第19章 二次根式基础过关自测卷-2025-2026学年人教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

第19章 二次根式基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 2．下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 二次根式的乘法，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简等知识，需逐项验证每个选项的正确性，再作判断． 【详解】解：，故A错误． ，故B正确． ，故C错误． ，故D错误． 故选：B． 4．若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了长方形面积公式和二次根式的乘法运算，解题关键是利用长方形面积公式建立等式，通过二次根式运算验证选项． 根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，已知面积和一条边长，可求相邻边长． 【详解】解：长方形面积长宽，已知面积为，一条边长为，则相邻边长面积已知边长，即计算： ． 故选：C． 5．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 根据焦耳定律公式求解电流，需将已知量代入公式，通过代数运算求出电流的值． 【详解】解：已知焦耳定律公式，其中，，，将这些值代入公式求解电流： ． 故选：C． 6．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，零指数幂，根据二次根式的定义域确定x的值，进而求出y的值，最后计算x的y次方． 【详解】解：根据题意得：， 解得： ∴， ∴， 故选：B 7．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，积的乘方运算，涉及了平方差公式；通过观察 和 ，其乘积为 ；利用这一特点，将原式拆分为 计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：D． 8．按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察发现被开方数是序号的2倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第一个数为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， ……， 以此类推可知， 第个数为， ∴第个数是， 故选：C． 9．当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则，将两个根式相乘转化为根号下的乘法运算，即可解答． 【详解】解：． 故答案为：2． 12．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是关键． 先将各二次根式化简，提取完全平方数，再合并同类二次根式． 【详解】解：，， 所以 ， 故答案为：． 13．在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据第一列和第一行相乘得到同样的结果，列出方程，解出即可． 【详解】解：由题意，第一列和第一行相乘得到同样的结果，即， ∴， 故答案为：． 14．已知，则 ． 【答案】 2029 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，利用已知条件变形，得到，再通过平方运算求出的值，最后代入原式计算． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：2029． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，注意计算的准确性即可； （1）利用二次根式的加减运算法则即可求解； （2）利用二次根式的性质化简后再计算即可； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 16．（8分）高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为（单位：）的高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度满足关系式（不考虑风速的影响，的值取），已知小杰家所住楼层的高度是，假如一个物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间（结果保留根号）． 【答案】该物品落地的时间为秒． 【分析】本题考查二次根式的计算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．将已知条件代入所给公式进行计算，最终化为最简二次根式即可． 【详解】解：在中， 当时， ， 答：该物品落地的时间为 ． 17．（8分）已知：，，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代数式求值、二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握运算法则及乘法公式． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是首先将括号里面通分，再将分子与分母分解因式，将除法转化为乘法，约分得到最简结果，最后把m的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 19．（8分）有个填写数字的游戏：在“”中的每个□内，填入数字（可重复使用），然后计算结果． (1)若三个□内从左到右依次填入9，，5，请你计算结果； (2)若，请推算□内的数字； (3)若的结果是最大的负整数，请推算□内的数字． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据题意直接代入计算即可； （2）根据二次根式乘法法则运算化简再计算即可； （3）设，由题意可得，再代入计算即可． 【详解】（1）解：把三个□内从左到右依次填入9，，5， 那么； （2）解：因为 所以，即，则； （3）解：设，由题意可得， 把代入，则， 那么， 所以． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算以及二次根式的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和二次根式的乘法运算． 20．（8分）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，， 把作为整体，得：．请运用上述方法解决下列问题： 已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化、完全平方公式、求代数式的值，理解题意是解题的关键． 根据分母有理化得到，再仿照题目的方法解决问题即可． 【详解】解：， 得， 则， 即， ∴， ∴． 21．（10分）阅读材料： 【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，． 【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ， ， ， ． 请你根据材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（均写出一个即可） (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2) (3)11 【分析】（1）根据互为有理化因式的定义，即可求解， （2）将所求式子，进行分母有理化，即可求解， （3）参照学习材料二的步骤即可求解， 本题考查了平方差公式的运用，分母有理化，解题的关键是：利用平方差公式，进行分母有理化． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，， （2）解： ， 故答案为：， （3）解：． ， ， ， 故答案为：11． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 二次根式基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 5．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 6．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 8．按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 9．当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 10．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算： ． 12．计算的结果是 ． 13．在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为 ． 14．已知，则 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）计算： (1)； (2)． 16．（8分）高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为（单位：）的高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度满足关系式（不考虑风速的影响，的值取），已知小杰家所住楼层的高度是，假如一个物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间（结果保留根号）． 17．（8分）已知：，，分别求下列代数式的值： (1) (2) 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）有个填写数字的游戏：在“”中的每个□内，填入数字（可重复使用），然后计算结果． (1)若三个□内从左到右依次填入9，，5，请你计算结果； (2)若，请推算□内的数字； (3)若的结果是最大的负整数，请推算□内的数字． 20．（8分）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，， 把作为整体，得：．请运用上述方法解决下列问题： 已知，求代数式的值． 21．（10分）阅读材料： 【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，． 【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ， ， ， ． 请你根据材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（均写出一个即可） (2)计算：； (3)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $