=0 浴直线-y+=0在树图手+少2=1左上方与树周相物成村离可。 第10页共18页 2025-2026学年高二上学期期末数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版选择性必修第一册全册至第二册第四章《数列》. 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 3. 正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点满足，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 4 6. 已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（ ） A. 2046 B. 3069 C. 6138 D. 6144 7. 已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是等差数列，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知点为直线上的动点，向量，过点向圆作两条切线，切点分别为点，则（ ） A. 若直线与圆相切，则 B. 当时，直线截圆所得的弦长为 C. 点到直线的距离恒为 D. 若，则当取到最小值时， 11. 在正方体中，，分别为的中点，是上的动点，则（     ） A. 平面 B. 平面截正方体的截面面积为8 C. 三棱锥的体积与点的位置无关 D. 过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式______． 13. 如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________. 14. 点是椭圆上的动点，若的值为定值，则m的取值范围是______． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列 的首项 且满足 （1）求证: 是等比数列； （2）求数列 的前n项和 16. 已知椭圆：的右焦点，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）点是椭圆上一动点，且点不在坐标轴上，轴于点，，且交直线于点，直线交轴于点，求证：为定值. 17. 如图，在三棱锥中，平面在以为直径的圆周上运动，作于于，连接. （1）求证：； （2）求证：平面与平面所成夹角的大小与相等； （3）若，求直线与平面所成角的大小. 18. 已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为是双曲线上关于原点对称的两点，且点在第一象限，点的坐标为. （1）求双曲线的方程； （2）若，求的面积； （3）记直线与双曲线的另一个交点分别为，直线的斜率分别为，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 若整数数列满足对任意的的值恰好为中数字出现的次数（数字不拆分统计，如10不计入0，1的出现次数），则我们称该数列是“自洽”的.例如，当时，有如下数列是“自洽”的：这表示，在中，0和2出现了2次，1出现了1次，3和4出现了0次.现已知一个项数列是“自洽”的. （1）求证：； （2）当时，直接写出所有满足条件的数列（无需证明）； （3）当时，求该数列的通项公式. ( 第 1 页 共 18 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $