01平方根预习讲义2025-2026学年人教版七年级下学期数学（4大知识点+10大题型解读+18巩固提升）

2025-2026学年七年级下学期第八章实数01平方根预习讲义 人教版（4大知识点+10大题型解读+18巩固提升） 01预习目标 1、 预习目标 1. 理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。 2. 学会平方根的表示法和求非负数的平方根。运用平方根的知识解决实际问题 3. 体会从一般到特殊的数学思想方法。 4. 重点：平方根的概念和表示方法 5. 难点：求一个非负数的平方根 02知识点梳理 知识点1平方根和算术平方根的概念 1．算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数． 要点提示 ：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0． 2．平方根的定义  如果，那么叫做的平方根．求一个数的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算．  （≥0）的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根． 知识点2平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点提示 （1） 正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根．因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根． 知识点3平方根的性质 知识点4平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位． 03题型归纳 题型解读1平方根概念理解 例1．已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查“平方根的概念”，掌握两个平方根的关系是解题关键． 根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个且互为相反数，由此即可判断出答案． 【详解】解：∵ 一个正数的平方根有两个，且互为相反数， 又∵ 一个平方根是2025， 则另一个平方根为， 故选：C． 变式1．若没有平方根，则x的值可能为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据平方根的性质，负数没有平方根，因此 ，解不等式可得 ，从而确定 的可能值． 本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握负数没有平方根是解决本题的关键． 【详解】解：∵没有平方根， ∴，即， 解得， 因此 的值可能为2（或其他小于 2.5 的数） 故答案为：2． 变式2．已知实数x的平方根是m和． (1)当时，求m的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查了平方根，求代数式的值， 对于（1），根据平方根的定义得，再根据可得答案； 对于（2），由题意得，再根据求出m，即可求出a，然后分两种情况得出答案． 【详解】（1）解：x的平方根是m，， ∴， 即． ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得， ∴， 即， ， ∴， 当时，，， ∴； 当时，，， ∴． ∴的值为或9． 题型解读2求一个数的平方根 例2．实数的平方根是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，即可得解． 【详解】解：， ， 的平方根是． 故选：A． 变式1．的平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行计算即可． 【详解】解：的平方根是；的平方根是； 故答案为：， 变式2．求下列各数的平方根： (1)1.69． (2)． 【答案】(1) (2)/ 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据平方根的定义计算即可； （2）先计算出，再根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是． （2）解：∵， ∴的平方根是． 题型解读3求代数式的平方根 例3．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 变式1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 变式2．已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求的平方根． 【答案】 【分析】根据二次根式的非负性和相反数的意义求出x，根据算术平方根的性质求出y，根据绝对值的性质求出z，根据相反数的意义求出mn，然后都代入计算出结果即可． 【详解】∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵y的算术平方根为14， ∴， ∵z的绝对值为， ∴， ∴， ∵m，n互为倒数， ∴， ∴原式， ∴． ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，相反数，绝对值，倒数的性质，算术平方根和平方根的性质．注意算术平方根和平方根的区别：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．掌握以上知识是解题的关键． 题型解读4已知一个数的平方根，求这个数 例4．若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B．36 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，解题关键是掌握平方根的定义． 根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵a的平方根是， ∴ ∴a的值为36， 故选：B． 变式1．若与是同一个正数的平方根，则的值为 ． 【答案】4或100/100或4 【分析】本题考查平方根．根据平方根的性质，同一个正数的两个平方根互为相反数或相等，据此列出方程求解． 【详解】解：设与是正数的平方根，则有两种情况： 当时， 解得， ， ． 当时， 解得， ， ． 的值为4或100． 故答案为：4或100． 变式2．已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】(1) (2)这个数是1或9 【分析】（1）根据平方运算，可得的值，求解可得答案； （2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得的值，根据平方运算，可得答案． 【详解】（1）解：∵的一个平方根是3， ∴，解得． （2）解：∵都是同一个数的平方根， ∴或，解得或， ∴或， ∴这个数是1或9． 【点睛】本题考查了平方根的概念，熟练掌握相关定义是解决本题的关键． 题型解读5利用平方根解方程 例5．已知，，且，则的值为（   ） A．8或 B．或 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查开平方和绝对值，熟练掌握开平方和绝对值的运算是解题的关键，由得，由得，结合条件，只有,时满足，从而求得答案． 【详解】解：∵， ∴或； ∵， ∴或； 又 ∵， ∴当，时，； 当，时，； 故选：C． 变式1．方程：的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了利用平方根的定义方程，熟练掌平方根的定义是解题的关键． 利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解： ∴，； 故答案为：，． 变式2．解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，将方程变形成，进而根据平方根的定义解方程即可． 【详解】解： ， 题型解读6求一个数的算术平方根 例6．下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：① ∵ ， ∴ ， 故此说法错误； ② ∵ ，且， ∴ ， 故此说法错误； ③ ∵ ， ∴ 4是16的一个平方根， 故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根， ∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根， ∴此说法错误； 综上，正确个数为2个． 故选：B． 变式1．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．先根据算术平方根的定义计算，再进行减法计算即可． 【详解】解：． 故答案为∶2． 变式2．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． （1）根据算术平方根的定义求解即可； （2）先算算术平方根，再取其相反数，求解即可； （3）根据性质求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 题型解读7利用算术平方根的非负性解题 例7．若，则的平方根是（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式、非负数的性质以及平方根的定义．将方程左边配成完全平方式可得，利用非负数的和为零则每个非负数为零的性质，求出和的值，再计算的平方根即可解答． 【详解】解：， ， ，， 且， ，， 即，， ， 的平方根为， 故选． 变式1．已知，则 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，解题的关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解． 因为绝对值和算术平方根均为非负数，所以由，可得且；进而求出、的值，再计算． 【详解】解：，，且， ，解得；，解得． ． 故答案为：． 变式2．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴化简绝对值计算，根据数轴得到，，是解题的关键．先根据数轴得到，，，再根据算术平方根的性质化简即可． 【详解】解：依题意得到，，， 则原式 ． 题型解读8估计算术平方根的取值范围 例8．估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，解题的关键是先求出． 先估算的取值范围，然后即可判断的近似值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 变式1．一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数即可． 【详解】解：一个正方形的面积是29，则其边长为， ， ， ∵它的边长在整数与之间， . 故答案为： ． 变式2．如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为，高为的长方体盒子里． (1)求这个魔方底面圆的半径； (2)魔方能否放进去，说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的估算，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）设这个魔方底面圆的半径为，根据圆的面积公式列方程求解即可； （2）根据算术平方根的估算比较直径与正方形边长的大小关系，再比较圆柱的高和长方体的高，即可判断得解． 【详解】（1）解：设这个魔方底面圆的半径为， 由题意，得， ∴， ∴， ∴这个魔方底面圆的半径； （2）解：能放进去．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴魔方底面圆的直径小于长方体盒子底面的边长，且高小于长方体的高， ∴能放进去． 题型解读9与算术平方根有关的规律探索题 例9．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键． 找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果． 【详解】解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为， ∴第11行从开始，则此行第4个数为； 故选：D． 变式1．已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律题．通过观察已知条件，利用平方根的性质，被开方数扩大10000倍，平方根扩大100倍，将所求式子转化为已知近似值的形式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 变式2．阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 【答案】(1)①，；②， (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查算术平方根的计算，读懂题意，理解题中新的运算公式，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）由算术平方根的定义计算即可得到答案； （2）根据规律总结即可得答案； （3）由（2）中直接计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，， ②，． 故答案为：①，；②， （2）解：∵；， ∴通过计算，我们可以发现． 故答案为： （3）解：①． ②． ③． 故答案为：①；②；③． 题型解读10算数平方根的实际应用 例10．如果一个圆的面积为，那么这个圆的半径为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】此题主要是考查了算术平方根的实际应用，圆的面积的计算公式在生活中的灵活应用，解答此题的关键是熟记圆的面积的计算公式． 根据圆的面积公式，已知面积为，代入公式求解半径r． 【详解】解：∵ 圆的面积， ∴， ∴（负值已舍去）． 因此，半径为， 故选：B．． 变式1．一个正方形的面积是，其边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据算术平方根的定义即可求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一个正方形的面积是， ∴其边长是， 故答案为：． 变式2．素材1：如图，某公司计划在3块并排的正方形地基上建造厂房，地基的总面积为． 素材2：又计划在厂房的一边建造一个面积为的长方形仓库，为节省材料，仓库一边与厂房共用一面墙，并且共用部分不超过厂房的某一边长，不考虑门窗，另外三边用塑钢材料围成，仓库的长与宽之比为．根据上面两个素材，回答下列问题： (1)求每块正方形地基的边长； (2)通过计算说明能否按照要求建造出长方形仓库，若能，求出该仓库的长与宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，该长方形仓库的长为，宽为，计算见解析 【分析】本题考查由算术平方根运算列方程解应用题，读懂题意，准确列出方程是解决问题的关键． （1）先求出每块正方形地基的面积，由算术平方根运算即可得到答案； （2）设该仓库的长为，宽为，由长方形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：每块正方形地基的面积为， 所以正方形地基的边长为． 答：每块正方形地基的边长为． （2）解：能按照要求建造出长方形仓库． 设该仓库的长为，宽为． 由题意，得， 解得或（不合题意，舍去）， 则该长方形仓库的长为，宽为． ∵， ∴，， ∴该长方形仓库的长为，宽为． 04巩固提升 一、单选题 1．下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，掌握好相关知识是解题关键． 根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断正误． 【详解】解：对于A：， 因此是4的平方根，故A正确； 对于B： ， 因此的算术平方根是，故B正确； 对于C： ， 因此的算术平方根不是，故C错误； 对于D： ， 且，因此7是49的算术平方根，故D正确． 故选：C． 2．一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解即可． 【详解】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和，根据题意得： ， 即， 解得， 故选：B． 3．，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】该题考查了平方根的性质，根据平方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 4．已知，则的值是（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值，平方和二次根式的非负性，解题的关键是掌握． 根据非负数的性质，绝对值、平方和平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出a、b、c的值． 【详解】∵ , , ，且， ∴ , , ， ∴ , , ， ∴ , , ， ∴ ， 故选：B． 5．下表中是给定部分x的值，对应的值： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数比较大小的知识点，将数值1169与表格中行的数值进行比较，判断其所处范围，且准确找到与之间的倍数关系是解题的关键． 通过观察表格中的值，找到1169介于1156和1225之间，从而确定在34和35之间，进而得到在3.4和3.5之间． 【详解】∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴ 即， ∴在之间． 故答案为：A． 6．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别是7和16，则这个大长方形的面积为（   ） A．28 B．30 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用，先求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，得：大正方形的边长为：，小正方形的边长为， ∴大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为． 故选：C． 二、填空题 7．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，掌握平方根的概念是解本题的关键． 根据平方根的定义，求的平方根，即求哪个数的平方等于，由于平方根有正负两个值，因此结果为． 【详解】解：， 的平方根是． 故答案为：． 8．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 9．已知某数的一个平方根为，则这个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义，一个数的平方根有两个，互为相反数．已知一个平方根为，则这个数为该平方根的平方． 【详解】解：． 故答案为：． 10．满足方程的x的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程．通过直接开平方法求得答案． 【详解】解：， ， ， 解得，， 故答案为：． 11．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值非负性和算术平方根的非负性，根据非负数的性质求出x、y的值即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．某小区要扩大绿化带的面积，已知原绿化带的形状是一个边长为的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长为 ． 【答案】20 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用，根据题意求出扩大后绿化带的面积是解题的关键． 先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案． 【详解】解：原绿化带的面积为， 扩大后绿化带的面积为， 则扩大后绿化带的边长是， 答：扩大后绿化带的边长为． 故答案为：20． 三、解答题 13．求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)算术平方根：；平方根：； (2)算术平方根：；平方根：； (3)算术平方根：；平方根：； (4)算术平方根：；平方根：； (5)算术平方根：；平方根：； (6)算术平方根：；平方根：． 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的概念及运算，明确两者的定义与运算规则是解答本题的关键． （1）针对，根据算术平方根（非负数的正平方根）和平方根（数的正负两个平方根）的定义，直接计算对应结果； （2）针对，结合小数的开方规则，分别求出其算术平方根与平方根； （3）针对，利用分数的开方运算方法，计算出它的算术平方根与平方根； （4）针对，依据质数的开方性质，确定其算术平方根与平方根的表达式； （5）针对，通过二次根式化简的方法，得到它的算术平方根与平方根； （6）针对，先计算乘方结果，再结合开方定义求出对应的算术平方根与平方根． 【详解】（1）解：算术平方根：；平方根：； （2）解：算术平方根：；平方根：； （3）解：算术平方根：；平方根：； （4）解：算术平方根：；平方根：； （5）解：算术平方根：；平方根：； （6）解：算术平方根：；平方根：． 14．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 15．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查利用平方根解方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）两边同时除以2，进而得出答案； （2）先移项，进而得出答案； （3）先移项，两边同时除以9，进而得出答案； （4）先移项，两边同时除以4，进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， ， 解得或． 16．已知：和是某正数的平方根，的算术平方根为2．求：、的值． 【答案】或11， 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，求代数式的值，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据平方根与算术平方根的定义，列出方程，进行解答即可． 【详解】解：∵和是某正数的平方根， ∴或， 解得：或11， ∵的算术平方根为2， ∴， 解得：． 17．已知：．求： (1)x、y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，求平方根，掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键． （1）根据算术平方根和绝对值的非负性求解即可； （2）先求出的值，即可求出它的平方根． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，． （2）解：当，时， ， ∴的平方根是． 18．为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 【答案】(1)长方形相框的长为，宽为． (2)小明不能将拼图放入这个相框中，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形拼图的边长． （1）设长方形相框的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出正方形拼图的边长，然后与相框的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形相框的长为，宽为， 由题意得， ， ． 答：长方形相框的长为，宽为． （2）解；面积为的正方形拼图的边长是， ， ， ，即相框的宽小于正方形拼图的边长， 小明不能将拼图放入这个相框中． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期第八章实数01平方根预习讲义 人教版（4大知识点+10大题型解读+18巩固提升） 01预习目标 1、 预习目标 1. 理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。 2. 学会平方根的表示法和求非负数的平方根。运用平方根的知识解决实际问题 3. 体会从一般到特殊的数学思想方法。 4. 重点：平方根的概念和表示方法 5. 难点：求一个非负数的平方根 02知识点梳理 知识点1平方根和算术平方根的概念 1．算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数． 要点提示 ：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0． 2．平方根的定义  如果，那么叫做的平方根．求一个数的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算．  （≥0）的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根． 知识点2平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点提示 （1） 正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根．因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根． 知识点3平方根的性质 知识点4平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位． 03题型归纳 题型解读1平方根概念理解 例1．已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 变式1．若没有平方根，则x的值可能为 ． 变式2．已知实数x的平方根是m和． (1)当时，求m的值； (2)若，求的值． 题型解读2求一个数的平方根 例2．实数的平方根是（ ） A． B． C． D． 变式1．的平方根是 ；的平方根是 ． 变式2．求下列各数的平方根： (1)1.69． (2)． 题型解读3求代数式的平方根 例3．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 变式1．若，则 ． 变式2．已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求的平方根． 题型解读4已知一个数的平方根，求这个数 例4．若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B．36 C．6 D． 变式1．若与是同一个正数的平方根，则的值为 ． 变式2．已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 题型解读5利用平方根解方程 例5．已知，，且，则的值为（   ） A．8或 B．或 C． D．8 变式1．方程：的根是 ． 变式2．解方程： 题型解读6求一个数的算术平方根 例6．下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．计算： ． 变式2．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 题型解读7利用算术平方根的非负性解题 例7．若，则的平方根是（ 　 ） A． B． C． D． 变式1．已知，则 ． 变式2．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 题型解读8估计算术平方根的取值范围 例8．估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 变式1．一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 变式2．如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为，高为的长方体盒子里． (1)求这个魔方底面圆的半径； (2)魔方能否放进去，说明理由． 题型解读9与算术平方根有关的规律探索题 例9．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知，，那么 ． 变式2．阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 题型解读10算数平方根的实际应用 例10．如果一个圆的面积为，那么这个圆的半径为（    ） A．2 B． C．1 D． 变式1．一个正方形的面积是，其边长是 ． 变式2．素材1：如图，某公司计划在3块并排的正方形地基上建造厂房，地基的总面积为． 素材2：又计划在厂房的一边建造一个面积为的长方形仓库，为节省材料，仓库一边与厂房共用一面墙，并且共用部分不超过厂房的某一边长，不考虑门窗，另外三边用塑钢材料围成，仓库的长与宽之比为．根据上面两个素材，回答下列问题： (1)求每块正方形地基的边长； (2)通过计算说明能否按照要求建造出长方形仓库，若能，求出该仓库的长与宽；若不能，请说明理由． 04巩固提升 一、单选题 1．下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 2．一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 4．已知，则的值是（    ） A．6 B．4 C． D． 5．下表中是给定部分x的值，对应的值： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 6．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别是7和16，则这个大长方形的面积为（   ） A．28 B．30 C． D． 二、填空题 7．的平方根是 ． 8．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 9．已知某数的一个平方根为，则这个数为 ． 10．满足方程的x的值为________． 11．若，则 ． 12．某小区要扩大绿化带的面积，已知原绿化带的形状是一个边长为的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长为 ． 三、解答题 13．求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 14．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 15．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．已知：和是某正数的平方根，的算术平方根为2．求：、的值． 17．已知：．求： (1)x、y的值； (2)求的平方根． 18．为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 学科网（北京）股份有限公司 $