16.1 二次根式及其性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(沪科版·新教材)  安徽专版

该初中数学教案聚焦二次根式的概念、有意义的条件及性质1、2，通过复习平方根和算术平方根的概念与性质搭建学习支架，再结合正方形面积、长方形游泳池等实际情境引入新知，构建新旧知识的逻辑联系。 教案以问题链驱动探究，从特殊算式归纳性质1、2，培养抽象能力与推理意识，通过辨析被开方数取值范围及性质区别，发展数学思维。实例丰富且分层，助力学生理解应用，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

16.1 二次根式及其性质 课题 二次根式及其性质 课型 新授课 教学内容 教材第2-5页的内容 教学目标 1.了解二次根式的概念，理解二次根式中被开方数a的实际意义，即a是非负数，以及的非负性； 2.理解二次根式的性质1、性质2，了解其区别与联系； 3.经历二次根式性质的观察、归纳、对比等探索过程，并能运用性质解决一些问题. 教学重难点 教学重点：经历二次根式概念的探索和形成过程，理解和掌握二次根式的性质1、性质2，了解其区别与联系. 教学难点：理解二次根式中a的取值范围，能正确运用二次根式的性质进行化简和计算. 教 学 过 程 备 注 1.复习回顾，引入课题 【教师活动】教师通过提问引导学生回顾已学知识，并举例说明. 【问题1】什么是一个数的平方根？如何表示？ 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做二次方根.用±表示. （1）16的平方根是 ；±4 （2）0的平方根是 ； 0 （3）5的平方根是 ； （4）–7有平方根吗？ 没有 【问题2】平方根的性质是什么？ 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根为0； 负数没有平方根. 【师生活动】学生回答．教师引导学生回顾平方根的概念和性质. 【问题3】什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根叫做这个数的算术平方根，用表示. （1）16的算术平方根是 ；4 （2）0的算术平方根是 ； 0 （3）的算术平方根是 ； 【问题4】算术平方根的性质是什么？ 一个正数有一个算术平方根； 0的算术平方根为0； 负数没有算术平方根. 【师生活动】学生思考回答．教师引导学生回顾算术平方根的概念和性质，并注意回顾平方根和算术平方根之间的联系. 2.合作探究，学习新知 【探究1】用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？ （1）如图①为正方形图片,若面积为2 m²，则边长为 m. （2）如图②为长方形游泳池，若长是宽的2倍，面积为110 m2，则它的宽为 m. （3）如图③为圆形花坛，花坛的面积为S(单位：m²)，若用含S的式子表示半径r，则r应该表示为 m. ① ② ③ 答案：，，. 【教师活动】教师举出生活中的实例，先让学生自主思考作答，再一起探究结果的共同特征，引出二次根式的概念，并鼓励学生用自己的语言描述概念. 【问题5】 （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？ 答案：（1）分别表示，，的算术平方根. （2）①都含有“”；②被开方数均为非负数. 【师生活动】学生回答，给出正确答案后，让学生思考并尝试归纳总结二次根式的特征，并尝试用语言描述二次根式的概念.教师针对学生的回答进行补充并给出二次根式的定义. 【归纳】二次根式的定义 我们把形如的式子叫做二次根式. 符号叫做二次根号，a叫做被开方数. 【思考】当a为何值时，下列根式有意义？ （1） （2） 分析：（1） a–2 ≥ 0 → a ≥2； （2） 2–3a ≥ 0 →. 总结：二次根式有意义的条件：被开方数a≥0. 【探究2】利用算术平方根的意义：由于是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有（）2=2（）2=2. 类似地，计算： = ，= ，= ， 答案：5； ；0. 【教师活动】先让学生独立完成计算，然后分组观察思考并作答，最后得出结论. 【问题6】观察等式的两边，你能得到什么启示？ 一个数的算术平方根的平方还等于这个数，即. 【教师追问】对于上面的性质，a能小于0吗？为什么？ 不能，a必须大于等于0. 因为只有非负数才有算术平方根，所以a必须大于等于0. 【师生活动】师生共同总结归纳上述性质： 二次根式的性质1：. 【探究3】利用算术平方根的意义：， 类似的，计算： = ，= ，= ， 答案：；0.5；0. 又如，再计算： = ，= ，= ， 答案：；0.5；6. 【问题5】观察上述两组算式中结果与根号内幂底数的关系，你能得到什么启示？ 【师生活动】学生思考并讨论，教师引导，师生共同总结. 当a>0时，， 当a=0时，， 当a<0时，. 【教师追问】对于上面的结论，与七年级学习过的哪个知识点相似呢？ 【学生活动】学生谈论并回答. 绝对值.即. 【教师追问】与有什么关系呢？你能试着进行总结吗？ 【师生活动】经学生讨论后，先找同学试着总结，其他学生补充，最后师生共同归纳上述性质： 二次根式的性质2： 【拓展】 如何区别与. 3.学以致用，应用新知 【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ （1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）2. 【师生活动】教师让学生思考判断，并说出是或不是的原因.答案：(1)(5)(6)是二次根式，(2)(3)(4)不是二次根式. 【例2】当x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 解：（1）要使有意义，必须x+3≥0. 解这个不等式，得x≥–3. 即当x≥–3时，在实数范围内有意义. （2）因为x为任何实数时都有x2≥0. 所以当x为一切实数时，在实数范围内都有意义. （3）由-x2≥0，得x=0. （4）由x+4≥0且x-2≠0，得x≥-4且x≠2； （5）由6-2x>0得x<3. （6）由 得. 【师生活动】教师让学生独立作答，并说出解题的思路及步骤.根据学生回答的情况，让其他学生进行补充，师生共同总结． 【例3】计算： （1）；（2）；（3）；（4）. 提示：形如(n)2(m≥0)的二次根式的化简，可先利用(ab)2＝a2b2，化为n2·()2(m≥0)后再化简． 解：（1）=； （2）=； （3）=； （4）=. 【例4】计算：(1)； (2) ； (3) . 解：(1) (2) 或； (3) . 【例5】先化简再求值：，其中x=4. 提示：①将式子先化成“”的形式； ②利用二次根式的性质化简； ③代值计算. 解：. 当x=4时，. ∴当x=4时，. 4.随堂训练，巩固新知 1.当x取何值时，下列式子在实数范围内有意义? 解：（1）x为任意实数时，x2+1＞0， 可得，在实数范围内都有意义. （2）由，且x–1≠0，可得，x–1＜0，即x＜1； （3）由x≥0，且x–1≥0 ，可得x≥1. 2.求下列各式的值： 解： 3.求下列各式的值： 解：. 4.先化简，再求值：，其中x =–2. 解：. 当x =–2时，. ∴当x –2时，. 5. (选做) 已知实数a，b满足，求a，b的值. 解：由题意知 解得b=2， 则a=0+0+3=3. 所以a，b的值分别为3，2. 5.课堂小结，自我完善 师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： (1）什么是二次根式？ (2）若使二次根式有意义，需要满足什么条件？有哪些易错点需要注意？ （3）你知道了二次根式的哪些性质？ （4）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？ 6.布置作业 教科书P4习题16.1第1-7题. 回顾已学的知识，为本节课要学的内容作准备，感受新旧知识之间的联系． 由实际情境得出结果，让学生初步体会二次根式与实际生活的联系，以及引入二次根式的必要性. 通过让学生观察思考找出式子的共同特征，得出二次根式的概念，培养学生的观察归纳的能力. 是一个非负数，要提醒学生这里的a和都是非负数，即二次根式具有双重非负性. 引导学生根据二次根式的概念得出二次根式有意义的条件 让学生类比平方根的意义计算出结果，并通过观察思考归纳出二次根式的性质1，了解从特殊到一般的处理数学问题的数学思想. 不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件. 引导学生观察得出a的取值不同对结果的影响，并归纳出二次根式的性质2，发展分类讨论思想，了解从特殊到一般的处理数学问题的数学思想. 过观察、对比、归纳出二次根式的性质1、性质2的区别与联系，加深学生对性质的理解. 归纳判断二次根式一般步骤，规范学生的解题过程，避免出现考虑不全的情况. 让学生进一步加深对二次根式有意义的条件的认识和理解，培养学生的应用意识. 对性质1的考查，可以直接利用的结论解题. 对性质2的考查，的实质是求a2的算术平方根，其结果一定是非负数. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用。 板书设计 二次根式及其性质 1.二次根式的定义 2.二次根式有意义的条件：被开方数a≥0. 3.性质1： 4.性质2： 提纲挈领，重点突出. 教后反思 本节课主要学习二次根式的概念、二次根式有意义的条件，以及性质.本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯．在教学中，要与前面所学习的算数平方根紧密相连，从一个非负数的算数平方根入手，使学生逐步掌握二次根式的定义和二次根式成立的条件，关键是要学生理解为什么二次根式的被开方数是一个非负数，以及怎样应用它的非负性解决简单的问题.这里要注意除了满足被开方数为非负数以外，还要注意分母不能为0.性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用. 教后反思，累积经验. 学科网（北京）股份有限公司 $