精品解析：吉林省松原市宁江区吉林油田高级中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

吉林油田高级中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A 5 B. 6 C. 10 D. 15 2. 如果直线的一个方向向量是，则其倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 5. 求圆的圆心到的距离（ ） A. B. 2 C. D. 6. 设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若则（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ） A. 点B和C都在椭圆M上 B. 点C和D都在椭圆M上 C. 点D和E都在椭圆M上 D. 点E和B都在椭圆M上 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的. 9. 已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（　　） A. 实轴长是虚轴长2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 10. 记首项为3的数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 递增数列 C. D. 11. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 2 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 直线：与直线：平行，则______． 13. 两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为_______. 14. 体现中华传统文化的油纸伞至今已有多年的历史；如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的最小值． 16. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知数列等差数列，是等比数列，且，，，， （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 18. 已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值． 19. 人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. （1）若点，，求，之间欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田高级中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可得出的值，进而利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】由等差中项的性质可得，解得， 所以. 故选：C 2. 如果直线的一个方向向量是，则其倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量得到斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线的一个方向向量是，故斜率为， 设直线的倾斜角为，则，故. 故选：A. 3. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，， 所以我们对进行变形，得到， 因为，所以，即，故D正确. 故选：D 4. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：B 5. 求圆的圆心到的距离（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为， 故选:C． 6. 设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线离心率公式计算即可. 【详解】由，得， 所以，又，所以. 故选：C. 7. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出抛物线焦点坐标和双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离计算． 【详解】抛物线的焦点坐标是，双曲线的渐近线方程是， 所求距离为． 故选：A． 8. 如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ） A. 点B和C都在椭圆M上 B. 点C和D都在椭圆M上 C. 点D和E都在椭圆M上 D. 点E和B都在椭圆M上 【答案】C 【解析】 【分析】由点A在椭圆上及椭圆定义求得，即可根据定义逐个判断其它点是否在椭圆上. 【详解】由同心圆及点A在以，为焦点的椭圆M上得，故椭圆中， ∵，，，. 故点D和E都在椭圆M上. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的. 9. 已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（　　） A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求出a、b、c，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对四个选项一一验证即可. 【详解】∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确. 故选：BD 10. 记首项为3的数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将递推公式变形可得，根据首项为3，依次代入可求得，，，进而可判断选项A；由前四项可发现数列的周期性，可判断选项B；利用数列的周期性可判断选项C，D. 【详解】由题意可得，所以，，故A正确； 易得数列是以3为周期的周期数列，无单调性，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 11. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆锥曲线定义及离心率计算公式，分情况考虑计算即可. 【详解】设，由已知，得，，且， 若圆锥曲线为椭圆，则，此时离心率； 若圆锥曲线为双曲线，则，离心率； 故曲线Γ的离心率等于或． 故选：AC． 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12 直线：与直线：平行，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的公式求解即可. 【详解】∵直线：与直线：平行，且当，即时两直线不平行， ∴，解得. 故答案为：． 13. 两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，可得出的值，由此可得出该椭圆的离心率的值. 【详解】因为两个正数、的等差中项是，等比中项是，且， 则，解得， 所以，故. 故答案为： 14. 体现中华传统文化的油纸伞至今已有多年的历史；如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则______________. 【答案】## 【解析】 【分析】将问题转化为三角形中已知两角一边求另一边的问题，利用正弦定理即可求得椭圆的长半轴长，另外由平行投影的性质可知椭圆的短轴即为圆的直径，即可得解. 【详解】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、， 则，如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆的左右顶点， 由题意可得，则，阳光照射方向与地面的夹角为，即， 则， ， 在中，，即，即， 解得，而， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式的性质计算基本量即可； （2）先计算，得出的通项，由等差数列的定义判定为等差数列，再根据求和公式计算，结合二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 设的公差为d，由，得， 又，所以，得， 则； 【小问2详解】 由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. 16. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，进而得到平面法向量，利用向量法求点到平面的距离公式求解即可. （3）求出相关平面的法向量，利用向量法求二面角公式求解即可. 【小问1详解】 连接，交于，连接. 因为中，为对角线交点，所以为的中点， 又是中点，所以， 又平面，所以平面， 所以平面. 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理得， 则，所以. 又底面，，平面，所以，. 所以以为原点，以,,所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面法向量为，则， 即，令，则，，所以． 所以点到平面的距离． 【小问3详解】 由（2）得，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 所以平面与平面所成锐二面角余弦值为 ． 17. 已知数列等差数列，是等比数列，且，，，， （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出公比、公差即可求解； （2）由裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 设公比为，公差为， 所以，解得，所以， 所以，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以数列的前n项和. 18. 已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由离心率及顶点到渐近线的距离列方程即可求； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可. 【小问1详解】 记的半焦距为，由题得的离心率，① 由对称性不妨设的顶点为，渐近线方程为，则，② 又，③ 联立①②③解得，，， 所以的方程为． 【小问2详解】 设， 由得， 所以， 解得，且， 所以，， 所以． 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或，符合式， 所以或． 19. 人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. （1）若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题中定义，结合两点间距离公式和平面向量夹角公式进行求解即可； （2）根据余弦距离的定义，绝对值的性质，结合分类讨论思想、平面向量夹角公式进行求解即可； （3）根据题中定义，结合平面向量夹角公式进行求解即可 【小问1详解】 已知，，则由题意可得欧几里得距离为； 曼哈顿距离为； 因为，， 所以， 则余弦距离为. 【小问2详解】 设，由题意得：， 由， 作出表示的图形，为如图所示的正方形， 其中，，，， 即点在正方形的边上运动，，， 结合图形，由可知， 当取最小值时，最大. 相应的有最大值.因此，点有如下两种可能： ①点为点时，，则：； ②点在线段上运动时，此时与方向相同，， 则. 因为，所以点在点时，有最大值，最大值为. 【小问3详解】 设，则，， ， ， ，，即或. 联立，解得，， 联立，解得，， ，，，，则； ，则； ，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $