8.3 三角形的中位线（题型专练，3基础&2提升题型+培优）数学新教材苏科版八年级下册

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.3三角形的中位线 题型一利用三角形的中位线性质计算 题型二利用三角形中位线的性质证明 基础达标题 题型三三角形中位线的应用 三角形的中位线 题型一 构造三角形中位线解题 能力提升题 题型二中点四边形 拓展培优题 A 基础达标题 题型一利用三角形的中位线性质计算 1.B 2.A 3.22 4.8 题型二利用三角形中位线的性质证明 1.见解析. 2.(1)见解析；(2)8. 3.(1)证明见解析；(2)9. 4.(1)证明过程见解答；(2)12. 题型三三角形中位线的应用 1.B 2.28m 3.160 4.(1)见详解；(2)见详解；(3)见详解 1/2 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一构造三角形中位线解题 1.B 2.A 3.D 4.1<EF≤4. 题型二中点四边形 1.D 2.A 3.矩形 4.(1)见解析；(2)直线FH经过一个定点，这个定点为正方形的中心(AC、BD的交点)；理由见解析： (3)点P运动的路径长为4y2 拓展培优题 1. 2.见试题解答内容 3.见试题解答内容 4.见试题解答内容 2/2 8.3 三角形的中位线 题型一 利用三角形的中位线性质计算 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，若EF＝8，则BD等于（　　） A．6 B．8 C．16 D．4 2．如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝3，AC＝4．E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 3．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为 　　 ． 4．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE，点F在DE上，连结FB，FC，若FB⊥FC，BC＝6，DF＝1，则AC的长为　　 ． 题型二 利用三角形中位线的性质证明 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．求证：CE＝DF． 2．如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O． （1）求证：OEEC； （2）若OD＝2，求AB的长． 3．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂足为D，点G是BC的中点． （1）求证：DG∥AB； （2）若DG＝2，AC＝5，则AB＝ 　　 ． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB的中点，连结DE． （1）求证：DE∥AC． （2）若DE，AD＝4，求△ABC的面积． 题型三 三角形中位线的应用 1．为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 2．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪明用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为 ． 3．如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 4．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D是边与网格线的交点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找到一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上找到一点E，连结，使； (3)在图中，作平行四边形，使点E在边上，点P在边上，点G在边上，且． 题型一 构造三角形中位线解题 1．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝7，AC＝4，则DE的长度为（　　） A．1 B．1.5 C．3 D．5 2．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AB＝4，CD＝6，则EF的取值范围是（　　） A．1＜EF≤5 B．1≤EF≤5 C．4＜EF≤6 D．4≤EF≤6 3．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞6，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝6，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为（　　） A． B． C． D．3 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，CD＝5，E，F分别为AD，BC的中点，则EF的取值范围是　　 ． 题型二 中点四边形 1．正方形四条边的中点构成的四边形的形状最准确的是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．如图，，，，分别是矩形四边中点，已知，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．26 C．30 D．40 3．顺次连接四边形的各边中点得到中点四边形，若且，则中点四边形的形状是 （填“矩形”或“菱形”或“正方形”）． 4．综合与实践 某数学兴趣小组在探究苏科版八年级数学教材时，经历了如下过程：如图，正方形的边长为，、、、分别是上的动点，且． 【知识回顾】（1）求证：四边形是正方形； 【规律探究】（2）判断直线是否经过一个定点，并说明理由； 【拓展延伸】（3）设线段的中点为，当点从点运动到点的过程中，求点运动的路径长． 1．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　　 ． 2．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点． （1）求∠FGH度数； （2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长． 3．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线． （1）在△BED中作BD边上的高，垂足为F； （2）若△ABC的面积为20，BD＝5． ①△ABD的面积为　　 ， ②求△BDE中BD边上的高EF的长； （3）过点E作EG∥BC，交AC于点G，连接EC、DG且相交于点O，若S△ABC＝2m，又S△COD＝n，求S△GOC．（用含m、n的代数式表示） 4．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE（不需证明）． （温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．） 问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论； 问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3 三角形的中位线 题型一 利用三角形的中位线性质计算 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，若EF＝8，则BD等于（　　） A．6 B．8 C．16 D．4 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理可求AC＝16，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点， ∴AC＝2EF＝2×8＝16， ∵∠ACB＝90°，点D是AC的中点， ∴BDAC＝8， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 2．如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝3，AC＝4．E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】根据勾股定理得到AB＝5，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠ABD＝∠ADB，求得AB＝AD＝5，连接BF并延长交AD于G，根据全等三角形的性质得到BF＝FG，AG＝BC＝3，求得DG＝5﹣3＝2，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解答】解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝3，AC＝4， ∴AB＝5， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD＝5， 连接BF并延长交AD于G， ∵AD∥BC， ∴∠GAC＝∠BCA， ∵F是AC的中点， ∴AF＝CF， ∵∠AFG＝∠CFB， ∴△AFG≌△CFB（AAS）， ∴BF＝FG，AG＝BC＝3， ∴DG＝5﹣3＝2， ∵E是BD的中点， ∴EFDG＝1． 故选：A． 【点评】此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为 　　 ． 【答案】22． 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DEBC，BD＝AD＝7，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DBF＝∠FBC，根据等腰三角形的判定定理得到DF＝BD＝7，计算即可． 【解答】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DEBC，BD＝AD＝7， ∴∠DFB＝∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴∠DBF＝∠FBC， ∴DF＝BD＝7， ∴DE＝DF+EF＝11， ∴BC＝2DE＝22， 故答案为：22． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE，点F在DE上，连结FB，FC，若FB⊥FC，BC＝6，DF＝1，则AC的长为　　 ． 【答案】8 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出EF，进而求出DE，再根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：∵FB⊥FC， ∴∠BFC＝90°， ∵E是边BC的中点，BC＝6， ∴EFBC＝3， ∴DE＝DF+EF＝4， ∵点D，E分别是边AB，BC的中点， ∴AC＝2DE＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 题型二 利用三角形中位线的性质证明 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．求证：CE＝DF． 【答案】见解析． 【分析】证DE、EF分别是△ABC的中位线，得DE∥BC，EF∥AC，则四边形DEFC是平行四边形，再由∠C＝90°，即可得出DEFC是矩形，根据矩形的性质即可得证． 【解答】证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点， ∴DE、EF分别是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，EF∥AC， ∴四边形DEFC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∵∠C＝90°， ∴平行四边形DEFC是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， ∴CE＝DF． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFC为平行四边形是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O． （1）求证：OEEC； （2）若OD＝2，求AB的长． 【答案】（1）见解析； （2）8． 【分析】（1）证明四边形EFCD是平行四边形即可得出结论； （2）证明DF是△ABC的中位线即可求解． 【解答】（1）证明：∵ED，EF是中位线， ∴ED∥FC，EF∥DC， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∵对角线CE和DF相交于点O， ∴OE； （2）解：∵EC，DF是平行四边形EFCD的对角线，OD＝2， ∴DF＝2OD＝4， ∵ED，EF是△ABC的中位线， ∴点D，F分别是AC，BC的中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF， ∴AB＝2DF＝8． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 3．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂足为D，点G是BC的中点． （1）求证：DG∥AB； （2）若DG＝2，AC＝5，则AB＝ 　　 ． 【答案】（1）证明见解析； （2）9． 【分析】（1）延长CD交AB于E，证明△ADE≌△ADC，根据全等三角形的性质得到CD＝DE，再根据三角形中位线定理证明； （2）根据三角形中位线定理求出BE，根据全等三角形的性质求出AE，计算即可． 【解答】（1）证明：如图，延长CD交AB于E， ∵AD平分∠BAC，CD⊥AD， ∴∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC＝90°， 在△ADE和△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（ASA）， ∴CD＝DE， ∵点G是BC的中点， ∴DG是△AEB的中位线， ∴DG∥AB； （2）解：由（1）可知：△ADE≌△ADC，DG是△AEB的中位线， ∴AE＝AC＝5，BE＝2DG＝4， ∴AB＝AE+BE＝5+4＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB的中点，连结DE． （1）求证：DE∥AC． （2）若DE，AD＝4，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）12． 【分析】（1）根据已知易得：DE是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DE∥AC，即可解答； （2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得：∠ADB＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得AB＝5，再在Rt△ABD中，利用勾股定理可得：BD＝3，从而可得BC＝2BD＝6，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】（1）证明：∵点D是BC的中点，E是AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC； （2）解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ADB＝90°， ∵E是AB的中点， ∴AB＝2DE＝5， ∴BD3， ∴BC＝2BD＝6， ∴△ABC的面积BC•AD6×4＝12． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 题型三 三角形中位线的应用 1．为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 2．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪明用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为 ． 【答案】/28米 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用，正确理解题意是解题的关键．根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故答案为：． 3．如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 【答案】160 【分析】此题考查了中位线的实际应用，根据题意得到是的中位线，进而求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：160． 4．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D是边与网格线的交点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找到一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上找到一点E，连结，使； (3)在图中，作平行四边形，使点E在边上，点P在边上，点G在边上，且． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用网格特征作出，的中点E，D，连结即可； （2）取格点P，Q，连接交于点E，取的中点D，连结即可； （3）同法作出的中点G，的中点F，连接，连接与网格线交于点J，连接，延长交于点E，连接，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）如图中，平行四边形即为所求． 题型一 构造三角形中位线解题 1．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝7，AC＝4，则DE的长度为（　　） A．1 B．1.5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】延长AC，BE，相交于点F，证明△ABE≌△AFE，得出BE＝EF，AB＝AF，然后利用三角形中位线定理求解即可． 【解答】解：延长AC，BE，相交于点F， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠AEF＝90°， 又AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE（ASA）， ∴BE＝EF，AB＝AF， ∵AB＝7，AC＝4， ∴CF＝AF﹣AC＝AB﹣AC＝3， ∵D是BC的中点，BE＝EF， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，正确进行计算是解题关键． 2．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AB＝4，CD＝6，则EF的取值范围是（　　） A．1＜EF≤5 B．1≤EF≤5 C．4＜EF≤6 D．4≤EF≤6 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理求出EH、FH，根据三角形的三边关系计算即可． 【解答】解：连接AC，取AC的中点H，连接EH、FH， ∵AH＝HC，AE＝ED， ∴EHCD＝3， 同理，FHAB＝2， 在Rt△EHF中，EH﹣FH＜EF≤EH+FH，即1＜EF≤5， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，根据三角形中位线定理求出EH、FH是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞6，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝6，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】延长FN并延长，使ND＝NF，连接AD，ED，证明△AND≌△BNF（SAS），得出AD＝BF，∠DAN＝∠FBN，证明△ADE为等边三角形，得出DE＝AD＝6，根据中位线的性质得出． 【解答】解：延长FN并延长，使ND＝NF，连接AD，ED，如图所示： ∵AN＝BN， ∵∠AND＝∠BNF， 在△AND和△BNF中， ， ∴△AND≌△BNF（SAS）， ∴AD＝BF，∠DAN＝∠FBN， ∴AD∥BC， ∴∠DAC+∠C＝180°， ∵∠C＝120°， ∴∠DAC＝60°， ∵AD＝BF，AE＝BF＝6， ∴AE＝AD， ∴DE＝AD＝6， ∴， 故答案为：D． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，中位线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，CD＝5，E，F分别为AD，BC的中点，则EF的取值范围是　　 ． 【答案】1＜EF≤4． 【分析】根据三角形中位线定理求出EH、FH，根据三角形的三边关系计算即可． 【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH、FH， ∵AH＝HC，AE＝ED， ∴EH是△ACD的中位线， ∴EFCD， 同理可得：FHAB， 在△EHF中，EH﹣FH＜EF≤EH+FH，即1＜EF≤4， 故答案为：1＜EF≤4． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，根据三角形中位线定理求出EH、FH是解题的关键． 题型二 中点四边形 1．正方形四条边的中点构成的四边形的形状最准确的是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查中点四边形，根据正方形对角线互相垂直且相等，运用三角形中位线平行于第三边证明四个角都是直角，四条边相等，判断是正方形． 【详解】解：正方形四条边的中点构成的四边形的形状是正方形： 如图，四边形是正方形，则, ∵E、F、G、H分别为各边中点， ∴, 四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故选：D． 2．如图，，，，分别是矩形四边中点，已知，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．26 C．30 D．40 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键． 先根据E，F，G，H分别是矩形各边的中点得出，，故可得出，根据即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点，，， ，． 在与中， ∵， ． 同理可得， ． 故选：A． 3．顺次连接四边形的各边中点得到中点四边形，若且，则中点四边形的形状是 （填“矩形”或“菱形”或“正方形”）． 【答案】矩形 【分析】本题考查了中点四边形，首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可． 【详解】解：中点四边形的形状是矩形，理由如下： 如图， ∵点E、F、G、H分别是边的中点， ∴，， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形； 又∵对角线互相垂直， ∴与垂直． ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 4．综合与实践 某数学兴趣小组在探究苏科版八年级数学教材时，经历了如下过程：如图，正方形的边长为，、、、分别是上的动点，且． 【知识回顾】（1）求证：四边形是正方形； 【规律探究】（2）判断直线是否经过一个定点，并说明理由； 【拓展延伸】（3）设线段的中点为，当点从点运动到点的过程中，求点运动的路径长． 【答案】（1）见解析；（2）直线经过一个定点，这个定点为正方形的中心（、的交点）；理由见解析；（3）点运动的路径长为． 【分析】（1）由正方形的性质得出，，证出，由证明三角形全等，得出，，证出四边形是菱形，再证出，即可得出结论； （2）连接、，交点为；先证明，得出，证出为对角线、的交点，即为正方形的中心； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，，，设，则，点运动的路径直线上，进而利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可得：， ∴ 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：直线经过一个定点，这个定点为正方形的中心（、的交点），理由如下： 连接、，交点为，如图所示： 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，，即为的中点， 正方形的对角线互相平分， 为对角线、的交点，即为正方形的中心； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，设，则， ∴，， ∵为的中点， ∴即， ∵， ∴在直线上， 当时，，当时，，解得 ∴点运动的路径长为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，求一次函数及勾股定理，勾股定理，本题综合性强，有一定难度，正确地作出辅助线及构造直角坐标系是解题的关键． 1．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　　 ． 【答案】 【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE， 在△BNA和△BNE中， ． ∴△BNA≌△BNE（ASA）， ∴BA＝BE， ∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， ∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线， ∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12， ∴DE＝BE+CD﹣BC＝5， ∴MNDE． 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 2．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点． （1）求∠FGH度数； （2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先证明FG∥DB，GH∥EC，由平行线的性质可知∠DBE＝∠FGE，∠EHG＝∠AEG，从而可证明∠FGH＝90°； （2）连接FM、HM．首先证明四边形FGHM为矩形，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点， ∴FG∥DB，GH∥EC． ∴∠DBE＝∠FGE，∠EGH＝∠AEG． ∠FGH＝∠FGE+∠EGH＝∠ABE+∠BEA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°． （2）如图所示：连接FM、HM． ∵M、H分别是BC和DC的中点， ∴MH∥BD，MH． 同理：GF∥BD，GF． ∴四边形FGHM为平行四边形． ∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点， ∴GH3，， 由（1）可知：∠FGH＝90°， ∴四边形FGHM为矩形． ∴∠GHM＝90°． ∴GM5． 【点评】本题主要考查的是三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理、平行线的性质的综合应用，证得四边形FGHM是矩形是解题的关键． 3．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线． （1）在△BED中作BD边上的高，垂足为F； （2）若△ABC的面积为20，BD＝5． ①△ABD的面积为　　 ， ②求△BDE中BD边上的高EF的长； （3）过点E作EG∥BC，交AC于点G，连接EC、DG且相交于点O，若S△ABC＝2m，又S△COD＝n，求S△GOC．（用含m、n的代数式表示） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据尺规作图，作出垂线EF， （2）①三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得△ABD的面积； ②由S△ABD再求出三角形BDE的面积，则得BD边上的高； ③由平行线可得S△BDE＝S△CDGS△ABDS△ABC，从而求得S△COG． 【解答】解：（1）作EF⊥BD垂足为F， （2）①∵AD为△ABC的中线， ∴S△ABDS△ABC， ∵△ABC的面积为20， ∴△ABD的面积为10； ②∵BE为△ABD的中线， ∴S△BDES△ABD＝5， ∵BD＝5， ∴EF的长＝2； ③∵EG∥BC，BE为△ABD的中线， ∴EG是△ACD的中位线， ∴DG是△ACD的中线， ∴S△BDE＝S△CDG，S△BDE＝S△CDGS△ABDS△ABC， ∴S△GDC，又∵S△COD＝n， ∴S△GOC＝S△GDC﹣S△COD． 【点评】本题考查了一个很重要的知识点：三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半． 4．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE（不需证明）． （温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．） 问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论； 问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状． （2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD＝∠FDG＝30°，进而求出∠AGD＝90°，故△AGD的形状可证． 【解答】解：问题一，取AC中点P，连接PF，PE， 可知PE， PE∥AB， ∴∠PEF＝∠ANF， 同理PF， PF∥CD， ∴∠PFE＝∠CME， 又∵PE＝PF， ∴∠PFE＝∠PEF， ∴∠OMN＝∠ONM， ∴△OMN为等腰三角形． 问题二，结论：△AGD是直角三角形． 证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE， ∵F是AD的中点， ∴HF∥AB，HFAB， 同理，HE∥CD，HECD， ∵AB＝CD ∴HF＝HE， ∵∠EFC＝60°， ∴∠HEF＝60°， ∴∠HEF＝∠HFE＝60°， ∴△EHF是等边三角形， ∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°， ∴△AGF是等边三角形． ∵AF＝FD， ∴GF＝FD， ∴∠FGD＝∠FDG＝30° ∴∠AGD＝90° 即△AGD是直角三角形． 【点评】解答此题的关键是作出三条辅助线，构造出和中位线定理相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $