17.3 一元二次方程根的判别式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(沪科版·新教材)  安徽专版

该教案聚焦一元二次方程根的判别式，通过回顾方程一般形式及求根公式中b²-4ac≥0的条件搭建学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到判别式的探究，梳理前后知识脉络。 其亮点是以配方法推导求根公式为载体，通过问题链引导学生自主发现b²-4ac的作用，培养推理能力与抽象能力，体现数学思维。例题涵盖正反应用，如例2求参数取值强化模型意识，助力学生掌握判别式用法，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

17.3 一元二次方程根的判别式 课题 一元二次方程根的判别式 课型 新授课 教学内容 教材第33-35页的内容 教学目标 1.了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能用它判断方程根的情况. 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况. 3.学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明． 教学重难点 教学重点：会用一元二次方程根的判别式判定根的情况. 教学难点：理解为什么能用根的判别式来判断方程根的情况. 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，引入课题 【问题1】一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？ 一般形式：(a≠0) 主要方法: (1)直接开平方法 (2)配方法 (3)公式法：求根公式（b2－4ac≥0） (4)因式分解法 【师生活动】教师提出问题，回顾前面学习知识，学生随教师提问发言. 2.观察探究，学习新知 【思考】回顾求根公式，想想方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？ 【教师活动】提出问题，让学生积极思考，为问题3做铺垫. 用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) . 解：二次项系数化为1，得 移项，得 配方，得 即 【问题3】接下来能用直接开平方解吗？ 【问题4】什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ 分析：中， (1)当b2– 4ac＞0 时，是正实数，方程有两个不相等的实数根. (2)当b2– 4ac=0 时，方程有两个相等的实数根. (3)当b2 – 4ac＜0 时，在实数范围内无意义，方程没有实数根. 【追问】教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？ 总结：一元二次方程根的情况由b2-4ac决定. 【归纳】 我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用符号“”表示，即= b2-4ac. 3.学以致用，应用新知 【例1】用根的判别式判别下列方程根的情况： (1)5x2−3x − 2＝0； (2)25y2+4＝20y； (3)2x2+x+1＝0. 解： (1)因为∆＝(− 3)2 − 4×5×(− 2)＝49＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可变形为25y2 − 20y+4＝0 因为∆＝(− 20)2 − 4×25×4＝0， 所以原方程有两个相等的实数根. (3)因为∆＝()2 −4×2×1＝−5＜0， 所以原方程没有实数根. 【例2】当m为何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根？此时两个实数根是多少？ 分析：由于一元二次方程有两个相等的实数根，所以根的判别式的值为0，由此可求出m的值，进而可求出方程的根. 解：根据题意，得， 即16-4m+2=0，解得m=. 即当m=时，方程有两个相等的实数根，此时方程为x2-4x+4=0. 解方程，得x1=x2=2. 4.随堂训练，巩固新知 1.不解方程，判别下列方程根的情况： (1)2x2 − 5x − 4=0； (2)7t2 − 5t+2=0； (1) x(x+1)=3； (4)3y2+25=10y. 解：(1)因为∆=(− 5)2 − 4×2×(− 4)=57＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)因为∆=(− 5)2 − 4×7×2= − 31＜0， 所以原方程没有实数根. (3)原方程可变形为x2+x − 3=0， 因为∆=12 − 4×1×(− 3)=13＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. (4)原方程可变形为3y2－10y+25=0， 因为∆=(10)2－4×3×25=0， 所以原方程有两个相等的实数根. 2.已知关于x的方程x2 − 3x＋k＝0，问k取何值时，这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 解：因为∆=(− 3)2 − 4×1×k=9 − 4k， ∆＞0，即时，方程有两个不相等的实数根； ∆=0，即时，方程有两个相等的实数根； ∆＜0，即时，方程无实数根. 5.课堂小结，自我完善 师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）一元二次方程根的判别式是什么？ （2）如何用一元二次方程根的判别是判定根的情况？ （3）在推导二次根式法则的过程中运用了哪些思想方法？ 6.布置作业 教科书P35练习第2题，习题17.3第1-4题 回顾知识，为本节课的内容打下基础. 通过研究能否利用直接开平方法解方程，引出判别式，使学生理解为什么能用根的判别式判别一元二次方程根的情况. 给学生示范规范的解题步骤. 这是对根的判别式的反向应用，教师可以先让学生回顾根的三种情况与根的判别式的关系，然后再构建相应的式子求解. 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，再次巩固根的判别式与一元二次方程的根之间的关系，巩固分类讨论的数学思想. 板书设计 一元二次方程根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程（）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ=. →有两个不相等实数根； →有两个相等实数根； →没有实数根. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对b2-4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究b2-4ac作用，它是前面知识的深化与总结.在教学中先让学生明确根的判别式的由来以及它的重要性，然后通过直接的应用加深印象，最后通过反向应用拓展学生的思维.从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触.所以可以让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力. 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $