3.3.1抛物线的定义及方程教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

包头市景泰高级中学 高二数学 教案本 包头市景泰高级中学教务处 2025 包头市景泰高级中学 数学 教案 课题 抛物线的定义和方程 主备教师 张海军 备课教师 数学教研组 授课时间 12.10 课时安排 6课时 教学目标 1理解抛物线的定义，能通过“到定点F与定直线l（l不经过F）距离相等”的几何条件解释抛物线的形成过程，达到数学抽象核心素养水平一要求。 2熟练掌握抛物线标准方程（）的推导过程，能运用距离公式进行严谨的代数运算，达到逻辑推理和数学运算核心素养水平二要求。 3能根据抛物线标准方程准确确定焦点坐标和准线方程，反之能由焦点或准线求标准方程，达到直观想象核心素养水平一要求。 4能类比焦点在x轴正半轴的情况，探究焦点在其他位置时的标准方程，理解坐标系选择对方程形式的影响，培养分类讨论思想，达到数学建模核心素养水平二要求。 教学重难点 教学重点：抛物线的定义及几何特征；标准方程（）的推导过程；焦点坐标与准线方程的对应关系。 教学难点：理解“到定点与定直线距离相等”的几何本质，区分抛物线与二次函数的关系；掌握不同焦点位置下标准方程的形式差异及符号规律。 教学过程 任务（教师） 活动（学生） 教学反思 （一）根据抛物线的定义来完成抛物线的方程。 （二）根据抛物线的定义并完成常考四种抛物线的方程。 （三）利用抛物线的四种的方程完成一些常考的经典类型题。 一、抛物线的定义 借助几何画板进行动态演示：如图，设F是平面内一定点，l是不经过F的定直线，H是l上任意一点，过H作，作线段FH的垂直平分线m，m与MH交于点M。拖动H沿l移动，观察点M的运动轨迹。 通过观察发现：无论H如何移动，点M始终满足，即动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离。由此抽象出抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 为推导标准方程，建立直角坐标系：以过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于点K，以线段KF的中点为坐标原点O。设（，p表示焦点到准线的距离），则焦点F的坐标为，准线l的方程为。 设抛物线上任意一点M的坐标为，根据定义，（MH为M到l的垂线段）。由距离公式： 点M到焦点F的距离： 点M到准线l的距离： 由，得方程： 将方程两边平方，展开得： 化简后得到：（）。 二、抛物线的四种方程 图形 标准方程 范围 焦点 准线方程 定义 定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线上) 例题分析 类型一、抛物线的定义 1已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为4，则点到轴的距离为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 解：故选：． 2若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为　　 A． B． C． D． 解：故选：． 3顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为　　 A． B． C． D． 解：故选：． 2、 抛物线的最小值 1已知抛物线的焦点为，是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（　　） A． B．4 C．2 D． 答：B 2已知抛物线的焦点为，为上一点，，当的周长最小时，的面积为　　 A． B．1 C． D．2 答：A 3已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为　　 A． B． C． D． 答：A 四 抛物线的焦点弦 设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则 ⑴ ⑵ (3) (4) (5) )(在上方) (6) (7）以为直径的圆与准线相切； (8)以为直径的圆与准线相切。 试题分析 1抛物线的焦点为，点在上，若．则点的坐标为　　 A． B． C． D． 解：故选：． 2过抛物线的焦点作直线交抛物线于，，，两点，若，那么　　． 解：故答案为：10． 3已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 答：A 4已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B（A在线段BF上），，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 解：故选：B. 5已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则 ． 答：4 限时作业 1抛物线的焦点坐标和准线方程分别是（ ） A.， B．，， D．， 2已知点M(2, 1)，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为　　 A． B． C． D． 4已知点为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的横坐标为　　 A． B．2 C． D．3 5已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为4，则点到轴的距离为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 6 已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是 　　 7已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 8已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 课程总结 1本节课我们主要学习抛物线的定义以及推导过程。 2结合第一种抛物线的方程来完成剩下三种方程的图像和性质。 3 利用抛物线的方程来完成一些简单的试题和常考类型题的并加强计算能力。 4 掌握一种常考的题型，抛物线的焦点弦问题以及抛物线的中点弦问题 板书设计 1 通过抛物线的定义来推导抛物线的方程 4 总结抛物线的常考题型 2 通过抛物线的方程分析抛物线的性质 5 例题1分析 3 整理抛物线的焦点弦问题和中点弦问题 6 多种类型题分析 学科网（北京）股份有限公司 $