第03讲 垂径定理（知识详解+4典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学下册同步讲义与测试

本讲义聚焦垂径定理这一核心知识点，系统梳理垂直于弦的直径平分弦及弧的定理内容，详解平分弦（非直径）的直径垂直弦等三个推论，构建从基础概念到性质应用的学习支架，辅以分题型典例及变式训练，帮助学生逐步掌握定理的灵活运用。 资料精选上海地区模拟题、月考题作为例题，如圆材半径计算、拱桥水面宽度等实际问题，培养学生几何直观与模型意识。通过命题判断、证明题提升推理能力，课中便于教师分层教学，课后习题覆盖选择、填空、解答题，助力学生查漏补缺，强化运算与应用能力。

第03讲 垂径定理（知识详解+4典例分析+习题巩固） 【知识点01】垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【题型一】利用垂径定理求值 例1．（2025·上海·模拟预测）已知圆的半径长为，和是圆的两条弦，，，是的中点，是的中点，那么线段的长度不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，连接、、、，由垂径定理得，，，，由勾股定理得，，当时，E、O、F三点共线，当、位于O的同侧时，线段的长度最短，当、位于O的两侧时，线段的长度最长，便可得出结论． 【详解】解：连接、、、，如图所示： ∵的直径为10， ∴， ∵点E、F分别是弦、的中点，，， ∴，，，， ∴，， 当时，E、O、F三点共线， 当、位于O的同侧时，线段的长度最短， 当、位于O的两侧时，线段的长度最长， ∴线段的长度的取值范围是， 故选：D． 例2．（2025·上海·模拟预测）如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为 ． 【答案】2 【知识点】折叠问题、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查垂径定理，翻折变换，关键是由翻折变换的性质推出是等边三角形． 由翻折变换的性质推出是等边三角形，得到，由垂径定理得到的长，由锐角的正弦即可求出的长． 【详解】解：设的对应点是，连接,，， 由题意知垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是2． 故答案为：2． 例3．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 【详解】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 变式1．（2023·上海金山·二模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是   A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】连接，过点作，垂足为，可构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理即可得答案．本题考查垂径定理及推论、矩形性质，掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 【详解】解：过点作，垂足为，连接， 四边形是矩形， ． 设， 则，， 在直角三角形中，， 即， 解得，即球的半径为5． 故选：B． 变式2．（24-25九年级上·上海杨浦·月考）如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，得到是解答的关键；连接，先根据垂径定理的推论得到，再利用勾股定理即可解答； 【详解】解：如图，连接， ∵是圆的直径，直径, ∴, ∵， ∴， ∵, ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．（2025·上海浦东新·三模）如图，在中，，，，点是边上的动点，以为半径作．    (1)若与边的另一交点为点，设，的面积为，求关于的函数解析式，并直接写出函数的定义域； (2)若被直线和直线截得的弦长相等，求的长； (3)若的半径等于1，且与的公共弦长为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、解直角三角形的相关计算、利用垂径定理求值 【分析】（1）作，垂径定理结合三角函数，求出，进而得到，，利用三角形的面积公式求出函数解析式，根据，求出自变量的范围即可； （2）作，易得四边形为矩形，根据等弦对应的弦心距相等，得到，进而得到四边形为正方形，得到，列出方程进行求解即可； （3）设与的公共弦与交于点，易得，，进而得到垂直平分，勾股定理，求出的长，进而求出的长，在中，根据勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：作，则：， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）作， ∵， ∴四边形为矩形， ∵被直线和直线截得的弦长相等， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 解得：， ∴ （3）如图，设与的公共弦与交于点， 由题意，得：，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理，得：， ∴， 解得：， 经检验，均为原方程的解， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形，矩形和正方形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 【题型二】利用垂径定理求解其他问题 例4．（24-25九年级下·上海·月考）下列命题中，假命题是（   ） A．垂直平分弦的直线经过圆心； B．平分弦的直径垂直这条弦； C．平分弦和弦所对弧的直线经过圆心； D．平分弦所对弧的直径垂直这条弦 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、垂径定理的推论、判断命题真假 【分析】本题考查了命题真假的判断，垂径定理及其推论，熟练掌握定理是解题的关键．根据垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个，逐项判断即可． 【详解】解：A、垂直平分弦的直线经过圆心，故该选项为真命题，不符合题意； B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直这条弦， 故该选项为假命题，符合题意； C、平分弦和弦所对弧的直线经过圆心，故该选项为真命题，不符合题意； D、平分弦所对弧的直径垂直这条弦，故该选项为真命题，不符合题意； 故选：B． 例5．（24-25九年级下·上海·月考）已知：如图，在中，弦，、分别是、的中点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是正确的将证明弦心距转化为证明两弦相等．利用同圆或等圆中相等的弦相等证明可得，进而得到，从而可得，进而得到；即可得证． 【详解】证明：连接，，，， 点、是、的中点， ，， ， 又， ， ， 即． 变式1．（2024·上海长宁·二模）如图，已知点、、、都在上，，，下列说法错误的是(　　) A．弧弧 B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系；根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴，，故A正确；， ∴， , ∴，故B正确；, ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 变式2．（23-24九年级下·上海·月考）如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作于点，于点，利用垂径定理得到，，且易得四边形为矩形，进而得到，再利用等量代换即可得到． 【详解】解：作于点，于点， ，，， ， 易得四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． 【题型三】垂径定理的推论 例6．（24-25九年级下·上海浦东新·月考）下列命题中，假命题是（   ） A．如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等 B．同圆或等圆中，如果两条弧不相等，则它们所对的弦也一定不相等 C．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦 D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧 【答案】B 【知识点】判断命题真假、利用弧、弦、圆心角的关系求解、垂径定理的推论 【分析】此题考查了弧、弦之间的关系，垂径定理的推论．根据弧、弦之间的关系，垂径定理的推论进行判断即可． 【详解】解：A. 如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等，是真命题，故选项不符合题意； B. 同圆或等圆中，如果两条弧不相等，则它们所对的弦有可能相等，选项是假命题，故选项符合题意； C. 如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，是真命题，故选项不符合题意； D. 如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，是真命题，故选项不符合题意； 故选：B 例7．（24-25九年级上·上海·月考）已知是半径长为5的的内接等腰三角形，且底边，那么的面积为 ． 【答案】3或27 【知识点】三线合一、垂径定理的推论、线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形 【分析】从圆心在三角形内部和外部两种情况讨论，根据垂径定理和三角形的性质求出答案． 【详解】解：如图，作于点D， ， ， ∴垂直平分， ∴圆心在上，连结， 当圆心在三角形内部时， ∵， 根据勾股定理，，则， ∴； 当圆心在三角形外部时，， 根据勾股定理，，则， ∴， 故答案为：3或27． 【点睛】本题考查的是垂径定理、线段垂直平分线的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理，正确运用定理和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用． 变式1．（24-25九年级下·上海·月考）下列命题中正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分这条弦 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．平分弧的直线垂直于弧所对的弦 D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦 【答案】D 【知识点】判断命题真假、垂径定理的推论 【分析】本题考查了命题的真假，垂径定理的运用，理解垂径定理及其推论是解题关键．根据垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧，逐项分析即可． 【详解】解：A、垂直于弦的直线不一定平分这条弦，原命题是假命题，不符合题意； B、平分弦的直径不一定垂直于这条弦，原命题是假命题，不符合题意； C、平分弧的直线不一定垂直于弧所对的弦，原命题是假命题，不符合题意； D、平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 变式2．（2025·上海·模拟预测）在半圆中作矩形，点C、D在圆弧上，点E在上，点F在上．连接交于点G，连接．若，则半圆的半径长为 ． 【答案】 【知识点】垂径定理的推论、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形和全等三角形的判定与性质综合，垂径定理的推论等知识点，连接，证，得；；再证，推出，，；由题易知：，可推出，，即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： ∵ ∴； ∵， ∴； ∴；； ∵， ∴； ∵ ∴； ∴，， ∴； 作，如图所示： 则； ∵， ∴四边形矩形， ∴； 同理可得：； ∴； ∴，，， ∴ 即， ∴， ∴， 故答案为： 变式3．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知在中，经过点A、B，与的另一个交点为，． (1)求的半径长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、垂径定理的推论 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接延长交于，连接，结合易得，由垂径定理可知，进而由勾股定理可解得得值，设圆半径为，则，然后由勾股定理解得的值即可； （2）连接，证明，由正切的定义可知，即，代入求得，易知，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图，连接延长交于，连接， ， ， ， ， ， ， 设圆半径为，则， ，即 解得：； （2）连接，如下图， ， ， ， ，即， ∴，解得， ， ． 【题型四】垂径定理的实际应用 例8．（2024·上海·模拟预测）如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知大小，将它锯下测得深度为寸，锯长为寸，则圆材的半径为 寸． 【答案】13 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．设圆形木材的圆心为，连接，，先根据垂径定理可得寸，再设圆材的半径为寸，则寸，寸，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设圆形木材的圆心为，连接，， 由题意得：点共线，， ∴， ∴（寸）， 设圆材的半径为寸，则寸， ∵深度为寸， ∴寸， 在中，，即， 解得， 即圆材的半径为13寸， 故答案为：13． 例9．（23-24九年级下·上海宝山·期中）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形是观众观演区，阴影部分是舞台，是半圆O的直径，弦与平行．已知长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众． 【答案】150 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，矩形的性质等知识，过O作于G，交弧于H，连接，利用垂径定理求出，设半圆的半径为r，在中，利用勾股定理求出半径，从而可求矩形的面积，即可求解． 【详解】解：过O作于G，交弧于H，连接， 则，， ∵，， ∴， 设半圆的半径为r，则， 在中，， ∴， 解得， ∴ ∴正方形边长， ∴， ∴矩形的面积为， ∵每平方米最多可以坐3名观众，， ∴观演区可容纳人， 故答案为：150． 例10．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂径定理的实际应用、角平分线的判定定理、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、垂径定理的实际应用等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）作，推出，进而得平分，即可求证； （2）证得，，进而得，再证即可； 【详解】（1）证明：作， ， ， ∴平分， ， （2）证明：如图所示： ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 变式1．（2023九年级·上海·专题练习）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为 米． 【答案】0.8或0.2. 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】构造垂径定理，分两种情形求得弦心距，从而得到水深. 【详解】如图所示，作AB的垂直平分线，垂足为E， 根据题意，得   AO=0.5，AE=0.4， 根据勾股定理，得OE===0.3， ∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米） 或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米）， ∴水深为0.2米或0.8米. 故答案为：0.2米或0.8. 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解答时，构造垂径定理，活用分类思想是解题的关键. 变式2．（2023九年级·上海·专题练习）铲车轮胎在建筑工地的泥地上留下圆弧形凹坑如图所示，量得凹坑跨度为，凹坑最大深度为，由此可算得铲车轮胎半径为 ． 【答案】 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】先补全图形，然后根据垂径定理和勾股定理解答，即可． 【详解】解：如图，将圆弧补全，连接，则点O，D，C三点共线，且， ∴ 设半径为R，则， 根据勾股定理得：， 解得：． 即铲车轮胎半径为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 变式3．（24-25九年级下·上海·月考）如图，公园里有一圆弧形的拱桥，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶到水面的距离米． (1)求水面宽度的大小； (2)当水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，若，求水面上升的高度． 【答案】(1)16米 (2)2米 【知识点】已知正切值求边长、垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了余切，垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）设拱桥所在圆的圆心为，由题意可知，点在的延长线上，连接，在中，根据勾股定理求出，然后根据垂径定理求出即可； （2）设与相交于点，连接，在中，根据余切定义可求出，设水面上升的高度为米，即，则，在中，根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为，由题意可知，点在的延长线上，连接， ∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理可得：， ∵，是半径， ∴， 即水面宽度的长为16米． （2）解：设与相交于点，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设水面上升的高度为米，即，则， ∴， 在中，， ∴， 化简得， 解得（舍去），， 答：水面上升的高度为2米． 一、单选题 1．下列说法中， 正确的是（   ） A．任意三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．三角形的外心到它的三顶点的距离相等 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】C 【分析】根据各个命题的真假进行判断即可． 【详解】解：A、同一平面内，任意不在同一直线上的三点确定一个圆，故A错误，不符合题意； B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故B错误，不符合题意； C、三角形的外心到它的三顶点的距离相等，故C正确，符合题意； D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理，三角形的外心，以及同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；解题的关键是熟练掌握各个定理的内容． 2．下列命题中：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③等弧所对的圆心角相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤优弧一定大于劣弧．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用确定圆的条件、垂径定理、三角形的外心的性质及圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意； ③等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； ④三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，故原命题错误，不符合题意； ⑤优弧不一定大于劣弧，故原命题错误，不符合题意． 正确的有1个， 故选：A． 3．如图，为的直径，弦于E，，，则的值是(    ) A．13 B．20 C．26 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，设圆的半径为，则，由垂径定理可得， ，中由勾股定理建立方程求解即可； 【详解】如图，连接， 设圆的半径为，则， 由垂径定理可得，， 中，， ， 解得：，， ， 故选：C． 4．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD=6，则隧道的高（ME的长）为（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【详解】如图，连接OD， ∵在O中，M是弦CD的中点， ∴OM⊥CD，MD=CD=3， ∴∠OMD=90°， ∴在Rt△OMD中，OM=， ∴ME=OM+ME=4+5=9. 故选D. 点睛：在和“垂径定理”有关的问题中，（1）若已知中有过圆心向弦作的垂线段，我们就连接圆心和弦的一个端点，构造直角三角形，利用勾股定理来解题；（2）若已知中有了圆心和弦的端点的连线，我们就过圆心向弦作垂线段，构造直角三角形利用勾股定理来解题； 5．如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（　　） A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【详解】解：连接OA， ∵OC⊥AB，AB=8， ∴ACAB=×8=4． 在Rt△OAC中，．故选A． 6．如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可. 【详解】解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E， ∵C是弧AB的中点，AB=6， ∴OC⊥AB，AE=BE=3， ∵∠ADC=30°， ∴∠AOC=2∠ADC=60°， 又∵OA=OC， ∴△OAC是等边三角形， ∵OC⊥AB, ∴，, ∴ ∴ ∴圆心O到弦AB的距离为， 故选C. 【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 二、填空题 7．如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 cm． 【答案】8 【分析】连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D．根据垂径定理得到，然后根据勾股定理求出CO的长度，即可求出水管中的水最大深度CD的长度． 【详解】解：如图所示，连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D． ∵ AB是圆的一条弦， ∴， ∴在△AOC中，， ∴， ∴水管中的水最大深度为8cm． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识的运用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，勾股定理． 8．一条弦把圆中的一条直径分为2cm和6cm的两部分，若弦与直径的夹角为45°，则圆心到该弦的距离为 cm． 【答案】 【分析】分析题意，首先根据题意画出图形，AB是⊙O的一条直径，CD是⊙O的一条弦，AE=6cm，BE=2cm，∠AEC=45°；过点O作OF⊥CD于F，结合题意得出OA的长，进而求出OE的长；根据∠CEO=45°、OF⊥CD，利用锐角三角函数的定义即可求出OF的长. 【详解】根据题意画出图形，AB是⊙O的一条直径，CD是⊙O的一条弦，AE=6cm，BE=2cm，∠AEC=45°. 过点O作OF⊥CD于F. ∵BE=2cm，AE=6cm， ∴AB=8cm，AO=4cm， ∴OE=2cm， ∵∠OEF=45°，OF⊥CD， ∴OF=OE•sin45°=2×=. 即圆心到该弦的距离为cm. 故答案为 . 【点睛】本题考查垂径定理，锐角三角函数的定义，解题关键是构造直角三角形. 9．如图，在平面直角坐标系中，所在圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，熟练掌握垂径定理的推论是解题关键．连接，根据垂径定理的推论可得的线段垂直平分线的交点即为所求，结合网格写出坐标即可得． 【详解】解：连接，结合网格作的线段垂直平分线，交点即为所在圆的圆心． 故答案为：． 10．如图，在半径为10的圆中，距圆心O点为20的A点，过点A做割线，交圆于两点，O点到距离为6，设为x，则 ． 【答案】364 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理解三角形．理解题意，连接，过点O作于D，根据勾股定理得出，再由垂径定理得出，确定，根据题意即可求解． 【详解】解：连接，过点O作于D，如图所示： 依题意得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 为x，， ， ． 故答案为：364． 11．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与的距离为4米，且弧所在圆的半径为10米，则路面的宽度为 米． 【答案】16 【分析】先根据勾股定理CF=米，根据垂径定理求出DF=CF=8米，然后根据四边形ABCD为矩形，得出AB=DC=16米即可． 【详解】解：∵EF=4米，OC=OE=10米， ∴OF=OE-EF=6米， 在Rt△OEC中，CF=米， ∵OF⊥DC，DC为弦， ∴DF=CF=8米， ∴DC=2×8=16米， ∴四边形ABCD为矩形， ∴AB=DC=16米， 故答案为：16． 【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，矩形性质，掌握勾股定理，垂径定理，矩形性质是解题关键． 12． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 13．如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据题意，可知，易得，设此圆的半径长为，则，，在中，由勾股定理可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 根据题意，可知， ∵，， ∴， 设此圆的半径长为，则， ∴， ∴在中，可有， ∴，解得， 即此圆的半径长为． 故答案为：． 14．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长8cm，那么⊙O的半径等于 ，OM的长为 ． 【答案】 5cm 3cm 【分析】如图，过⊙O内一点M的最长的弦为直角AD，最短的弦为垂直OM的弦BC，由已知可得AD=10cm，BC=8cm，然后利用勾股定理求得OM的长即可. 【详解】 如图，过⊙O内一点M的最长的弦为直角AD，最短的弦为垂直OM的弦BC， 由已知可得AD=10cm，BC=8cm， ∴OA=OB=5cm，BM=4cm， 则OM==3cm. 故答案为5cm；3cm. 【点睛】本题主要考查了圆的基本知识点，垂径定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 15．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦的长为3，过作于点，则的长度是 ；⊙O内一点的坐标为，当弦绕点顺时针旋转时，点到的距离的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 【分析】连接OA，则OA=4，AC=AB=，根据勾股定理计算得到OC；当OC经过点D时，点D到AB的距离最小；当定D在CO的延长线上时，距离最大，计算DO==求解即可 【详解】解：连接OA， ∵OA=4，AB=3， ∴AC=AB=， ∴OC=； 故答案为：； 当OC经过点D时，点D到AB的距离最小， ∵DO==， ∴最小距离为OC-OD=； 故答案为：； 当定D在CO的延长线上时，距离最大， ∵DO==， ∴最大距离为OC+OD=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，两点间的距离，根据圆的对称性确定最大和最小值，熟练运用垂径定理和分类思想是解题的关键． 16．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 ． 【答案】 【分析】连接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可． 【详解】解：连接AB，如下图所示： ∵∠AOB=90°，OA=OB=2， ∴， ∵，， ∴，， ∴为的中位线， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题． 17．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 18．在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ． 【答案】2或14 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题的关键． 由于弦和平行，且它们与圆心的相对位置不确定，需分同侧和异侧两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：①当在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作交于F，连接， 由垂径定理可知， 在中，； 在中，， 所以； ②当在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作交于F，连接， 同（一）可知：， 所以． 故答案为：2或14． 三、解答题 19．如图所示，ABCD是圆的内接四边形，AE平分∠BAD交外接圆于点E，点E到BC和DC的距离分别为EM，EN，求证：EM=EN. 【答案】见解析. 【分析】连接CE，根据圆内接四边形的性质和垂径定理进行计算即可得到答案. 【详解】连接CE， 则∠FCE=∠DAE，∠ECB=∠EAB 又∵∠DAE=∠EAB ∴∠FCE=∠ECB ∵EM⊥CB，EN⊥CF ∴EM=EN. 【点睛】本题考查垂径定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆内接四边形的性质. 20．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5．求CD的长． 【答案】4 【分析】连接OC，求出OC、OP，根据勾股定理求出CP，根据垂径定理得出CD＝2CP，即可求出答案． 【详解】解：连接OC， ∵⊙O的直径AB＝12， ∴OB＝AB＝6， ∴OC＝6， ∵BP∶AP＝1∶5， ∴BP＝AB＝×12＝2， ∴OP＝OB﹣BP＝6﹣2＝4， ∵CD⊥AB， ∴CD＝2PC， 在Rt△OPC中， ∵OC＝6，OP＝4， ∴PC＝＝＝2， ∴CD＝2PC＝4． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容是解本题的关键． 21．如图，在化学实验中，一个底部呈球形的烧瓶，其纵截面是如右图的．瓶内液体的最大深度为，液面的宽度的长为，求的半径． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用．设的半径为，即，进而表示出的长，由垂径定理可知，在中，由勾股定理可得，列式解方程即可得解． 【详解】解：设的半径为，即， ， 由垂径定理可知， 在中，，即， 解得， 即的半径为． 22．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 【答案】此桥拱圆弧的半径约为 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图2所示，设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为， 由垂径定理可知，， ，，三点共线， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 此桥拱圆弧的半径约为． 23．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连结，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 24．已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若，，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角性质，垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，，然后根据三角形的外角性质得到解答即可； （2）根据（1）中结论求出，过点O作于点F，则，然后根据的直角三角形的性质和勾股定理解答即可 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， 过点O作于点F，则， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25．如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质． （1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； （2）解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 26．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析； (4)作图见解析． 【分析】（）找中点，连接，交与点； （）先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可； （）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点； （）根据网格特征即可； 此题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用． 【详解】（1）如图，找中点，连接，交与点， ∴点即为所求； （2）如图，先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可， ∴点即为所求； （3）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点， ∴点即为所求； （4）如图，已知图中， 延长交于点， ∴，根据网格作高的特点，作的高， ∴，延长交于点， 根据同弧所对的圆周角相等，则， ∴， ∴， ∴ ， ∴点即为所求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 垂径定理（知识详解+4典例分析+习题巩固） 【知识点01】垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【题型一】利用垂径定理求值 例1．（2025·上海·模拟预测）已知圆的半径长为，和是圆的两条弦，，，是的中点，是的中点，那么线段的长度不可能为（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·上海·模拟预测）如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为 ． 例3．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 变式1．（2023·上海金山·二模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是   A．4 B．5 C．6 D．8 变式2．（24-25九年级上·上海杨浦·月考）如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 变式3．（2025·上海浦东新·三模）如图，在中，，，，点是边上的动点，以为半径作．    (1)若与边的另一交点为点，设，的面积为，求关于的函数解析式，并直接写出函数的定义域； (2)若被直线和直线截得的弦长相等，求的长； (3)若的半径等于1，且与的公共弦长为，求的长． 【题型二】利用垂径定理求解其他问题 例4．（24-25九年级下·上海·月考）下列命题中，假命题是（   ） A．垂直平分弦的直线经过圆心； B．平分弦的直径垂直这条弦； C．平分弦和弦所对弧的直线经过圆心； D．平分弦所对弧的直径垂直这条弦 例5．（24-25九年级下·上海·月考）已知：如图，在中，弦，、分别是、的中点．求证：． 变式1．（2024·上海长宁·二模）如图，已知点、、、都在上，，，下列说法错误的是(　　) A．弧弧 B． C． D． 变式2．（23-24九年级下·上海·月考）如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ． 【题型三】垂径定理的推论 例6．（24-25九年级下·上海浦东新·月考）下列命题中，假命题是（   ） A．如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等 B．同圆或等圆中，如果两条弧不相等，则它们所对的弦也一定不相等 C．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦 D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧 例7．（24-25九年级上·上海·月考）已知是半径长为5的的内接等腰三角形，且底边，那么的面积为 ． 变式1．（24-25九年级下·上海·月考）下列命题中正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分这条弦 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．平分弧的直线垂直于弧所对的弦 D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦 变式2．（2025·上海·模拟预测）在半圆中作矩形，点C、D在圆弧上，点E在上，点F在上．连接交于点G，连接．若，则半圆的半径长为 ． 变式3．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知在中，经过点A、B，与的另一个交点为，． (1)求的半径长； (2)求的面积． 【题型四】垂径定理的实际应用 例8．（2024·上海·模拟预测）如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知大小，将它锯下测得深度为寸，锯长为寸，则圆材的半径为 寸． 例9．（23-24九年级下·上海宝山·期中）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形是观众观演区，阴影部分是舞台，是半圆O的直径，弦与平行．已知长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众． 例10．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 变式1．（2023九年级·上海·专题练习）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为 米． 变式2．（2023九年级·上海·专题练习）铲车轮胎在建筑工地的泥地上留下圆弧形凹坑如图所示，量得凹坑跨度为，凹坑最大深度为，由此可算得铲车轮胎半径为 ． 变式3．（24-25九年级下·上海·月考）如图，公园里有一圆弧形的拱桥，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶到水面的距离米． (1)求水面宽度的大小； (2)当水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，若，求水面上升的高度． 一、单选题 1．下列说法中， 正确的是（   ） A．任意三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．三角形的外心到它的三顶点的距离相等 D．平分弦的直径垂直于弦 2．下列命题中：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③等弧所对的圆心角相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤优弧一定大于劣弧．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，为的直径，弦于E，，，则的值是(    ) A．13 B．20 C．26 D．28 4．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD=6，则隧道的高（ME的长）为（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 5．如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（　　） A．5 B．10 C．8 D．6 6．如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 cm． 8．一条弦把圆中的一条直径分为2cm和6cm的两部分，若弦与直径的夹角为45°，则圆心到该弦的距离为 cm． 9．如图，在平面直角坐标系中，所在圆的圆心坐标是 ． 10．如图，在半径为10的圆中，距圆心O点为20的A点，过点A做割线，交圆于两点，O点到距离为6，设为x，则 ． 11．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与的距离为4米，且弧所在圆的半径为10米，则路面的宽度为 米． 12． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 13．如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 14．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长8cm，那么⊙O的半径等于 ，OM的长为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦的长为3，过作于点，则的长度是 ；⊙O内一点的坐标为，当弦绕点顺时针旋转时，点到的距离的最小值是 ，最大值是 ． 16．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 ． 17．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 18．在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ． 三、解答题 19．如图所示，ABCD是圆的内接四边形，AE平分∠BAD交外接圆于点E，点E到BC和DC的距离分别为EM，EN，求证：EM=EN. 20．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5．求CD的长． 21．如图，在化学实验中，一个底部呈球形的烧瓶，其纵截面是如右图的．瓶内液体的最大深度为，液面的宽度的长为，求的半径． 22．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 23．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 24．已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若，，求弦的长． 25．如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 26．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $