第01讲 圆的确定（知识详解+8典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学下册同步讲义与测试

本讲义聚焦“圆的确定”核心知识点，先系统梳理圆的两种定义、弦与弧等相关概念及轴对称和中心对称性质，再深入讲解点与圆的位置关系（d与r的数量关系），进而延伸到确定圆的条件及三角形外接圆等内容，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料以8个典例题型为核心，涵盖概念辨析、位置关系判断、最值问题等，结合上海地区月考及二模真题，通过例题与变式训练培养学生几何直观和推理意识。习题分层设计，课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

第01讲 圆的确定（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【知识点02】点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【题型一】圆的基本概念辨析 例1．（24-25九年级下·上海·月考）下列语句中正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 变式1．（23-24九年级下·上海·月考）如图，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交⊙M于P、Q两点，P点在Q点的下方．若点P的坐标是（2，1），则圆心M的坐标是 ．    变式2．（2024·上海松江·二模）如图，已知中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的弧经过点A．    (1)求的半径长； (2)P是上一点，，交于点D，连接．求的正切值． 【题型二】判断确定圆的条件 例2．（24-25九年级下·上海·月考）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 变式1．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 变式2．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上． （1）在图中清晰标出点P的位置； （2）点P的坐标是_________. 【题型三】判断点与圆的位置关系 例3．（24-25九年级下·上海·月考）在直角坐标平面内，点是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是．如果以点为圆心，为半径的圆与直线相交，且点中有一点在圆内，另一点在圆外，那么的值可以取（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 变式1．（2023·上海普陀·二模）已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在 ． 变式2．【问题提出】 （1）如图1，已知的半径为1，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点、分别是、上的点，连接，若，，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一片竹林，处有一座凉亭（大小忽略不计），现要在平面内找一点再修建一座凉亭供游客休息，沿、铺设两条地下水管方便竹林灌溉和游客饮水，并在上的点处修建一口水井，再沿铺设一条青石板小路，为节约开支，要求青石板小路的长度尽可能的小．已知，，，求青石板小路的最小值． 【题型四】利用点与圆的位置关系求半径 例4．（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 变式1．（23-24九年级上·上海·月考）如果从内一点P到上所有点的距离中，最大距离是6，最小距离是2，那么的半径长是 ． 变式2．（22-23九年级下·上海·月考）如图，在梯形中，，，点为边上一动点，作，垂足在边上，以点为圆心为半径画圆，交线段于点． (1)求梯形的面积； (2)分别连接和，当与相似时，以点为圆心，为半径的与相交，试求的半径的取值范围； (3)将劣弧沿直线翻折交于点，试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出此定值． 【题型五】点与圆上一点的最值问题 例5．（2025·上海杨浦·二模）如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是 ． 变式1．（24-25九年级下·上海青浦·月考）在中，，，，的半径为4，点是上的动点，点在线段上，且，那么长的取值范围是 ． 变式2．上数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型”为主题的数学活动．对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图①，在中，，，垂足为D．这是我们比较熟悉的一个相似基本模型． （1）易知：在和中，由，∠ ，证得，可得出 ；进而得到． （2）如图②，F为线段上一点，作射线，并在射线上取点E，连接，使． ①此时可证，进而得出 ； ②猜想是 三角形，直接利用（1）和（2）的①问中所得结论证明你的猜想． （二）探索应用 如图③，是直角三角形，，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接并延长至点E，且使． （3）线段绕点A顺时针旋转一周的过程中，若，线段长度的最小值为 ． 【题型六】三角形外接圆的概念辨析 例6．如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 变式1．如图：已知是等边三角形，O为外接圆圆心，以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合． 变式2．（2023·上海静安·二模）如图，已知外接圆的圆心O在高AD上，点E在BC延长线上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【题型七】求特殊三角形外接圆的半径 例7．（2023·上海徐汇·二模）已知正三角形ABC外接圆的半径长为R，那么的周长是 ．（用含R的式子表示） 变式1．（2025·上海·二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于 ． 变式2．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 【题型八】判断三角形外接圆的圆心位置 例8．（2023·上海松江·三模）如图，在梯形中，动点在边上，过点作，与边交于点，过点作，与边交于点，设线段． (1)求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)如图，作的外接圆，当点在运动过程中，外接圆的圆心落在的内部不包括边上时，求出的取值范围． 变式1．（2024·上海·模拟预测）已知菱形的边长为1，，等边两边分别交、于E，F． (1)如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线、的交点即为等边的外心； (2)如图2，当E，F分别是边、的中点时，过等边的外心点O的一直线交边于M，边于G，边的延长线于N，求：的值； (3)如图3，若点E，F始终在边，上移动，等边外心为P，求：的度数． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆的直径是(　　) A．8 B．10 C．5或4 D．10或8 5．如图，点A，B，C在上，，，，则的半径为（　　） A． B． C． D． 6．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．已知的半径为6，点P在外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是 ． 8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为 ． 9．已知内接于⊙，连接，若，则 ． 10．如图，AB为⊙O的直径，AB＝6cm，点C在AB延长线上且BC＝3cm，点P为⊙O上动点，则△OPC的面积的最大值是 cm2． 11．根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点A（3，0）、B（0，－4）、C（2，－3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 12．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，已知A，B，C三点的坐标分别为A（3，4），B（－3，－3），C（4，－），则A，B，C三点与⊙O的位置关系分别为 ． 13．如图，在△ABC中，∠A=60°，⊙O为△ABC的外接圆．如果BC=2，那么⊙O的半径为 ． 14．如图，半径为4的扇形OAB中，∠O＝60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD为边向右作等边△CDE，当点E落在上时，CD＝ ． 15．已知中，cm，cm，cm，那么的外接圆半径为 cm． 16．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为 ． 三、解答题 17．如图，、为中两条直径，点、在直径上，且． 求证：． 18．如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．    19．如图，点A，B，C是上的三点，平分．求证：． 20．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点，顶点为M． （1）写出M点的坐标，并指出函数y最值？求a的值． （2）以AB为直径画，试判定点D与的位置关系，并证明． 21．如图所示，已知为的直径，，在线段上有一动点，延长交于点，连接，过点作交延长线于点． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)当且时，求的半径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 圆的确定（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【知识点02】点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【题型一】圆的基本概念辨析 例1．（24-25九年级下·上海·月考）下列语句中正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的相关概念，掌握直径、半径、半圆和弧、弓形的定义是解题关键．由直径是线段不是直线，可判断A选项；根据经过圆心的线段两个端点不一定在圆和圆心上，可判断B选项；根据半圆是直径所对的弧，弓形是由弦及其所对的弧组成，可判断C、D选项． 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，选项错误； B、经过圆心的线段不一定是半径，选项错误； C、半圆是弧，选项正确； D、以直径为弦的弓形不是半圆，选项错误； 故选：C． 变式1．（23-24九年级下·上海·月考）如图，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交⊙M于P、Q两点，P点在Q点的下方．若点P的坐标是（2，1），则圆心M的坐标是 ．    【答案】（0，2.5） 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】先连接MP，过P作PA⊥y轴于A，再设M点的坐标是（0，b），且b＞0，由于PA⊥y轴，利用勾股定理易得AP2+AM2=MP2，即22+（b﹣1）2=b2，解即可． 【详解】连接MP，过P作PA⊥y轴于A， 设M点的坐标是（0，b），且b＞0， ∵PA⊥y轴， ∴∠PAM=90°， ∴AP2+AM2=MP2， ∴22+（b﹣1）2=b2， 解得b=2.5， 故答案是（0，2.5）．    变式2．（2024·上海松江·二模）如图，已知中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的弧经过点A．    (1)求的半径长； (2)P是上一点，，交于点D，连接．求的正切值． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】圆的基本概念辨析、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形，圆的基本性质，勾股定理： （1）联结，设，在中，根据勾股定理，求出x的值，即可； （2）过点P作，垂足为H． 根据锐角三角函数可得，，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：联结，设，    ∵， ∴，        ∵， ∴ 解得：，          ∴的半径长是5． （2）解：过点P作，垂足为H．    ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，    ∴，                ∴，                   ∴ ． 【题型二】判断确定圆的条件 例2．（24-25九年级下·上海·月考）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【知识点】判断确定圆的条件 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可． 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 变式1．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【答案】5 【知识点】判断确定圆的条件 【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出． 【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆． 故答案为5． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆． 变式2．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上． （1）在图中清晰标出点P的位置； （2）点P的坐标是_________. 【答案】（1）见解析；（2）（6，6）. 【知识点】判断确定圆的条件 【分析】点P的坐标是弦AB，CD的垂直平分线的交点，据此可以得到答案． 【详解】解：弦AB的垂直平分线是y=6，弦CD的垂直平分线是x=6， 因而交点P的坐标是（6，6）． 【点睛】考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，理解圆心是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键． 【题型三】判断点与圆的位置关系 例3．（24-25九年级下·上海·月考）在直角坐标平面内，点是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是．如果以点为圆心，为半径的圆与直线相交，且点中有一点在圆内，另一点在圆外，那么的值可以取（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】D 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质． 先根据两点间的距离公式分别计算出、的长，再由点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴，， ∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外， ∴， ∴符合要求． 故选D． 变式1．（2023·上海普陀·二模）已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在 ． 【答案】外 【知识点】判断点与圆的位置关系、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】由矩形的性质得，根据勾股定理得，可知点到圆心的距离大于的半径，则点在外，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 的半径为，且， 点到圆心的距离大于的半径， 点在外， 故答案为：外． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，根据勾股定理求出的长是解题的关键． 变式2．【问题提出】 （1）如图1，已知的半径为1，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点、分别是、上的点，连接，若，，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一片竹林，处有一座凉亭（大小忽略不计），现要在平面内找一点再修建一座凉亭供游客休息，沿、铺设两条地下水管方便竹林灌溉和游客饮水，并在上的点处修建一口水井，再沿铺设一条青石板小路，为节约开支，要求青石板小路的长度尽可能的小．已知，，，求青石板小路的最小值． 【答案】（1）2；（2），理由见解析；（3）青石板小路的最小值为． 【知识点】判断点与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据点与圆的位置关系即可求解； （2）由，，得到，，再根据相似三角形的判定与性质即可求解； （3）以点为圆心，为半径作，作直径，连接，过点作，交于点，得到，求出，连接交于点，连接交于点，连接，则m，当点与点重合时，的长取得最小值，此时点与点重合，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）依题意可知，当点在上时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：； （2），理由如下： ，， ，， ． ， ， ， ． （3）m， 点、、在以点为圆心，为半径的圆上 如图，以点为圆心，为半径作，作直径，连接，过点作，交于点， ，， ， ， ， ， 为的直径，， ， ∴点在以为直径的圆上，记圆心为． 连接交于点，连接交于点，连接，则m， 当点与点重合时，的长取得最小值，此时点与点重合， ，， ， 在中，， ， 故青石板小路的最小值为． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【题型四】利用点与圆的位置关系求半径 例4．（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵点P在半径为5的内， ∴， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 变式1．（23-24九年级上·上海·月考）如果从内一点P到上所有点的距离中，最大距离是6，最小距离是2，那么的半径长是 ． 【答案】4 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点P在圆内，则最大距离与最小距离的和等于圆的直径，进而得出答案． 【详解】解：根据点P在内时，圆的直径是，所以半径是4． 故答案为：4． 变式2．（22-23九年级下·上海·月考）如图，在梯形中，，，点为边上一动点，作，垂足在边上，以点为圆心为半径画圆，交线段于点． (1)求梯形的面积； (2)分别连接和，当与相似时，以点为圆心，为半径的与相交，试求的半径的取值范围； (3)将劣弧沿直线翻折交于点，试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出此定值． 【答案】(1) (2) (3)线段和的比值为定值，为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用点与圆的位置关系求半径、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质及与圆有关的位置关系等知识点． （1）作，由等腰梯形性质知、，据此利用梯形面积公式即可解答； （2）知，从而可设，则、，由得，据此求得的值，从而得出圆的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得； （3）在圆上取点关于的对称点，连接，作、，先证得，由、、知、，据此得出、及，继而表示出、的长，从而出答案． 【详解】（1）解：如图，作于点，连接， 梯形中，，且， ， ， 梯形的面积为； （2）解：根据（1）中可得 设、、， ， ， 四边形是梯形，且， ， 当时， ，， ， ， ，即， 解得：（经检验，舍去）， 则，即圆的半径为， 圆与圆相交，且， ， ； 当时， ，即，为负值，不成立； 综上，； （3）解：如图，在圆上取点关于的对称点，连接，作于，于， 则、、、， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知、、， 、， 、， ， ，， ， 故线段和的比值为定值，为． 【题型五】点与圆上一点的最值问题 例5．（2025·上海杨浦·二模）如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理和勾股定理．根据题意正确作出辅助线、懂得利用中位线定理确定点的运动轨迹是解题的关键． 先取的中点，点E是的中点，连接、，根据中位线定理确定点的运动轨迹是在以为圆心，半径为1的圆上，然后根据勾股定理求出的长度，最后确定的范围． 【详解】解：取的中点，连接、、，如图： 点E是的中点，点是的中点，， ，， 当点D在圆A上时，点始终在以为圆心，半径为1的圆上， 点是的中点， ， 在中，， ， ， 即． 故答案为：． 变式1．（24-25九年级下·上海青浦·月考）在中，，，，的半径为4，点是上的动点，点在线段上，且，那么长的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、点与圆上一点的最值问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设交于，连接、，由勾股定理及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，过作交于，当、、三点共线时，在线段上时，取得最大值，相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得， 由勾股定理得，即可求解；当、、三点共线时，在线段上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：交于，连接、， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， 如图，过作交于， 当、、三点共线时，在线段上时，取得最大值， ， ， ， ， 解得：，， ， ， ， 的最大值为； 如图， 当、、三点共线时，在线段上时，取得最小值， ， 的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，圆的定义，圆外一点到圆上一点距离最值问题；掌握相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解，并能由圆的定义找出动点的运动轨迹及取得最值的条件是解题的关键． 变式2．上数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型”为主题的数学活动．对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图①，在中，，，垂足为D．这是我们比较熟悉的一个相似基本模型． （1）易知：在和中，由，∠ ，证得，可得出 ；进而得到． （2）如图②，F为线段上一点，作射线，并在射线上取点E，连接，使． ①此时可证，进而得出 ； ②猜想是 三角形，直接利用（1）和（2）的①问中所得结论证明你的猜想． （二）探索应用 如图③，是直角三角形，，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接并延长至点E，且使． （3）线段绕点A顺时针旋转一周的过程中，若，线段长度的最小值为 ． 【答案】（1），或（，）；；（2）①；②直角，见解析；（3） 【知识点】点与圆上一点的最值问题、三角形三边关系的应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形三边关系等内容，熟练掌握相关知是解题的关键． （1）由题易得，再根据，得到，所以，进而得到； （2）①根据相似三角形的性质直接得解即可； ②由前述两问可得到，进而可证出，从而得解； （3）证，得到，当最大时，最小，而，当且仅当三点共线时取等，进而得解． 【详解】解：（1）由题易知，或， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，或（，）；； （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②为直角三角形，证明如下， 证明：由（1）得， 由（2）①得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 故答案为：直角； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， 由题可知，点D在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∴，当且仅当三点共线时取等， 此时， 故答案为：． 【题型六】三角形外接圆的概念辨析 例6．如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】B 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键，找出不在同一条直线上的三个点的所有组合即可． 【详解】解：依题意A，B；A，C；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：B． 变式1．如图：已知是等边三角形，O为外接圆圆心，以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合． 【答案】120 【知识点】根据旋转的性质求解、 三角形外接圆的概念辨析、等边三角形的性质 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据等边三角形的性质可得点O是等边三角形的中心，再根据旋转对称图形的性质，用除以3计算即可得解． 【详解】解：∵O为为外接圆圆心，， ∴点O是的中心， ∵， ∴以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转与原来的三角形重合． 故答案为：120． 变式2．（2023·上海静安·二模）如图，已知外接圆的圆心O在高AD上，点E在BC延长线上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、 三角形外接圆的概念辨析、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）先根据题意得到AD垂直平分BC，得到AB=AC，则∠B=∠ACB，再证明EC=AC，得到∠AEC=∠CAE，即可利用三角形外角的性质证明结论； （2）先求出∠BAO=30°，从而求出∠BOD =60°，然后解直角三角形求出BD，AB的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵△ABC的外接圆圆心在高AD上， ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵EC=AB， ∴EC=AC， ∴∠AEC=∠CAE， ∵∠ACB=∠AEC+∠CAE， ∴∠B=∠AEC+∠CAE=2∠AEC； （2）解：连接OB， ∵， ∴∠BAO=30°， ∵OB=OA， ∴∠OAB=∠OAB=30°， ∴∠BOD=∠OBA+∠OAB=60°， ∴， ∴， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，根据特殊角三角函数值求度数，解直角三角形，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质等等，确定AB=AC是解题的关键． 【题型七】求特殊三角形外接圆的半径 例7．（2023·上海徐汇·二模）已知正三角形ABC外接圆的半径长为R，那么的周长是 ．（用含R的式子表示） 【答案】 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径 【分析】根据垂径定理以及相关角度求算边长，再算周长． 【详解】 如图：作于 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴周长为： 故答案为： 【点睛】本题考查三角形的外接圆，掌握相关的角度转化是解题关键． 变式1．（2025·上海·二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一、求特殊三角形外接圆的半径、重心的有关性质 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、重心和外心等知识．求出和，即可得到答案． 【详解】解：如图，中，，作于点， ∴， ∴， 设三角形的外心为，外接圆半径为， ∵等腰三角形的外心在底边的垂直平分线上， ∴在所在直线上， 设， 在中，，即， 解得， ∴， 重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点距离是到对边中点的距离两倍， ∴重心G在在上，且， ∴“变形值”等于， 故答案为： 变式2．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、求特殊三角形外接圆的半径、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）延长交于点G，由，得到，由已知数据得到，，故，因此； （2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接， ∵点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴外接圆半径为； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【题型八】判断三角形外接圆的圆心位置 例8．（2023·上海松江·三模）如图，在梯形中，动点在边上，过点作，与边交于点，过点作，与边交于点，设线段． (1)求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)如图，作的外接圆，当点在运动过程中，外接圆的圆心落在的内部不包括边上时，求出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】（1）由题中条件、可知四边形是平行四边形，故CE；过点作垂线交于点，交于点，可得相似的和，用含、的表达式表示它们的边长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得关于的解析式；下一步即为求得和的各自边长，过点作垂线交延长线于点，由且可得四边形为矩形，则；在中，由勾股定理可算得的长度；在中，，则可由勾股定理求得的长度，，至此已求得所有所需边长，根据相似三角形边长比例关系：，代入各边长表达式即可得关于的解析式，再根据题中要求写出定义域即可； （2）分和两种情况进行讨论求解； （3）根据三角形的外接圆圆心落在三角形的内部，得到为锐角三角形，分析点运动过程可知，随点向右运动角度不断减小，且和始终是锐角． 根据题意，令点的位置满足，则大于此时对应的长度就可使得外接圆圆的圆心落在的内部． 【详解】（1）解：如图所示：过点作交延长线于点，再过点作垂线交于点，交于点， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得： ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 化简得：， ∵F在边上， ∴， ∴， ∴ 点在上运动，故定义域为：； （2）①当时，过点作交于点， ， 四边形是矩形， ， 由（得， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即， 解得：的值为(舍去）或， ②当时，如图，过点作于点，则四边形为矩形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； ∴ 综上：的值或； （3）解：分析点运动过程可知，随点向右运动角度不断减小，且和始终是锐角． 根据题意，令点的位置满足，则大于此时对应的长度就可使得外接圆圆的圆心落在的内部． 如下图所示，此时， ， ， 同角的余角相等， 同理可得：， ∽， ， ， ， 解得：， 当时， ∴， ∴， ∴， 综上可得，当时，外接圆圆的圆心落在的内部． 【点睛】本题考查矩形和平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的外接圆等知识点，解题的关键是熟练掌握并灵活运用以上性质．本题综合性较强，属于中考压轴题． 变式1．（2024·上海·模拟预测）已知菱形的边长为1，，等边两边分别交、于E，F． (1)如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线、的交点即为等边的外心； (2)如图2，当E，F分别是边、的中点时，过等边的外心点O的一直线交边于M，边于G，边的延长线于N，求：的值； (3)如图3，若点E，F始终在边，上移动，等边外心为P，求：的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、利用菱形的性质求角度、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题 【分析】（1）连接、，由四边形是菱形，得出，平分，，又由、分别为、中点，证得，即可得证； （2）连接、交于点，设，，则，易证，得出，，再通过，得出，进而求出的值； （3）连接、，过点分别作于，于，求出的度数，又由点是等边的外心，易证，可得，即点在的平分线上，即点落在直线上，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接、， 四边形是菱形， ，平分，，， ， 又、分别为、中点， ，，， ， 点即为的外心． （2）解：如图2，连接、交于点，设交于点， 设，，则， ， ，， 又由（1）知， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 即． （3）解：如图3，分别连接、，过点分别作于，于， ， ， ， 点是等边的外心， ，， ， ， ， ， 点在的平分线上，即点落在直线上， ． 【点睛】此题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，菱形的性质等知识． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键． 【详解】解：∵点为圆心，1为半径作圆， ∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个， 故选：A． 2．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 3．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 4．若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆的直径是(　　) A．8 B．10 C．5或4 D．10或8 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，勾股定理，重点在于理解直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，斜边长是圆的直径． 根据题意分两种情况求解即可． 【详解】分为两种情况： ①当8是直角边时，斜边是， ∴这个直角三角形外接圆的直径是10； ②当8是斜边时，这个直角三角形外接圆的直径是8． 故选：D． 5．如图，点A，B，C在上，，，，则的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作交的延长线于点D，连结，．只要证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理即可求出，进而求出的半径． 【详解】解：如图，作交的延长线于点D，连结，． ∵ ，， ∴，， 又∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴的半径为． 故选C． 【点睛】本题考查圆的基本认识，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是证明是等腰直角三角形． 6．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆的性质依次判断即可得到答案. 【详解】①直径是圆中最长的弦，故正确； ②在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，故②错误； ③圆是中心对称图形，故正确； ④任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故④错误， 正确的有2个， 故选：B. 【点睛】此题考查圆的性质，正确掌握弦、等弧的定义，圆的对称性是解题的关键. 二、填空题 7．已知的半径为6，点P在外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系的判断，掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 若半径为r，点到圆心的距离为d，根据当时，点在圆外，据此即可求解． 【详解】解：∵的半径为6，点P在外， ∴点到圆心的距离d的取值范围是． 故答案为：． 8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】先解一元二次方程，根据构成三角形的条件取舍，勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，进而根据90度角所对的弦为直径，进而求得三角形外接圆的半径． 【详解】解：， ， 解得， 当时，不能构成三角形； 当时，， 这个三角形是斜边为5的直角三角形， 该三角形外接圆的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求直角三角形的外接圆的半径，解一元二次方程，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得这个三角形是直角三角形是解题的关键． 9．已知内接于⊙，连接，若，则 ． 【答案】45或30． 【分析】此题分锐角三角形和钝角三角形，结合同圆内半径相等及三角形内角和列方程求解 【详解】解：此题分为两种情况： （1）如图1所示，当为锐角三角形时： ，设∠OAC= x°，∠OBA=4x°，∠OCB=3 x°， ∵OA=OB=OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝x°，∠OBA＝∠OAB＝4x°，∠OCB＝∠OBC＝3 x°， ∴∠BAC＝5x°，∠ABC＝7x°，∠ACB＝4x°， ∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴5x°＋7x°＋4x°＝180°， 则x＝ ∴∠ACB＝4x°＝45° （2）如图2所示，当为钝角三角形时： ，设∠OAC= x°，∠OBA=4x°，∠OCB=3 x°，∵OA=OB=OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝x°，∠OBA＝∠OAB＝4x°，∠OCB＝∠OBC＝3 x°， ∴∠BAC＝3x°，∠ABC＝7x°，∠ACB＝2x°， ∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180° ∴3x°＋7x°＋2x°＝180°， 则x＝15 ∴∠ACB＝2x°＝30°． 故答案为：45；30． 图1 图2 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆、三角形内角和定理，解题关键要根据题意判断外接圆圆心的位置，画出正确图形． 10．如图，AB为⊙O的直径，AB＝6cm，点C在AB延长线上且BC＝3cm，点P为⊙O上动点，则△OPC的面积的最大值是 cm2． 【答案】9 【分析】作PH⊥AB于H，如图，利用三角形面积公式得到S△OPC＝OC•PH＝3PH，则当PH最大时，S△OPC有最大值，然后利用PH≤OP得到PH最大值为3，从而得到S△OPC有最大值9． 【详解】解：作PH⊥AB于H，如图， ∴OC=OB＋BC=AB+BC=6 ∵S△OPC＝OC•PH＝×6×PH＝3PH， ∴当PH最大时，S△OPC有最大值， ∵PH≤OP， ∴当PH＝OP＝3时，PH最大，S△OPC有最大值9， 即△OPC的面积的最大值是9cm2． 故答案为9． 【点睛】此题考查的是三角形的面积和圆的基本性质，掌握圆的基本性质和线段的最值问题是解决此题的关键． 11．根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点A（3，0）、B（0，－4）、C（2，－3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【分析】先设出过A，B两点函数的解析式，把A（3，0）、B（0，-4）代入即可求出其解析式，再把C（2，-3）代入解析式看是否与A，B两点在同一条直线上即可． 【详解】设经过A，B两点的直线解析式为y=kx+b， 由A（3，0）、B（0，-4），得 ， 解得， 所以直线AB的解析式为， 当x=-2时，， 所以A、B、C三点不共线， 所以经过A、B、C三点可以确定一个圆， 故答案为：能 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，判断过三点能否确定一个圆，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键 12．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，已知A，B，C三点的坐标分别为A（3，4），B（－3，－3），C（4，－），则A，B，C三点与⊙O的位置关系分别为 ． 【答案】点A在⊙O上，点B在⊙O内，点C在⊙O外 【详解】∵OA==5， OB=<5， OC=>5， ∴点A在⊙O上，点B在⊙O内，点C在⊙O外． 13．如图，在△ABC中，∠A=60°，⊙O为△ABC的外接圆．如果BC=2，那么⊙O的半径为 ． 【答案】2 【分析】连接OC、OB，作OD⊥BC，利用圆心角与圆周角的关系得出∠BOC=120°，再利用含30°的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：连接OC、OB，作OD⊥BC， ∵∠A=60°， ∴∠BOC=120°， ∴∠DOC=60°，∠ODC=90°， ∴OC=＝＝2， 故答案为2． 【点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是利用圆心角与圆周角的关系得出∠BOC=120°． 14．如图，半径为4的扇形OAB中，∠O＝60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD为边向右作等边△CDE，当点E落在上时，CD＝ ． 【答案】/ 【分析】如图，连接OE,设OD＝m,证明∠OCE＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，连接OE．设OD＝m． ∵CD⊥OB， ∴∠CDO＝90°， ∵∠COD＝60°， ∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°， ∴OC＝2OD＝2m，CD＝m， ∵△CDE是等边三角形， ∴CD＝CE＝m，∠DCE＝60°， ∴∠OCE＝∠OCD+∠DCE＝90°， ∴OC2+CE2＝OE2， ∴4m2+3m2＝42， ∴m＝（负根舍去）， ∴CD＝m＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 15．已知中，cm，cm，cm，那么的外接圆半径为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的外接圆等知识点的理解和掌握，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，代入求出即可，注意直角三角形的外接圆的半径等于直角三角形斜边长的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 其外接圆的半径是， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为 ． 【答案】38 【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可． 【详解】解：连接，过作于， 当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值， 四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积， 即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24． 连接BG，由G是EF中点，EF=4知， BG=2， 故G在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示， 由勾股定理得：AC=10， ∵AC·BH=AB·BC， ∴BH=4.8， ∴， 即四边形面积的最小值=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 三、解答题 17．如图，、为中两条直径，点、在直径上，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了圆的认识和全等三角形的判定及性质，关键是根据圆的性质得出和全等，要能综合应用全等三角形的判定与性质． 根据、为中两条直径，得出，，再根据，得出，从而证出和全等，即可得出答案． 【详解】解：∵、为中两条直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 18．如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．    【答案】证明见解析 【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明E到BC得中点的距离等于BC的一半就可以． 【详解】证明:如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF． ∵BD，CE是△ABC的高， ∴△BCD和△BCE都是直角三角形． ∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线， ∴DF=EF=BF=CF． ∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．    【点睛】此题考查确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等． 19．如图，点A，B，C是上的三点，平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆的概念与性质、全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键．连接，，由，与平分可得相关角的关系，从而证得，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】证明：连接，，如图， ∵，， ∴，， 平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点，顶点为M． （1）写出M点的坐标，并指出函数y最值？求a的值． （2）以AB为直径画，试判定点D与的位置关系，并证明． 【答案】（1），最小值为，；（2）点D在上，理由见解析 【分析】（1）根据二次函数顶点式求法直接的出二次函数的顶点坐标以及二次函数的最值；把代入直接求出a的值； （2）首先求出二次函数与x轴的交点坐标，进而求出P点的坐标，得出PE=4，DE=3，从而得出PD的长，判断出D与的位置关系． 【详解】解：（1）∵抛物线， ∴顶点为 ； ∴该函数有最小值，最小值为 ； ∵抛物线经过点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为， （2）点D在上，理由如下： ∵， 令 ，则， 解得： ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵以AB为直径画， ∴ ，即的半径为5， ∴ ， ∴ ， 如图，过点D作DE⊥x轴于点E， ∵， ∴ ， ， ∴ ， ∴PD与的半径相等， ∴点D在上． 【点睛】此题主要考查了二次函数的最值以及顶点式和点与圆的位置关系等知识，判定点与圆的位置关系得出点与圆心距离等于半径是解决问题的关键． 21．如图所示，已知为的直径，，在线段上有一动点，延长交于点，连接，过点作交延长线于点． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)当且时，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、勾股定理、三角函数，解决本题的关键是根据圆的性质找边、角之间的关系． 根据圆的性质可证，根据垂直定义可证，根据直角三角形的性质可得：，，从而可证，根据对顶角相等可证，根据等角对等边可证结论成立； 因为，设，则，利用勾股定理可以求出，根据圆的性质可知，从而可求，根据正切的定义可以求出，根据可知； 根据平行线的性质可证，可知是等腰直角三角形，设的半径为, 则,  ，根据可得：，解方程即可求出圆的半径． 【详解】（1）证明：、都是的半径， ， ， ，， ， ，， ， 又， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 设的半径为, 则,  ， ， ， ， 的半径为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $