专题03 二次根式的加法与减法（八大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版新教材）

专题03 二次根式的加法与减法 （九大题型） 【题型1 同类二次根式】......................................................................................................1 【题型2 二次根式的加减运算】..........................................................................................3 【题型3 二次根式的混合运算】..........................................................................................7 【题型4 分母有理化】........................................................................................................12 【题型5 已知字母的值，化简求值】..................................................................................14 【题型6 已知条件式，化简求值】.....................................................................................16 【题型7 比较二次根式的大小】.........................................................................................17 【题型8 二次根式的应用】.................................................................................................20 【题型9 复合二次根式的化简】..........................................................................................23 【题型1 同类二次根式】 1．下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B． 2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式化简，同类二次根式；找出与是同类二次根式的选项，即化简后被开方数均为2的二次根式即可． 【详解】解：A、，被开方数为3，故A不符合题意； B、，被开方数为2，故B符合题意； C、，是整式，不是二次根式，故C不符合题意； D、，被开方数为3，故D不符合题意． 故选：B. 3．下列各式与可以合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质及同类二次根式是解题的关键；判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后根号内的数相同，先将化简，再逐一检查各选项化简后的结果即可． 【详解】解：∵， ∴选项A：， 选项B：， 选项C：， 选项D：， ∴只有选项C化简后根号内为2，与化简后的被开方数相同，可以合并； 故选C． 4．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的计算，准确计算是解题的关键． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同，先将化为最简形式，得到，从而确定被开方数为2． 【详解】∵ ，且与可以合并， ∴ 与是同类二次根式， ∴ ， ∴， ∴ ， 故选：A． 5．已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的概念，解题关键是明确“只有同类二次根式才能合并”，从而确定被开方数相等，建立方程求解． 先将化为最简二次根式，根据同类二次根式才能合并，可知与​的最简形式是同类二次根式，进而建立等式求解． 【详解】解：． ∵最简二次根式能与另一个二次根式合并得到， ∴​是的同类二次根式，且是最简二次根式，因此有： ． 故答案为：． 【题型2 二次根式的加减运算】 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 先去括号，然后合并同类二次根式，即可得出答案． 【详解】解：原式． 2．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先去括号，再将二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式； （3）把每个二次根式化简后，合并同类二次根式； （4）先化简各二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式= ． （2）解：原式= ． （3）解：原式= ． （4）解：原式= ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先将二次根式化为最简形式，再准确合并同类二次根式． 3．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质进行化简，再去括号，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4.计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算． （2）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算． （3）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算． （4）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 5．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握先将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式是解题的关键． （1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）把所有二次根式化为最简形式，去括号后合并同类二次根式； （3）先化简绝对值，再将二次根式化为最简，去括号后合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 对于（1），根据乘法分配律，二次根式的乘法法则计算； 对于（2），根据，再根据完全平方公式计算，然后根据二次根式的加减法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型3 二次根式的混合运算】 1．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键． 首先计算完全平方公式和二次根式的乘除，然后合并即可． 【详解】解得： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的乘除法法则计算，再根据二次根式的性质化简，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先计算乘法，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则，进行求解即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算. （1）先计算二次根式的乘除运算，再计算加减运算即可. （2）先计算二次根式的乘法运算，再计算加减运算即可. 【详解】（1）解： . （2）解： . 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算乘法，然后计算加减法即可得； （2）先利用乘法公式计算，再计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 7．已知；，求：的值 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，分母有理数化，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 8．已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化可得，，再代入计算即可求解； （2）由（1）得：，，然后根据完全平方公式变形，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：，6，； （2）解：由（1）得：，， ∴． 【题型4 分母有理化】 1．阅读下列解题过程：， ，请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了分母有理化的规律，熟练掌握根式的分母有理化的化简方法是解题的关键． （1）观察解题过程，发现分母有理化的规律，进行化简求解即可； （2）仿照题干中的解题过程得到的规律化简序列，再将每个分数按照规律化简计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，根据分母有理化的方法，分子、分母同时乘以得： ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，对于每个正整数，都有， 则 ． 2．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式的有理化因式、化简计算以及大小比较，熟练掌握有理化因式是解题的关键． （1）利用平方差公式求有理化因式和分母有理化即可； （2）通过有理化将每个项转化为差的形式，利用望远镜求和计算即可； （3）通过有理化将差值转化为倒数形式，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：， 则的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：对于任意的正整数，有， 则 故答案为：； （3）解：设、， 则， ， 由于， 则，即， 因此． 【题型5 已知字母的值，化简求值】 1．已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值． 【详解】解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 故选：C． 2．已知：，则的值为 ． 【答案】 2026 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键． 首先将 分母有理化，得到 ，然后计算 ，展开得到的值，再代入表达式 ，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为 ：2026． 3．设，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，通过观察发现和互为倒数，即，从而将原式化简为． 【详解】解：由，， 计算， 所以． 则． 因此． 故答案为：． 4．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据已知求出和的值，然后利用因式分解进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ． 【题型6 已知条件式，化简求值] 1．已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式，二次根式的混合运算，先计算，，再把原式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 2．已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2)49 【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算． （1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵，， ∴，， 则． 3．已知，求代数式的值． 【答案】2 【分析】根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可． 【详解】解：， ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式． 4．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）先求解 再利用平方差公式进行因式分解，再直接代入计算即可； （2）先求解 再利用完全平方公式进行变形求值即可. 【详解】（1）解： ，， （2） ，， 【点睛】本题考查的是二次根式的求值，二次根式的加减乘法的混合运算，掌握“利用平方差公式与完全平方公式进行变形求解代数式的值”是解本题的关键 【题型7 比较二次根式的大小】 1．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小． 通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小． 【详解】解：，，由于， 所以． 故答案为：． 2．比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 3．比较大小 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，可求出，再求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 5．先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数，是解题的关键． 根据示例中的方法，把与化为分子为1的数，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：． 【题型8 二次根式的应用】 1．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，直接将给定的和代入经验公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故肇事汽车行驶的速度约为， 故选：D． 2．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，剩余部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根在几何图形中的应用，二次根式的运算等知识，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据开方运算，可得阴影的边长，根据二次根式的乘法，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案． 【详解】解：两个空白小正方形的面积是、， 两个空白小正方形的边长是、， 大正方形的边长是， 大正方形的面积是， 阴影部分的面积是． 故选：C． 3．如图，将一个半径为的圆环铁丝展开，重新围成一个矩形．若矩形的长为，则矩形的宽是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据题意得出圆的周长，再根据矩形公式进而求得矩形的宽． 【详解】解：根据题意得：矩形的周长等于圆的周长， ∴矩形的周长为， ∵矩形的长为， ∴矩形的宽是． 故选：B 4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积．这个公式便是海伦公式，也被称为“海伦一秦九韶公式”．若，，，则此三角形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出p的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可．本题考查了二次根式的应用，考查学生的计算能力，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 则三角形的面积 ． 故选：A 5．如图，李明家有一块矩形空地，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为7元，且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)销售收入为3780元 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长为： ． （2）解：由题意，得， ， ， （元）． 答：销售收入为3780元． 【题型9 复合二次根式的化简】 1．阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解； （2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解； （3），据此即可求解． 【详解】（1）解： ∵ ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， 由（1）中结论可知：， ∴， ∵m、n均为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴a的值为或． （3）解：， ∴． 【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键． 2．观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）被开方数，据此即可开方； （2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 则原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键． 3．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ； （2）化简： 【答案】（1），；（2）； 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题． （2）模仿例题解决问题即可． 【详解】解：（1）根据题目意思， ∵和, 点的“横负纵变点”为， 点的“横负纵变点”为， 故答案为：，； （2）∵2+5=7,2×5=10, ∴； 【点睛】双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型． 1．下列二次根式与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的概念。关键在于将各选项化简为最简二次根式后，判断其被开方数是否与相同，只有D选项化简后为，符合题意． 同类二次根式需化简后比较被开方数，化简为，与被开方数相同． 【详解】解：∵， ∴与的被开方数均为3， 故与是同类二次根式． 故选：D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故原式计算错误，不符合题意； B、，故原式计算错误，不符合题意； C、，故原式计算正确，符合题意； D、，故原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3． ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减，第一小题直接合并；第二小题先化简平方根再计算. 【详解】解：， . 故答案为 ；. 4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简绝对值、化简二次根式、运用平方差公式计算，再计算加减法即可． 【详解】解：原式． 5．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式的加法与减法 （九大题型） 【题型1 同类二次根式】......................................................................................................1 【题型2 二次根式的加减运算】..........................................................................................2 【题型3 二次根式的混合运算】..........................................................................................3 【题型4 分母有理化】.........................................................................................................5 【题型5 已知字母的值，化简求值】..................................................................................5 【题型6 已知条件式，化简求值】......................................................................................6 【题型7 比较二次根式的大小】..........................................................................................6 【题型8 二次根式的应用】.................................................................................................7 【题型9 复合二次根式的化简】........................................................................................9 【题型1 同类二次根式】 1．下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式与可以合并的是（    ） A． B． C． D． 4．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ． 【题型2 二次根式的加减运算】 1．计算： 2．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 3．计算下列各式： (1)； (2)． 4.计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)． (2)． (3)． 6．计算： (1)； (2)． 【题型3 二次根式的混合运算】 1．计算： 2．计算：． 3．计算： (1) (2) 4．计算： (1)； (2)． 5．计算： (1) (2) 6．计算： (1)； (2)． 7．已知；，求：的值 8．已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 【题型4 分母有理化】 1．阅读下列解题过程：， ，请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： 2．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 【题型5 已知字母的值，化简求值】 1．已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 2．已知：，则的值为 ． 3．设，，则的值是 ． 4．已知，求的值． 【题型6 已知条件式，化简求值】 1．已知，，求代数式的值． 2．已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 3．已知，求代数式的值． 4．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【题型7 比较二次根式的大小】 1．比较大小： （填“”“”或“”）． 2．比较大小： （填“>”“<”或“=”） 3．比较大小 ． 4．课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 5．先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 【题型8 二次根式的应用】 1．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 2．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，剩余部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将一个半径为的圆环铁丝展开，重新围成一个矩形．若矩形的长为，则矩形的宽是（   ） A． B． C． D． 4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积．这个公式便是海伦公式，也被称为“海伦一秦九韶公式”．若，，，则此三角形面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，李明家有一块矩形空地，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为7元，且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【题型9 复合二次根式的化简】 1．阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 2．观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 3．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ； （2）化简： 1．下列二次根式与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3． ； ． 4．计算：． 5．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $