第03讲向量基本定理及坐标表示讲义（知识清单+8题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏教版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第03讲 向量基本定理及坐标表示 知识清单 知识点01：平面向量基本定理 知识点02：平面向量基本定理的应用 知识点03：平面向量的正交分解 知识点04：向量的坐标表示 知识点05：向量线性运算的坐标表示 知识点06：向量数量积的坐标表示 知识点07：线段的定比分点与λ 题型讲解 （举三反三） 题型1：平面向量基本定理的应用 题型2：利用平面向量基本定理求参数 题型3：平面向量的正交分解 题型4：向量线性运算的坐标表示 题型5：向量数量积的坐标表示 题型6：向量模的坐标运算 题型7：向量夹角的坐标运算 题型8：平面向量共线的坐标表示 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 知识点2 平面向量基本定理的应用 1、唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 知识点3 平面向量的正交分解 由平面基本定理知，平面内任意向量可以用一组基底表示成的形式，我们称为向量的分解。当所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解。 知识点4 向量的坐标表示 1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2、始点为原点的向量坐标与其终点坐标关系：若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. 3、向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则 4、特殊向量的坐标：． 【注意】 （1）在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)． （2）由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等， 即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． （3）平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． （4）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 知识点5 向量线性运算的坐标表示 1、向量加减法的坐标运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、向量数乘的坐标运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 知识点6 向量数量积的坐标表示 1、数量积坐标表示：若，，则 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 2、向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则 3、用坐标表示模长、距离、夹角 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 知识点7 线段的定比分点与λ 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：                                   (内分)                         (外分)()                 (外分) () （1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. （2）点的位置与的范围的关系： ①同向共线，这时称点为的内分点；当时，与 ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点 题型1：平面向量基本定理的应用 【例1-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得. 【详解】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：C 【例1-2】在中，为的中点，交于，则 ． 【答案】 【分析】根据三点共线条件及向量数量积运算性质求解． 【详解】解：根据题意作下图：    设， 因为、、三点共线， 所以， 解得， 所以， 故答案为：． 【例1-3】在平行四边形中，已知，，，，． (1)若，求，的值及； (2)求和夹角的余弦值． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（1）利用向量的线性运算用表示，由此求得，再结合向量数量积的运算求得； （2）利用向量夹角计算公式，结合数量积的运算求解. 【详解】（1） 如图，，所以，． . （2）， 又 ， 所以， 故和夹角的余弦值为． 【变式1-1】（24-25高一下·江苏常州·期中）在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】过作于，设正六边形的边长为，根据向量的数量积的定义计算，由，可得，根据数量积的几何意义计算得取值范围，从而得的取值范围，即可得答案. 【详解】如图，过作于， 设正六边形的边长为，则，， 则， 因为， 所以， 又， 由于是正六边形内部以及边界上任意一点，所以， 所以，即，所以， 故的最大值为. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·江苏宿迁·月考）已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为 . 【答案】 【分析】延长至，使得，化简所给条件可知三点共线，取线段的中点，连接，利用向量的加法减法及数量积运算化简，转化为求的最小值. 【详解】依题意，解得，延长至，使得，如图， 因为， 所以点在直线上，取线段的中点，连接， 则， 显然当时，有最小值， 又易知，，所以的最小值为，所以， 故的最小值为， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出； （2），，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出． （3）由向量的线性运算得，，然后结合数量积的运算律得，利用二次函数性质即可求解最值. 【详解】（1）因为，，， 所以，化简为． （2）因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又， 所以， 所以解得． （3）因为点E是线段AC上的动点，设，因为， 所以， 所以，， 所以， 故当时，取到最小值． 题型2：利用平面向量基本定理求参数 【例2-1】在中，是的中点，，若，则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理计算求值即可. 【详解】 如图，因为，所以点为线段的中点，则有, 因为是的中点，所以， 所以. 所以，. 故选：B. 【例2-2】（24-25高一下·江苏南京·月考）在平行四边形中，，交于点，若，则 . 【答案】/ 【分析】由三角形相似推出，利用平面向量基本定理将用线性表示，对照系数即得. 【详解】如图，中，，则与相似， 因，则， 故， 即，故. 故答案为：. 【例2-3】（24-25高一下·江苏宿迁·月考）在中，D、E分别在边AB，AC上，且满足，，F为BC中点． (1)若 求实数λ，μ的值； (2)若 求边BC的长． 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）应用向量的线性关系计算，再结合已知条件列式求参； （2）应用平面向量基本定理用表示，再结合平面向量的数量积公式及运算律计算求解. 【详解】（1），，， （2） 设 即解得 (舍)或， ∴BC长为8． 【变式2-1】如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据平面向量基本定理求，再利用基底表示和，再结合数量积运算，即可求解. 【详解】由条件可知，， 则，即，则， ， 所以， . 故选：D 【变式2-2】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）为所在平面内的点，，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据，化简得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】由， 可得， 因为， 所以，可得. 故答案：. 【变式2-3】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为. (1)若，求AP的长； (2)设， ①用向量表示向量； ②求的值. 【答案】(1)2 (2)； 【分析】（1）利用线性运算将转化为，然后根据和得到，然后求即可； （2）①根据向量的减法结合线性关系计算即可；②根据三点共线得到，根据数量积公式得到，，即可得到，然后解方程即可. 【详解】（1） 在平行四边形中，，垂足为，， ， 解得，故长为2. （2）① ②，且三点共线， ， 又， 则， 由可知， 展开，化简得到 联立解得，故. 题型3：平面向量的正交分解 【例3-1】在平面直角坐标系中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：B 【例3-2】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【答案】 【分析】由中点坐标以及向量坐标，可得答案. 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则， 故答案为：. 【例3-3】设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值． 【答案】 【分析】先求得，再根据向量与相等求解. 【详解】因为点A（l，2），B（3，2）， 所以， 又因为向量与相等， 所以， 解得． 【变式3-1】若，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标运算求解即可 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 【变式3-2】（2024高一下·江苏·专题练习）已知在非平行四边形ABCD中，，且三点的坐标分别为，则顶点C的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据平面向量共线可求得，当ABCD为平行四边形时可求得C的横坐标为3，即可得结果. 【详解】当ABCD为平行四边形时，如下图所示：    则，依题意可得顶点C的横坐标不能取3； 设顶点C的坐标为，则 由可得，且， 所以，即； 故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是. 故答案为： 【变式3-3】已知点O(0，0)，A(1，2). （1）若点B(3t，3t)，＝，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ （2）若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由. 【答案】（1）答案见解析；（2）不能，理由见解析. 【分析】（1）首先求出的坐标，再根据的位置，得到方程或不等式组，解得即可； （2）表示出，,若四边形为平行四边形，则，得到方程组，即可判断； 【详解】解：（1）， 若点P在x轴上，则，∴. 若点P在y轴上，则，∴. 若点P在第二象限，则，∴. （2）因为，. 若四边形为平行四边形，则， ∴该方程组无解. 故四边形不能成为平行四边形. 题型4：向量线性运算的坐标表示 【例4-1】（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 【例4-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知向量，与平行，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，得到，结合与，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为与，可得，解得. 故答案为：. 【例4-3】（24-25高一下·江苏南京·月考）已知向量，． (1)求的值； (2)，求. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）由向量加法的坐标表示、模的坐标计算公式求解即可； （2）由向量垂直得数量积为0，可用坐标表示并列出方程求解即可. 【详解】（1）由，知，所以． （2）由，知，， 因为， 所以，解得：. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知向量，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据向量的线性运算及向量相等列方程求参即可. 【详解】因为向量， 若，则， 所以， 解得， 所以. 故答案为：. 【变式4-3】（1）已知向量与相等，其中，，求的值． （2）已知点，，且，求点的坐标 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量相等的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）设，表示出、，再根据向量线性运算的坐标及向量相等的坐标表示得到方程组，解得即可； 【详解】（1）因为，，所以， 又， 所以，解得. （2）因为，，所以， 设，则， 又，所以，所以，解得， 所以. 题型5：向量数量积的坐标表示 【例5-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，求出，利用数量积的坐标公式即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，    因为在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则， 所以， 所以. 故选：A. 【例5-2】（24-25高一下·江苏盐城·月考）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．    【答案】3 【分析】根据正六边形的性质建立合适的平面直角坐标系，将向量用坐标表示出来，再通过向量数量积的坐标运算公式进行计算，最后根据点的位置确定数量积的最大值. 【详解】因为正六边形的边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.    根据正六边形的性质可知：，，. 根据向量坐标运算，可得. 因为是正六边形内部一点（包含边界），设，那么. 所以. 由正六边形的性质可知，点在正六边形内部（包含边界），的最大值在点处取得，此时.代入，可得的最大值为. 故答案为：3. 【例5-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，且与的夹角为，求： (1)； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或且 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、用定义求向量的数量积 【分析】（1）根据向量数量积的运算律以及定义式，可得答案； （2）由向量数量积的坐标表示，建立不等式，结合锐角的定义，可得答案. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为向量与的夹角为锐角，所以， 即，解得：或， 又当时向量与共线且同向， 所以实数的取值范围为或且. 【变式5-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点得坐标，设，利用向量数量积的坐标运算求出，配方求得取值范围. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为菱形得边长为1，，所以，，， 设，则，，， 所以 ， ，，当且仅当时，取等号， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一下·江苏常州·期中）已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，设，表达出，结合，求出最小值. 【详解】以圆心为坐标原点，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设，且，， 则， 则 ， 故当时，取得最小值， 由于，则当时，取得最小值， 此时，或，， 故的最小值为. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高一下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，． (1)的平分线与交于点，求点的坐标． (2)若，为与的交点． ①若，求； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由题干条件易得D点坐标，由角平分线定理可得，由此可写出点的坐标； （2）①时，易得E点坐标，从而可写出的坐标，利用数量积可得； ②设，写出的坐标，得到关于的二次函数，由二次函数知识可知，在对称轴处取得最小值. 【详解】（1）由题意可得，所以，由角平分线定理可知， 所以，故点. （2）①因为为中点，所以，，， 则，，， 所以； ②设，则， 故，此为关于的二次函数， 对称轴为，即当时，取得最小值． 题型6：向量模的坐标运算 【例6-1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知，，且，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量模的坐标表示列方程，求解即可. 【详解】由题意知，， ，又， 所以，解得. 故选：B. 【例6-2】已知向量， 向量， 则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算求，再结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为，，则， 所以在上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 【例6-3】（24-25高一下·江苏苏州·期中）在长方形中，，，点，分别为边和上两个动点（含端点），设，． (1)当时，求的取值范围； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，设，用表示出的坐标，进而表示出目标式，换元后利用对勾函数性质求解可得； （2）设，根据已知可得动点的轨迹，然后利用三角代换转化为三角函数最值问题可解. 【详解】（1）以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系， 设，则，易知， 则，即， 所以， 令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 所以，即的取值范围为. （2）设，则由题可得， 即，表示以为圆心，为半径的四分之一个圆. 令， 因为，则有 ， 其中， 因为，所以， 所以当时，取得最大值. 【变式6-1】已知向量，则与共线且反向的单位向量为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据单位向量及相反向量的定义计算即可. 【详解】与共线且反向的单位向量为. 故选：B 【变式6-2】已知，向量在上的投影向量为，则向量与的夹角为 ． 【答案】/30° 【分析】根据投影向量的公式求出向量、夹角的余弦值，从而可求其夹角的大小． 【详解】向量在上的投影向量为， 则由题可知， 又，则， ∵． 故答案为： 【变式6-3】已知O是坐标原点，，，点P满足. (1)求； (2)设，求的最小值. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据向量的线性运算化简后由坐标运算求解即可; （2）根据向量的坐标表示向量的模，配方后利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）， ， 即， ， ， ， ，， . （2）由（1）知， ， ， 所以当时，取得最小值，最小值为. 题型7：向量夹角的坐标运算 【例7-1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）若向量，，则与的夹角为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积和模长的坐标表示、向量的夹角的余弦值公式计算即可. 【详解】，，， 所以，而 所以与的夹角为. 故选：. 【例7-2】（24-25高一下·江苏南京·月考）在菱形中，，且，则的余弦值为 ． 【答案】 【分析】如图，以为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，利用坐标法求向量夹角余弦值. 【详解】在菱形中，设交于点O， 分别以所在直线为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 由，则， 由，知B为AE的中点，所以， 则， 所以. 故答案为： 【例7-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知平行四边形的三个顶点分别为，，. (1)求顶点的坐标； (2)求平行四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用及向量的坐标运算求解； （2）根据夹角公式先求出，从而得到平行四边形边上的高，进而得解. 【详解】（1）根据平行四边形性质，， 设，即， 解得，故 （2），则， 又，则， 于是到的距离为， 又， 则平行四边形的面积为： 【变式7-1】图，在中，，，，边上的两条中线于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图象知与的夹角的大小相等，结合向量夹角余弦公式可得结论. 【详解】因为，所以为直角三角形， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则有，，， 又D，E分别为BC，AB中点， 所以，， 故，， 所以， 故选：D． 【变式7-2】已知，，，则 ． 【答案】 【分析】首先表示出，，利用夹角公式求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 又，所以，即， 所以. 故答案为： 【变式7-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知向量，，且与垂直． (1)求的值； (2)求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量的坐标，根据已知条件得出，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）利用平面向量数量积的坐标运算可求出的值，结合向量夹角的取值范围可得出的值. 【详解】（1）因为向量，，则， 因为与垂直，则，解得. （2）由（1）得，所以，，， 所以，， 因为，故. 题型8：平面向量共线的坐标表示 【例8-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据基底的定义依次判断各项对应向量是否能作为基底即可. 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 【例8-2】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知向量，则与向量共线的单位向量是 ． 【答案】， 【分析】根据共线单位向量的表示方法即可得到答案. 【详解】与向量共线的单位向量是， 即，. 故答案为：，. 【例8-3】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知向量， . (1)设， 若向量与互相平行， 求的值; (2)设， 当取得最小值时， 求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出与的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，求出，再由向量模的坐标表示计算可得； （2）用坐标法表示，结合二次函数求出取最小值时的值，再由夹角公式计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，， 又向量与互相平行，所以，解得， 所以，则； （2）因为， 所以 ， 所以当时取得最小值， 此时，则，， ， 所以设向量与夹角，则， 所以向量与夹角的余弦值为. 【变式8-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量，且，则实数的值是（ ）. A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标关系列式计算可得结果. 【详解】由，则有，解得. 故选：A 【变式8-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知向量，，，若，，三点共线，则 . 【答案】 【分析】首先表示出，依题意，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，即， 所以，解得. 故答案为： 【变式8-3】（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在梯形中，，且为的中点，，． (1)求的值； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用平面向量基本定理用表示出，再结合它们同向共线列方程求参数值即可； （2）由（1）得，应用数量积的运算律求其模长和，再应用向量夹角公式求角的大小. 【详解】（1）由， 由，又，结合图知同向共线， 所以； （2）由, 由（1），则， ， ，，则. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，，则（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据向量的坐标表示和向量的模进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏常州·月考）在中，为中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用向量的线性运算求出与关系，得解. 【详解】因为是的中点，则， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面向量，，，则（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可． 【详解】由得，，解得， 故选：B． 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知在边长为3的等边△ABC中，点E满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算，以及数量积的定义计算即得. 【详解】 如图，因，则 . 故选：C. 5．（24-25高一下·江苏南通·期中）直角梯形，且，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】用表示其它向量后，由数量积的运算律列式计算即可． 【详解】，又，所以， 因为， 所以， 所以，所以，即． 故选：A 6．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点M在△ABC内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】取 的中点 ，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系 则 . 设 ， 则 . 因为 ，且 ，所以 )，且 ， 即 可得 因为点 在 内部， 所以 可得 ，所以 . 因为 ， 所以 ， 所以当 时， 取最小值 . 故选：C 　 7．在中，为三角形所在平面内一点，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交直线于点，设，，利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出，即可得解. 【详解】延长交直线于点，如下图所示： 设，则，所以， 因为与共线，设，即， 所以，解得，即，，故， 所以，不妨设，则， ，故，， 因此，. 故选：D. 8．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由，，排除ABC，由可说明D符合题意. 【详解】，是平面内的一组基底， ，，， 因为，，， 则与，与，与不共线， 所以不共线，不共线，不共线，故排除ABC， 注意到， 即，所以点是线段的中点，故D符合题意. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，下列结论正确的有（    ） A． B．与同向的单位向量是 C．和的夹角为 D．与垂直的单位向量是 【答案】BC 【分析】根据，，逐项计算验证即可. 【详解】因为，，所以，故A错误； 与同向的单位向量是，故B正确； ,,，故C正确； 与垂直的单位向量有或，故D错误； 故选：BC. 10．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知向量，满足，，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的取值范围为 D．若与夹角为钝角，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于选项A，利用向量垂直的坐标表示以及模为1可以列出方程组求出；对于选项B，利用向量的共线可以求出的值；对于选项C，将模平方，展开后根据向量夹角的范围求出模的范围即可；对于选项D，根据向量夹角的余弦公式即可求出的范围. 【详解】对于选项A： 因为，所以. 设，则，解得或. 所以或，所以A错误. 对于选项B： 因为，所以，所以， 所以，所以B错误. 对于选项C： . 因为，所以，所以.所以C正确. 对于选项D： 因为向量的夹角为钝角，所以且. 所以且， 所以实数的取值范围为且，所以D错误. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·江苏盐城·期中）在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】依题意，画出图形，再结合选项依次判断即可． 【详解】由，及，得如图所示：    则，得，故A项正确； 由，则，故B项正确； 由与是同向共线的，故，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，，，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量的线性运算，结合数量积的运算律可得，即可求解. 【详解】由于，故,故, 又, 故, 故, 故， 由于，故， 故答案为： 13．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知向量，，若//，则k＝ ． 【答案】 【分析】先分别计算向量和的坐标，再根据向量平行的坐标关系列出方程，解方程求出k的值. 【详解】由题得，，， 因为//， 所以，解得， 故答案为：． 14．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，已知，点满足，．设线段与交于点，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意作图，利用基底表示所求向量，根据向量数量积运算律以及夹角公式计算，可得答案. 【详解】 如图，由题意，是线段的中点，，则， 且， 所求为向量与向量的夹角， 则， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏·期中）已知点，， (1)若A，B，C三点共线，求实数k的值； (2)若为等腰三角形，求实数k的值； (3)若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算以及共线向量的坐标表示求解； （2）分不同的相等边的情况进行解答，借助等腰三角形三线合一和平面向量垂直的坐标表示求解； （3）根据平面向量垂直的坐标表示确定实数k的值，再求夹角坐标公式求解. 【详解】（1）因为A，B，C三点共线，所以，共线，即， 又，，则有，所以； （2）①若，取AB中点D，则， 又，，则AB中点， 而，，得：， ②若，取BC中点E，则， 又，，， 由，得或3， 由（1）得：时，A，B，C三点共线，舍去．所以， ③若，取AC中点F，则， 又，，， 由，得，方程无解， 综上，或5； （3）设，因为四边形ABCD为矩形，所以，， 又，，，则，，， 则，，则， 综上，向量与夹角的余弦值为. 16．（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在边长为2的等边中，，点是边的中点，设. (1)用表示； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；； (2)； (3) 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）由（1）结合向量的数量积定义求解即可； （3）将，两边平方，算出后再开方即可得答案. 【详解】（1）解：因为； ； （2）解：； （3）解：因为， 所以. 所以. 17．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）根据图形用表示出，即可得参数值； （2）令且，进而得，，再应用向量数量级的运算律求得，即可得范围. 【详解】（1）由， 又，即，故； （2）如下图，令且， ， ， 所以， 所以. 18．（24-25高一下·江苏泰州·期末）如图，已知的夹角为. (1)求的值； (2)若线段的中点分别为. （i）求实数的值； （ii）求线段的长. 【答案】(1)-28 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据向量的线性运算可得，即可根据数量积的运算律求解 （2）（i）方法一：根据，即可根据相反向量化简求解；方法二：连接，利用中位线的性质求解，（ii）根据模长公式即可求解. 【详解】（1）因为 ， 由得， 所以 . （2）（i）方法一： 因为， 因为的中点分别为， 所以，即， 由不共线得. 方法二： 连结，取的中点， 则， 由不共线得. （ii）因为 ， 所以. 19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． (1)已知，，求； (2)①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据“相离度”的定义代入相应值进行计算. （2）首先证明①，可得，根据，等价于即可证明； ②由左右同时平方可求得，由题知为的重心，然后以、为基底表示出、，进而求出，再代即可得解. 【详解】（1）． （2）①因为 ， 且，，则， 所以． 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得，， 则， ， ， 可得， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 向量基本定理及坐标表示 知识清单 知识点01：平面向量基本定理 知识点02：平面向量基本定理的应用 知识点03：平面向量的正交分解 知识点04：向量的坐标表示 知识点05：向量线性运算的坐标表示 知识点06：向量数量积的坐标表示 知识点07：线段的定比分点与λ 题型讲解 （举三反三） 题型1：平面向量基本定理的应用 题型2：利用平面向量基本定理求参数 题型3：平面向量的正交分解 题型4：向量线性运算的坐标表示 题型5：向量数量积的坐标表示 题型6：向量模的坐标运算 题型7：向量夹角的坐标运算 题型8：平面向量共线的坐标表示 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 知识点2 平面向量基本定理的应用 1、唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 知识点3 平面向量的正交分解 由平面基本定理知，平面内任意向量可以用一组基底表示成的形式，我们称为向量的分解。当所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解。 知识点4 向量的坐标表示 1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2、始点为原点的向量坐标与其终点坐标关系：若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. 3、向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则 4、特殊向量的坐标：． 【注意】 （1）在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)． （2）由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等， 即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． （3）平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． （4）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 知识点5 向量线性运算的坐标表示 1、向量加减法的坐标运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、向量数乘的坐标运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 知识点6 向量数量积的坐标表示 1、数量积坐标表示：若，，则 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 2、向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则 3、用坐标表示模长、距离、夹角 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 知识点7 线段的定比分点与λ 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：                                   (内分)                         (外分)()                 (外分) () （1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. （2）点的位置与的范围的关系： ①同向共线，这时称点为的内分点；当时，与 ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点 题型1：平面向量基本定理的应用 【例1-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】在中，为的中点，交于，则 ． 【例1-3】在平行四边形中，已知，，，，． (1)若，求，的值及； (2)求和夹角的余弦值． 【变式1-1】（24-25高一下·江苏常州·期中）在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（24-25高一下·江苏宿迁·月考）已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为 . 【变式1-3】（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 题型2：利用平面向量基本定理求参数 【例2-1】在中，是的中点，，若，则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2-2】（24-25高一下·江苏南京·月考）在平行四边形中，，交于点，若，则 . 【例2-3】（24-25高一下·江苏宿迁·月考）在中，D、E分别在边AB，AC上，且满足，，F为BC中点． (1)若 求实数λ，μ的值； (2)若 求边BC的长． 【变式2-1】如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）为所在平面内的点，，若，则 . 【变式2-3】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为. (1)若，求AP的长； (2)设， ①用向量表示向量； ②求的值. 题型3：平面向量的正交分解 【例3-1】在平面直角坐标系中，若，则（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【例3-3】设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值． 【变式3-1】若，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024高一下·江苏·专题练习）已知在非平行四边形ABCD中，，且三点的坐标分别为，则顶点C的横坐标的取值范围是 ． 【变式3-3】已知点O(0，0)，A(1，2). （1）若点B(3t，3t)，＝，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ （2）若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由. 题型4：向量线性运算的坐标表示 【例4-1】（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知向量，与平行，则的值为 ． 【例4-3】（24-25高一下·江苏南京·月考）已知向量，． (1)求的值； (2)，求. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知向量，若，则 . 【变式4-3】（1）已知向量与相等，其中，，求的值． （2）已知点，，且，求点的坐标 题型5：向量数量积的坐标表示 【例5-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．6 【例5-2】（24-25高一下·江苏盐城·月考）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．    【例5-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，且与的夹角为，求： (1)； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【变式5-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·江苏常州·期中）已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为 . 【变式5-3】（24-25高一下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，． (1)的平分线与交于点，求点的坐标． (2)若，为与的交点． ①若，求； ②求的最小值． 题型6：向量模的坐标运算 【例6-1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知，，且，则（ ） A． B． C． D．或 【例6-2】已知向量， 向量， 则在上的投影向量的坐标为 . 【例6-3】（24-25高一下·江苏苏州·期中）在长方形中，，，点，分别为边和上两个动点（含端点），设，． (1)当时，求的取值范围； (2)当时，求的最大值． 【变式6-1】已知向量，则与共线且反向的单位向量为（    ） A． B． C．或 D． 【变式6-2】已知，向量在上的投影向量为，则向量与的夹角为 ． 【变式6-3】已知O是坐标原点，，，点P满足. (1)求； (2)设，求的最小值. 题型7：向量夹角的坐标运算 【例7-1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）若向量，，则与的夹角为（ ）． A． B． C． D． 【例7-2】（24-25高一下·江苏南京·月考）在菱形中，，且，则的余弦值为 ． 【例7-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知平行四边形的三个顶点分别为，，. (1)求顶点的坐标； (2)求平行四边形的面积. 【变式7-1】图，在中，，，，边上的两条中线于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知，，，则 ． 【变式7-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知向量，，且与垂直． (1)求的值； (2)求与的夹角． 题型8：平面向量共线的坐标表示 【例8-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例8-2】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知向量，则与向量共线的单位向量是 ． 【例8-3】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知向量， . (1)设， 若向量与互相平行， 求的值; (2)设， 当取得最小值时， 求向量与夹角的余弦值. 【变式8-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量，且，则实数的值是（ ）. A．1 B． C．4 D． 【变式8-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知向量，，，若，，三点共线，则 . 【变式8-3】（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在梯形中，，且为的中点，，． (1)求的值； (2)若，求． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，，则（    ） A．2 B． C．4 D．8 2．（24-25高一下·江苏常州·月考）在中，为中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面向量，，，则（   ） A． B． C．6 D．8 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知在边长为3的等边△ABC中，点E满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 5．（24-25高一下·江苏南通·期中）直角梯形，且，则（ ） A． B．1 C． D． 6．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．在中，为三角形所在平面内一点，且，则（　　） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，下列结论正确的有（    ） A． B．与同向的单位向量是 C．和的夹角为 D．与垂直的单位向量是 10．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知向量，满足，，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的取值范围为 D．若与夹角为钝角，则实数的取值范围为 11．（25-26高一上·江苏盐城·期中）在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，，，，且，则 ． 13．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知向量，，若//，则k＝ ． 14．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，已知，点满足，．设线段与交于点，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏·期中）已知点，， (1)若A，B，C三点共线，求实数k的值； (2)若为等腰三角形，求实数k的值； (3)若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值． 16．（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在边长为2的等边中，，点是边的中点，设. (1)用表示； (2)求的值； (3)求的值． 17．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 18．（24-25高一下·江苏泰州·期末）如图，已知的夹角为. (1)求的值； (2)若线段的中点分别为. （i）求实数的值； （ii）求线段的长. 19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． (1)已知，，求； (2)①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $