第19章 二次根式能力提升自测卷-2025-2026学年人教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

第19章 二次根式能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（      ） A． B． C． D． 4．若，则表示实数a的点会落在数轴的（   ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 5．学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （    ） A．小明和小丽 B．小红和小亮 C．小明和小亮 D．小丽和小红 6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 8.为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 9．已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 10．设 ，则 的值为（    ） A． B． C．10 D．11 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算的结果是 ． 12．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 13．已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 14．设，N是M的小数部分，则的值为 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）计算： (1)； (2) 16．（8分）如图，在中，，，平分交于点D，求的面积． 17．（8分）求当，时，下列代数式的值． (1)； (2)． 18．（8分）求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________． (2)求代数式的值，其中． 19．（8分）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 20．（8分）在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 21．（10分）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 二次根式能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．利用平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减乘除，根据二次根式的性质和加减乘除运算法则求解即可． 【详解】解：选项A：，原计算错误，不符合题意； 选项B：，原计算正确，符合题意； 选项C：，原计算错误，不符合题意； 选项D：，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简绝对值问题，先根据m、n在数轴上的位置判断出m、n的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简求解即可． 【详解】解：∵由图可知，，， ∴ ． 故选：D． 4．若，则表示实数a的点会落在数轴的（   ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出的值，再估算出范围，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵，即， ， ， ，即， 故实数的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 5．学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （    ） A．小明和小丽 B．小红和小亮 C．小明和小亮 D．小丽和小红 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可． 【详解】解：由可得，小丽出现错误； 由可得，小红出现错误； 故选：D． 6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答． 【详解】解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 7．已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的非负性求出a和b的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】∵ ， ∴，， 解得，， ∴ ， 故选：A． 8.为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式分别求得正方形和正方形的边长，进而得出长方形的长和宽，最终可求得总面积． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为， 正方形的边长为， ∴长方形的长为，宽为， ∴， 故选：B． 9．已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子． 10．设 ，则 的值为（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的性质，总结归纳出规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再根据规律计算求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，二次根式的性质．先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，据此列出方程求解． 【详解】解： 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得 故答案为：． 13．已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和二次根式的定义，根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：三角形三边长分别为、、， ，即， ， 故答案为：． 14．设，N是M的小数部分，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的运算，先求得，再估算的取值范围，求得，再代入代数式进行计算即可．掌握用逼近法估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：， ∵，且 ∴，则 ∵是的小数部分， ∴， 则 ， 故答案为：1． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先根据乘法公式计算，再计算加减即可； （2）先计算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： 16．（8分）如图，在中，，，平分交于点D，求的面积． 【答案】10 【分析】本题考查三线合一，勾股定理，根据三线合一结合勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，平分交于点D， ∴， ∴， ∴的面积为． 17．（8分）求当，时，下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出 ， ，然后把化为，再代入求解即可； （）先求出， ，然后把化为，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 18．（8分）求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________． (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮  因式分解错误 (2) 【分析】（1）需根据二次根式的性质，结合的取值判断绝对值内式子的正负，分析小亮和小芳的解法； （2）先将被开方数化为完全平方式，再利用二次根式性质化简，代入的值计算． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的， 错误的原因是：对化简时，错误地将变形为（实际应为），且未正确利用的性质判断符号． （2）解：原式． 根据二次根式性质，已知，则，故： 代入化简： 原式． 将代入， 解得：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题关键是先将被开方数化为完全平方式，再结合字母的取值判断绝对值内式子的正负，进而正确化简． 19．（8分）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 20．（8分）在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，求代数式的值； （1）通过分母有理化，将分母乘以后化简． （2）每个分式分母有理化后，形成望远镜求和，中间项相互抵消． （3）先将分母有理化得到，然后通过变形，平方后得到，再代入所求表达式．仿照题的方法化简即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：9； （3）解：∵， ∴， ∴，则，即， ∴． 21．（10分）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)6，4 (2) (3)100 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为6， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：6，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $