专题12 双曲线及其应用（热点专练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题12 双曲线及其应用 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：双曲线在天津卷近三年均为单选9题左右（5分），核心考方程、离心率、渐近线、焦点三角形，常与抛物线综合；2026大概率保持5分单选、中档难度，重点仍在a,b,c关系与几何性质，与抛物线/直线综合是主流，解答题命题概率极低 。 近三年考情共性：稳定5分单选，不考解答题；核心围绕a,b,c关系、离心率e=c/a、渐近线y=±(b/a)x；常与焦点、渐近线、焦点三角形结合，近年多与抛物线综合，难度中档偏基础。 预测2026年：结合天津高考数学的命题稳定性及2025年试卷评析的风格导向 ，2026年天津高考数学中题型与分值：单选8-9题（5分）为主，解答题命题概率极低；分值稳定5分，是圆锥曲线小题重要组成部分。核心考查方向： 1. 基础：双曲线定义、标准方程，a,b,c与离心率e的计算（必考）。 2. 高频：渐近线相关（焦点到渐近线距离=b、渐近线斜率与a/b关系），焦点三角形（面积、角度、边长）。 3. 综合：与抛物线综合（焦点、定义关联），或与直线、圆简单结合，考查位置关系与距离计算 。 4. 创新：可能考离心率范围、双曲线上点到焦点/直线距离最值，强化几何直观与定义应用。 难度与备考：难度中档偏易，侧重概念与运算；重点练a,b,c关系、离心率、渐近线、焦点三角形，熟练定义与公式，提升与抛物线综合题的转化能力；小题抓快速运算与结论应用（如焦点到渐近线距离=b）。 题型01 双曲线的定义及概念辨析 解｜题｜策｜略 （1）在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 例1（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 例2（2025·天津河西·二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 题型02 利用定义求距离和差最值 解｜题｜策｜略 利用定义||PF1|-|PF2||＝2a转化或变形，借助三角形性质及基本不等式求最值 例1（2025·天津·调研）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（   ） A． B． C． D． 例2（2025·天津南开·一模）已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【变式1】（2026·天津南开·月考）已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．10 【变式2】（2026·天津滨海新·调研）设点P是曲线上一动点，点Q是圆上一动点，点，则的最小值是 题型03 双曲线标准方程的求解 解｜题｜策｜略 1、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 2、待定系数法求双曲线方程的五种类型 （1）与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)； （2）若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)； （3）与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)； （4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)； （5）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2) 例1（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 例2（2025·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津河东·二模）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，的延长线与抛物线的准线交于点B，，的面积为，O为原点，双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·天津河西·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型04 双曲线的焦点三角形问题 解｜题｜策｜略 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题。 例1（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为 ；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为 . 例2（2025·天津南开·一模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式1】（2025·天津和平·一模）设双曲线的左、右焦点分别为点，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·天津和平·二模）设、分别为双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过点，若在双曲线右支上存在点，满足，且点到直线的距离等于双曲线的实轴长，则点到该双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 题型05 求双曲线的离心率与范围 解｜题｜策｜略 1、求双曲线的离心率或其范围的方法 （1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. （2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围． （3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算． （4）通过特殊位置求出离心率． 2、双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系： 当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－. 例1（2025·天津·二模）双曲线的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 例2（2025·天津·一模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【变式1】（2025·天津南开·一模）设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．4 【变式2】（2024·天津河西·二模）已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 题型06 双曲线的中点弦问题 解｜题｜策｜略 解决中点弦问题的两种方法： 1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过双曲线上两点、，其中中点为，则有. 证明：设、，则有，上式减下式得， ∴，∴，∴. 例1（2026·天津和平·调研）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 例2（2025·天津红桥·调研）已知双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线交于线段恰被该点平分，求直线l的方程． 【变式1】（2025·天津西青·月考）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型07 直线与双曲线相交弦长 解｜题｜策｜略 求弦长的两种方法： （1）交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：[ 例1（2025·天津武清·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（    ） A．6 B． C． D．4 例2（2025·天津河东·一模）已知双曲线的焦点为、，抛物线的准线与交于、两点，且三角形为正三角形，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津和平·二模）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·天津滨海新·模拟预测）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 题型08 直线与双曲线综合问题 解｜题｜策｜略 1. 先判位置关系，减少无效计算 联立直线 y = kx + m 与双曲线方程，消去 y 得到关于 x 的方程： 若二次项系数为0，直线与双曲线渐近线平行，此时只有一个交点（非相切）； 若二次项系数不为0，用判别式判断：判别式>0 有两个交点，判别式=0 相切，判别式<0 无交点。 2. 活用韦达定理，规避复杂求根 设交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2)，联立后得到一元二次方程 Ax2+Bx+C=0，优先用 x1+x2=-B/A、x1x2=C/A 处理弦长、中点、面积等问题，无需解出具体交点坐标。 3. 聚焦核心题型，掌握对应技巧 弦长问题：弦长公式，注意直线斜率不存在时单独讨论； 中点弦问题：用点差法简化运算（设中点 M(x0,y0)，将 A,B 代入双曲线作差，得斜率 同时需检验中点是否在双曲线内部； 定点/定值问题：设直线参数（如过定点 (x0,y0)），联立后将目标表达式用韦达定理转化，消去参数得到定值，或整理成关于参数的恒等式求定点。 4. 关注特殊性质，简化解题步骤 利用双曲线渐近线特性，判断直线与渐近线的位置关系；涉及焦点时，结合双曲线定义（| |PF1|-|PF2| | = 2a）转化线段长度，降低计算复杂度。 5. 规范检验步骤，避免遗漏情况 解题后需检验：① 联立方程的二次项系数是否为 0（直线与渐近线平行的情况）；② 判别式是否满足条件（交点存在性）；③ 中点是否在双曲线对应区域内（点差法必验）。 例1（2026·天津北辰·月考）已知抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，抛物线的准线与坐标轴交于点，若为直角三角形，则双曲线的渐近线斜率绝对值为（   ） A．0.5 B． C． D．2 例2（2026·天津河东·月考）已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. (1)求斜率k的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 【变式1】（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A且倾斜角为的直线顺次交两条渐近线和的右支于，且，下列结论不正确的是（    ） A．离心率为2 B． C． D． 【变式2】（2025·天津·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． （建议用时：40分钟） 1．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 2．（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2025·天津·模拟预测）已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数a的取值范围为 ． 4．（2025·天津·二模）已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为 . 5．（2025·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·天津南开·月考）双曲线的左、右顶点分别为,点在双曲线上（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·天津蓟州·月考）双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为 . 8．（2026·天津蓟州·月考）双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且直线倾斜角为 若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·天津蓟州·月考）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为 . 10．（2026·天津·月考）双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为 . 11．（2026·天津·月考）已知双曲线：的两条渐近线的倾斜角均小于，则的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·天津南开·月考）已知，是双曲线的左、右焦点，点在上，与x轴垂直，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则E的离心率为 . 13．（2026·天津南开·月考）以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·天津红桥·月考）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上， 是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·天津滨海新·月考）设是椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则这两条曲线的离心率之积最小为 ，此时双曲线的渐近线的方程是 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 双曲线及其应用 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：双曲线在天津卷近三年均为单选9题左右（5分），核心考方程、离心率、渐近线、焦点三角形，常与抛物线综合；2026大概率保持5分单选、中档难度，重点仍在a,b,c关系与几何性质，与抛物线/直线综合是主流，解答题命题概率极低 。 近三年考情共性：稳定5分单选，不考解答题；核心围绕a,b,c关系、离心率e=c/a、渐近线y=±(b/a)x；常与焦点、渐近线、焦点三角形结合，近年多与抛物线综合，难度中档偏基础。 预测2026年：结合天津高考数学的命题稳定性及2025年试卷评析的风格导向 ，2026年天津高考数学中题型与分值：单选8-9题（5分）为主，解答题命题概率极低；分值稳定5分，是圆锥曲线小题重要组成部分。核心考查方向： 1. 基础：双曲线定义、标准方程，a,b,c与离心率e的计算（必考）。 2. 高频：渐近线相关（焦点到渐近线距离=b、渐近线斜率与a/b关系），焦点三角形（面积、角度、边长）。 3. 综合：与抛物线综合（焦点、定义关联），或与直线、圆简单结合，考查位置关系与距离计算 。 4. 创新：可能考离心率范围、双曲线上点到焦点/直线距离最值，强化几何直观与定义应用。 难度与备考：难度中档偏易，侧重概念与运算；重点练a,b,c关系、离心率、渐近线、焦点三角形，熟练定义与公式，提升与抛物线综合题的转化能力；小题抓快速运算与结论应用（如焦点到渐近线距离=b）。 题型01 双曲线的定义及概念辨析 解｜题｜策｜略 （1）在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 例1（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A 例2（2025·天津河西·二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂直关系的向量表示得，且为等边三角形，结合双曲线定义以及余弦定理计算得，进而求出渐近线方程. 【详解】由，得，即， 又，得为的中点，则， 又，于是为等边三角形，设的边长为， 由双曲线定义知，，，则，， 又，则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，得，，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 【变式1】（2025·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，由双曲线的定义可得，再由余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】因为，由双曲线的定义可知， 所以， 由于过的直线斜率为， 所以在等腰三角形中，，则， 由余弦定理得：， 化简得，可得，即，， 可得，， 所以此双曲线的标准方程可能为：. 故选：C 【变式2】（2025·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：，，易得，设，利用椭圆和双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：如图所示： 设椭圆和双曲线的方程分别为：，， 由题意得， 设，则， 解得， 在中，由余弦定理得：， 即，化简得， 则， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立； 故选：C 题型02 利用定义求距离和差最值 解｜题｜策｜略 利用定义||PF1|-|PF2||＝2a转化或变形，借助三角形性质及基本不等式求最值 例1（2025·天津·调研）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的离心率得到，左焦点，根据双曲线的定义得到，然后根据几何知识得到当，，三点共线时最大，最后求最大值即可. 【详解】 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， ，，则左焦点， 由双曲线的定义得， 因为，即当，，三点共线时最大， 所以， 最大值为. 故选：D. 例2（2025·天津南开·一模）已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】先根据题意求出点的坐标，设是双曲线的右焦点，根据双曲线的定义可得，从而可得出答案. 【详解】拋物线的准线为， 则点到准线的距离为，所以， 则，故， 设是双曲线的右焦点， 则，则， 故， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式1】（2026·天津南开·月考）已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】A 【分析】设双曲线左焦点为,求出其到渐近线的距离，利用双曲线定义将转化为，利用当三点共线时，取得最小值，即可求得答案. 【详解】由双曲线,可得，, 设双曲线左焦点为，不妨设一条渐近线为，即， 作，垂足为E，即， 作,垂足为H，则， 因为点P为C左支上的动点， 所以，可得， 故， 由图可知，当三点共线时，即E和H点重合时，取得最小值， 最小值为， 即的最小值为， 故选：A． 【变式2】（2026·天津滨海新·调研）设点P是曲线上一动点，点Q是圆上一动点，点，则的最小值是 【答案】 【分析】通过双曲线的定义得，再利用数形结合即可求解． 【详解】解：设双曲线的右焦点为，圆的圆心为，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P，Q分别为线段FM与双曲线的右支，圆的交点时取等号． 故的最小值为 故答案为： 题型03 双曲线标准方程的求解 解｜题｜策｜略 1、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 2、待定系数法求双曲线方程的五种类型 （1）与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)； （2）若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)； （3）与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)； （4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)； （5）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2) 例1（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 例2（2025·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 【变式1】（2025·天津河东·二模）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，的延长线与抛物线的准线交于点B，，的面积为，O为原点，双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求点到渐近线的距离，再根据可求得、，即可根据三角形面积列出关系式，再根据得出关系式，即可解方程组求出. 【详解】设双曲线的半焦距为，设轴与准线交于点， 则，①，准线方程为， 不妨设直线与渐近线垂直， 则点到直线的距离，则， 因，则，， 则②， 因，即，则③， 联立①②③得，，则双曲线的方程为. 故选：B 【变式2】（2025·天津河西·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件可得，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍角的正切求出即可得解. 【详解】由，得，而，的面积为， 则，， 令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为， ，而，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 故选：A 题型04 双曲线的焦点三角形问题 解｜题｜策｜略 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题。 例1（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为 ；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为 . 【答案】 （或） 【分析】由题意可知：.若是虚轴长的倍，列式整理可得，即可得渐近线方程；若的周长为8，分析可知，结合定义整理可得，代入结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：，且该双曲线的焦点在x轴上， 若是虚轴长的倍，则，即， 所以该双曲线的一条渐近线为（或）； 由题意可知：∥，且为线段的中点，可知分别为，的中点， 则， 可得，结合对称性可知， 又因为点A在双曲线上，则，即， 可得，整理可得，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：（或）；. 例2（2025·天津南开·一模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长，交于点,由已知是的平分线，且，所以得到等腰三角形，所以,且点是中点，结合原点是中点，由中位线结合双曲线定义得到，进而求出；最后距离之积利用点到直线距离公式计算即可. 【详解】如图，延长，交于点,由已知是的平分线，且， 所以,且点是中点. 由原点是中点，可得，又， 所以，又离心率为，，. 设点，所以，即， 所以点P到两条渐近线距离之积为： . 故选：B.    【变式1】（2025·天津和平·一模）设双曲线的左、右焦点分别为点，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义及对称性求出，，由余弦定理解三角形可得，即可得解. 【详解】如图，    由及双曲线、直线的对称性可知，， 则由双曲线定义可知， 所以，， 所以， 解得， 因为，所以， 所以， 由余弦定理可知， 所以，， 所以双曲线方程为： 故选：C 【变式2】（2025·天津和平·二模）设、分别为双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过点，若在双曲线右支上存在点，满足，且点到直线的距离等于双曲线的实轴长，则点到该双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，分析可得，，利用双曲线的定义结合已知条件可得出三边边长，利用勾股定理可求得的值，进而可求得的值，最后利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】取的中点，连接，如下图所示： 易知抛物线的准线方程为，则、， 因为双曲线的右支上存在点，使得， 又因为为的中点，所以，， 由双曲线的定义可得，则， 由题意可知，， 由勾股定理可得，即， 所以，，故，可得， 所以，， 双曲线的右焦点到渐近线的距离为. 故选：B. 题型05 求双曲线的离心率与范围 解｜题｜策｜略 1、求双曲线的离心率或其范围的方法 （1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. （2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围． （3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算． （4）通过特殊位置求出离心率． 2、双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系： 当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－. 例1（2025·天津·二模）双曲线的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，垂足为，则，设，则，由直线的斜率为，得出，在中由余弦定理即可求解． 【详解】过点作，垂足为，则，如图所示， 设，则， 所以， 所以，则， 因为直线的斜率为，所以，则， 在中，， 在中，， 由余弦定理得，， 整理得，， 故选：D．    例2（2025·天津·一模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】分情况设出焦半径，由向量数量积为零，可得垂直，利用勾股定理，建立齐次方程，可得答案. 【详解】①当时，由，则， 由，则，所以， 即，由，，则， 化简可得，由，则； ②当时，由，则， 由，则，所以， 即，由，，则， 由，则方程不成立. 故选：D. 【变式1】（2025·天津南开·一模）设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，设点在第一象限，根据已知条件得到点在以原点为圆心，为半径的圆上，联立，解得，从而得到，利用正切值得到，再转化为的齐次方程求解即可. 【详解】如图所示，设点在第一象限， ， 因为，所以点在以原点为圆心，为半径的圆上. ，解得. 又因为，所以. 在中，，，， 所以，即. 所以，，， 即，所以. 故选：C 【变式2】（2024·天津河西·二模）已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用余弦定理构建齐次方程，求解离心率即可. 【详解】 由题意得，设一条渐近线的方程为， 所以，由勾股定理得， 因为垂直于渐近线，所以， 因为，所以，而， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 化简得，所以，故，则B正确. 故选：B 题型06 双曲线的中点弦问题 解｜题｜策｜略 解决中点弦问题的两种方法： 1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过双曲线上两点、，其中中点为，则有. 证明：设、，则有，上式减下式得， ∴，∴，∴. 例1（2026·天津和平·调研）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 例2（2025·天津红桥·调研）已知双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线交于线段恰被该点平分，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据椭圆方程求出椭圆的离心率，再根据椭圆和双曲线离心率之和为求出双曲线的离心率，依据椭圆和双曲线有公共焦点，以及双曲线基本量的关系就可以得到双曲的方程. （2）先考虑直线l斜率不存在时，点不为的中点，所以设直线l的方程为，将直线和双曲线联立得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系结合的中点为列方程，解方程得到k的值就可以得到直线l的方程. 【详解】（1）设椭圆和双曲线的离心率分别是和，椭圆的方程为，双曲线方程为； 椭圆中，即，，， 由已知，所以； 又因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以； 因此，双曲线中， 所以 即， 又， 故双曲线方程为. （2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，根据椭圆的对称性可知此时的中点为而不是点，故直线l的斜率一定存在； 因此，设直线l的方程为即，，， 将直线和双曲线的方程联立， 整理得，得， 又因为为中点，所以，即， 所以，解得， 将代入方程即， 此时判别式，方程有两个实数根， 所以直线l的方程为，即. 【变式1】（2025·天津西青·月考）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，并设出双曲线的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作答. 【详解】直线的方程为：，即， 设双曲线的方程为：，由消去y并整理得：， ，因弦的中点为， 于是得，即，而，解得，满足， 所以双曲线的方程为，即. 故选：C 题型07 直线与双曲线相交弦长 解｜题｜策｜略 求弦长的两种方法： （1）交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：[ 例1（2025·天津武清·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】B 【分析】结合双曲线图像对称性，可得轴，根据圆的性质和双曲线，，的关系可计算出，，，的长度，进而求出四边形的面积. 【详解】设与轴交于点，由双曲线的对称性可知轴，，， 又因为，所以，即， 所以，因为点在以为直径的圆上，所以，所在的渐近线方程为， 点到渐近线距离为， 所以， 所以，，则， 所以， 故选：B 例2（2025·天津河东·一模）已知双曲线的焦点为、，抛物线的准线与交于、两点，且三角形为正三角形，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得，，由可得出关于、的齐次等式，结合可求得的值，即可得解. 【详解】抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为， 联立可得，所以，， 因为为等边三角形，且为的中点，则且， 所以，，即，即， 所以，，因为，解得. 故选：A. 【变式1】（2025·天津和平·二模）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度就等于双曲线的通径，由此可得答案. 【详解】解：由得，所以， 因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合， 所以该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度就等于双曲线的通径， 故选：B 【变式2】（2025·天津滨海新·模拟预测）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程得出焦点坐标和准线方程，联立直线与渐近线方程得出的坐标，联立直线与准线方程得出的坐标，根据三角形的面积得出，再结合，，可解得结果. 【详解】由得，所以， 所以直线，抛物线的准线为：， 联立可得，所以， 联立可得，所以， 所以， 所以，所以，即， 又，， 所以，所以，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 题型08 直线与双曲线综合问题 解｜题｜策｜略 1. 先判位置关系，减少无效计算 联立直线 y = kx + m 与双曲线方程，消去 y 得到关于 x 的方程： 若二次项系数为0，直线与双曲线渐近线平行，此时只有一个交点（非相切）； 若二次项系数不为0，用判别式判断：判别式>0 有两个交点，判别式=0 相切，判别式<0 无交点。 2. 活用韦达定理，规避复杂求根 设交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2)，联立后得到一元二次方程 Ax2+Bx+C=0，优先用 x1+x2=-B/A、x1x2=C/A 处理弦长、中点、面积等问题，无需解出具体交点坐标。 3. 聚焦核心题型，掌握对应技巧 弦长问题：弦长公式，注意直线斜率不存在时单独讨论； 中点弦问题：用点差法简化运算（设中点 M(x0,y0)，将 A,B 代入双曲线作差，得斜率 同时需检验中点是否在双曲线内部； 定点/定值问题：设直线参数（如过定点 (x0,y0)），联立后将目标表达式用韦达定理转化，消去参数得到定值，或整理成关于参数的恒等式求定点。 4. 关注特殊性质，简化解题步骤 利用双曲线渐近线特性，判断直线与渐近线的位置关系；涉及焦点时，结合双曲线定义（| |PF1|-|PF2| | = 2a）转化线段长度，降低计算复杂度。 5. 规范检验步骤，避免遗漏情况 解题后需检验：① 联立方程的二次项系数是否为 0（直线与渐近线平行的情况）；② 判别式是否满足条件（交点存在性）；③ 中点是否在双曲线对应区域内（点差法必验）。 例1（2026·天津北辰·月考）已知抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，抛物线的准线与坐标轴交于点，若为直角三角形，则双曲线的渐近线斜率绝对值为（   ） A．0.5 B． C． D．2 【答案】D 【分析】联立渐近线与抛物线方程，求出点的坐标，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半列出等式，化简即可求出结果. 【详解】双曲线的两条渐近线方程为. 因为抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点， 联立渐近线与抛物线方程得，化简得， 解得或，所以得到. 抛物线的准线为，所以. 因为为直角三角形，关于轴对称，所以. 所以，化简得， 故，即， 解得，所以双曲线的渐近线斜率绝对值为. 故选：D. 例2（2026·天津河东·月考）已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. (1)求斜率k的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与双曲线的方程，结合题意列式计算即可； （2）设直线与轴交于点，进而根据韦达定理及的面积为列方程计算即可. 【详解】（1）设，， 联立，得， 因为直线与双曲线左右两支各交于一点， 则，解得， 则求斜率k的取值范围为. （2）由（1）知，，， 设直线与轴交于点， 则 ， 解得或（舍去）， 则直线的方程为. 【变式1】（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A且倾斜角为的直线顺次交两条渐近线和的右支于，且，下列结论不正确的是（    ） A．离心率为2 B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A：根据垂直关系可得的值，进而可求得离心率，对于B：分析可知为线段的中垂线，即可得结果；对于C：联立直线方程与双曲线方程可求得点坐标，由点、点、点纵坐标可知、为线段的三等分点，结合三角形面积公式判断即可；对于D：由求解即可. 【详解】如图所示， 由题意知，，直线方程为， 对于选项A：因为，则，整理得， 所以离心率，故A正确； 对于选项B：由选项A可知：直线的斜率分别为， 可知，即为线段的中垂线，所以，故B正确； 对于选项C：过作垂足为，过作垂足为，过作垂足为，如图所示， 由选项A可知：直线方程为，直线方程为， 联立方程，解得，即， 联立方程，解得，即， 联立方程，解得（负值舍去），即， 所以，，，可知， 即、为线段的三等分点，所以， 设到直线距离为，则，， 所以，故C正确； 对于选项D：如图所示， 由选项A可知：， 所以，故D不正确； 故选：D. 【变式2】（2025·天津·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先直线方程与椭圆方程联立，再根据条件，以及韦达定理，建立等量关系，即可求离心率. 【详解】由条件可知，，过点且倾斜角为的直线方程为， 设， 因为，所以， 得，即 联立，得， 所以，，① ，② 由①②可得，又因为得，且， 得，， 所以双曲线的离心率. 故选：B （建议用时：40分钟） 1．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设，运用中点坐标公式表示点，由，以及斜率公式解方程组可得，将点A的坐标代入双曲线的方程，结合的关系，求得，即可得离心率. 【详解】由题意，，设， 则，， 因为原点O在以线段为直径的圆上，可得， 所以，即①， 又直线的斜率，可得②， 联立①②可得，即， 又点在双曲线上，可得， 又，解得，所以. 故选：B. 2．（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与渐近线求交点，再利用等边三角形找到一个垂直关系，然后通过斜率来进行坐标运算，即可求出离心率. 【详解】 设过点且倾斜角为的直线为， 与双曲线的渐近线联立可得:, , 同理与双曲线的渐近线联立可得:, , 由为等边三角形，则的中点坐标为， 由题意可得：， 即， ， ， ， , 所以解得, 故选：A. 3．（2025·天津·模拟预测）已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先分析出曲线表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，再分情况讨论当取不同值时，表示的不同曲线，及与曲线的交点个数情况即可得到结果. 【详解】因为有且只有两个元素， 所以曲线与有且只有两个交点. 对于曲线变形可得， 表示的是双曲线在轴上及上方的所有点， 对于曲线， （1）当时，如图所示，表示的是一条直线， 与交于，两点，符合题意； （2）当时，，与至多有一个交点，不符合题意； （3）当时，表示的是两条射线， ， 当时，表示的是 和两条射线，与仅有一个交点， 如下图所示，所以不符合题意； 当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的左右两支各有一个交点， 如下图所示，所以符合题意； 当时，，当时，的斜率， 当时，的斜率，联立， 解得， 此时与左支仅有一个交点，如下图所示： 当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的右支没有交点，与左支有两个交点， 如下图所示，所以符合题意； 当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的右支没有交点，与左支有两个交点， 如下图所示：符合题意； 当时，与轴的交点为，且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的右支没有交点，与左支有两个交点， 如下图所示：符合题意； 当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的右支没有交点，与左支有两个交点， 如下图所示：符合题意； 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 4．（2025·天津·二模）已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为 . 【答案】/0.75 【分析】判断出在圆上，得到切线方程，从而，结合双曲线定义得到，求出双曲线方程为，设，则，由点到直线距离公式进行求解，得到答案. 【详解】由于，故在圆上， 其中，由垂直关系可得切线l的斜率为， 由渐近线方程的斜率为得， 由双曲线定义可知，解得， 故，双曲线方程为，两渐近线方程为， 设，则， 点M到双曲线两条渐近线的距离之积为. 故答案为： 5．（2025·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则，从而得到点在以为圆心，为半径的圆的内部，即可求出的取值范围. 【详解】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B 6．（2026·天津南开·月考）双曲线的左、右顶点分别为,点在双曲线上（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式可得，即可由离心率公式求解. 【详解】设，则，, 故， 故，则. 故选：B 7．（2026·天津蓟州·月考）双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据“ 与的周长之和”、“ 与的内切圆面积相等”、“”等列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】记与的周长分别为与， 设与的内切圆半径为， 则， 根据，则，则， 又与的周长之和为， 所以． 因为， 又，所以可得．又， 所以． 由，即，化简得， 所以离心率． 故答案为：2 8．（2026·天津蓟州·月考）双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且直线倾斜角为 若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，垂足为，则，设，则，由直线的倾斜角为，得出，根据三角函数定义得出，在中由余弦定理即可求解． 【详解】过点作，垂足为，如图所示：则    因为，所以， 设，根据双曲线的定义得： 则， ， 所以， 所以， 则， 因为直线的倾斜角为，所以， 所以， 在中，， 在中，， 由余弦定理得： ， 整理得，， 故选：A． 9．（2026·天津蓟州·月考）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据双曲线的顶点到渐近线的距离求双曲线方程，根据抛物线的定义结合几何关系转化，利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，进行转化求解. 【详解】双曲线的渐近线方程，右焦点， 到其一条渐近线的距离，解得，所以双曲线的焦点坐标， 所以抛物线焦点坐标，准线方程为，即抛物线方程，示意图如下： 过点作，垂足为A，作准线的垂线，垂足为，连接MF， 根据抛物线定义有：， 即动点到直线和距离之和等于， 当三点共线时，最小，即点F到直线的距离， 所以动点到直线和距离之和最小为. 故答案为：3 10．（2026·天津·月考）双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意得，，根据三角函数的定义，可得、表达式，根据的面积，可得c值，根据双曲线的定义，可得a值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案. 【详解】因为点在双曲线右支上，直线的斜率为3，且是直角三角形， 所以，且，则， 设焦距为2c，即， 所以， 因为的面积为6，所以， 解得， 由双曲线的定义得，则， 所以， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 11．（2026·天津·月考）已知双曲线：的两条渐近线的倾斜角均小于，则的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线渐近线方程，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】由双曲线可知，焦距为， 该双曲线的渐近线方程为， 因为， 所以直线的斜率，所以倾斜角为锐角，符合题意； 直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 所以， 因为， 所以由题意可知， 所以、 ， 故选：A 12．（2026·天津南开·月考）已知，是双曲线的左、右焦点，点在上，与x轴垂直，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则E的离心率为 . 【答案】或 【分析】根据已知条件结合双曲线的定义求出，，，利用直角三角形求出外接圆半径，再利用等面积法求出内切圆的半径，即可求解. 【详解】 设，与x轴垂直，， 代入双曲线方程得，解得，， 点在双曲线的右支上，则， ， 是直角三角形，外接圆半径， 设内切圆的半径为，又， 则，即，解得， 的外接圆半径是其内切圆半径的倍，，即， 整理得，两边同时除以，得， 解得或. 故答案为：或. 13．（2026·天津南开·月考）以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出双曲线的顶点和焦点坐标，然后即可求出椭圆的标准方程. 【详解】因为双曲线方程为，所以，焦点在轴上， 所以，所以焦点坐标为，顶点坐标为. 所以椭圆的焦点坐标为，顶点坐标为， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 14．（2026·天津红桥·月考）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上， 是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设点在第一象限，可求得，以及，求出、的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】不妨设点在第一象限，由题意可知， 由于是等边三角形，则，所以， 由题意可得，解得， 因此该双曲线的标准方程为. 故选：C 15．（2026·天津滨海新·月考）设是椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则这两条曲线的离心率之积最小为 ，此时双曲线的渐近线的方程是 . 【答案】 / 【分析】根据椭圆和双曲线的定义得到，，利用余弦定理得到，再根据基本不等式求最值；取最值时，再利用求解渐近线方程即可. 【详解】设椭圆与双曲线的交点位于第一象限（），椭圆和双曲线的离心率分别为和， 椭圆焦距为，长轴为，双曲线实轴长为，虚轴长为， 由椭圆和双曲线定义可知，解得，， 因为，所以在中由余弦定理可得， 即，解得， 则，所以，整理得，即， 当且仅当，即时等号成立，故两条曲线的离心率之积最小为； 由，得，解得，即， 所以渐近线方程为. 故答案为：；. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $