第20讲 解题技巧专题：一元一次不等式（组）中含参数问题（3知识点+7大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

第20讲 解题技巧专题：一元一次不等式（组）中含参数问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：基本解法与讨论 掌握不等式基本性质，含参时需按参数正负、零分类讨论不等号方向。解一元一次不等式组应先分别求解，再通过数轴取交集。 知识点2：参数范围的确定 根据解集特殊条件（如“有解”“无解”“整数解个数”）反向确定参数范围。常见题型包括比较解集端点与给定数值，需注意边界等号的取舍。 知识点3：综合应用与转化 将文字条件转化为不等式关系，建立含参模型。注意结合数轴分析，通过分类确保不重不漏，最终结果常以不等式或区间形式表示参数范围。 【题型1 根据一元一次不等式的定义求参数的值】 例1．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义求参数，根据一元一次不等式的定义列式求解即可． 【详解】解：若是关于的一元一次不等式， ∴， 解得，， 故答案为：1 ． 例2．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）若关于x的不等式是一元一次不等式，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 变式1．（24-25八年级下·江西抚州·月考）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式的定义求参数的值，解一元一次不等式，先根据不等式的定义，得到，进而求出的值，在根据移项，合并，系数化1的步骤解不等式即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴不等式化为：， ∴， ∴； 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·重庆·期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，由题意得且，解之即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 【题型2 根据一元一次不等式的解集求参数】 例3．关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用表示出不等式的解集，再由数轴上不等式的解集得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴上不等式的解集可知，， ， 解得， 故答案为：3． 例4．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 由不等式的性质可知，不等式两边同时除以时，不等式方向改变了，由此可确定的符号，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 【题型3 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】 例5．（24-25八年级下·山东青岛·月考）关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集是解本题的关键．表示出不等式的解集，根据解集中只有2个正整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：， 解得：， ∵关于的不等式只有2个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 例6．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解出不等式得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得到范围是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 由题意可得：， ， 故答案为：． 变式1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式恰好有3个正整数解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解． 先求出不等式的解集，再根据解集求的取值范围即可． 【详解】解：解得， ∵关于的不等式恰好有3个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为： 【题型4 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 例7．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是先求出不等式组的解集，再结合整数解的个数确定参数的范围． 先分别解出两个不等式的解集，再合并得到不等式组的解集，结合整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 因此，不等式组的解集为， 设，则解集为， 由于有5个整数解，且，整数解为， 为确保这些整数解都在解集中，需满足，即， 为确保不在解集中，需满足， 因此，， 代入，得， 解该不等式： 左边，乘以2得，即， 右边，乘以2得，即． 故的取值范围为． 故答案为． 例8．（25-26八年级上·重庆·开学考试）已知关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组整数解有且只有个，得出关于的不等式组是解此题的关键．先求出已知的不等式组解集，再根据不等式组整数解有且只有个，得出这个整数解，从而得出关于的不等式组，进而求解不等式组即可． 【详解】解：解不等式可得：， 解不等式可得：， 不等式组的解集为 ， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解为，，， ，解得． 故答案为： ． 变式1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键． 根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案． 【详解】解： 解①式得： 解②式得： ∵ 关于 x 的不等式组仅有三个整数解， ∴不等式组的解集为：即 0 ，1 ，2， ∴，解得： ． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·山东日照·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和为，且为整数，则的值是 ． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，先解不等式，再根据不等式组解的情况得到m的取值范围，进而根据m为整数可得结论． 【详解】解：解不等式组，得， ∵该不等式组的所有整数解的和为， ∴该不等式组的整数解为和或、、、0、1， ∴或， ∴或， ∵为整数， ∴的值是0或3， 故答案为：0或3． 【题型5 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 例9．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根据不等式组的解集，求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得， ∵不等式组无解， ∴，解得； 故答案为：． 例10．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， ． 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·青海海北·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知不等式组的解集得出关于的不等式是解题关键．先求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 关于的不等式组的解集为， ， 解得， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·重庆丰都·月考）若关于的不等式组的解集为，求的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及解集的确定，解题的关键是分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组解集确定参数的取值范围． 先分别求解不等式组中的两个不等式，再结合已知的不等式组解集，确定的取值范围． 【详解】解：解不等式 ． ． ． ． ． 解不等式 ． ． ． 因为第一个不等式的解集是，第二个不等式的解集是，所以． 解这个不等式 ． ，即． ． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 【题型6 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】 例11．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 例12．（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足，则m的非正整数和为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程组两方程相加得到 ，即，代入条件 得 ，解得 ，非正整数包括负整数和零，满足条件的非正整数为 ，求和即可 【详解】解：∵ 方程组 ， ① + ② 得：   ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ 则m的非正整数为， ∴  ． 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·山东德州·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式的整数解，把方程组中两个方程相减得到，再由题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足， ∴， ∴， ∴满足题意的最小整数a是． 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，掌握整体代入列不等式是解题的关键． 把两个方程相加可得：，求出，再整体代入解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得：， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型7 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】 例13．（24-25七年级下·重庆·月考）若方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，方程组中两方程相减求得，由求出k的取值范围即可． 【详解】解：， 得，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 例14．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解得，不等式组解得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组有解， ∴联立得， ∴ ∴， 解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得， ∴整数，，，，和为． 故答案为：19． 变式1．（25-26八年级上·重庆·月考）若实数使关于的不等式组有解且至多有个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，关键是准确熟练地解一元一次方程和一元一次不等式组．先根据不等式组求出的范围，然后再根据方程求出的范围，从而确定的可能值，最后求和. 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴， ∴ 解方程得 ， ∵方程的解为非负数， 所以， 解得： ∴， ∵是整数， ∴， ∴满足条件的所有整数m的和为. 故答案为：15. 变式2．（25-26八年级上·重庆·月考）若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元次一次方程组的解及一元一次不等式组的解集情况求参数．先解不等式组，根据至少有4个整数解，得出a的取值范围，再解二元一次方程组，根据解为整数，得出a的值，求和即可． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组至少有4个整数解， , , 解关于x、y的方程组，得， 这个方程组的解为整数， 为整数， 又, 或或， 或或， 将a的值代入，对应的y的值分别为：5，6，8，满足y为正整数， 满足条件的整数a的和为：， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南焦作·月考）关于x的一元一次不等式中，m的值应为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义：“含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的不等式”，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或0； 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴ 的取值范围是 ， 故选：B 3．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握“同大取大”的不等式组解集确定规则是解题的关键．先解第一个不等式，再结合不等式组的解集规则（同大取大）确定的范围． 【详解】解：解不等式得 ∵不等式组的解集为， ∴ 故选：B． 4．（2025八年级上·重庆·专题练习）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式无解，则不符合条件的整数的值（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 首先从方程解出关于的表达式，根据为自然数（包括0）确定的范围和奇偶性；然后解不等式组，根据无解条件得到的范围；最后综合得出不符合条件的整数的值． 【详解】解：∵方程得， 且为自然数， ，且为偶数， ，且为奇数， 解不等式组 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组无解， ， ，且为奇数， ， 验证：时；时；时，均为自然数， ∴符合条件的整数的值为， 故不符合条件的整数的值为， 故选：D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；④若不等式组有解，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵它的解集是，即， 解得：，故①正确， ∵当时，，此时不等式组的解集为， ∴不等式组无解，故②错误， ∵它的整数解仅有3个， ∴， ∴a的取值范围是，故③正确， ∵若不等式组有解，即， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①③④． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式是一元一次不等式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x的不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集情况求参数，先求出不等式的解集，再根据正整数解求解即可． 【详解】解不等式，得． ∵正整数解恰是1，2，3， ∴． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·吉林·期中）关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识熟练掌握与灵活运用． 解不等式组得，由数轴可知，得出原不等式组的解集为，则，计算求解即可． 【详解】解：解不等式组， 得， 由数轴可知，原不等式组的解集为， ∴， 解得． ∴a的取值范围为， 故答案为： 9．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的整数解，熟练掌握“根据不等式解集的符号确定系数的范围，结合方程组的整数解条件分析未知数的取值”是解题的关键． 先根据不等式的解集确定的范围，再解方程组得到的表达式，结合解为整数的条件确定的可能值，最后计算这些的积． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴， 解得， 解方程组，得，， ∵ 方程组的解为整数， ∴ 是整数，且是整数，故是4的倍数 ∵ ， ∴ ，即是负整数， 又∵ 是整数且为4的倍数， ∴ 是8的负约数，且是4的倍数， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（不是4的倍数），舍去， 当时，，（不是4的倍数），舍去， ∴符合条件的整数为、， ∴ 它们的积为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式、不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将代入，然后解不等式即可； （）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有个，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵该不等式的负整数解有且只有个， ∴这三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 13．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 14．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 15．（2025八年级上·全国·专题练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先求一元一次方程的解为，再求不等式组的解集为，根据定义即可判断； （2）先求一元一次方程的解为，根据不等式组有两个整数解，可得，解得，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得，最后求出； （3）先求一元一次方程的解为，不等式组的解集分情况讨论：①时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；②当时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；③当时，无解，不合题意，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：不是不等式组的“相依方程”，理由如下： ， ， 解得， ， 由①得：， 解得，， 由②得：， ， ， ， ， ∴， ∵不在的范围内， ∴不是不等式组的“相依方程”； （2）解：， ， ， ， ， 解不等式组：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有两个整数解， ∴， 解得， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 解得， ∴； （3）解：， 解得， ， 由①得， 由②得， ①当时，， ∴， ∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”， ∴， 解得或； ∴此情况下k的取值为， ②当时，， 此时，即或， 不等式组的解集为， ∴， 解得或， ∴此情况下k的取值为， ③当时，无解，不合题意， 综上所述：或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第20讲解题技巧专题：一元一次不等式（组） 中含参数问题 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：基本解法与讨论 掌握不等式基本性质，含参时需按参数正负、零分类讨论不等号方向。解一元一次不等式组应先分别求解， 再通过数轴取交集。 ☑知识点2：参数范围的确定 根据解集特殊条件（如“有解”“无解”“整数解个数”）反向确定参数范围。常见题型包括比较解集端点与 给定数值，需注意边界等号的取舍。 ☑知识点3：综合应用与转化 将文字条件转化为不等式关系，建立含参模型。注意结合数轴分析，通过分类确保不重不漏，最终结果常 以不等式或区间形式表示参数范围。 02 练题型强知识 【题型1根据一元一次不等式的定义求参数的值】 例1.(24-25七年级下.甘肃定西月考)若(k+1)x+2>0是关于x的一元一次不等式，则k= 例2.(24-25七年级下.甘肃武威期末)若关于x的不等式(m+1)xm<2025是一元一次不等式，则 m= 变式1.(24-25八年级下·江西抚州·月考)若k-(k+2)x>0是关于x的一元一次不等式，则该不等式的 解集是」 变式2.(24-25七年级下.重庆期中)若(a-2)x-+3>0是关于x的一元一次不等式，则a的值为」 【题型2根据一元一次不等式的解集求参数】 1/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例3.关于x的不等式3x+a≤0的解集如图所示，则a的值是一 21012 例4.如果不等式(a-1)x>5的解集是x<- 一'那么a的取值范围是 5 变式1.已知如图是关于x的不等式2x-a>-3的解集，则a的值为一. -3-2-i0123 【题型3利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】 例5.(24-25八年级下·山东青岛月考)关于x的不等式2x-a<1只有2个正整数解，则a的取值范围为 例6.(24-25七年级下·内蒙古赤峰期末)关于x的不等式2x+b≤0恰有三个非负整数解，则b的取值范围 是一 变式1.(25-26七年级上·江苏苏州期中)关于x的不等式2x+a≥0的负整数解是-2，-1，则a的取值范 围是 变式2.(24-25七年级上·江苏苏州月考)已知关于x的不等式2x+m<1恰好有3个正整数解，则m的取值 范围为 【题型4利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 6-2x≥0有5个整数解，则a的取值范围 2x-a>4 例7. (25-26九年级上·黑龙江七台河·期中)关于x的不等式组 是 [3x+6≥a 例8.(25-26八年级上·重庆·开学考试)已知关于x的不等式组 x+6≤4有且只有3个整数解，则a的取值 2 范围是 5(x+1>3-a 变式1.(24-25八年级下·陕西西安·月考)已知关于x的不等式组{， ,2≤1-1x仅有三个整数解，则a的 02 2 取值范围是 3x-2>2(x-3 变式2.(24-25七年级下·山东日照·期末)若关于x的不等式组 的所有整数解的和为-5， x-1<m-2 且m为整数，则m的值是. 【题型5根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 2/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x-5>-1 例9.(25-26九年级上·黑龙江佳木斯期中)关于x的不等式组 无解，则实数a的取值范围 x-a≤1 是 5x<3x+2a 例10.(24-25七年级下·云南丽江·期末)若关于x的不等式组 的解集为x<3,则a的取值 4x-1)<3x-1 范围是 x+4>3a+5 变式1.(24-25七年级下·青海海北期末)已知关于x的不等式组 的解集为x>2,则a的取值 2x>4 范围是」 x+2、x > +1 变式2.(24-25七年级下·重庆丰都月考)若关于x的不等式组{32'的解集为x<-2,求a的取值 4x+a<x-1 范围为一 【题型6整式方程（细）与一元一次不等式结合求参数的问题】 例1山.(2526八年级上四川成都月考)已知关于x的方程2x-3引-=x+@的解适合不等式-3x+1>2a, 则a的取值范围为. x-3y=m-1 例12.(2025八年级上·重庆·专题练习)已知关于x,y的方程组 x+y=-3m+7· 若方程组的解满足 x-y<6,则m的非正整数和为 4x+y=3a+7 变式1.（24-25七年级下·山东德州·期末)若关于x,y的二元一次方程组 2x-y=a-1 的解x,y满足 x+y>1,则满足题意的最小整数a是 3x+3y=m+3 变式2.(25-26八年级上·湖南湘西·开学考试)关于x,y的二元一次方程组 x-7y=m-5的解满足 x-y>2,则m的取值范围是 【题型7整式方程细与一元一次不等式组结合求参数的问题】 x+2y=4k 例13.(24-25七年级下·重庆月考)若方程组 2x+y=2k-1 的解满足0<y-x<1,则k的取值范围 是 y=3x+7 5:26八年级上四川成都·月考）如果关于x,y的二元一次方程组 x-1有解，且关于x的 3/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [3x+7≥0 一元一次不等式组 5x-n≤2有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是」 3-2+x<x+3 变式1.(25-26八年级上·重庆月考)若实数m使关于x的不等式组 3 2 有解且至多有3个整数 2x-m≤-1 2 解，且使关于y的方程2y=4y-m+2的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为」 3 x+12x+5 变式2.（25-26八年级上·重庆·月考)若整数a使关于x的不等式组 26至少有4个整数解，且使 x-2>a 关于x、y的方程组 ax-2y=0 x+y=4的解为整数，那么满足条件的整数a的和为一 03 串知识识框架 掌握不等式基本性质，合参时需按参数正负、季分类讨论不等号方 向。解一元一次不等式组应先分别求解，再通过数轴取交集。 知识点1：基本解法与讨论 元一次不等式（组） 根据解集特殊条件（如有解”“无解“数解个数）反向确定参数范 固。常见题型包括比较解集端点与给定数值，雾注意边界等号的取舍。 知识点2：参数范围的确定 中含参数问题 将文字条件转化为不等式关系，建立含参模型。注意结合数轴分析，通 过分类确保不重不漏。最终结果常以不等式或区间形式表示参数范围。 知识点3：综合应用与转化 04过关测稳提升 一、单选题 1.(24-25七年级下.河南焦作·月考)关于x的一元一次不等式xm-+4>2中，m的值应为() A.0 B.1 C.2 D.0或2 2.(25-26八年级上，浙江温州·期中)已知关于x,y的方程组 2x-y=1,若x-y>0,则m的取值范围 x-2y=m 是() A.m>1 B.m>-1 C.m<1 D.m<-1 3.(25-26八年级上山东菏泽·月考)如果不等式组 x-1<2x-3 的解集为x>2,那么m的取值范围是() x>m 4/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.m<2 B.m≤2 C.m=2 D.m≥2 4.(2025八年级上·重庆·专题练习)关于x的方程3-2x=3k-2)的解是自然数，且关于x的不等式 x-2(x-1)≥5 昌2k+sx无解，侧不符合条件的整数的值() A.-1 B.1 C.3 D.-3 3x-5<2 5.(25-26八年级上·浙江杭州期中)已知关于x的不等式组 2 ,下列四个结论：①若它的解集 2x-a≤-1 是1<x≤3，则a=7;②当a=3时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是 9≤a<11;④若不等式组有解，则a>3.其中正确的结论是() A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 二、填空题 6.(25-26七年级上江苏苏州月考)已知关于x的不等式(m-1)xm<2025是一元一次不等式，那么 m= 7.(25-26八年级上·四川成都期中)已知关于x的不等式x-a<0的正整数解恰是1,2,3，则a的取值范 围是一 8.（25-26七年级上，吉林期中)关于x的不等式 2(x-1>0 的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范 x+1>2a 围 -3-2-10123 [3x-4y=0 9.(24-25八年级上重庆期中)若关于x,y的二元一次方程组 mx+4y=8 的解为整数，且关于t的不等式 (m+2)t>m+2的解集为t<1,则所有满足条件的整数m的积为」 10.(25-26八年级上·重庆铜梁期中)若关于x的不等式组 3x-1<x+1 2 有且仅有4个整数解，则所有 2(x+1≥-x+a 满足条件的整数α的值之和一 三、解答题 11.(24-25七年级下·广西梧州期中)已知关于x的不等式3x-m<4x+1). (1)当m=2025时，该不等式的解集为； (2)若该不等式的负整数解有且只有3个，求m的取值范围。 5/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x>m-1 12.(25-26七年级下·全国·课后作业)(1)已知关于x的不等式组 x>m+2 的解集是x>-1.求m的值. x-a>0 (2)已知关于x的不等式组 3 无解.求a的取值范围. 6-2x≥0 x+y=-7-m 13.(25-26八年级上·浙江金华月考)已知方程组 x-y=1+3m 的解满足x为非正数，y为负数. (1)求m的取值范围： (2)在(1)的条件下，若不等式(2m+1)x-2m<1的解为x>1.求整数m的值. 14.(24-25七年级下·湖南长沙期末)对x,y定义一种新运算T, 规定：T(x,y)=ax+2by-1（其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如： T(0,1=a×0+2b×1-1=2b-1. (1)已知T(1,-1=-6,T(4,2)=3. ①求a,b的值； T(2m,5-4m≤1 ②若关于m的不等式组 Tm,3-2m)>p 恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若T(x,y)=T(yx)对任意实数x,y都成立（这里T(x,y)和T(y,x)均有意义），则a,b应满足怎样的关系 式？ 15.(2025八年级上·全国，专题练习)新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则 x-1>1 称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x-1=3的解为x=4,而不等式组{ x-2<3 的解集为 x-1>1 2<x<5,不难发现x=4在2<x<5的范围内，所以方程x-1=3是不等式组 x-2<3 的“相依方程”. [2x+3≤x+11 (1)请判断4x-1-1=3x-2)是否是不等式组 2x+5 的“相依方程”，并说明理由： -1>4-x 3x+1<m+2 ②诺关于x的方程4xm=2}m-是关于x的不等式组 2 x18,, 的“相依方程”，且此时不等 4 +1≥1 1243 式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； kx-4 ->x (3)若关于x的方程x+k=2x-1是关于x的不等式组 2 x+12x-1-1 “相依方程”，求k的取值范围. (2≥ 3 6/6