17.5 第1课时 几何图形与数字问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(沪科版·新教材)  安徽专版

该教案聚焦列一元二次方程解决图形面积问题，通过复习列方程解应用题的“审设列解答”步骤搭建支架，连接旧知与新知，以长方形空地修路问题引导学生探究面积等量关系。 特色在于利用图形平移转化（如将小路平移形成规则长方形）培养几何直观与空间观念，强调等量关系推理发展推理意识，检验步骤强化模型意识。教师引导探究结合小组交流，助学生掌握转化方法提升能力，为教师提供清晰流程与实用案例。

17.5 一元二次方程的应用 第1课时 几何图形与数字问题 课题 图形面积问题 课型 新授课 教学内容 教材第40-41页的内容 教学目标 1.会用列出一元二次方程解决面积问题，学会将实际问题转化为数学问题; 2.能够根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理. 教学重难点 教学重点：列一元二次方程解决实际问题. 教学难点：找出实际问题中的等量关系，列出一元二次方程，并得出正确结果. 教 学 过 程 备 注 1.复习回顾，引入课题 问题：列方程解应用题的步骤: 审：审题，分清已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系. 设：设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量. 列: 找到等量关系列出方程.(关键步骤) 解:解方程. 答:检验根的准确性及是否符合实际意义并作答. 【教师活动】请同学们跟随老师一起回顾旧知识. 2.观察探究，引入新知 【问题】：在一块宽20 m、长32 m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为570 m2，问小路的宽应是多少？ 【教师活动】 教师引导学生根据步骤层层解决问题.并注意隐含条件也是关键. 分析: 空地-(横向路+纵向路)+横纵交叉=花坛总面积 解：设小路的宽是x m，则横向小路的面积是32x m2， 纵向小路的面积是2×20x m2，两者重叠部分的面积是2x2 m2. 由于花坛的总面积是570 m2， 则32×20 – (32x+2×20x)+2x2=570. 整理得：x2 – 36x+35=0. (x – 1) (x – 35) =0. ∴x1=1， x2=35. 结合题意，35＞32，x=35不可能，因此，只能取x=1. 答：所求小路的宽应为1 m. 【追问】同学们，仔细观察所给图形，还有其他列方程的方式吗？ 【师生活动】教师引导利用平移. 学生思考、小组交流并回答具体做法. 【分析】通过平移，剩下的图形是一个长方形，长是（32-2x）m，宽是（20-x）m，则可列方程（32-2x）（20-x）=570. 【拓展】面积问题常见图形归纳如下： （1） 如图1，长方形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的 宽为x，则阴影部分的面积为（a-2x）（b-2x）. （2） 如图2，长方形ABCD的长为a，宽为b，阴影部分 的宽为x，则空白部分的面积为（a-x）（b-x）. 点拨： 利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性 质，把纵、横两条小路移动一下，使列方程更容易些（目的 是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）. 【教师活动】带领学生再次回顾列方程解应用题的步骤，强调关键步骤（找等量关系）和检验这一步骤. 列方程解应用题的步骤: 审、设、列、解、验、答. 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 3.学以致用，应用新知 【例1】如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20 cm、容积为2 880 cm3的开口方盒.原金属片的边长是多少？ 分析：方盒的容积=底面积×高. 解：设原金属片的边长为x cm，则方盒的底边长是(x-40)cm. 根据题意，得20(x-40)2=2 880 整理，得(x-40)2=144 解方程，得x1=52， x2=28. 28＜20+20，x2=28不合题意，所以x=52. 答：原金属片的边长是52 cm. 【教师活动】带领学生整理解题步骤，并加以强调.. 4.随堂训练，巩固新知 （1）一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚3 mm的附着物，而导致流通截面减少至原来的.求这根水管 原来的内壁直径. 解：设水管原来的内壁直径为 x mm，可列方程为： 整理，得5x2-108x+324=0 解得 x1=18，x2=3.6 3.6＜3+3时，3不合题意，舍去. ∴x=18 答：这根水管原来的内壁直径18 mm. （2）在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米,可列方程为： (32-x)(20-x)=540 整理，得x2-52x+100=0 解得 x1=2,x2=50 当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去. ∴取x=2 答：道路的宽为2米. （3）如果两个连续偶数的积时288，求这两个数. 解：设较小的偶数为 x ，则另一个偶数为(x +2)， 可列方程为： x(x +2)=288 整理，得x2+2x-288=0 解得 x1=16,x2=-18 当x=16时，x +2=18；当x=-18时，x +2=-16，. 答：这两个数分别为16和18或-16和-18. 5.课堂小结，自我完善 师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1） 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ （2）列方程解应用题的关键步骤是什么？你是如何理一元二次方程根的取舍问题的？ （3）对于解决不规则的面积问题的思路是什么？常见的面积模型有哪些？ 6.布置作业 教科书P45习题17.5第2，3题. 回顾知识，为本节课的内容打下基础. 通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型 用总面积去减小路的面积，这样重叠部分的面积就容易忽略，可以引导学生进行平移，构成新的长方形，重点观察怎样平移，平移后的长方形的长和宽分别是多少，然后列出方程.最后教师进行总结，形成方法 通过例题巩固所学知识，掌握列方程解应用题的步骤. 通过随堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.在进一步巩固所学知识的同时去发现问题，以便弥补知识的漏洞. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 板书设计 图形面积问题 列方程解应用题的一般步骤： 提纲挈领，重点突出. 教后反思 利用一元二次方程解应用题是数学教学中的一个重点，而对于学生来说却是学习的一个难点.学生分析问题、寻找数量关系的能力较差，在学习一元二次方程的应用的这节课中，应该始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法.但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，会经常出现一些意想不到的错误.如数量之间的相等关系找得不清；列方程忽视了解设、检验的步骤等. 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $