数学一模提分卷05（全国二卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考模拟卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D C D A B B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．±1 13．4 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【解答】解：（1）设事件M＝“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件N＝“第二次发送“1指向”的光子”， 则， ………………..（3分） 由条件概率公式，； ………………..（5分） （2）由题意：X＝0，1，2， ， ………………..（12分） 所以X的分布列为： ………………..（13分） X 0 1 2 P 16．（15分）【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c， 则依题意有，解得， 所以椭圆C的方程为：． ………………..（3分） （2）（i）由题意可知直线l的方程为：y＝x﹣1， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去y并整理可得3x2﹣4x﹣7＝0， 即（3x﹣7）（x+1）＝0，解得， 即； ………………..（8分） （ii）|TP|＜|TM|，证明如下： 因为点P（2，0）， 当直线l斜率等于0时，直线l的方程为y＝0，此时|TP|＝2，|TM|＝3，即|TP|＜|TM|；………..（9分） 当斜率不等于0时，设直线l的方程为x＝my+1， 联立，消去x并整理得（m2+2）y2+2my﹣8＝0， Δ＝（2m）2+32（m2+2）＝36m2+64＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，， ………………..（12分） 则（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（my1﹣1）（my2﹣1）+y1y2 ＝（m2+1）y1y2﹣m（y1+y2）+1 0， 故∠MPN＞90°，即点P在以MN为直径的圆内，故|TP|＜|TM|， 综上所述|TP|＜|TM|． ………………..（15分） 17．（15分）【解答】（1）（ⅰ）证明：取CD的中点O，连接PO， 因为，所以PO⊥CD， 因为CD＝2，所以PO2， 又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PO⊂平面PCD， 所以PO⊥平面ABCD， ………………..（2分） 故以O为原点，以平行于BC的直线为x轴，以OC，OP所在直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则M（1，﹣1，0），P（0，0，2），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，0）， ………………..（4分） 因为，所以Q为PB的中点， 所以，， 易知平面PCD的一个法向量为， 所以，即， 又MQ⊄平面PCD，所以MQ∥平面PCD． （ⅱ）解：由上可得，， 设平面CMQ的法向量为，则，即， 取y1＝2，得， 所以|cos，|， 故直线CD与平面CMQ所成角的正弦值为． ………………..（7分） （2）解：由上可知，，，， 设，则， 所以， 设平面CMQ的法向量为，则， 取y2＝λ，得， ………………..（10分） 易知平面PCD的一个法向量为， 因为平面CMQ与平面PCD的夹角的余弦值为， 所以|cos，|， 整理得3λ2﹣5λ+2＝0，解得或λ＝1（舍去）， 所以， 因为B（2，1，0），所以， 所以， 故MQ的长度为． ………………..（15分） 18．（17分）【解答】解：（1）因为， 所以，n≥2， 两式相减可得： ， 所以； 当 n＝1 时，有，上式也成立， 故 {an} 是首项为 2、公比为 2 的等比数列， ………………..（3分） 因此， 点 P（bn，bn+1） 在直线 y＝x+1 上， 所以bn+1＝bn+1， 所以{bn}是首项为1、公差为1的等差数列， 所以bn＝1+（n﹣1）＝n； ………………..（5分） （2）由 （1）知， 故．……..（8分） （3）由 （1）知 bn＝n，，所以，该表达式对n≥3有意义， 令， 计算部分值：，，，，， 又 ， 当n≥7时， 故f（n+1）﹣f（n）＜0对∀n≥7，n∈N恒成立， f（n）在n≥7时单调递减，所以对∀n≥7，n∈N恒成立．………………..（12分） 集合A的元素是满足f（n）≥λ的自然数n（n≥3）， 要求A恰好有 4 个元素，即恰好有 4 个n，即n＝3，4，5，6，使得f（n）≥λ， 当λ≤f（7）时，n＝3，4，5，6，7均满足，至少有 5 个元素； 当 f（7）＜λ≤f（6）（即f（7）＜λ≤f（3）时，n＝3，4，5，6 满足， 而n≥7不满足，恰好 4 个元素； 当λ＞f（6）时，满足条件的 n减少至 2 个或更少． 因此，A 恰有 4 个元素当且仅当f（7）＜λ≤f（6）， 即， 所以实数λ范围为（，]． ………………..（17分） 19．（17分）【解答】解：（1）当a＝e时，f（x）＝ex﹣1， 设g（x）＝ex﹣1﹣x，因此g′（x）＝ex﹣1， 因此函数g（x）的单调性如下表所示： x （﹣∞，0） 0 （0，+∞） g′（x） ＜0 0 ＞0 g（x） ↘ 极小值 ↗ 因此g（x）≥g（0）＝0，即f（x）≥x； ………………..（3分） （2）（i）设h（x）＝f（x）﹣2x﹣sin2x≥0， 因此h′（x）＝axlna﹣2﹣sin2x， 情形1：a∈（0，1），因此h（1）＝a﹣1﹣2﹣sin21＜0，矛盾， 情形2：a∈（1，e2），因此h′（0）＝lna﹣2＜0， 取正整数k，使得，因此， 于是在区间内函数h′（x）存在至少一个零点，取其中最小的一个为x1， 那么对任意x∈（0，x1），恒有h′（x）＜0， 理由：假设存在实数x′1∈（0，x1）使得h′（x′1）＞0， 于是在区间（0，x′1）内函数h′（x）存在至少一个零点，这与x1的定义矛盾， 因此对任意x∈（0，x1），恒有h′（x）＜0， 因此h（x）在区间x∈（0，x1）上单调递减，于是h（x1）＜h（0）＝0，矛盾， 情形3：a∈（e2，+∞），因此h′（0）＝lna﹣2＞0， 取负整数k，使得， 因此， 于是在区间内函数h′（x）存在至少一个零点，取其中最大的一个为x2， 同情况2可知，h（x）在区间（x2，0）上单调递增，于是h（x2）＜h（0）＝0，矛盾， 综上，只可能a＝e2． ………………..（7分） 下面证明a＝e2满足要求， 当x＜﹣1时，h（x）＝e2x﹣2x﹣1﹣sin2x＞2﹣1﹣sin2x＝cos2x≥0，满足题目条件． 当x≥﹣1时，先证明x2≥sin2x，（*）． 设ϕ（x）＝x﹣sinx，因此ϕ′（x）＝1﹣cosx≥0，因此ϕ（x）为增函数， 于是当x∈[﹣1，0）时，ϕ（x）＜ϕ（0）＝0， 因此x＜sinx＜0，因此x2＞sin2x，（*）成立， 当x∈[0，1）时，ϕ（x）≥ϕ（0）＝0，因此x≥sinx≥0，因此x2≥sin2x，（*）成立． 当x∈[1，+∞）时，x2≥1≥sin2x，（*）成立． 综上知（*）成立， 令m（x）＝x﹣ln（x+1）（x＞﹣1）， 因此， 当﹣1＜x＜0时，m′（x）＜0，当x＞0时，m′（x）＞0， 因此函数m（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 因此m（x）≥m（0）＝0﹣ln（0+1）＝0， 因此x≥ln（x+1）⇒2x≥2ln（x+1） 由函数y＝ex在R上单调递增， 因此e2x≥e2ln（x+1）＝（x+1）2（x＞﹣1）， 当x＝﹣1时，成立， 因此当x≥﹣1时，e2x≥（x+1）2， 即e2x≥x2+2x+1≥sin2x+2x+1， 可见a＝e2满足要求； ………………..（10分） （ii）证明：由（i）知e2x﹣2x﹣1≥sin2x，用﹣x代替x， 得e﹣2x+2x﹣1≥sin2x，因此， 于是取， 因此， 又因为， 因此， 由于， 因此， ………………..（14分） 在不等式ey≥y+1中，令y＝﹣lnx（x＞0）， 可得：e﹣lnx≥﹣lnx+1，即， 因此，， 因此， 因此 ， 至此不等式得证． ………………..（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年高考模拟卷 高三数学 .: (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.样本数据19,20,21,23,13,16,24,28的第40百分位数为( ) A.16 B.23 C.17.5 D.20 2.已知集合A={1,3,5,7},B={什blaEA,bEA},则A∩B=(） : A.{1,3} B.{3,7} C.{1,3,5,7D.0 O 3.设（2+i)x=4-i,其中x,y是实数，则x-y=（) A.4 B.23 C.22 D.2 4.若sina≠0，tam2a= 号-cosa 则cosa=() A.-V2 B.-9 c-号 D : 5.已知点A是抛物线y2=4x上的一个动点，点B是直线y=x+4上的一个动点，则AB的最小值为() 拟 : 3V2 4V2 : A. B. C.2 2 D.2 3 : 6.已知两两不共线的三个平面向量a,b,c满足：1a=3,bl=4,1c=5,使得5a·b=3b.c=4a.c= : t,则a+b+cl=( A.3 B.V3 C.V97 D. √106 2 7.已知四边形ABCD中，AC=2,∠ABC=60°，∠ADC=120°. 现将△ACD沿边AC翻折，使点D翻折 : 到P点，若平面PAC⊥平面BAC,则三棱锥P-ABC外接球的表面积是() 8π 20π 32π 20V15 A. B. D. 3 c. 3 27 : 试题第1页（共4页） .: ©学科网·学易金卷做概德：就限？是鲁” 8.若方程e=aln(x-2)+ala-2a在(2，+o∞)上有解，则实数a的取值范围是() A.[3,+∞) B.(0,3] C.[e3,+∞) D.(0,e3] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数y=∫(x+1)是R上的偶函数，且f(x)在[1，+∞)上单调递增，a=f(log28),b=∫(-2)， c=f(em2),则下列说法正确的是() A.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称 B.a,b,c的大小关系是：b<c<a C.函数y=f(x)在区间(-∞，1]上单调递减 D.关于x的不等式f(2x)<f(x+1)解集为（⑤，1） 10.平国百角华标系0中.直线=号k学0与双自线c,芳=1a>0、b>0)的左右两支分别 交于A,B两点，P是异于A,B的双曲线上一点，则下列判断正确的是() A.双曲线的离心率e的范围是(1， 3) B.双曲线的离心率e的范用是(，十四） 2 C.直线A,PB的斜率分别是kA,PB,则kPA·kPB= a2 D.双曲线上存在点P,使得PA⊥PB 11.已知函数fo=Isinx+os2x,则() A.f(x)的图象关于直线x=π对称 B.f(x)在(2km,2km+k∈Z)上单调递增 C.f(x)的值域为[-1，V②] D.方程f)=等在(2m,2kn+k=0,1,2,3,4上的所有实根之和为2 ,85π 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2x-y)6的展开式中x4y2的系数是240，则实数a的值为 13.某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z(克)分为4级：Z>20的为A级，18<Z≤20的为B级， 16<Z≤18的为C级，14<Z≤16的为D级，Z≤14的为废果.将A级与B级果称为优等果.已知蓝莓果 重量Z可近似服从正态分布N(15,9).对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做怒德：就限是鲁背 次抽到优等果的概率为p(精确到0.1).若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽 查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，则n的最大值为 参考数据：若X~N(μ，02)，则：P(μ-0≤X≤μ+0)≈0.6827：P(μ-20≤X≤μ+20)≈0.9545： P(μ-30≤X≤+30)≈0.9973. 14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若V2c=asinc+ccosA,a=b=V2,E为边BC上 的动点，则EA·EB的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B 两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的 指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收 器每次以4或者B模武接收，其概率分别为和号每次发送和接收相互独立。 2 (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X,求X的分布列. 16.(15分)已知椭圆Cc:三+。=1(a>b>0)的离心率e-=号，点(1,2)在椭圆上. x2.y2 (1)求椭圆C的方程： (2)过(1,0)的直线1与椭圆C相交于两点M,N,设N的中点为T, (i)若直线1的斜率为1，求MN: (i)若点P(2,0),判断TP与引TM的大小，并证明你的结论. 17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,PC=PD=V5, M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）. (1)若PB=2PQ, 试题第3页（共4页） (i)证明：MQ∥平面PCD: (ⅱ)求直线CD与平面CMQ所成角的正弦值. ,4V21 (2)若平面CM0与平面PCD的夹角的余弦值为21，求M0的长度. 兵 B C 张 河 18。(7分)已知数列a满足a=2,且a,+学+学++祭=”兴，在数列6，坤，M=1,点p(6, 2n 数 游 b+1)在函数y=x+1的图象上. (1)求{a}和{bn}的通项公式： （2》求数列铺项和8： S (3)集合A=ml≤bn2,nEN,n≥3共有4个元素，求实数入范围. an E肉 19.(17分)己知函数f(x)=d-1.(a>0且a≠1) 世 (1)若a=e,证明：f(x)≥x; (2)若对任意实数x,均有f(x)≥2x+sinx. (i)求a (i)设正整数n≥2，证明： -a写+，-awu++-o(帝2n2 烟 试题第4页（共4页）@学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考模拟卷 高三数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.样本数据19,20,21,23,13,16,24,28的第40百分位数为() A.16 B.23 C.17.5 D.20 2.已知集合A={1,3,5,7},B={a+baEA,bEA},则A∩B=() A.{1,3} B.{3,7} C.{1,3,5,7}D.0 3.设（2+i)x=4-i,其中x,y是实数，则x-yi=() A.4 B.2W3 C.2√2 D.2 4.若sino≠0，tan2a= sina,则cosa=（） 号-cosa A.-V2 B.-号 c.-号 D. 5.已知点A是抛物线y=4x上的一个动点，点B是直线y=x+4上的一个动点，则AB的最小值为() 4.32 2 B经 C.2 D.V2 6.已知两两不共线的三个平面向量a,b,c满足：a=3,1b1=4,1c=5,使得5a·b=3b.c=4a.c= t,则a+b+c=() A.3 B.3 C.V97 D.V106 2 7.己知四边形ABCD中，AC=2,∠ABC=60°，∠ADC=120°·现将△ACD沿边AC翻折，使点D翻折 1/5 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 到P点，若平面PAC⊥平面BAC,则三棱锥P-ABC外接球的表面积是() B.20π 3 C.32π D. 20V15元 3 27 8.若方程e=an(x-2)+adla-2a在(2，+∞)上有解，则实数a的取值范围是() A.[3,+∞) B.(0,3] c.[e3,+o∞) D.(0,e3] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数y=∫(x+1)是R上的偶函数，且f(x)在[1，+∞)上单调递增，a=f(log28),b=f(-l2), c=∫(e2),则下列说法正确的是() A.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称 B.a,b,c的大小关系是：b<c<a C.函数y=∫(x)在区间(-∞，1]上单调递减 D.关于x的不等式f(2x)<f(x+1)解集为，1) 10,平面直角坐标系xOw中，直线y=xk≠0)与双曲线C:之，之=1(a>0,b>0)的左右两支分别 交于A,B两点，P是异于A,B的双曲线上一点，则下列判断正确的是() A双曲线的离心率e的范围是(1，码 B。双曲线的离心率e的范围是（号，十o) 62 C.直线A,PB的斜率分别是kA,PB,则kpA·kPB= D.双曲线上存在点P,使得PA⊥PB 1.己知函数f网=sn+0经则() A.f(x)的图象关于直线x=π对称 B.f(x)在(2km,2km+)kEZ)上单调递增 C.f(x)的值域为[-1，V②] 85 D.方程f)=在(2km,2km+k=0,1,2,3,4)上的所有实根之和为 2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2x-y)6的展开式中x4y2的系数是240，则实数a的值为 215 耐学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 13.某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z(克)分为4级：Z>20的为A级，18<Z≤20的为B级， 16<Z≤18的为C级，14<Z≤16的为D级，Z≤14的为废果.将A级与B级果称为优等果.已知蓝莓 果重量Z可近似服从正态分布N(15,9).对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果， 记每次抽到优等果的概率为p(精确到0.1).若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果， 但抽查次数最多不超过次，若抽查次数X的期望值不超过3，则n的最大值为 参考数据：若X~N(μ，02)，则：P(μ-0≤X≤叶0)≈0.6827：P(μ-20≤X≤叶20)≈0.9545： P(μ-30≤X≤+30)≈0.9973， 14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若V2c=asinc+ccosA,a=b=V2,E为边BC上 的动点，则EA·EB的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B 两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异 的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送， 1 接收器每次以1或者B模式接收，其概率分别为和宁每次发送和接收相互独立。 (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X,求X的分布列. 3/5 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分)己知椭圆c: +治=1(a>6>0)的离心率e=号，点（1,2》在椭圆上. x2,y2 (1)求椭圆C的方程： (2)过(1,0)的直线1与椭圆C相交于两点M,N,设MN的中点为T, (i)若直线l的斜率为1，求MM: (i)若点P(2,0),判断TP与M的大小，并证明你的结论. 17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,PC=PD=V5, M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）. (1)若PB=2PQ, (i)证明：MQ∥平面PCD: (ⅱ)求直线CD与平面CMQ所成角的正弦值. 2》若平面C0与平面P心D的夹角的余弦值为经求M0的长度。 4/5 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.17分)已知数列a)满足m=2,且a+号+学+…+祭-”g兴，在数列b冲，1=1，点p( b+1)在函数y=x+1的图象上. (1)求{a}和{bn}的通项公式： （2》求数列品的前n项和 (3)集合A=m入≤mbm2,nEN,n≥3共有4个元素，求实数范围. an 19.(17分)己知函数f(x)=-1.(a>0且a≠1) (1)若a=e,证明：f(x)≥x; (2)若对任意实数x,均有f(x)≥2x+sin2x. (i)求a: (m设正整数n≥2，证明：1-os(n写+1-cos(n孕++，-cos0n)<2m(更) V2+1 515 2026年高考模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．样本数据19，20，21，23，13，16，24，28的第40百分位数为（　　） A．16 B．23 C．17.5 D．20 【分析】先将样本数据按从小到大的顺序排列，再根据百分位数的定义计算． 【解答】解：根据题意，将数据按从小到大顺序排列为13，16，19，20，21，23，24，28， 而8×40%＝3.2，则该组数据的第40百分位数，是从小到大排列后的第4个数据，即20． 故选：D． 2．已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则A∩B＝（　　） A．{1，3} B．{3，7} C．{1，3，5，7} D．∅ 【分析】根据集合A与集合B中的元素特征可知两集合没有公共元素，可得结论． 【解答】解：由题意可得集合B＝{2，4，6，8，10，12，14}， 又集合A＝{1，3，5，7}，故A∩B＝∅． 故选：D． 3．设（2+i）x＝4﹣yi，其中x，y是实数，则|x﹣yi|＝（　　） A．4 B． C． D．2 【分析】利用复数相等的条件求出x，y，再由复数模的公式求解即可． 【解答】解：由（2+i）x＝4﹣yi，得，即， 则|x﹣yi|． 故选：C． 4．若sinα≠0，，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同角三角函数的商数关系，结合二倍角公式化简出tan2α，代入已知等式，化简得到关于cosα的方程，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：根据tan2α， 结合题意可得， 所以， 结合sinα≠0，化简得，解得． 故选：D． 5．已知点A是抛物线y2＝4x上的一个动点，点B是直线y＝x+4上的一个动点，则|AB|的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】直线l：y＝x+m与抛物线相切时，切点到直线y＝x+4的距离即为最小值，由此可求解． 【解答】解：已知点A是抛物线y2＝4x上的一个动点，点B是直线y＝x+4上的一个动点， 设直线l：y＝x+m与抛物线y2＝4x相切于点P（x0，y0），显然切点位于第一象限， 在第一象限内， 由y2＝4x， 得， 则， 所以， 即x0＝1， 所以点P的坐标为（1，2）， 所以|AB|的最小值为点P（1，2）到直线y＝x+4的距离， 即． 故选：A． 6．已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（　　） A．3 B． C． D． 【分析】设，求得，得到两两的夹角相等，且为，结合向量数量积的运算律，即可求解． 【解答】解：已知两两不共线的三个平面向量满足：， 使得， 则， ， ， 又因为向量夹角的范围为[0，π]， 所以两两的夹角相等，且为， 所以． 故选：B． 7．已知四边形ABCD中，AC＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝120°．现将△ACD沿边AC翻折，使点D翻折到P点，若平面PAC⊥平面BAC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，分别求得△ABC和△PAC的外接圆的半径，设△ABC和△PAC的外接圆的圆心分别为O1，O2，外接球的半径为R，取AC的中点M，连接O2M，OC，CO2，结合球的截面的性质，求得，进而求得球的表面积，得到答案． 【解答】解：在△ABC中，设其外接圆的半径为r1，可得，解得， 在△PAC中，设其外接圆的半径为r2，可得，解得， 设△ABC和△PAC的外接圆的圆心分别为O1，O2，外接球的半径为R， 取AC的中点M，连接O2M，OC，CO2，可得O2M⊥AC， 在直角△OO1C中，可得 ， ∴外接球的表面积是． 故选：B． 8．若方程ex＝aln（x﹣2）+alna﹣2a在（2，+∞）上有解，则实数a的取值范围是（　　） A．[3，+∞） B．（0，3] C．[e3，+∞） D．（0，e3] 【分析】将方程整理成ex﹣lna+x﹣lna＝ln（x﹣2）+x﹣2＝eln（x﹣2）+ln（x﹣2），利用同构思想，设f（t）＝et+t，求导判断其单调性，推得lna＝x﹣ln（x﹣2），设g（x）＝x﹣ln（x﹣2），判断其单调性确定其最小值，即得参数a的范围． 【解答】解：由题意：ex＝aln（x﹣2）+alna﹣2a可化为： ， 即ex﹣lna+x﹣lna＝ln（x﹣2）+x﹣2＝eln（x﹣2）+ln（x﹣2）①， 设f（t）＝et+t，则f′（t）＝et+1＞1，所以f（t）在R上单调递增， 由①得：f（x﹣lna）＝f（ln（x﹣2））， 所以x﹣lna＝ln（x﹣2），即lna＝x﹣ln（x﹣2）， 设g（x）＝x﹣ln（x﹣2），则， 当x∈（2，3）时，g′（x）＜0，则g（x）在（2，3）上单调递减， 当x∈（3，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在（3，+∞）上单调递增， 所以g（x）≥g（3）＝3，所以lna≥3，a≥e3． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数y＝f（x+1）是R上的偶函数，且f（x）在[1，+∞）上单调递增，a＝f（log28），b＝f（﹣ln2），c＝f（eln2），则下列说法正确的是（　　） A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称 B．a，b，c的大小关系是：b＜c＜a C．函数y＝f（x）在区间（﹣∞，1]上单调递减 D．关于x的不等式f（2x）＜f（x+1）解集为 【分析】根据函数奇偶性以及对称性，判断A；判断f（x）的单调性，可判断C；利用函数的单调性判断B；结合函数的对称性、单调性求解不等式，判断D． 【解答】解：A中，由函数是y＝f（x+1）上的偶函数，所以函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称， 则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，即f（x）＝f（2﹣x），A正确； C中，因为f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，所以C正确； D中，由于函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在[1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1]上单调递减， 故f（2x）＜f（x+1）可化为|1﹣2x|＜|1﹣（x+1）|，即|1﹣2x|＜|x|， 即（1﹣2x）2＜x2，解得，即f（2x）＜f（x+1）的解集为，D正确； B中，由A选项分析，x∈（1，+∞）上，函数f（x）单调递增，且b＝f（﹣ln2）＝f（2+ln2），a＝f（log28）＝f（3）， c＝f（eln2）f（2），而3＞2+ln2＞2＞1，所以f（2）＜f（﹣ln2）＜f（3）， 即c＜b＜a，所以B错误． 故选：ACD． 10．平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线（a＞0，b＞0）的左右两支分别交于A，B两点，P是异于A，B的双曲线上一点，则下列判断正确的是（　　） A．双曲线的离心率e的范围是 B．双曲线的离心率e的范围是 C．直线PA，PB的斜率分别是kPA，kPB，则 D．双曲线上存在点P，使得PA⊥PB 【分析】由题意可得，求出离心率e的范围，即可判断A，B； 设A（x1，y1），P（x0，y0），由对称可得B（﹣x1，﹣y1），求出kPA•kPB的值，即可判断C； 当x0＝x1，y0＝﹣y1或x0＝﹣x1，y0＝y1时，满足PA⊥PB，即可判断D． 【解答】解：由于双曲线的渐近线方程为， 那么，因此， 因此， 因此， 即双曲线的离心率e的范围是，因此选项A错误，选项B正确； 对于C，设A（x1，y1），P（x0，y0）， 由于与都关于原点对称， 因此点A，B也关于原点对称， 因此B（﹣x1，﹣y1）， 因此，， 因此 ，因此选项C正确； 对于选项D，当PA⊥PB时，那么有， 所以， 所以， 又由于P是异于A，B的双曲线上一点， 因此当x0＝x1，y0＝﹣y1或x0＝﹣x1，y0＝y1时，成立，因此选项D正确． 故选：BCD． 11．已知函数，则（　　） A．f（x）的图象关于直线x＝π对称 B．f（x）在上单调递增 C．f（x）的值域为 D．方程在上的所有实根之和为 【分析】分析f（2π﹣x）与f（x）的关系，可判断A的真假； 化简函数解析式，举反例分析函数在上的单调性，判断B的真假； 求函数值域，判断C的真假； 利用函数的周期性和对称性可判断D的真假． 【解答】解：对于A，由cosx≠0得：f（x）的定义域为， 又， 即f（x）的图象关于直线x＝π对称，A正确； 对于B，当时，f（）f（）， f（x）不满足在（0，）上单调递减，B错误； 对于C，因为f（x）为偶函数，且最小正周期为2π，则只需研究f（x）在上的值域， 此时，， 所以f（x）∈，（当x＝π时取得最小值，当时取得最大值）， 所以f（x）的值域是，C正确； 当时，的图象关于直线对称，且有两个实根， 这两根之和为，由周期性可得所有实根之和为：，D正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2x﹣ay）6的展开式中x4y2的系数是240，则实数a的值为　 　 ． 【分析】利用二项式定理求解即可． 【解答】解：二项式展开式的通项公式为Tk+1（2x）6﹣k（﹣ay）k，k＝0，1，2，3，4，5，6， 令k＝2，可得T3（2x）4（﹣ay）2＝240x4y2， 即15×16×a2＝240，解得a＝±1． 故答案为：±1． 13．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z（克）分为4级：Z＞20的为A级，18＜Z≤20的为B级，16＜Z≤18的为C级，14＜Z≤16的为D级，Z≤14的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布N（15，9）．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为p（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，则n的最大值为 　 　 ． 参考数据：若X～N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973． 【分析】依题意可得，设，利用错位相减法求出0.2M，即可得到E（X）＝5（1﹣0.8n），从而得到0.8n≥0.4，再根据指数函数的性质及所给数据判断即可． 【解答】解：因为蓝莓果重量Z可近似服从正态分布N（15，9）， 所以每次抽到优等果的概率， 设第k次抽到优等果的概率P（X＝k）＝0.8k﹣1•0.2（k＝1，2，3，…，n﹣1）， 恰好抽取n次的概率P（X＝n）＝0.8n﹣1， 所以， 设， 可得， 两式相减得0.2M 5（1﹣0.8n﹣1）﹣（n﹣1）•0.8n﹣1， 所以E（X）＝0.2M+n•0.8n﹣1＝5（1﹣0.8n﹣1）﹣（n﹣1）•0.8n﹣1+n•0.8n﹣1＝5（1﹣0.8n）， 若抽查次数X的期望值不超过3， 此时5（1﹣0.8n）≤3， 整理得0.8n≥0.4， 又0.84＝0.4096＞0.4，0.85＝0.32768＜0.4， 所以n≤4． 故答案为：4． 14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，E为边BC上的动点，则的最小值为　　 ． 【分析】由条件式，利用正弦定理结合三角恒等变换求得，进而得到，，c＝2，取AB的中点M，结合极化恒等式来处理． 【解答】解：因为， 由正弦定理可得， 又C∈（0，π），所以sinC≠0， 所以，即， 又A∈（0，π），则， 故，即， 又，则，，所以c＝2， 如图，取AB的中点M， 则， 由图知，当ME⊥BC时，EM最小，最小值为， 所以的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式．当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息．现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和．每次发送和接收相互独立． （1）求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； （2）记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列． 【分析】（1）分别求出事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子”和事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子且第二次发送“1指向”的光子”的概率，应用条件概率计算即可． （2）结合排列组合的应用求解事件的概率，即可写出X的分布列． 【解答】解：（1）设事件M＝“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件N＝“第二次发送“1指向”的光子”， 则， 由条件概率公式，； （2）由题意：X＝0，1，2， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 16．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，点（1，2）在椭圆上． （1）求椭圆C的方程； （2）过（1，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T， （i）若直线l的斜率为1，求|MN|； （ii）若点P（2，0），判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论． 【分析】（1）由椭圆的离心率及点（1，2）在椭圆上求解即可； （2）（i）写出直线l的方程，与椭圆方程联立，解得M，N横坐标，利用弦长公式即可求解；（ii）当斜率等于0时，直线为y＝0，即可判断|TP|＜|TM|；当斜率不等于0时，设直线l：x＝my+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算可得，则∠MPN＞90°，得点P在以MN为直径的圆内，即可判断|TP|＜|TM|． 【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c，则依题意有，解得， 所以椭圆C的方程为：． （2）（i）由题意可知直线l的方程为：y＝x﹣1， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去y并整理可得3x2﹣4x﹣7＝0， 即（3x﹣7）（x+1）＝0，解得， 即； （ii）|TP|＜|TM|，证明如下： 因为点P（2，0）， 当直线l斜率等于0时，直线l的方程为y＝0，此时|TP|＝2，|TM|＝3，即|TP|＜|TM|； 当斜率不等于0时，设直线l的方程为x＝my+1， 联立，消去x并整理得（m2+2）y2+2my﹣8＝0， Δ＝（2m）2+32（m2+2）＝36m2+64＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，， 则（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（my1﹣1）（my2﹣1）+y1y2 ＝（m2+1）y1y2﹣m（y1+y2）+1 0， 故∠MPN＞90°，即点P在以MN为直径的圆内，故|TP|＜|TM|， 综上所述|TP|＜|TM|． 17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，，M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）． （1）若， （ⅰ）证明：MQ∥平面PCD； （ⅱ）求直线CD与平面CMQ所成角的正弦值． （2）若平面CMQ与平面PCD的夹角的余弦值为，求MQ的长度． 【分析】（1）（ⅰ）取CD的中点O，利用面面垂直的性质定理可证PO⊥平面ABCD，再以O为原点建系，利用向量法证明线面平行即可； （ⅱ）利用向量法求线面角即可； （2）设，利用向量法求面面角可得关于λ的方程，从而确定点Q的坐标，进而得解． 【解答】（1）（ⅰ）证明：取CD的中点O，连接PO， 因为，所以PO⊥CD， 因为CD＝2，所以PO2， 又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PO⊂平面PCD， 所以PO⊥平面ABCD， 故以O为原点，以平行于BC的直线为x轴，以OC，OP所在直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则M（1，﹣1，0），P（0，0，2），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，0）， 因为，所以Q为PB的中点， 所以，， 易知平面PCD的一个法向量为， 所以，即， 又MQ⊄平面PCD，所以MQ∥平面PCD． （ⅱ）解：由上可得，， 设平面CMQ的法向量为，则，即， 取y1＝2，得， 所以|cos，|， 故直线CD与平面CMQ所成角的正弦值为． （2）解：由上可知，，，， 设，则， 所以， 设平面CMQ的法向量为，则， 取y2＝λ，得， 易知平面PCD的一个法向量为， 因为平面CMQ与平面PCD的夹角的余弦值为， 所以|cos，|， 整理得3λ2﹣5λ+2＝0，解得或λ＝1（舍去）， 所以， 因为B（2，1，0），所以， 所以， 故MQ的长度为． 18．（17分）已知数列{an}满足a1＝2，且，在数列{bn}中，b1＝1，点P（bn，bn+1）在函数y＝x+1的图象上． （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列的前n项和Sn； （3）集合共有4个元素，求实数λ范围． 【分析】（1）用n﹣1换递推公式中的n，然后两式相减，化简得an+1＝2an，利用等比数列通项公式可得{an}，利用等差数列的通项公式可得{bn}； （2）代入{an}和{bn}，裂项相消，可求和； （3）令，研究数列的单调性，要求 A 恰好有 4 个元素，即恰好有 4 个 n，使得 f（n）≥λ，只需f（7）＜λ≤f（6）． 【解答】解：（1）因为， 所以，n≥2， 两式相减可得： ， 所以； 当 n＝1 时，有，上式也成立， 故 {an} 是首项为 2、公比为 2 的等比数列， 因此， 点 P（bn，bn+1） 在直线 y＝x+1 上， 所以bn+1＝bn+1， 所以{bn}是首项为1、公差为1的等差数列， 所以bn＝1+（n﹣1）＝n； （2）由 （1）知， 故． （3）由 （1）知 bn＝n，，所以，该表达式对n≥3有意义， 令， 计算部分值：，，，，， 又 ， 当n≥7时， 故f（n+1）﹣f（n）＜0对∀n≥7，n∈N恒成立， f（n）在n≥7时单调递减，所以对∀n≥7，n∈N恒成立． 集合A的元素是满足f（n）≥λ的自然数n（n≥3）， 要求A恰好有 4 个元素，即恰好有 4 个n，即n＝3，4，5，6，使得f（n）≥λ， 当λ≤f（7）时，n＝3，4，5，6，7均满足，至少有 5 个元素； 当 f（7）＜λ≤f（6）（即f（7）＜λ≤f（3）时，n＝3，4，5，6 满足， 而n≥7不满足，恰好 4 个元素； 当λ＞f（6）时，满足条件的 n减少至 2 个或更少． 因此，A 恰有 4 个元素当且仅当f（7）＜λ≤f（6）， 即， 所以实数λ范围为（，]． 19．（17分）已知函数f（x）＝ax﹣1．（a＞0且a≠1） （1）若a＝e，证明：f（x）≥x； （2）若对任意实数x，均有f（x）≥2x+sin2x． （i）求a； （ii）设正整数n≥2，证明：． 【分析】（1）当a＝e时，f（x）＝ex﹣1，对函数求导，利用函数单调性及极值（最值）分析即可； （2）（i）设h（x）＝f（x）﹣2x﹣sin2x，对函数求导，对a∈（0，1），a∈（1，e2），a∈（e2，+∞）三种情况进行讨论得出a＝e2，然后构造函数利用函数导数证明a＝e2； （ii）根据（i）的结论分析得出，于是取，则，然后利用余弦的二倍角公式化简，得出相应的不等式，利用不等式性质证明得出即可． 【解答】解：（1）当a＝e时，f（x）＝ex﹣1， 设g（x）＝ex﹣1﹣x，因此g′（x）＝ex﹣1， 因此函数g（x）的单调性如下表所示： x （﹣∞，0） 0 （0，+∞） g′（x） ＜0 0 ＞0 g（x） ↘ 极小值 ↗ 因此g（x）≥g（0）＝0，即f（x）≥x； （2）（i）设h（x）＝f（x）﹣2x﹣sin2x≥0， 因此h′（x）＝axlna﹣2﹣sin2x， 情形1：a∈（0，1），因此h（1）＝a﹣1﹣2﹣sin21＜0，矛盾， 情形2：a∈（1，e2），因此h′（0）＝lna﹣2＜0， 取正整数k，使得，因此， 于是在区间内函数h′（x）存在至少一个零点，取其中最小的一个为x1， 那么对任意x∈（0，x1），恒有h′（x）＜0， 理由：假设存在实数x′1∈（0，x1）使得h′（x′1）＞0， 于是在区间（0，x′1）内函数h′（x）存在至少一个零点，这与x1的定义矛盾， 因此对任意x∈（0，x1），恒有h′（x）＜0， 因此h（x）在区间x∈（0，x1）上单调递减，于是h（x1）＜h（0）＝0，矛盾， 情形3：a∈（e2，+∞），因此h′（0）＝lna﹣2＞0， 取负整数k，使得， 因此， 于是在区间内函数h′（x）存在至少一个零点，取其中最大的一个为x2， 同情况2可知，h（x）在区间（x2，0）上单调递增，于是h（x2）＜h（0）＝0，矛盾， 综上，只可能a＝e2． 下面证明a＝e2满足要求， 当x＜﹣1时，h（x）＝e2x﹣2x﹣1﹣sin2x＞2﹣1﹣sin2x＝cos2x≥0，满足题目条件． 当x≥﹣1时，先证明x2≥sin2x，（*）． 设ϕ（x）＝x﹣sinx，因此ϕ′（x）＝1﹣cosx≥0，因此ϕ（x）为增函数， 于是当x∈[﹣1，0）时，ϕ（x）＜ϕ（0）＝0， 因此x＜sinx＜0，因此x2＞sin2x，（*）成立， 当x∈[0，1）时，ϕ（x）≥ϕ（0）＝0，因此x≥sinx≥0，因此x2≥sin2x，（*）成立． 当x∈[1，+∞）时，x2≥1≥sin2x，（*）成立． 综上知（*）成立， 令m（x）＝x﹣ln（x+1）（x＞﹣1）， 因此， 当﹣1＜x＜0时，m′（x）＜0，当x＞0时，m′（x）＞0， 因此函数m（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 因此m（x）≥m（0）＝0﹣ln（0+1）＝0， 因此x≥ln（x+1）⇒2x≥2ln（x+1） 由函数y＝ex在R上单调递增， 因此e2x≥e2ln（x+1）＝（x+1）2（x＞﹣1）， 当x＝﹣1时，成立， 因此当x≥﹣1时，e2x≥（x+1）2， 即e2x≥x2+2x+1≥sin2x+2x+1， 可见a＝e2满足要求； （ii）证明：由（i）知e2x﹣2x﹣1≥sin2x，用﹣x代替x， 得e﹣2x+2x﹣1≥sin2x，因此， 于是取， 因此， 又因为， 因此， 由于， 因此， 在不等式ey≥y+1中，令y＝﹣lnx（x＞0）， 可得：e﹣lnx≥﹣lnx+1，即， 因此， ， 因此， 因此 ， 至此不等式得证． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考模拟卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][CI[D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C[D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 射 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考模拟卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．样本数据19，20，21，23，13，16，24，28的第40百分位数为（　　） A．16 B．23 C．17.5 D．20 2．已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则A∩B＝（　　） A．{1，3} B．{3，7} C．{1，3，5，7} D．∅ 3．设（2+i）x＝4﹣yi，其中x，y是实数，则|x﹣yi|＝（　　） A．4 B． C． D．2 4．若sinα≠0，，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 5．已知点A是抛物线y2＝4x上的一个动点，点B是直线y＝x+4上的一个动点，则|AB|的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 6．已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（　　） A．3 B． C． D． 7．已知四边形ABCD中，AC＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝120°．现将△ACD沿边AC翻折，使点D翻折到P点，若平面PAC⊥平面BAC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是（　　） A． B． C． D． 8．若方程ex＝aln（x﹣2）+alna﹣2a在（2，+∞）上有解，则实数a的取值范围是（　　） A．[3，+∞） B．（0，3] C．[e3，+∞） D．（0，e3] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数y＝f（x+1）是R上的偶函数，且f（x）在[1，+∞）上单调递增，a＝f（log28），b＝f（﹣ln2），c＝f（eln2），则下列说法正确的是（　　） A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称 B．a，b，c的大小关系是：b＜c＜a C．函数y＝f（x）在区间（﹣∞，1]上单调递减 D．关于x的不等式f（2x）＜f（x+1）解集为 10．平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线（a＞0，b＞0）的左右两支分别交于A，B两点，P是异于A，B的双曲线上一点，则下列判断正确的是（　　） A．双曲线的离心率e的范围是 B．双曲线的离心率e的范围是 C．直线PA，PB的斜率分别是kPA，kPB，则 D．双曲线上存在点P，使得PA⊥PB 11．已知函数，则（　　） A．f（x）的图象关于直线x＝π对称 B．f（x）在上单调递增 C．f（x）的值域为 D．方程在上的所有实根之和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2x﹣ay）6的展开式中x4y2的系数是240，则实数a的值为　 　 ． 13．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z（克）分为4级：Z＞20的为A级，18＜Z≤20的为B级，16＜Z≤18的为C级，14＜Z≤16的为D级，Z≤14的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布N（15，9）．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为p（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，则n的最大值为 　 　 ． 参考数据：若X～N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973． 14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，E为边BC上的动点，则的最小值为　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式．当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息．现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和．每次发送和接收相互独立． （1）求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； （2）记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列． 16．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，点（1，2）在椭圆上． （1）求椭圆C的方程； （2）过（1，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T， （i）若直线l的斜率为1，求|MN|； （ii）若点P（2，0），判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论． 17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，，M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）． （1）若， （ⅰ）证明：MQ∥平面PCD； （ⅱ）求直线CD与平面CMQ所成角的正弦值． （2）若平面CMQ与平面PCD的夹角的余弦值为，求MQ的长度． 18．（17分）已知数列{an}满足a1＝2，且，在数列{bn}中，b1＝1，点P（bn，bn+1）在函数y＝x+1的图象上． （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列的前n项和Sn； （3）集合共有4个元素，求实数λ范围． 19．（17分）已知函数f（x）＝ax﹣1．（a＞0且a≠1） （1）若a＝e，证明：f（x）≥x； （2）若对任意实数x，均有f（x）≥2x+sin2x． （i）求a； （ii）设正整数n≥2，证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考模拟卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．样本数据19，20，21，23，13，16，24，28的第40百分位数为（　　） A．16 B．23 C．17.5 D．20 2．已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则A∩B＝（　　） A．{1，3} B．{3，7} C．{1，3，5，7} D．∅ 3．设（2+i）x＝4﹣yi，其中x，y是实数，则|x﹣yi|＝（　　） A．4 B． C． D．2 4．若sinα≠0，，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 5．已知点A是抛物线y2＝4x上的一个动点，点B是直线y＝x+4上的一个动点，则|AB|的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 6．已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（　　） A．3 B． C． D． 7．已知四边形ABCD中，AC＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝120°．现将△ACD沿边AC翻折，使点D翻折到P点，若平面PAC⊥平面BAC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是（　　） A． B． C． D． 8．若方程ex＝aln（x﹣2）+alna﹣2a在（2，+∞）上有解，则实数a的取值范围是（　　） A．[3，+∞） B．（0，3] C．[e3，+∞） D．（0，e3] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数y＝f（x+1）是R上的偶函数，且f（x）在[1，+∞）上单调递增，a＝f（log28），b＝f（﹣ln2），c＝f（eln2），则下列说法正确的是（　　） A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称 B．a，b，c的大小关系是：b＜c＜a C．函数y＝f（x）在区间（﹣∞，1]上单调递减 D．关于x的不等式f（2x）＜f（x+1）解集为 10．平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线（a＞0，b＞0）的左右两支分别交于A，B两点，P是异于A，B的双曲线上一点，则下列判断正确的是（　　） A．双曲线的离心率e的范围是 B．双曲线的离心率e的范围是 C．直线PA，PB的斜率分别是kPA，kPB，则 D．双曲线上存在点P，使得PA⊥PB 11．已知函数，则（　　） A．f（x）的图象关于直线x＝π对称 B．f（x）在上单调递增 C．f（x）的值域为 D．方程在上的所有实根之和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2x﹣ay）6的展开式中x4y2的系数是240，则实数a的值为　 　 ． 13．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z（克）分为4级：Z＞20的为A级，18＜Z≤20的为B级，16＜Z≤18的为C级，14＜Z≤16的为D级，Z≤14的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布N（15，9）．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为p（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，则n的最大值为 　 　 ． 参考数据：若X～N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973． 14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，E为边BC上的动点，则的最小值为　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式．当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息．现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和．每次发送和接收相互独立． （1）求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； （2）记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列． 16．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，点（1，2）在椭圆上． （1）求椭圆C的方程； （2）过（1，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T， （i）若直线l的斜率为1，求|MN|； （ii）若点P（2，0），判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论． 17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，，M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）． （1）若， （ⅰ）证明：MQ∥平面PCD； （ⅱ）求直线CD与平面CMQ所成角的正弦值． （2）若平面CMQ与平面PCD的夹角的余弦值为，求MQ的长度． 18．（17分）已知数列{an}满足a1＝2，且，在数列{bn}中，b1＝1，点P（bn，bn+1）在函数y＝x+1的图象上． （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列的前n项和Sn； （3）集合共有4个元素，求实数λ范围． 19．（17分）已知函数f（x）＝ax﹣1．（a＞0且a≠1） （1）若a＝e，证明：f（x）≥x； （2）若对任意实数x，均有f（x）≥2x+sin2x． （i）求a； （ii）设正整数n≥2，证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $