20.2 勾股定理的逆定理及其应用 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第二十章 勾股定理 20.2第1课时勾股定理的逆定理 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.（重点） 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.（难点） 学习目标 3 同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 情境导入 4 思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗? 大禹治水 相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角. 情境导入 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 知识点一 勾股定理的逆定理 知识讲解 6 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5,12,13满足52+122=132, ② 7,24,25满足72+242=252, ③ 8,15,17满足82+152=172. 问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ ∵32+42=52，∴满足. a2+b2=c2 知识讲解 问题4 据此你有什么猜想呢? 由上面几个例子，我们猜想： 命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 知识讲解 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 特别说明： 归纳总结 知识讲解 △ABC≌ △ A′B′C′ 　　 ？ ∠C是直角　　　 △ABC是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 例1 已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c，满足a2+b2=c2． 　求证：△ABC是直角三角形． 构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′ 知识讲解 证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a， ∴△ABC △A′B′C′(SSS)， ∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形. 则 A C a B b c 知识讲解 例2 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ (1) a=15 ， b=8 ，c=17; 解(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. (2) a=13 ，b=14 ，c=15. (2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 知识讲解 例3 若△ABC的三边a,b,c满足a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状. 解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0), ∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, ∴(3k)2+(4k)2=(5k)2, ∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角. 已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形. 知识讲解 例4 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由． 解：AF⊥EF.理由如下： 设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边． ∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF. 知识讲解 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 知识点二 勾股数 知识讲解 常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25； 8，15，17；9，40，41；10，24，26等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 知识讲解 例1 下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 知识讲解 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. 命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 前面我们学习了两个命题，分别为： 知识点三 互逆命题与互逆定理 知识讲解 命题1： 直角三角形 a2+b2=c2 命题2： 直角三角形 a2+b2=c2 题设 结论 它们是题设和结论正好相反的两个命题. 问题1 两个命题的条件和结论分别是什么？ 问题2 两个命题的条件和结论有何联系？ 知识讲解 一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. 题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 归纳总结 知识讲解 例1 说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？ (1)两条直线平行，内错角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等； (4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 内错角相等，两条直线平行. 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 对应角相等的三角形全等 . 在角平分线上的点到角两边的距离相等. 成立 不成立 不成立 成立 知识讲解 1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，7 B.5，12，13 C.0.5，2，2.5 D.1，3，5 2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 B A 随堂练习 22 3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a,b,c. ①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形； ②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°； ③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形; ④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形. 以上命题中的假命题有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A 随堂练习 23 4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 ，则△ABC的形状________________． 等腰直角三角形 5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm; 12 (2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________． 有两个角相等的三角形是等腰三角形 随堂练习 6.已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC²， ∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角. 随堂练习 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 勾股数 互逆命题与互逆定理 课后小结 第二十章 勾股定理 20.2第2课时勾股定理的逆定理的应用 1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点） 2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问 题.（难点） 学习目标 28 问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗? a2+b2=c2 (a,b为直角边，c为斜边) Rt△ABC,∠C是直角 勾股定理 勾股定理的逆定理 a2+b2=c2 (a,b为较短边，c为最长边） Rt△ABC，且∠C是直角. 情境导入 (2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是 cm. 8 (1)已知△ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为 三角形， 是最大角. 直角 ∠A 快速填一填： 思考 前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理能解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？ 情境导入 在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧. 情境导入 1 2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ N E P Q R 知识点一 勾股定理的逆定理的应用 知识讲解 32 问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？ 1 2 N E P Q R 16×1.5=24 12×1.5=18 30 “远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图. 问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？ 实质是要求出两艘船航 向所成角. 勾股定理逆定理 知识讲解 解：根据题意得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°. ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)； 标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解. 知识讲解 例1 台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B运动,AB＝500 km,点C为一海港,且点C与直线AB上的两点A,B的距离分别为300 km和400 km.已知以台风中心为圆心周围250 km范围内为受影响区域.请通过计算说明海港C是否受台风影响. 知识讲解 解:如图,过点C作CH⊥AB,垂足为H. ∵AC＝300 km,BC＝400 km,AB＝500 km, ∴AB2＝AC2＋BC2．∴△ABC为直角三角形且∠ACB＝90°. ∴S△ABC＝AC×BC＝AB×CH. 即×300×400＝CH×500.∴CH＝240 km. ∵240＜250,∴海港C受台风影响. 知识讲解 例2 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 东 北 P A B C Q D 分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求BD，然后再利用勾股定理便可求CD. 知识讲解 解：∵AC=10，AB=6，BC=8， ∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.设PQ与AC相交于点D，根据三角形面积公式有BC·AB= AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=.在Rt△BCD中，又∵该船只的速度为12.8海里/时，6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海. 东 北 P A B C Q D 知识讲解 例3 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图 图 知识讲解 39 在△BCD中,∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD中， ∴△ABD 是直角三角形， ∠A是直角. D A B C 4 3 5 13 12 图 知识讲解 例4 如图,有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶.已知点C为一所学校,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为150 m和200 m,AB＝250 m,环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域.学校C会受噪声影响吗?为什么? 知识讲解 解:学校C会受噪声影响.理由如下: 如图,过点C作CD⊥AB于点D． ∵AC＝150 m,BC＝200 m,AB＝250 m, ∴AC2＋BC2＝1502＋2002＝62 500,AB2＝2502＝62 500. ∴AC2＋BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°. ∴S△ABC＝AC×BC＝CD×AB． 即×150×200＝×250×CD．∴CD＝＝120(m). ∵环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域, ∴学校C会受噪声影响. 知识讲解 知识点二 勾股定理及其逆定理的综合应用 一、判断三角形形状 1.若已知一个三角形三边的长度，可通过勾股定理的逆定理来判断它是否为直角三角形. 2.对于一些复杂的边长表达式，同样可先分别计算较短两边的平方和与最长边的平方，看是否相等来判断形状. 若相等是直角三角形；若较短两边平方和大于最长边平方，是锐角三角形；反之是钝角三角形. 知识讲解 知识点二 勾股定理及其逆定理的综合应用 二、解决实际问题中的角度判断 在一些实际场景如建筑、测量等领域，当涉及到判断某个夹角是否为直角时，如果能确定构成夹角的三条线段长度，就可用勾股定理逆定理来判断。 知识讲解 例1 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积. 解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形. A D B C 3 4 13 12 知识讲解 A D B C 3 4 13 12 四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题. 解：连接AC. 在Rt△ABC中，. 在△ACD中， AC2+CD2=52+122=169=AD2， ∴△ACD是直角三角形， 且∠ACD=90°. ∴S四边ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36. 知识讲解 解：（1）证明：∵CD=1，BC＝ ，BD=2， ∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形； （2）解：设腰长AB=AC=x， 在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2， ∴x2=(x-1)2+22，∴AC∙.解得. 例2 如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝，BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面积． 知识讲解 1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向. 东 医院 公园 超市 北 65° 随堂练习 2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （　　） A. B. C. D. D 随堂练习 3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由. 解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行了9×2=18(km)， 又∵A，B两组相距30km， 且有242+182=302， ∴A，B两组行进的方向成直角． 随堂练习 4.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC. 解：∵BC=16，AD是BC边上的中线， ∴BD=CD= BC=8.∵在△ABD中， AD2+BD2=152+82=172=AB2， ∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°． ∴△ADC是直角三角形. 在Rt△ADC中，. ∴AB=AC. 随堂练习 解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm， ∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36，解得x=3.∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)， 在Rt△PBQ中，由勾股定理得(cm) 5.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长． 随堂练习 6．森林火灾是一种常见的自然灾害,危害很大,随着中国科技、经济的不断发展,开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图,有一台救火飞机沿东西方向AB飞行,由点A飞向点B,已知点C为其中一个着火点, 且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为600 m和800m,AB＝1000 m,飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响. 随堂练习 解:着火点C受洒水影响.理由如下: 如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D． ∵AC＝600 m,BC＝800 m,AB＝1 000 m, ∴AC2＋BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形.∴AC·BC＝AB·CD． ∴CD＝＝480(m). ∵480＜500,∴着火点C受洒水影响. (1)着火点C受洒水影响吗?为什么? 随堂练习 解:如图,以点C为圆心、500m为半径画弧, 交AB于点E,F,则CE＝CF＝500 m. ∵CD⊥AB,∴ED＝DF＝EF. 在Rt△CDE中,ED＝＝140(m), ∴EF＝2ED＝280 m.280÷10＝28(s). ∵28＞13,∴着火点C能被扑灭. (2)若飞机的速度为10m/s,要想扑灭着火点C估计需要13 s,请你通过计算判断着火点C能否被扑灭? 随堂练习 勾股定理的逆定理的应用 应用 航海问题 方法 认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题 与勾股定理结合解决不规则图形等问题 课后小结 $