第02讲向量运算讲义（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏教版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第02讲向量运算 知识清单 知识点01：向量的加法运算 知识点02：向量的减法 知识点03：向量的数乘运算 知识点04：向量共线定理 知识点05：向量的数量积 知识点06：求平面向量数量积的方法 题型讲解 （举三反三） 题型1：向量的加法 题型2：向量的减法 题型3：向量数乘的有关计算 题型4：向量线性运算的几何应用 题型5：向量的数量积的定义及运算律 题型6：向量夹角的计算 题型7：向量的垂直问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 向量的加法运算 1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、向量加法的平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点2 向量的减法 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 知识点3 向量的数乘运算 1、向量数乘的定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度与方向规定如下： （1）|λa|＝|λ||a|； （2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； （3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、向量数乘的几何意义 当时，把向量沿的相同方向放大或缩小； 当时，把向量沿的相反方向放大或缩小。 3、向量数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 4、向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识点4 向量共线定理 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 4、向量共线的常用结论 （1）设,均为实数，若，不共线，点满足，，则三点共线； （2）中线向量公式：在中，若是的中点，则； （3）与同方向的单位向量为，与共线的单位向量为； （4）是的重心的充要条件是 知识点五、向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积。 4、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 5、向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 6、向量数量积满足的运算律 （1）； （3）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 知识点六、求平面向量数量积的方法 1、定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件； 2、运算律转化法：由可得如下运算公式：；；； 3、向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。 题型1：向量的加法 【例1-1】（24-25高一下·江苏·月考）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加法运算. 【详解】. 故选：D 【例1-2】（24-25高一下·四川成都·月考）已知向量满足，，则的取值范围是 【答案】[6,10] 【分析】根据向量模长不等式.以及向量共线的情况来确定的取值范围. 【详解】根据向量模长不等式，已知，，则，当且仅当与同向时，等号成立. 根据向量模长不等式，可得，当且仅当与反向时，等号成立. 综上，的取值范围是 故答案为： 【例1-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，求作向量＋． 【答案】作图见解析 【分析】（1）（2）（3）利用向量的加法的三角形法则画图即可. 【详解】（1）作，则，如图（1）． （2）作，则，如图（2）． （3）作，则，如图（3）． 【变式1-1】（24-25高一下·江苏·月考）在四边形中，若，则（   ） A．四边形一定是等腰梯形 B．四边形一定是菱形 C．四边形一定是直角梯形 D．四边形一定是平行四边形 【答案】D 【分析】运用同起点的向量加法的平行四边形法则易得. 【详解】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到， 由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形. 故选：D. 【变式1-2】已知，且，则实数 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】， ， ． 故答案为：. 【变式1-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知三个向量，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量．    【答案】作图见解析 【分析】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作图。 【详解】利用三角形法则作，如图①所示，作，以A为起点，作， 再以B为起点，作，则， 利用平行四边形法则作，如图②所示，作，，， 以，为邻边作，则， 再以，为邻边作，则．    题型2：向量的减法 【例2-1】（24-25高一下·江苏盐城·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的三角形法则即可得到结果. 【详解】. 故选：A. 【例2-2】（24-25高一下·江苏镇江·月考）在四边形中，已知，，则四边形是 （填“等腰梯形/平行四边形/矩形/正方形”）. 【答案】矩形 【分析】由向量减法和模长含义可得答案. 【详解】因为，所以四边形是平行四边形， 因为，所以，即对角线相等， 所以四边形是矩形. 故答案为：矩形 【例2-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，，求作向量．    【答案】作图见解析 【分析】根据向量减法的三角形法则作出图形. 【详解】在平面内任取一点，作向量，，则向量， 再作向量，则向量，即为所求作向量.    【变式2-1】（24-25高一下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量运算法则计算即可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A. 【变式2-2】化简： （1） ；            （2） ； （3） ；            （4） ． 【答案】 【分析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为： 【变式2-3】（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的加减法运算即可得答案； （2）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. 题型3：向量数乘的有关计算 【例3-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）设，为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量定义和数乘定义判断可知. 【详解】表示向量的长度是向量长度的2倍，但，的方向不一定相同， 所以由推不出； 反之，由数乘定义可知，若，则. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【例3-2】（24-25高一下·江苏苏州·月考）在平行四边形中，．设，请用表示 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算计算. 【详解】. 故答案为：. 【例3-3】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量加减法及数乘运算律计算； 【详解】（1） （2） 【变式3-1】已知m、n是实数，、是向量，对于命题： ①     ② ③若，则     ④若，则 其中正确命题的个数是：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，③中若，结论不成立，④中若，结论不成立. 【详解】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确； ③中若，与没有确定关系，结论不成立，错误； ④中若，m与n没有确定关系，结论不成立，错误. 故①②两个命题正确． 故选：B 【变式3-2】（24-25高一下·江苏徐州·月考）设为实数，已知为单位向量，向量的模为，， ． 【答案】 【分析】由数乘向量模的性质可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为为实数，已知为单位向量，向量的模为，， 则，解得. 故答案为：. 【变式3-3】化简下列各式： (1)3； (2)； (3)2． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用向量的数乘运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型4：向量线性运算的几何应用 【例4-1】（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，点在边上，.记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线段关系得到向量的关系，再由向量的线性运算求出结果即可. 【详解】∵，∴ . 故选：C. 【例4-2】已知所在平面内一点满足，则 ． 【答案】5 【分析】取的中点，则，进而可得. 【详解】如图，取的中点，则， 故，故、、三点共线， 故，    故答案为：5 【例4-3】（2024高一下·江苏·专题练习）已知.则为何值时，为线段的中点？ 【答案】 【分析】根据向量的线性运算即可得到答案. 【详解】由，得即， 因为为线段的中点， 所以，故. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·月考）已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到，使得，利用向量加法的平行四边形法则作图，再求出面积关系即可. 【详解】延长到，使得，以，为邻边作平行四边形，如图， 则，由，得，则， 由，得，因此， 所以与的面积比为. 故选：B 【变式4-2】若M是内一点，且满足，则与的面积之比为 ． 【答案】/ 【分析】设为的中点，连接，则由题意可得为的中点，从而可求得结果. 【详解】设为的中点，连接，则 ， 因为，所以， 所以为的中点， 所以， 所以, 故答案为： 【变式4-3】如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【详解】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 题型5：向量的数量积的定义及运算律 【例5-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）图中正方形的边长为2，圆的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的值为（   ） A．23 B．29 C．21 D．24 【答案】A 【分析】利用可求解. 【详解】因为正方形的中心与圆的圆心重合，所以是的中点， 又正方形的边长为2，所以，所以， 所以 . 故选：A. 【例5-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，且，向量 ． 【答案】0 【分析】转化向量，结合图形的关系，即可求数量积. 【详解】． 故答案为：0 【例5-3】已知中，， P在线段上，且，，设，. (1)用向量，表示； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 利用向量的线性运算计算即可； （2）根据条件求出，再根据数量积的定义计算即可. 【详解】（1）由题意得. （2）根据题意知，                             所以 【变式5-1】（24-25高一下·江苏常州·月考）在平行四边形中，，，，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】利用向量的加法运算及平行四边形的性质先把用表示，再利用数量积的运算律即可得出答案. 【详解】由向量的加法运算及题干条件可知，， 所以 . 故选：C. 【变式5-2】已知正，则向量与的夹角为 .（用弧度表示） 【答案】/ 【分析】根据平面向量夹角的定义可得结果. 【详解】如图：延长到，      则为与的夹角，所以，与的夹角为. 故答案为： 【变式5-3】（2024高一·江苏·专题练习）已知，，与的夹角为． 求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)－20 (2)88 (3)156 【分析】根据数量积概念和运算律可得. 【详解】（1）； （2） ； （3） . 题型6： 向量夹角的计算 【例6-1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，是单位向量，若，则向量，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【分析】由向量垂直、数量积的运算律以及定义求得即可得解. 【详解】设向量，的夹角为， 已知，是单位向量，若， 则，解得， 所以. 故选：C. 【例6-2】（24-25高一下·江苏·月考）若两个单位向量满足，则与的夹角是 . 【答案】 【分析】通过平方运算将模长变为数量积运算的形式，可构造出关于夹角余弦值的方程，从而求得夹角. 【详解】由题意知：，， 所以，所以， 所以，所以， 所以向量与的夹角是. 故答案为：. 【例6-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，． (1)求与的夹角； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得； （2）根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 即， 又，，所以，所以， 所以， 由于，所以， （2）因为，，， 所以. 【变式6-1】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的夹角为，由条件可得，结合数量积的定义及性质化简可求结论. 【详解】设与的夹角为，则， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，又， 所以， 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则与夹角的大小为 【答案】/ 【分析】首先由条件判断，由等式变形，转化为数量积运算求，再变形为，平方后即可求解. 【详解】由条件可知，，即，两边平方得， ， 所以， 又，两边平方得， 得，即. 故答案为： 【变式6-3】（24-25高一下·江苏南通·期中）在平面四边形中，，． (1)设、分别为、的中点． （i）证明：； （ii）若，求与夹角的余弦值． (2)求的值． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）. (2) 【分析】（1）（i）由平面向量的加法得出，两式相加可证得结论成立； （ii）由可得出结合平面向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求； （2）利用平面向量的线性运算得出，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】（1）（i）如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，， 因为，两个等式相加得； （ii）因为， 则， 即，解得， 即与夹角的余弦值为. （2）， 因此. 题型7： 向量的垂直问题 【例7-1】（24-25高一下·江苏无锡·月考）设为的外心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算可得，即，然后可得的余弦值，利用余弦定理和正弦定理可得. 【详解】设AC中点为M，的外接圆半径为，连接OM，则， ，，即， ， ， ， ， 在中，由正弦定理， 故选：D. 【例7-2】（2024高一下·江苏·专题练习）已知，是单位向量，，．若，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】由，可得，化简得到，利用向量夹角公式即可得到答案. 【详解】因为，， 所以． 所以，设与的夹角为，则， 因为，所以 故答案为： 【例7-3】（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，． (1)若，求x； (2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的充要条件及向量坐标的数量积运算即可得解； （2）先根据投影向量的计算公式求出x，然后根据向量夹角为锐角即可得出，且与不共线，然后列出关于λ的不等式组，解出范围即可． 【详解】（1）∵，，， ∴， 解得； （2）∵在方向上的投影向量为， ∴，解得， ∴，，， ∵与的夹角为锐角， ∴，且与不共线， ∴，解得且， ∴λ的取值范围为：． 【变式7-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知是单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且， 可得，可得， 则，又因为，可得， 所以与的夹角为. 故选：B. 【变式7-2】在矩形中，，，则 ； . 【答案】 5 9 【分析】由题意可得，根据结合数量积的运算律运算求解，由题意可得，代入结合数量积的运算律运算求解． 【详解】由题意可得：，则 ∴，则 故答案为：5；9． 【变式7-3】（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据模长公式即可求解， （2）根据垂直的向量关系，结合数量积的运算律，即可代入求解. 【详解】（1）由可得， 故， 故 （2）由于，故， 即， 故，解得， 一、单选题 1．化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得. 【详解】. 故选：D 2．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【详解】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角公式求出，再结合投影向量公式求解即可. 【详解】由向量的夹角公式得， 由投影向量公式得在上的投影向量为，故D正确. 故选：D 4．已知中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算化简求解即可. 【详解】中，， 所以. 故选：A. 5．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案. 【详解】由于向量在向量上的投影向量为， 故可得，即，所以， 故选：C 6．如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到. 【详解】是边的中点，， ， 是边上靠近点的三等分点,， ， 又，. 故选：C 7．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，得，，化简后结合向量的夹角公式可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以，① 因为，所以， 所以，② 由②①，得，则， 所以，得，所以， 因为， 是两个非零向量， 所以， 因为，所以. 故选：C 8．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据向量减法的几何意义，作出图形即可求解． 【详解】的几何意义如图所示， 因为的最小值为3， 所以在中，，所以， 所以， 因为与的夹角有两种情况，即或， 所以或， 故选：D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏苏州·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．已知为单位向量，若，则在上的投影向量为 C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件 D．若，则与的夹角是锐角 【答案】BC 【分析】利用向量的运算法则可判断A，利用投影向量的求法可判断B，利用数量积的含义可判断C,D. 【详解】因为，所以，即，不一定得出，A不正确； 在上的投影向量为，B正确； 若存在负数，使得，则，若，则， 不能得出“存在负数，使得”，C正确； 若，则，与的夹角不一定是锐角，D不正确. 故选：BC 10．如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ）.    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项B和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误. 故选：AC 11．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知在直角中，斜边，为所在平面内一点，，则下列结论正确的是（   ） A．的取值范围是 B．点在斜边的中线上 C．点的轨迹长度是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据向量共线定理可判断BC选项，再利用转化法可求导向量数量积，进而可得取值范围. 【详解】 如图所示，设中点为，则， 由已知， 则， 又为直角三角形， 则，即， 所以，A选项正确； 由， 又，且，， 所以点在线段上，即点在斜边的中线上，B选项正确； 所以点的轨迹的长度为，C选项错误； D选项：，设，， 则，， 所以， D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】5 【分析】根据数量积的运算律以及定义即可求解. 【详解】, 故答案为：5 13．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知向量满足，，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】应用向量数量积的运算律可得，再由投影向量的定义求在上的投影向量的坐标. 【详解】由题设，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为： 14．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的运算律可得，将已知条件代入有，即可求. 【详解】由，两边平方并展开得， 所以，又，， 所以，则（负值舍）. 故答案为： 四、解答题 15．如图，已知向量 (1)用表示； (2)用表示； (3)用表示； (4)用表示； (5)用表示 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）直接根据图形和向量线性运算即可得到答案. 【详解】（1）. （2）. （3） （4）. （5） 16．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知向量满足，，，向量满足． (1)求实数的值； (2)求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由数量积的运算律求出，再由向量垂直的条件可得； （2）先由数量积和模长的运算求出，再由夹角的计算求出即可. 【详解】（1）因为，即，则， 又，所以. （2）由（1）可得，则， 所以， 所以， 因为，所以，即与的夹角为. 17．（24-25高一下·江苏·月考）已知平面向量满足，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将模平方后可得，再有投影向量公式可求投影向量； （2）利用向量垂直的向量形式可求实数的值. 【详解】（1）由，且， 两边平方得，解得， 所以在方向上的投影向量为. （2）因为所以 化简得 所以 解得. 18．（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知向量满足，，的夹角为. (1)若，求实数； (2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2)，且 【分析】（1）根据向量垂直关系列方程，结合数量积运算律化简方程可求入； （2）根据数量积性质由条件列不等式求的范围． 【详解】（1）， ， ， ， 即， 解得 （2）由已知，且与不共线， 由可得， 即，解得， 若与共线，则可得， 即，解得， 所以由与不共线可得， 综上所述，若与的夹角为钝角，则且. 19．（24-25高一下·江苏徐州·月考）（1）如图甲，在三角形中，与的夹角为，为线段中点，求线段的长度 （2）如图乙，在四边形中，与的夹角为，分别为的中点，求线段的长度． （3）如图丙，在四边形中，分别在边上，且与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用向量的中线公式，结合条件，利用向量数量积的定义及运算，即可求解； （2）利用向量的运算得，结合条件，利用向量数量积的定义及运算，即可求解； （3）根据条件，利用向量的运算得到，利用利用向量数量积的定义及运算，得，，再利用向量夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又与的夹角为，所以， 故. （2）因为①，②， 由①②得，所以， 又与的夹角为，所以， 得到. （3）因为与的夹角为， 又由（2）知①，②， 所以， 得到，所以， 又，， 所以向量与向量夹角的余弦值为.    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲向量运算 知识清单 知识点01：向量的加法运算 知识点02：向量的减法 知识点03：向量的数乘运算 知识点04：向量共线定理 知识点05：向量的数量积 知识点06：求平面向量数量积的方法 题型讲解 （举三反三） 题型1：向量的加法 题型2：向量的减法 题型3：向量数乘的有关计算 题型4：向量线性运算的几何应用 题型5：向量的数量积的定义及运算律 题型6：向量夹角的计算 题型7：向量的垂直问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 向量的加法运算 1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、向量加法的平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点2 向量的减法 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 知识点3 向量的数乘运算 1、向量数乘的定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度与方向规定如下： （1）|λa|＝|λ||a|； （2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； （3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、向量数乘的几何意义 当时，把向量沿的相同方向放大或缩小； 当时，把向量沿的相反方向放大或缩小。 3、向量数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 4、向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识点4 向量共线定理 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 4、向量共线的常用结论 （1）设,均为实数，若，不共线，点满足，，则三点共线； （2）中线向量公式：在中，若是的中点，则； （3）与同方向的单位向量为，与共线的单位向量为； （4）是的重心的充要条件是 知识点五、向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积。 4、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 5、向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 6、向量数量积满足的运算律 （1）； （3）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 知识点六、求平面向量数量积的方法 1、定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件； 2、运算律转化法：由可得如下运算公式：；；； 3、向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。 题型1：向量的加法 【例1-1】（24-25高一下·江苏·月考）等于（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高一下·四川成都·月考）已知向量满足，，则的取值范围是 【例1-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，求作向量＋． 【变式1-1】（24-25高一下·江苏·月考）在四边形中，若，则（   ） A．四边形一定是等腰梯形 B．四边形一定是菱形 C．四边形一定是直角梯形 D．四边形一定是平行四边形 【变式1-2】已知，且，则实数 ． 【变式1-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知三个向量，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量．    题型2：向量的减法 【例2-1】（24-25高一下·江苏盐城·月考）（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一下·江苏镇江·月考）在四边形中，已知，，则四边形是 （填“等腰梯形/平行四边形/矩形/正方形”）. 【例2-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，，求作向量．    【变式2-1】（24-25高一下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】化简： （1） ；            （2） ； （3） ；            （4） ． 【变式2-3】（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 题型3：向量数乘的有关计算 【例3-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）设，为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3-2】（24-25高一下·江苏苏州·月考）在平行四边形中，．设，请用表示 ． 【例3-3】化简： (1)； (2)． 【变式3-1】已知m、n是实数，、是向量，对于命题： ①     ② ③若，则     ④若，则 其中正确命题的个数是：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（24-25高一下·江苏徐州·月考）设为实数，已知为单位向量，向量的模为，， ． 【变式3-3】化简下列各式： (1)3； (2)； (3)2． 题型4：向量线性运算的几何应用 【例4-1】（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，点在边上，.记，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】已知所在平面内一点满足，则 ． 【例4-3】（2024高一下·江苏·专题练习）已知.则为何值时，为线段的中点？ 【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·月考）已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若M是内一点，且满足，则与的面积之比为 ． 【变式4-3】如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 题型5：向量的数量积的定义及运算律 【例5-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）图中正方形的边长为2，圆的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的值为（   ） A．23 B．29 C．21 D．24 【例5-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，且，向量 ． 【例5-3】已知中，， P在线段上，且，，设，. (1)用向量，表示； (2)若，求. 【变式5-1】（24-25高一下·江苏常州·月考）在平行四边形中，，，，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式5-2】已知正，则向量与的夹角为 .（用弧度表示） 【变式5-3】（2024高一·江苏·专题练习）已知，，与的夹角为． 求： (1)； (2)； (3)． 题型6： 向量夹角的计算 【例6-1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，是单位向量，若，则向量，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【例6-2】（24-25高一下·江苏·月考）若两个单位向量满足，则与的夹角是 . 【例6-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，． (1)求与的夹角； (2)求． 【变式6-1】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则与夹角的大小为 【变式6-3】（24-25高一下·江苏南通·期中）在平面四边形中，，． (1)设、分别为、的中点． （i）证明：； （ii）若，求与夹角的余弦值． (2)求的值． 题型7： 向量的垂直问题 【例7-1】（24-25高一下·江苏无锡·月考）设为的外心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（2024高一下·江苏·专题练习）已知，是单位向量，，．若，则与的夹角为 ． 【例7-3】（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，． (1)若，求x； (2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 【变式7-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知是单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】在矩形中，，，则 ； . 【变式7-3】（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 一、单选题 1．化简（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．已知中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 6．如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏苏州·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．已知为单位向量，若，则在上的投影向量为 C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件 D．若，则与的夹角是锐角 10．如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ）.    A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知在直角中，斜边，为所在平面内一点，，则下列结论正确的是（   ） A．的取值范围是 B．点在斜边的中线上 C．点的轨迹长度是 D．的取值范围是 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知向量与的夹角为，，，则 ． 13．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知向量满足，，则在上的投影向量的坐标为 . 14．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，满足，，，则 ． 四、解答题 15．如图，已知向量 (1)用表示； (2)用表示； (3)用表示； (4)用表示； (5)用表示 16．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知向量满足，，，向量满足． (1)求实数的值； (2)求与的夹角． 17．（24-25高一下·江苏·月考）已知平面向量满足，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)若，求实数的值. 18．（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知向量满足，，的夹角为. (1)若，求实数； (2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 19．（24-25高一下·江苏徐州·月考）（1）如图甲，在三角形中，与的夹角为，为线段中点，求线段的长度 （2）如图乙，在四边形中，与的夹角为，分别为的中点，求线段的长度． （3）如图丙，在四边形中，分别在边上，且与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值．    1 学科网（北京）股份有限公司 $