第02讲 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（知识详解+3典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学下册同步讲义与测试

本讲义聚焦圆心角、弧、弦的关系及三角形外接圆与外心两大核心知识点，前者以圆的旋转不变性为基础，阐述同圆或等圆中“知一推二”的定理及推论，后者明确外心是三边垂直平分线交点及不同三角形外心位置，构建从基础关系到应用的学习支架。 资料通过典例分析（如例1命题辨析）培养推理意识，结合折叠等几何问题（如例2）发展几何直观，习题涵盖选择、填空、解答，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，体现数学思维与眼光的培养。

宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味司 第02讲圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 (知识详解+3典例分析+习题巩固) 目标导航 【题型一】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【知识点01】圆心角、弧、弦的关系 圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系 【题型二】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【知识点02】三角形的外接圆与外心 【题型三】已知圆内接四边形求角度 知识详解 【知识点01】圆心角、弧、弦的关系 (1)定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. (2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都 分别相等. 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧 (3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”， 项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合. (4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分. 【知识点02】三角形的外接圆与外心 (1)外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. (3)概念说明： ①接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点. ②锐角三角形的外心在三角形的内部：直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外 部 ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内 接三角形却有无数个 典例分析 【题型一】利用孤、弦、圆心角的关系求解 例1.(2024·上海静安二模)对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等， 那么它们所对的弧相等.下列判断正确的是() A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题 例2.(2023·上海·一模)如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是AB上一点。 将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A'F恰好与半径OB相切于点G,若OE=5,则O到折痕EF的距离 为 G 2 i⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。 例3.(2025·上海嘉定·二模)如图，已知AD是半圆O的直径，半径OB垂直于弦AC,垂足为点E,联结AB, CD=2AB. E D (1)求∠AOB的度数： (2)求tan∠BAC的值. 变式1.(24-25九年级上·上海·月考)下列命题中，正确的是() A.相等的弧所对的圆心角相等 B.圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 3 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味。 C.相等的圆心角所对的弦相等 D.同圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 变式2.(24-25九年级下·上海浦东新·月考)若⊙0的半径为3cm,一条弦分⊙0为1：3两部分，这条弦的长度为一 变式3.(2023·上海模拟预测)如图，AB是半圆O的直径，AB=2,P是半圆O上一动点，PC⊥AB,垂足为点 C,D是AP的中点，联结BD. D 0 备用图 备用图 ①)当4C-时，求线段4P的长 (2)设BC=x,tan∠ABD=y,求y关于x的函数解析式： (3)设PC与BD交于点E,当CE:PE=1:4时，求AP:BP的值. 【题型二】利用弧、弦、圆心角的关系求证 例4.(2024·上海金山一模)如图，O是弧AD所在圆的圆心.已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中 不正确的是() 4 .o 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 ⊙ 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 A.AC=2CD B.AC=2CD C.∠AOC=2∠CODD.S扇形H0c=2S前形CoD. 例5.(2023九年级·上海·专题练习)如图，若∠1=∠2，那么AB与BC相等（填“一定”、“一定不”、“不 一定”). B A 例6.(2025九年级下·上海·专题练习)已知，如图，AD=BC.求证：AB=CD. A E D 5 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期昧 变式1.如图，A,B,C,D是⊙0上的点，∠1=∠2，下列结论中错误的是() A.AB=CD B.AC=BD C.∠COB=2∠1D.AC=BD 变式2.(2023·上海·模拟预测)已知钝角△ABC内接于⊙0，AB=BC,将△ABC沿AO所在直线翻折，得到 △AB'C',连接BB、CC',如果BB:CC'=4:3,那么tan∠BAC的值为一 变式3.(24-25九年级下·上海·月考)如图，菱形ABCD,以A为圆心，AC长为半径的圆分别交边 BC,DC,AB,AD于点E,F,G,H. F (I)求证：CE=CF: (2)当E为弧CG中点时，求证：BE2=CE.CB. 6 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味。 【题型三】已知圆内接四边形求角度 例7.(2025九年级下·上海·专题练习)以下命题正确的有几个() ①等腰梯形不一定是圆内接四边形②有三个角是直角的四边形一定内接于圆 ③圆内接平行四边形一定是正方形④对角线互相垂直平分的四边形一定内接于圆 A.4 B.3 C.2 D.1 例8.(25-26九年级上·上海虹口·月考)如图，AD、BE是△ABC的两条高，连接DE,CD=6,AC=8,若DE=5, 则AB的长为一 例9.(23-24九年级上·上海·月考)已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点D是边AC上的一 个动点（不与A,C重合），且∠CBE=∠ABD,AB·BE=BC·BD,连接DE,EC. 7 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 B (1)求证：∠BDE=90°： (2)设AD=m(0<m<4,求ScE(用m表示)· 变式1.(2024上海杨浦一模)如图，锐角△ABC中，AB>AC>BC,现想在边AB上找一点D,在边AC上找一 点E,使得∠ADE与∠C相等，以下是甲、乙两位同学的作法：（甲）分别过点B、C作AC、AB的垂线，垂足分 别是E、D,则D、E即所求；（乙）取AC中点F,作DF L AC,交AB于点D,取AB中点H,作EH⊥AB,交 AC于点E,则D、E即所求.对于甲、乙两位同学的作法，下列判断正确的是() A.甲正确乙错误B.甲错误乙正确C.甲、乙皆正确D.甲、乙皆错误 变式2.(22-23九年级下·上海·月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,BC=2,CD平分∠ACB交AB 于点D,P是CD延长线上的点，M是AB的中点，连接CM、PM,若△CMP是等腰三角形，则CP=一 8 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 D M 变式3.(2025·上海静安·二模)已知，四边形ABCD内接于⊙O,AC=BD (I)求证：AD∥BC: (2)小明说：四边形ABCD一定是等腰梯形，你认为他的说法正确吗？为什么？ (3)如图所示，已知AB=10,AC=BC=13,求⊙O的半径 100 习题A固 一、单选题 1.下列图形中的角是圆心角的是() B B 0 B D 9 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 2.如图，A,B,C,D均为⊙O上的点，且AB=CD,则下列说法不正确的是() B A.∠AOB=∠COD B.∠AOC=∠BOD C.AC=BD D.OC=CD 3.下列说法中，正确的是() A.长度相等的弧是等弧 B.在同圆或等圆中，等弦对等弧 C.优弧一定比劣弧长 D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 4.已知⊙O的半径为5，弦AB=6,P是AB上任意一点，点C是劣弧AB的中点，若△POC为直角三角形，则PB的 长度() A.1 B.5 C.1或5 D.2或4 二、填空题 5.如图，AB是直径，BC=CD=DE,∠BOC=40°，∠AOE的度数是 ⊙宋老师数学图文制作室 ⑧初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 第02讲圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 (知识详解+3典例分析+习题巩固) 目际导航 【题型一】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【知识点01】圆心角、弧、弦的关系 圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系 【题型二】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【知识点02】三角形的外接圆与外心 【题型三】已知圆内接四边形求角度 知细详解 【知识点1】圆心角、弧、弦的关系 (1)定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. (2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等. 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧. (3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项 相等，其余二项皆相等，这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合. (4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分. 【知识点2】三角形的外接圆与外心 (1)外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆. 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 (2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. (3)概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点. ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外 部。 ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内 接三角形却有无数个. 典例分新 【题型一】利用弧、弦、圆心角的关系求解 例1.(2024上海静安二模)对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等， 那么它们所对的弧相等.下列判断正确的是() A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题 【答案】A 【知识点】判断命题真假、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.根据圆心角、弧、弦的关系 定理判断即可 【详解】解：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，故本小题说法是真命题： ②在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，故本小题说法是假命题 故选：A. 例2.(2023·上海一模)如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是AB上一点.将 扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧AF恰好与半径OB相切于点G,若OE=5,则O到折痕EF的距离 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 为 G E B 【答案】√15 【知识点】折叠问题、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形 【分析】过点G作OG的垂线，交AE的延长线于点O,连接OO'交EF于点H,连接AO',则点A、G、F在以点 O为圆心，O'G为半径的圆上，证得四边形A0G0为矩形，接着求得AO'的长，再求得OO'的长，又证得EF⊥O0', 从而得到OH=00',进而得到0到折痕EF的距离， 【详解】解：如图，过点G作OG的垂线，交AE的延长线于点O,连接OO'交EF于点H,连接AO',则点A、G F在以点O为圆心，O'G为半径的圆上， :AF与AF是等弧 “00与⊙0'是等圆 ∴.0'G=0A A010B,0'G10B .A0110'G :四边形A0'G0为矩形 .A01A0 .A0'=E0"-AE .A'E=AE,0'A'=0'G=0A ∴.EO'=EO 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 若0E=5则AE=1,E0'=5 .A0'=2V6 .00'=√A0+A0F=2V5 连接AA',有AA'⊥EF :LAEA'=LOE0,LAA'E=LA'AE,∠EO0'=∠E0'0 ∠AEA'+∠AA'E+∠A'AE=∠OEO'+∠EOO'+∠EO'O=180° ∴.∠AA'E=∠E0'0 AA'1100 .O0'⊥EF ..OH =0'H .OH=500'=5 即O到折痕EF的距离为√5 故答案为：√5 G B 【点睛】本题考查轴对称、三角形、矩形与圆的综合问题，是填空题的压轴题，懂得根据题意构造出等圆是解题的关 键 例3.(2025·上海嘉定·二模)如图，已知AD是半圆0的直径，半径OB垂直于弦AC,垂足为点E,联结AB, CD=2AB· ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 (1)求∠A0B的度数： (2)求tan∠BAC的值. 【答案】(1)∠A0B=45° (2)√2-1 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形 进行分析是解题的关键 (1)连接0C,根据垂径定理可得AC=2AB=2BC，从而可得CD=AC,进而可得LA0C=LC0D=90°，然后利用 圆心角、弧、弦的关系可得LA0B=LB0C=45°∠； (2)设AE=x,在Rt△AEO中，利用锐角三角函数的定义求出OE和OA的长，从而求出BE的长，然后利用锐角三 角函数的定义进行计算即可解答。 【详解】(1)解：连接0C, :半径OB垂直于弦AC, :AC 24B=2BC, CD=2AB, 5 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 :CD=AC, .LA0C=∠C0D=90°， AB=BC, ÷∠AOB=∠BOC= ∠A0C=45°： 2 (2)解：设AE=x, :OB⊥AC, .∠AE0=90°， :∠A0E=45°， an45=,0B=40=4E。=2x. .EO=AE sin45° :.BE=0B-OE=(2-1)x, 在R△ABE中，am∠BAE=BE_(5-小x AE 变式1.(24-25九年级上·上海·月考)下列命题中，正确的是() A.相等的弧所对的圆心角相等 B.圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 C.相等的圆心角所对的弦相等 D.同圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 【答案】A 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查命题与定理知识，圆心角，弦，弧的关系.根据题意及圆周角定理，弧，弦，圆心角的关系定理对 6 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 选项逐个进行分析即可得到本题答案 【详解】解：：相等的弧所对的圆心角相等，故A选项正确； :在同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等，故B选项不正确： :在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故C选项不正确： :同圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的优弧或劣弧相等，故D选项不正确. 故选：A. 变式2.(24-25九年级下·上海浦东新·月考)若00的半径为3cm,一条弦分00为1：3两部分，这条弦的长度为 【答案】3√2cm 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据弦分圆周长为1：3两部分，则分圆心角也为1：3两部分，求出劣 弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案。 【详解】解：：一条弦分⊙0为1：3两部分， :这条弦所对的圆心角的度数为360°×=90°， 4 “.这条弦与两条半径构成一个等腰直角三角形， 这条弦的长度为3√2cm. 故答案为：3√2cm. 变式3.(2023·上海模拟预测)如图，AB是半圆O的直径，AB=2,P是半圆O上一动点，PC⊥AB,垂足为点C, D是AP的中点，联结BD. 7 宋老师数学图文制作室 ⑧初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 D C B 备用图 备用图 ()当AC=时，求线段4P的长： (2)设BC=x,tan ZABD=y,求y关于x的函数解析式； (3)设PC与BD交于点E,当CE:PE=1:4时，求P:BP的值. 【答案】（①4P=25 (2y= V2x-x2 x+2 (3)2 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、利用弧、弦、圆心角的关系求解、与三角形中 位线有关的求解问题 【分析】(1)联结OP,在直角三角形POC中，求得PC的值，在直角三角形PAC中求出AP; (2)联结OP，取AC的中点E,联结DE,在直角三角形POC中，表示出PC,根据三角形中位线性质可得 DE=PC,从而表示出DE,在直角三角形BED中，根据am∠4BD-8能，进一步求得结果： (3)取AC的中点F,联结OP,设CE=a,PE=4a,根据三角形中位线性质，表示出DF,根据△BEC∽△BDF,可 %-设BG=2,BF=5进-步表示出0C和0P,进-步得出∠P0B=60°，∠P04120°，进 出结果。 【详解】(1)解：如图1， 8 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 数子 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 图1 联结OP, 在RaP0C中，0C=4C-01-g10P=1, .Pc'-op-oc 在Rt△APC中， AP=AC2+PC2 24215 25 5； (2)解：如图2， EO 图2 联结OP，,取AC的中点E,联结DE, 在Rt△P0C中，OC=1-x,OP=1, .PC=V0p2-0C2=V-1-x)2=V2r-x2, :点D是AP的中点， 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .DE= PC=V2x-x,DE∥BC, 2 PC⊥AB, .DE⊥AB, .∠DEB=90°， ta∠ABD=D BE 2x-x y-2 V2x-x -x x+ +2 2 (3)解：如图3， D B 图3 取AC的中点F,联结OP, 设CE=a,PE=4a, 由(2)得：DF=CP=,DF11CE, △BECn△BDF, BC CE2 BF DF5' 设BC=2x,BF=5x, :AF=CF=3a, 10