精品解析：河南省信阳市光山县慧泉中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学12月份综合素养评价试题 一、选择题（本大题共10小题．每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 【详解】解：A.该选项的图案是轴对称图形，符合题意； B. 该选项的图案不是轴对称图形，不符合题意； C. 该选项的图案不是轴对称图形，不符合题意； D. 该选项的图案不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 华为麒麟芯片采用最新的米工艺制程．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列把多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．根据提公因式法和公式法对各选项的结果进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. ±6 B. ±12 C. -13或11 D. 13或-11 【答案】C 【解析】 【分析】先找到平方项是与9，由此得到另一项的值，由此计算得到k的值即可. 【详解】∵能用完全平方公式因式分解， ∴平方项是与9， ∴=， ∴, ∴k= -13或11, 故选：C. 【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式的计算方法及特点是解题的关键. 5. 如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．先由三角形内角和定理求出，根据角平分线得到，再由三角形的高得到，再根据三角形内角和定理求出，最后由邻补角的定义即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴,即， ∴只有D选项符合题意． 故选D． 7. 如图，点在上，点在上，．下列条件中不能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 根据全等三角形的判定定理依次判断各个选项即可． 【详解】解：A、若，则依据，可得， 由，，，可得， 故A选项能判断； B、若，则不能得到， 故B选项不能判断； C、若，由，，则可得， 故C选项能判断； D、若，则由，，，可得， 故D选项能判断； 故选：B． 8. 根据下列表格信息，用含的代数式表示可能为（ ）． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 * * 无意义 * ．．． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件以及分式求值，解题的关键是掌握分式的有关性质，理解表格中的数据． 根据表格数据，当时，且当时无意义，代入各选项验证即可． 【详解】解：由表格数据可得，当时，且当时无意义， 对于A：，且时无意义，选项符合题意； 对于B：，选项不符合题意； 对于C：，当时，无意义，当时，有意义，选项不符合题意； 对于D：，选项不符合题意； 故选：A． 9. 如图，把左图中的部分剪下来，恰好能拼在的位置处，构成右图中的图形，形成一个从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左图与右图的面积相等，列出等式即可． 【详解】左图的面积为， 右图的面积为， 则， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，理解题意，根据面积相等建立等式是解题关键． 10. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】如图1，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，是等边三角形；进而可判断①的正误；由，可知，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短， 的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误． 【详解】解：如图1，连接，作于，于， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求； ∵的周长为， 当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求； 如图2，当时， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，多边形内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，平行线的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题） 11. _____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握整式除法的有关运算法则． 利用分配律，将多项式除以单项式转化为每一项除以单项式，然后进行有理数运算和指数运算． 【详解】解： ， ， ； 故答案为：． 12. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，点恰好落上．若，则的度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟知图形折叠前后对应角相等是解题的关键． 根据折叠的性质可知折痕是角平分线，利用平角为以及角平分线的性质来计算的度数． 【详解】解：根据题意可知， ， ， ， ； 故答案为：． 13. 定义运算，如：，则方程的解为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据新运算得出，求出，再方程两边都乘，得，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 经检验，是原方式方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程和有理数的混合运算，能把分式方程转化成整式方程是解题的关键． 14. 【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若，，则___________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图得，由 求出，即可求解；掌握、、之间的关系，能表示出面积是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ，， ， ， ， ； 故答案：． 15. 如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，，两点停止运动，设点的运动时间为．当______时，是直角三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，30度所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握该知识点并进行分类讨论是解题的关键．分当 和两种情况，然后根据30度所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：点，分别从顶点，同时出发沿线段，运动，且它们的速度都为 ， 是边长为10cm的等边三角形 ， 当时， 当时， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出过程） 16. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查多项式的分解因式，掌握因式分解的方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式，根据多项式的特点选用恰当的因式分解的方法是解题的关键． （1）用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值. 【答案】，当时，原式(或者选择当时，原式) 【解析】 【分析】先运用分式的通分化简括号内的式子，再运算分式的除法，熟练掌握分式化简求值以及注意分母不为0是解题的关键． 【详解】解： ， ∵或2时，分母为，分式无意义， ∴只能取或1， ∴当时，原式，（或者选择当时，原式）． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解过程，一定要注意检验． （1）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验即可； （2）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验即可． 【小问1详解】 解：由可得， 即，解得， 经检验，是分式方程的根； 【小问2详解】 解：由可得， 化简可得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根，原分式方程无解． 19. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标_______． （2）如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，那么点D的坐标是_______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）或或． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据全等三角形的判定确定点的位置，即可得出答案． 本题考查作图轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：由图可得，点的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，结合网格特征以及全等三角形的性质， 即点，，均满足题意， ∴点的坐标是或或． 故答案为：或或． 20. （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，是边上的中线，，求的值． 【答案】 （1）图形如图所示： （2）8 【解析】 【分析】本题考查尺规作一个角等于已知角，三角形全等的判定与性质， （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法求解即可； （2）根据中线得到，然后证明出，得到，，然后证明出，求出． 【详解】（1）略 （2）∵是边上的中线， ∴，， 由（1）作图知 在与中 ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 在与中 ∴ ∴． 21. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．    【知识生成】 （1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）： 方法一：__________________； 方法二：__________________； 【得出结论】 （2）根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为____________； 【知识迁移】 （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数a，b满足：，，求的值． （4）若a满足求的值 【答案】（1）方法一：；方法二：；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． （1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图②中的阴影部分正方形的边长等于，即面积为； （2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系； （3）①由（2）中的等量关系即可求解；②先变形为，可得，再计算即可． 【详解】（1）方法一：； 方法二：， 故答案为：， （2）代数式之间的等量关系为： ； 故答案为： （3）由（2）可得． ∴或． （4） 22. 已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1，若点，点，过点C作轴于点D，则______； （2）如图2，若点，点，过点C作轴于点D，则点C的坐标为______； （3）如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于F，则与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）2 （2） （3） 理由如下： 如图，和的延长线相交于点， ， ，而， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， 轴平分， ， ， ∴， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质，能正确利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形是解决此题的关键． （1）由坐标得，，根据等腰直角三角形的性质得，，再利用等角的余角相等得到，则可根据“”证明，进而即可得解； （2）由（1）得，得到，，进而即可得解； （3）如图，和的延长线相交于点，先证明得到，再证，得，进而即可得解． 【小问1详解】 解：，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ，， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 略 23. 如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． （1）填空：__________，的度数为__________； （2）当四边形为轴对称图形时，求的长； （3）若是等腰三角形；求的度数； （4）若点在线段上，连接，，直接写出的值最小时的长度． 【答案】（1）， （2）4 （3）度或度或度 （4） 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据线段中点的性质即可得出，根据角平分线的定义得出的度数； （2）根据轴对称图形的性质即可解答． （3）根据题意可得，分三种情况：当时；当时；当时．再依次根据三角形内角和定理即可求解． （4）过点M作，作点P关于的对称点，根据题意可得，，可证明，则，因此，以此得出当点E、M、三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含度角的直角三角形即可得到结果． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴，， ∵点是边的中点 ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵四边形为轴对称图形，平分， ∴对称轴为直线 ∴； 【小问3详解】 解：∵平分， ∴， 当时， ， ∴； 当时， 当时， ； 综上，的度数度或度或度． 【小问4详解】 解：如图，点在上，且，作点关于的对称点， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴当点、、三点共线时，的值最小， 又∵根据垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形、角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，得出当点E、M、三点共线时，的值最小是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学12月份综合素养评价试题 一、选择题（本大题共10小题．每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 华为麒麟芯片采用最新的米工艺制程．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列把多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. ±6 B. ±12 C. -13或11 D. 13或-11 5. 如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ）. A. B. C. D. 7. 如图，点在上，点在上，．下列条件中不能判断的是（　　） A. B. C. D. 8. 根据下列表格信息，用含的代数式表示可能为（ ）． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 * * 无意义 * ．．． A. B. C. D. 9. 如图，把左图中的部分剪下来，恰好能拼在的位置处，构成右图中的图形，形成一个从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题） 11. _____ 12. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，点恰好落上．若，则的度数为______． 13. 定义运算，如：，则方程的解为_____________. 14. 【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若，，则___________． 15. 如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，，两点停止运动，设点的运动时间为．当______时，是直角三角形． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出过程） 16. 分解因式： （1） （2） 17. 先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值. 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标_______． （2）如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，那么点D的坐标是_______． 20. （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，是边上的中线，，求的值． 21. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．    【知识生成】 （1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）： 方法一：__________________； 方法二：__________________； 【得出结论】 （2）根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为____________； 【知识迁移】 （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数a，b满足：，，求的值． （4）若a满足求的值 22. 已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1，若点，点，过点C作轴于点D，则______； （2）如图2，若点，点，过点C作轴于点D，则点C的坐标为______； （3）如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于F，则与有怎样的数量关系？并说明理由． 23. 如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． （1）填空：__________，的度数为__________； （2）当四边形为轴对称图形时，求的长； （3）若是等腰三角形；求的度数； （4）若点在线段上，连接，，直接写出的值最小时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $