专题02 二次根式的乘法与除法（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版新教材）

专题02 二次根式的乘法与除法 （六大题型） 【题型1 二次根式的乘法运算】...........................................................................................1 【题型2 二次根式的除法运算】...........................................................................................3 【题型3 二次根式的乘除法运算】.......................................................................................7 【题型4 最简二次根式的判定】..........................................................................................12 【题型5 化为最简的二次根式】..........................................................................................13 【题型6 已知最简二次根式求参数】..................................................................................15 【题型1 二次根式的乘法运算】 1．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （3）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 2．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法法则是解题的关键． （1）本题需要计算，根据二次根式乘法法则，将两个二次根式相乘后再化简求值． （2）本题要计算，利用二次根式乘法法则，先将系数与根式分别相乘，再化简． （3）本题计算，依据二次根式乘法法则，把系数和根式部分分别相乘后化简求值． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可； （2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 【题型2 二次根式的除法运算】 1．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 2．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式； （2）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）进行二次根式的除法运算即可； （2）先将小数化为分数，然后将二次根式化为最简即可； （3）进行二次根式的除法运算即可； （4）直接进行二次根式的除法运算，然后将二次根式化为最简即可； （5）将带分数化为假分数，然后进行二次根式的除法运算，继而化简二次根式可得出答案； （6）直接进行二次根式的除法运算，将所得二次根式化为最简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 4．计算： 【题型3 二次根式的乘除法运算】 1．计算： (1)÷ (2)÷ (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）利用二次根式的性质化简即可； （4）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3） ； （4） ． 【点睛】题目主要考查二次根式乘除法运算及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 2．计算： (1)； (2)4÷2． (3) (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)6a 【分析】（1）根据二次根式的性质直接化简即可； （2）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可； （3）根据二次根式的性质直接化简即可； （4）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可． 【详解】（1）解： ＝5； （2） （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 3．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则，逐步化简计算； （2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算． 【详解】（1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算： 原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用、的性质，将式子统一化简后计算． 4．计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 5．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺序和根式的约分是解题的关键． （1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化简； （2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【题型4 最简二次根式的判定】 1．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 最简二次根式的被开方数不含能开尽方的因数或因式，且不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 选项B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C、，被开方数不含能开尽方的因数，是最简二次根式； 选项D、 ，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：C． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的条件进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C 3．若整数能使二次根式为最简二次根式，则的值可以是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式．将各个选项x的值代入二次根式验证即可． 【详解】解：A：当时，，不符合题意； B：当时，，不符合题意； C：当时，，不符合题意； D：当时，，符合题意； 故选：D． 4．在二次根式，，，，，中，是最简二次根式的（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别判断得出答案． 【详解】解：，不是最简二次根式；，不是最简二次根式；是最简二次根式；是最简二次根式；，不是最简二次根式；，不是最简二次根式． ∴是最简二次根式的有2个， 故选：A． 【题型5 化为最简的二次根式】 1．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式． 【详解】解：因为 ，所以 ， 则 ， 故答案为 ． 2．将化为最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式． 3．化简： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简． 【详解】解：（1）∵ = ，而 ，， ∴原式 = . 故答案为： . （2）， . 故答案为：． （3）， . 故答案为：． 4．将二次根式化为最简二次根式，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解决本题的关键．直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 1．若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简等知识，先得到，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案．熟记最简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键． 【详解】解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， 故答案为：． 2．若与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义和二次根式的化简，先把化简成最简的二次根式，即可得到关于t的一元一次方程，求出t即可． 【详解】解：化简：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得： 3．若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 4．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：依题意，， 解得：， 且，符合题意， 故答案为：． 5．若为整数，则x的最小正整数值为 ． 【答案】2 【分析】对被开方数进行分解，得，要使为整，则最小要保证被开方式能开尽，得出答案． 【详解】解： 的最小正整数值是2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，其中对被开方数的分解是解决本题的关键． 1．下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A．，被开方数含分母，不是最简二次根式； B．是最简二次根式； C．，被开方数含分母，不是最简二次根式； D．，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选：B． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，二次根式的乘方． 根据运算性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．， 不符合题意； C．在实数范围内，无意义，不符合题意； D．，符合题意． 故选：D． 3．计算：＝ ． 【答案】60 【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式乘法法则，先确定符号为正，再计算数值部分． 【详解】原式 = = ． 故答案为：． 4．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】先化简除式中的根式，再转化为乘法，最后有理化分母； 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴原式= 故答案为：． 5．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将系数部分相乘，再将被开方数部分相乘，合并后化简二次根式得到结果； （2）先计算系数的乘除，再将被开方数部分进行乘除运算，化简后得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：由题意得：， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式乘除时，系数与系数运算、被开方数与被开方数运算，再化简结果是解题的关键． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的乘除混合运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解： 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式除法，二次根式乘法，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式性质，二次根式除法法则化简，然后合并即可； （）通过二次根式性质，平方差公式，二次根式乘法法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的乘法与除法 （六大题型） 【题型1 二次根式的乘法运算】..........................................................................................1 【题型2 二次根式的除法运算】..........................................................................................2 【题型3 二次根式的乘除法运算】......................................................................................3 【题型4 最简二次根式的判定】.........................................................................................4 【题型5 化为最简的二次根式】.........................................................................................4 【题型6 已知最简二次根式求参数】..................................................................................4 【题型1 二次根式的乘法运算】 1．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 2．计算： (1)． (2)． (3)． 3．计算： (1)； (2)． 【题型2 二次根式的除法运算】 1．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．计算 (1)； (2)． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【题型3 二次根式的乘除法运算】 1．计算： (1)÷ (2)÷ (3) (4)． 2．计算： (1)； (2)4÷2． (3) (4)． 3．计算： (1)． (2)． 4．计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 5．计算： (1)． (2)． 【题型4 最简二次根式的判定】 1．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．若整数能使二次根式为最简二次根式，则的值可以是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 4．在二次根式，，，，，中，是最简二次根式的（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型5 化为最简的二次根式】 1．化简： ． 2．将化为最简二次根式为 ． 3．化简： （1） ． （2） ． （3） ． 4．将二次根式化为最简二次根式，结果是 ． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 1．若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 2．若与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 3．若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）． 4．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 5．若为整数，则x的最小正整数值为 ． 1．下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算：＝ ． 4．计算的结果为 ． 5．计算： (1)． (2)． 6．计算：． 7．计算： (1)； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $