微专题04 整式乘除的化简求值（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

微专题04 整式乘除的化简求值 题型1 先化简再直接代入求值​ 题目给出明确的代数式（含整式乘除、乘方运算）和变量的具体数值，要求先化简代数式，再代入数值计算结果： 1. 化简代数式：根据整式运算规则（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内），利用平方差公式、完全平方公式等展开式子，合并同类项。 2. 代入数值计算：将变量的具体数值代入化简后的式子，计算结果。 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查多项式除以单项式，多项式乘以多项式，合并同类项，代数式求值，零指数幂，掌握知识点是解题的关键． 先计算多项式除以单项式，多项式乘以多项式，再合并同类项，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式． 2．（2023·吉林白城·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 3．（25-26八年级上·甘肃平凉·期末）先化简再求值，其中； 【答案】，9 【分析】本题考查整式的化简求值． 先计算乘法公式、单项式乘以多项式，然后合并同类项，最后代入已知条件求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据整式的混合运算法则，进行计算，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 将，代入上式， 得． 5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值．利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项后再计算多项式除以单项式即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 6．（25-26八年级上·河南周口·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据 除以单项式运算法则，平方差公式，合并同类项法则进行化简，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型2 先化简再整体代入求值​ 题目不直接给出变量的具体数值，而是给出一个关于变量的等式，要求先化简代数式，再利用已知条件将化简后的式子转化为含已知等式的形式，整体代入求值： 1. 化简代数式：同“直接代入求值”的第一步，将代数式化简为最简形式（如多项式或单项式）。 2. 关联已知条件：观察已知条件，将化简后的式子变形为含已知等式的形式。 3. 整体代入计算：将已知等式的值代入变形后的式子，计算结果。 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，那么的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，观察已知，等式左右两边同除以，并移项可转化为，再对等式两边平方化简即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴两边除以得，即， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·新疆·期末）若，则代数式的值为_________． 【答案】 6 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式． 根据完全平方公式可求出的值，然后代入原式即可求出答案． 【详解】解：∵， ， ， ． 故答案为：6． 3．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）已知，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和负整数指数幂，利用同底数幂的乘法法则变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）若，则______． 【答案】16 【分析】此题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用已知条件得到，再将变形为，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：16． 5．（25-26八年级上·天津·月考）已知，则式子的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，单项式乘以多项式．将所求代数式化简后，利用已知方程整体代入求值． 【详解】解∶由得， 则． 故答案为：． 题型3 运用完全平方公式的变形求值​ 题目给出完全平方公式的两种形式，要求利用公式变形求中间量或其他代数式的值： 1. 回忆完全平方公式的变形： (1) ； (2) ； (3) 。 2. 代入已知条件计算：将已知的值代入变形后的公式，求目标量。 1．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，两个正方形边长分别为、，如果，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．15 B．14 C．38 D．50 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行解答即可． 【详解】解：连接， ，， ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则______． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 利用完全平方公式展开，然后通过两式相减消去平方项，得到关于的等式化简即可得到答案． 【详解】解：①， ②， 由①②得， 即， 解得， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·天津·月考）若，，则的值为________． 【答案】/0.25 【分析】该题考查了平方差公式，利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得， 代入已知条件和， 得， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知，求_______． 【答案】 【分析】本题考查根据完全平方公式求值，设，，则已知条件为，，再利用完全平方公式整体代入求解． 【详解】解：设，，则， ， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山东临沂·月考）已知实数满足，代数式的值为__________； 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用已知条件求解． 【详解】解：， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·云南昆明·月考）已知，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式变形求值，是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件平方后展开，即可求解． 【详解】∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 题型4 结合几何图形的化简求值 题目以几何图形（如正方形、长方形）为背景，通过图形的面积关系（如拼接后的面积等于各部分面积之和）建立代数等式，要求化简代数式并求值： 1. 分析图形面积：根据图形的拼接方式（如用多个小长方形拼成一个大正方形），写出图形面积的两种表达式（如大正方形面积等于小长方形面积之和）。 2. 建立代数等式：将图形面积的表达式转化为代数等式； 3. 化简求值：利用代数等式化简目标代数式，再代入已知条件（如边长）求值。 1．（25-26八年级上·四川眉山·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值； （4）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，求阴影部分的面积（直接写出答案）． 【答案】（1）（2）4（3）（4） 【分析】本题考查完全平方公式及其变式应用，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，代入计算即可； （3）将变形为代入计算即可； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，根据，求出即可． 【详解】解：（1），，而， ， ； （2），，而， ， ； （3）， ； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， 正方形和正方形的面积和为36， ， 又， ， 解得， ． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·月考）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，求的值： (2)如图，已知，，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【答案】(1)5 (2)4 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是将所求式子转化为含已知条件的完全平方形式，结合正方形和直角三角形的性质建立等式求解． （1）设，，利用计算； （2）设，根据面积关系与可列关于a、b的方程组，利用完全平方公式变形求，进而得三角形面积． 【详解】（1）解：设，，则， ， ， 故． （2）解：设， ∵两正方形面积和为20，， ∴． ∴， ∵， ∴，即． ∴． 答：的面积为． 3．（25-26八年级上·福建莆田·月考）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示：_； 图2表示：_； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式与几何图形的关系以及求代数式的值． （1）根据阴影部分面积的两种表示方式即可得解； （2）利用（1）中结论变形求解即可． 【详解】（1）解：图1中，阴影部分的面积为，也可表示为， ∴， 图2中，阴影部分的面积为，也可表示为， ∴； 故答案为：；； （2）解：设，， 则，， ∴， 即． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为的两个正方形和长为，宽为的两个长方形拼成的一个大正方形． 数学思考： (1)图1可以推导出的乘法公式为_，图2可以推导出的乘法公式为_． (2)若，求及的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为； (3) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，完全平方公式的几何背景． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：图；图； 故答案为：；； （2）解：，， ， 的值为； ∴, （3）解：设，， ， ， ， 5．（25-26八年级上·重庆万州·月考）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：． (1)观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号） 公式②：； 公式③：； 公式④：； 图2对应公式_____，图3对应公式_____，图4对应公式_____（填序号）； (2)如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值．为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式②，利用与的值，则可计算出的值，从而求出边长的值，请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程： (3)如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之差为165，求正方形与正方形的面积之和． 【答案】(1)③；④；② (2)大正方形的边长的值为 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据图形并结合题意分析即可得出结果； （2）设，，则，，由题意可得，则，由公式①可：，即，求出，从而可得或，进而得出或，求解即可； （3）由题意可得，，，求出，，由，解得，再由计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：图2对应公式， 图3对应公式， 图4对应公式； 故答案为：③；④；②； （2）解：设，， ∴，， 由题意可得：， ∴， 由公式①可得：，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴大正方形的边长的值为； （3）解：由题意可得，，， ∴或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， 由，解得：， ∴． 6．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）整式乘法运算公式大多都能找到几何验证的方法，针对可以通过下面的图形进行验证． (1)如图，已知正方形的边长为，将正方形按如图所示分割为边长为的正方形以及两个上底长为，下底长为，高为的直角梯形和直角梯形，根据此图写出你的验证过程： (2)请利用完全平方公式计算； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)10609 (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用和完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是整体代入思想的运用． （1）利用“大正方形面积=各部分图形面积之和”建立等式，推导公式； （2）把103写成，运用（1）的结论求解即可； 【详解】（1）解：， ； ； ∵， ∴， ∴； （2）解： ； （3）解：∵ 设， ∴ ∴， 解得， 即． 7．（25-26八年级上·吉林长春·期末）已知，，求的值． 【例题讲解】 小亮探究出解题方法如下： 已知，，求的值． ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴． 【方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你直接写出的值． （2）若，，求和的值． 【拓展提升】 （3）如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为，正方形和正方形面积和为，直接写出的长． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】本题考查完全平方公式的应用． （1）利用完全平方公式变形为，代入数据求解即可； （2）利用完全平方公式变形即可求解； （3）设，，则，根据，即可求解． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； （2）∵， ∴； ； （3）设，，则 由题意可得：，， 即， ∴． ∵， ∴， 即． / 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题04整式乘除的化简求值 先化简再直接代入求值 先化简再整体代入求值 整式乘除的化简求值 运用完全平方公式的变形求值 结合几何图形的化简求值 德点型破 题型1先化简再直接代入求值 啸方法 题目给出明确的代数式（含整式乘除、乘方运算）和变量的具体数值，要求先化简代数式，再代入数值计 算结果： 1. 化简代数式：根据整式运算规则（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内），利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式(a±b2=a2±2ab+b2等展开式子，合并同类项。 2. 代入数值计算：将变量的具体数值代入化简后的式子，计算结果。 1. (25-26八年级上陕西榆林期末)先化简，再求值：3a2b-ab2-2b)÷b-2a+b)(a-b),其中a=1, b=-2° 2(2023吉林白城二核)先化简，再求值：(2x+3-(2x+2x-列，其中x号= -2 3.(25-26八年级上·甘肃平凉·期末)先化简再求值(2x+y)+(x-y)(x+y)-5x(x-y),其中xy=1: 4.(25-26八年级上·吉林长春期末)先化简，再求值：(a+b)+b(a-b)-3ab,其中a=2,b=2026. 5.(25-26八年级上吉林长春期未>先化简，再求值：：-2++2列c-2川2，其中x y=-4. 6.(25-26八年级上河南周口·月考)先化简，再求值：（a2b+3ab2-2b)）÷b-（a+2b)(a-2b),其中a=2, 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b=-1. 题型2先化简再整体代入求值 啸方法 题目不直接给出变量的具体数值，而是给出一个关于变量的等式，要求先化简代数式，再利用已知条件将 化简后的式子转化为含已知等式的形式，整体代入求值： 1. 化简代数式：同“直接代入求值”的第一步，将代数式化简为最简形式（如多项式或单项式）。 2.关联已知条件：观察已知条件，将化简后的式子变形为含已知等式的形式。 3. 整体代入计算：将己知等式的值代入变形后的式子，计算结果。 1. (25-26八年级上福建泉州期中)已知-3x+1-0,郑么r+的值是(） A.3 B.7 C.9 D.11 2.(25-26八年级上新疆期末)若(x-1)2=2,则代数式x2-2x+5的值为 3.(25-26八年级上辽宁大连期末)已知x+y+2=0,则3.3=· 4.(24-25八年级上河北石家庄·月考)若x+2y-3=0,则2+1.4= 5.(25-26八年级上天津·月考)已知x2+3x+1=0,则式子4+x(x+3)的值为 题型3运用完全平方公式的变形求值 啸方法 题目给出完全平方公式的两种形式，要求利用公式变形求中间量或其他代数式的值： 1.回忆完全平方公式的变形： (1)a2+b2=(a+b2-2ab=(a-b2+2ab; (2)(a+b)2-(a-b2=4ab; 3)b=a+b2-(a-b] 2. 代入已知条件计算：将己知的值代入变形后的公式，求目标量。 1. (25-26八年级上海南海口期中)如图，两个正方形边长分别为a、b,如果a+b=10,ab=24,则图 中阴影部分的面积为() 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D a A.15 B.14 C.38 D.50 2.(25-26八年级上内蒙古呼和浩特期末)若(a+b2=25,(a-b)=9,则ab= 3.2526八年缓上天津月考)若：-=石a+6=子则a-的值为 4.(25-26八年级上四川眉山期中)已知(2a-3)+(1+2a2=2025,求(2a-3)1+2a= 5.(25-26八年级上·山东临沂月考)已知实数a,b满足a-b=2,a2+b2=7,代数式ab的值为 625-26八年级上云南昆明月考)已知x+3,则x+ A.4 B.6 C.7 D.9 题型4结合几何图形的化简求值 味方法 题目以几何图形（如正方形、长方形）为背景，通过图形的面积关系（如拼接后的面积等于各部分面积之和) 建立代数等式，要求化简代数式并求值： 1.分析图形面积：根据图形的拼接方式（如用多个小长方形拼成一个大正方形），写出图形面积的两种 表达式（如大正方形面积等于小长方形面积之和）。 2. 建立代数等式：将图形面积的表达式转化为代数等式； 3. 化简求值：利用代数等式化简目标代数式，再代入已知条件（如边长)求值。 1. (25-26八年级上·四川眉山期中)(1)已知a+b=5,ab=3,求a2+b的值. (2)已知a-b=1,a2+b2=9,求ab的值； 1)2 (3)已知a+1=4,求a-1 的值： a (4)如图，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G,当四边形ABGF和四边形CDEG都为 正方形时，若BE=8,正方形ABGF和正方形CDEG的面积和为36，求阴影部分的面积S影（直接写出 答案)· 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E G B C 2.(25-26八年级上·湖北孝感月考)完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题. 例如：若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解：a+b=3,ab=1, ∴.(a+b)=9,2ab=2, .a2+b2+2ab=9, .a2+b2=7. 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若(10-2x(2x-7=2,求(10-2x)+(2x-7)2的值： (2)如图，已知Rt△ABC,∠ACB=90°，分别以AC,BC为边向两边作正方形，设AG=6,两正方形的 面积和为20，求ABC的面积. D G 3.(25-26八年级上·福建莆田·月考)现有长与宽分别为Q、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形 拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： 6 图1 图2 (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：； 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图2表示： (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若(7-m)(5-m)=9,求(7-m)+(5-m)的值； 4.（25-26八年级上·河南驻马店·月考)问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略， 图1，图2是用边长分别为a,b的两个正方形和长为a,宽为b的两个长方形拼成的一个大正方形. b 0 a b a 图1 图2 数学思考： (1)图1可以推导出的乘法公式为，图2可以推导出的乘法公式为_· (2)若a+b=7,ab=12,求a2+b及(a-b)2的值. (3)若(26-x)(x-20)=4,求(26-x)2+x-20)2的值. 5.(25-26八年级上·重庆万州月考)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷 “几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形 相互转化.如图1，可以表示为公式①：(x+y)=x2+2y+y2. 1 图1 图2 图3 图4 A D A 2 H G BR r 图5 图6 (1)观察下列图形，将它们与下列公式对应起来. (填写对应公式的序号) / 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 公式②：(x+y)2=(x-y)2+4y: 公式③：x2-y2=(x+y)(x-y); 公式④：（x-p)x-q)=x2-p+qx+p9: 图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式（填序号）； (2)如图3，若p=2,9=4,且空白部分的面积为48，求大正方形的边长x的值.为了解决这个问题， 小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为x-2)(x-4),小敏运用“整体思想”， 设x-2=a，x-4=b,结合公式②，利用a-b与ab的值，则可计算出a+b的值，从而求出边长x的值， 请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程： (3)如图6，若p=9,空白部分的面积为121，且正方形ABCD与正方形EFGH的面积之差为165，求正 方形ABCD与正方形EFGH的面积之和. 6.(25-26八年级上·贵州遵义·期中)整式乘法运算公式大多都能找到几何验证的方法，针对 (a+b)2=a2+2ab+b2可以通过下面的图形进行验证. D A a E b (I)如图，己知正方形ABCD的边长为a+b,将正方形按如图所示分割为边长为a的正方形AEFG以及两 个上底长为a,下底长为a+b,高为b的直角梯形EFCB和直角梯形GFCD,根据此图写出你的验证过 程： (2)请利用完全平方公式计算1032； ③已知2a+动=3。+6-得求3a-26的值 7.(25-26八年级上吉林长春期末)已知a-b=1,a2+b2=25,求ab的值. 【例题讲解】 小亮探究出解题方法如下： 已知a-b=1,a2+b2=25,求ab的值. :(a-b)2=a2-2ab+b 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2ab=a2+b2-(a-b12 :a-b=1,a2+b2=25, .2ab=25-12=24 .ab=12. 【方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)小亮发现，借助原题的条件还可以求出(a+b)的值，请你直接写出(a+b)的值. 2)若x+y=1,=子，求+y和(x-y'的值. 【拓展提升】 (3)如图，以Rt△ABC的直角边AB,BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG.若ABC的面积为6.5 ,正方形ABDE和正方形BCFG面积和为35，直接写出AG的长