第01讲向量概念讲义（知识清单+5题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏教版必修第二册）数学高一重难点讲义与测试

第01讲向量概念 知识清单 知识点01：向量的概念 知识点02：向量的表示法 知识点03：向量的有关概念 知识点04：向量的共线或平行 题型讲解 （举三反三） 题型1：平面向量的概念与表示 题型2：向量的模 题型3：零向量与单位向量 题型4：相等向量 题型5：平行向量 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2、数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量． 【注意】 （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移； （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素； （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点2 向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的字母表示法：如等. 3、向量的几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 【注意】 （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 知识点3 向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 【注意】（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 【注意】（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点4 向量的共线或平行 1、向量共线或平行的定义：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)。 规定：与任一向量共线. 【注意】（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 2、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型1：平面向量的概念与表示 【例1-1】下列物理量中，不能称为向量的是（   ） A．质量 B．速度 C．位移 D．力 【答案】A 【分析】由向量的概念判断即可. 【详解】由于向量即有大小又有方向，故速度，位移，力为向量，质量只有大小不是向量. 故选：A 【例1-2】（24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 【例1-3】下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 【答案】③⑤⑥ 【分析】根据向量的概念判断即可. 【详解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度. 故答案为：③⑤⑥. 【变式1-1】（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）下列各量中是向量的为（    ） A．时间 B．体积 C．重力 D．密度 【答案】C 【分析】根据向量的定义判断可得出结论. 【详解】由题意可知，时间、体积、密度都是数量，而重力是向量. 故选：C. 【变式1-2】以下选项中，都是向量的是（   ） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 【答案】D 【分析】根据向量的定义判定. 【详解】时间、海拔、质量、体积均只有大小，没有方向，不是向量. 位移，加速度，浮力、速度既有大小又有方向，是向量. 故选：D 【变式1-3】下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度． 【答案】③⑤⑥⑧⑩ 【分析】根据向量的概念判断即可. 【详解】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速度. 故答案为：③⑤⑥⑧⑩. 题型2：向量的模 【例2-1】已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 【例2-2】如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 【答案】5 【分析】由向量的概念，结合几何图形写出与模相等的向量，即知个数. 【详解】由图知：与向量的模相等的向量有， ∴共有5个. 故答案为：5. 【例2-3】（24-25高一下·广西南宁）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【分析】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【详解】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 【变式2-1】设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【详解】因为点是正三角形的中心， 所以，，是模相等的向量； 向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说； 这三个向量方向不同，不是共线向量； 这三个向量方向不同，不是相等向量. 故选：B 【变式2-2】已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则 . 【答案】 【分析】根据题设可得圆O的半径为1，结合已知条件及含的直角三角形的性质即可求. 【详解】由题设，圆O的半径为1，又，如下图示： 在中，，，所以. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高一下·全国）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【答案】(1)答案见解析 (2)地在地的东南方向，距地 【分析】（1）根据向量的定义即可求解， （2）根据三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示．    （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 题型3：零向量与单位向量 【例3-1】下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 【例3-2】（25-26高一上·辽宁大连·期末）与向量方向相同的单位向量为 . 【答案】 【分析】由单位向量的定义有求解即可. 【详解】由题意可得与向量方向相同的单位向量为：. 故答案为： 【例3-3】（24-25高一上·上海·课前预习）基向量、能否是零向量？ 【答案】答案见解析 【分析】见解析 【详解】、不能是零向量，必须是非零向量.若是零向量，则、是平行向量，并且当为零向量时，，此时只能与平行，就不能是平面内的任意向量了. 【变式3-1】下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 【变式3-2】若与任意都平行，则 . 【答案】 【分析】根据零向量的性质可直接得到结果. 【详解】零向量与任意向量都平行，. 故答案为：. 【变式3-3】如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？ 【答案】单位圆 【分析】根据单位向量的长度和方向判断即可． 【详解】单位向量的长度为1个单位长度，方向是任意的， 因此，平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点， 那么它们的终点构成的图形是个单位圆． 题型4：相等向量 【例4-1】（24-25江苏·高一专题练习）下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同 C．，且 D．且 【答案】D 【分析】根据相等向量的定义即可逐一判断各选项. 【详解】因等价于长度相等，方向相同. 对于A，由不能确定方向是否相同，故A错误； 对于B，与的方向相同，但长度不确定是否相等，故B错误； 对于C，当，且时，若的方向相反，则不成立，故C错误； 对于D，当且时，长度相等，方向相同，故D正确. 故选：D. 【例4-2】在四边形中，有，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【分析】根据向量相等的概念可得结果. 【详解】由得，，且， ∴四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 【例4-3】（2024·江苏·高一专题练习）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与向量相等的向量有多少个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】8个，分别为 【分析】根据相等向量的概念得到答案. 【详解】题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量方向相同的向量与其相等，共有8个， 分别为， 【变式4-1】下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由向量相等的概念进行判断即可. 【详解】由向量相等的概念可知且方向相同. 对A：为单位向量可得，但方向未必相同，故未必成立，故A错误； 对B：为平行向量，不能说明，也不能说明方向相同，所以不能说明，故B错误； 对C：仅，不能说明，故C错误； 对D：若，则正确，故D正确. 故选：D 【变式4-2】已知四边形和都是平行四边形，则与向量相等的向量为 ． 【答案】，. 【分析】根据向量相等的概念直接求解. 【详解】   四边形和都是平行四边形， ，， 从而，，． 故与向量相等的向量为，． 故答案为：，. 【变式4-3】设点为正八边形的中心，分别写出与、、、相等的向量.    【答案】，，，. 【分析】根据正八边形的性质及相等向量的定义判断即可. 【详解】依题意可得，，，. 题型5：平行向量 【例5-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误． 对于C：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确； 对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误. 故选：C． 【例5-2】一辆汽车从点出发向西行驶了100km到达点，然后又改变方向向西偏北方向行驶了200km到达点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达点，则 km， km． 【答案】 100 200 【分析】根据判定四边形为平行四边形，即可求解. 【详解】如图所示，汽车从点出发，经过点，到达点，最后停在点， 易知，， 又在四边形中，， 所以四边形为平行四边形，所以． 故答案为：100，200    【例5-3】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 【变式5-1】（2024高一·江苏·专题练习）已知向量与向量共线，则下列关于向量的说法中，正确的是（    ） A．向量与向量一定同向 B．向量，向量，向量一定共线 C．向量与向量一定相等 D．以上说法都不正确 【答案】B 【分析】 利用向量共线的概念逐一判断. 【详解】 根据共线向量的定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，但方向不确定是同向还是反向，大小也不确定，故ACD错误，B正确. 故选：B． 【变式5-2】与向量平行的单位向量是 ． 【答案】或 【分析】利用与向量平行的单位向量公式为来进行计算即可. 【详解】,, 则与向量平行的单位向量是， 故答案为：或. 【变式5-3】在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【答案】(1) ，，． (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平行向量的定义即可求解； （2）根据相等向量的定义即可证明. 【详解】（1）与向量平行的向量有，，． （2）在平行四边形ABCD中，，， 因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以且， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏扬州·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，B错误； 对于C：若，则方向相同，C正确； 对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·湖北·月考）已知非零向量与共线，下列说法正确的是（   ） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 【答案】D 【分析】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项. 【详解】当，，，四点在一条直线上时，与共线，否则与可能不共线，所以AB选项错误； 若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误； 根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确； 故选：D. 3．（24-25高一下·江苏无锡·月考）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用相等向量和相反向量的定义，结合充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且，所以“且”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用向量是既有大小又有方向的量，但零向量的方向是任意的，且零向量与任意向量是共线的，所以在概念辨析时要充分考虑零向量是否也满足，从而可作出判断. 【详解】对于①，若，则，故①错误； 对于②，若，由于方向不确定是相同或相反，则或是不一定正确的，故②错误； 对于③，若，且，因为零向量的方向是任意的，则的方向不一定相同或相反；只有当时，若，则的方向相同或相反；故③错误； 对于④，若，，由于当，就不能保证，只有当时，才一定有，故④错误； 故选：D. 5．下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【分析】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解. 【详解】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D 6．（25-26高一下·江苏连云港·月考）下列说法错误的是（    ） A． B．、是单位向量，则 C．两个相同的向量的模相等 D．单位向量均相等 【答案】D 【分析】根据相等向量、单位向量的定义判断即可. 【详解】对于A：因为，又互为相反向量的两个向量的模相等，所以，故A正确； 对于B：因为、是单位向量，所以，故B正确； 对于C：两个相同的向量的模相等，故C正确； 对于D：单位向量的模相等均为，由于无法确定方向是否相同，故单位向量不一定相等，故D错误. 故选：D 7．如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据单位向量模相等，方向任意依次判断各选项即可得答案. 【详解】因为是两个单位向量，所以， 但两向量的方向不能确定，所以，故①②错误，③④正确． 故选：B. 8．下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误. 当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误. 向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 【答案】AC 【分析】由平面向量共线以及共线定理可判断A错误，D正确，再由数乘运算可得B正确，因为平面向量不能比较大小，可知C错误. 【详解】对于A，向量与向量是共线向量，则可能平行，因此不一定在同一条直线上，即A错误； 对于B，若，则或，即B正确； 对于C，向量不能比较大小，因此错误，即C错误； 对于D，由平面向量的共线定理可知D正确. 故选：AC 10．（2025高一·江苏·专题练习）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【分析】对A，根据平行向量的定义判断；对B，根据条件，求得得解；对C，根据相等向量的定义结合图形求解判断；对D，根据相等向量的定义判断. 【详解】对于A，向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B正确； 对于C，根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于D，与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一下·江苏泰州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．若两个非零向量 满足，则是互为相反向量 B．若向量 满足 与同向，则 C．的充要条件是 与重合，与重合 D．模为0是一个向量方向不确定的充要条件 【答案】AD 【分析】根据向量的基本性质，基本概念，以及向量平行和零向量的定义，逐项分析即可. 【详解】对于A,因为两个非零向量 满足， 则，且，故方向相反， 则是互为相反向量，故A正确； 对于B，因为向量不能比较大小，故B错误； 对于C， 若与重合，与重合，则， 则充分性成立， 但，根据向量的可平移性， 不一定有与重合，与重合，必要性不成立， 故C错误； 对于D，模为0的向量是零向量，故其方向不确定； 一个向量方向不确定，是零向量，其模为0, 故模为0是一个向量方向不确定的充要条件， 则D正确， 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏泰州·月考）在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量： ； （2）的负向量： ； （3）与共线的向量： . 【答案】 ①②③ 【分析】根据向量的定义，把所有向量罗列出来，找出符合条件的向量即可． 【详解】（1）与相等的向量：； （2）的负向量：; （3）与共线的向量：. 故答案为：①②③. 13．（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【答案】 A、B、C三点共线 B是的中点 平行四边形 【分析】（1）根据共线向量的概念即可判断； （2）根据相等向量的概念即可判断． 【详解】（1）且有一个公共点， A、B、C三点共线； ，方向相同， B是的中点， 故答案为：A、B、C三点共线；B是的中点； （2）在四边形中，若，则一组对边平行且相等，则四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 14．（24-25高一下·江苏宿迁）在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 【答案】①③⑤ 【分析】根据向量的定义及知识即可逐项判断求解. 【详解】对①：由定义知①正确； 对②：由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故②不正确； 对③：根据定义可知单位向量的长度都为1，故③正确； 对④：单位向量方向可以不同，故④错误； 对⑤：任意向量与零向量都共线，故⑤正确； 故答案为：①③⑤. 四、解答题 15．如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1)， (2)，，，，，，． 【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形， 所以，又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 16．如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： (1)与相等的向量有哪些？ (2)的相反向量有哪些？ (3)与的模相等的向量有哪些？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据相等向量、相反向量、向量模长的概念，结合图形进行分析求解即可. 【详解】（1）由相等向量定义知：与相等的向量有. （2）由相反向量定义知：的相反向量有. （3）由向量模长定义知：与的模相等的向量有. 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】4个． 【分析】利用平面向量的定义结合给定条件求解即可. 【详解】如图，我们标注一些点， 由图得与向量同向且长度为的向量有，共4个． 18．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】(1)本题首先可以根据勾股定理得出是直角三角形，然后根据点为半圆上一点得出，最后根据即可得出结果； (2)本题首先可以根据得出，然后根据计算出，最后即可得出结果。 【详解】(1)由题意知，在中，，，， 所以，是直角三角形， 因为点为半圆上一点，所以 所以，故 (2)因为，所以，， 即，解得，即。 【点睛】本题考查向量平行的证明以及向量的模的计算，若两向量所在直线平行或重合，则说明这两个向量平行，向量所在线段的长即向量的模，考查计算能力，是中档题。 19．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 【答案】（1）5；（2）2. 【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可. 【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形， 每个小正方形的对角线的长度为且都与平行， 则， （1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量， 则与相等的向量共有5个，如图1； （2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2. 【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲向量概念 知识清单 知识点01：向量的概念 知识点02：向量的表示法 知识点03：向量的有关概念 知识点04：向量的共线或平行 题型讲解 （举三反三） 题型1：平面向量的概念与表示 题型2：向量的模 题型3：零向量与单位向量 题型4：相等向量 题型5：平行向量 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2、数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量． 【注意】 （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移； （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素； （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点2 向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的字母表示法：如等. 3、向量的几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 【注意】 （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 知识点3 向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 【注意】（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 【注意】（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点4 向量的共线或平行 1、向量共线或平行的定义：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)。 规定：与任一向量共线. 【注意】（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 2、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型1：平面向量的概念与表示 【例1-1】下列物理量中，不能称为向量的是（   ） A．质量 B．速度 C．位移 D．力 【例1-2】（24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【例1-3】下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 【变式1-1】（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）下列各量中是向量的为（    ） A．时间 B．体积 C．重力 D．密度 【变式1-2】以下选项中，都是向量的是（   ） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 【变式1-3】下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度． 题型2：向量的模 【例2-1】已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【例2-2】如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 【例2-3】（24-25高一下·广西南宁）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【变式2-1】设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 【变式2-2】已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则 . 【变式2-3】（24-25高一下·全国）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 题型3：零向量与单位向量 【例3-1】下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【例3-2】（25-26高一上·辽宁大连·期末）与向量方向相同的单位向量为 . 【例3-3】（24-25高一上·上海·课前预习）基向量、能否是零向量？ 【变式3-1】下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【变式3-2】若与任意都平行，则 . 【变式3-3】如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？ 题型4：相等向量 【例4-1】（24-25江苏·高一专题练习）下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同 C．，且 D．且 【例4-2】在四边形中，有，则四边形的形状为 . 【例4-3】（2024·江苏·高一专题练习）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与向量相等的向量有多少个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【变式4-1】下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-2】已知四边形和都是平行四边形，则与向量相等的向量为 ． 【变式4-3】设点为正八边形的中心，分别写出与、、、相等的向量.    题型5：平行向量 【例5-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【例5-2】一辆汽车从点出发向西行驶了100km到达点，然后又改变方向向西偏北方向行驶了200km到达点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达点，则 km， km． 【例5-3】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【变式5-1】（2024高一·江苏·专题练习）已知向量与向量共线，则下列关于向量的说法中，正确的是（    ） A．向量与向量一定同向 B．向量，向量，向量一定共线 C．向量与向量一定相等 D．以上说法都不正确 【变式5-2】与向量平行的单位向量是 ． 【变式5-3】在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏扬州·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一下·湖北·月考）已知非零向量与共线，下列说法正确的是（   ） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 3．（24-25高一下·江苏无锡·月考）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 6．（25-26高一下·江苏连云港·月考）下列说法错误的是（    ） A． B．、是单位向量，则 C．两个相同的向量的模相等 D．单位向量均相等 7．如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 8．下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 10．（2025高一·江苏·专题练习）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 11．（24-25高一下·江苏泰州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．若两个非零向量 满足，则是互为相反向量 B．若向量 满足 与同向，则 C．的充要条件是 与重合，与重合 D．模为0是一个向量方向不确定的充要条件 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏泰州·月考）在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量： ； （2）的负向量： ； （3）与共线的向量： . 13．（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 14．（24-25高一下·江苏宿迁）在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 四、解答题 15．如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 16．如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： (1)与相等的向量有哪些？ (2)的相反向量有哪些？ (3)与的模相等的向量有哪些？ 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 18．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 19．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 1 学科网（北京）股份有限公司 $