17.5 一元二次方程的应用（1）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，涵盖几何图形问题和变化率问题，通过实际情境（如长方形空地修路、药品降价）导入，衔接方程解法，搭建从具体问题到方程模型的学习支架。 其亮点是以真实问题为载体，培养抽象能力、推理意识和模型意识。如几何问题用平移转化简化方程，变化率问题用公式建模，小结归纳解题步骤，帮助学生用数学语言表达现实问题，提升教师教学效率。

17.5 一元二次方程的应用（1） 第17章 一元二次方程及其应用 学习目标 1.能够利用一元二次方程解决有关实际问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.（重点、难点） 2.认识方程模型的重要性，寻找实际问题中的相等关系.（难点） 3.在问题解决中,经历一定的合作交流活动,进一步发展学生合作交流的意识和能力. 注意检验是否符合实际. 知识讲解 知识点1 几何图形问题 例1 解决17.1节中的问题2. 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上,修筑三条等宽的小路(两条纵向,一条横向,纵向与横向垂直),把这块空地分成6块，建成小花坛.要使花坛的总面积为 570 m2,小路的宽应是多少？ (单位：m) 解：设小路的宽是 x m.根据题意，得 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570. 整理，得 x2-36x＋35=0. 则(x-1)(x-35)=0. 解方程，得x1=1，x2=35. x2=35不合题意，所以x=1. 答：小路的宽应为1 m. 知识讲解 知识点2 变化率问题——平均变化率 例2 原来每盒27元的一种药品，经两次降价后每盒售价为9元.该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到1%） 解：设该种药品两次降价的平均降价率是x，根据题意，得 27²=9. 整理，得²=. 解方程，得x1≈1.58，x2≈0.42=42%. x1≈1.58不合题意，所以x≈0.42=42%. 答：该药品两次降价的平均降价率是42%. 知识讲解 例3 一农户原来种植的花生，每公顷产量为3 000 kg，出油率为50%(即每100 kg花生可加工出花生油50 kg).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1 980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率. 分析：设新品种花生产量的增长率为，则新品种花生出油率的增长率为， 根据“新品种花生每公顷产量×新品种花生出油率=1 980 kg”可列出方程. 知识点2 变化率问题——一般变化率 知识讲解 例3 一农户原来种植的花生，每公顷产量为3 000 kg，出油率为50%(即每100 kg花生可加工出花生油50 kg).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1 980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率. 解：设新品种花生产量的增长率为x，根据题意，得 3 000=1 980. 整理，得²+75x-16=0. 解方程，得x1=0.2=20%，x2=-3.2. x2=-3.2不合题意，所以x=20%. 答：新品种花生产量的增长率为20%. 知识点2 变化率问题——一般变化率 1. 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？ 27cm 21cm 例题解读 分析:这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽 之比为 : ，上下边衬与左右边衬的宽度之比 : . 9 9 9 7 7 7 解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为 解法1：设上下边衬的宽为 9x cm，左右边衬的宽为 7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽为 故左右边衬的宽为 方程的哪个根合乎实际意义? 为什么? 试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 27cm 21cm 解法2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为 左右边衬的宽度为 27cm 21cm 例题解读 2. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5 000 元，随着生产技术的进步，去年生产 1 吨甲种药品的成本是 4 650 元，则下降率是 . 如果保持这个下降率，那么现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元. 7% 4 324.5 下降率 = 下降前的量 - 下降后的量 下降前的量 3. 前年生产 1 t甲种药品的成本是 5 000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x，则去年生产 1 t甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，那么现在生产 1 t甲种药品的成本是 元. 下降率x 第一次下降前的量 5 000(1 - x) 第一次下降后的量 5 000 下降率x 第二次下降后的量 第二次下降前的量 5 000(1 - x)(1 - x) 5 000(1 - x)2 5 000(1 - x) 5 000(1 - x)2 4.某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为 x.根据题意，得 答：这个增长率为 50%. 200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950. 整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0. 解得 x1 = -3.5 (舍去)，x2 = 0.5. 增长率不可为负，但可以超过 1. 注意 5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm²？ 根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，CQ = 2x cm. 解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm². 整理，得 解得 x1 = x2 = 3. 答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ的面积为 9 cm². 则有 6. 如图，在一块长为 92 m，宽为 60 m 的长方形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个长方形小块．水渠应挖多宽？ 解：设水渠宽为 x m，将所有耕地拼在一起，变成一个新的长方形，则其长为 (92 - 2x) m，宽为 (60 - x) m. 则有 (92 - 2x)(60 - x) = 6×885. 解得 x1 = 105(舍去)，x2 = 1. 注意：结果应符合实际意义 答：水渠应挖 1 m 宽. 我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条水渠移动一下，使列方程更容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）. 方法点拨 随堂演练 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( ) A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720 C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500 2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元．若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x，则可列方程为 . B 2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 8 3. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ） A．x2 + 130x - 1400 = 0 B．x2 + 65x - 350 = 0 C．x2 - 130x - 1400 = 0 D．x2 - 65x - 350 = 0 80 cm x x x x 50 cm B 4. 青山村种的水稻前年平均每公顷产 7 200 千克，今年平均每公顷产 8 712 千克，求该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率. 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x. 根据题意，得 7 200(1+x)2 = 8 712. 解得 x1 = 0.1 = 10%，x2= -1.1(不符合题意，舍去). 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%. 5. 如图，在宽 20 米，长 32 米的长方形地面上修筑同样宽的道路 (图中阴影部分)，余下的部分种上草坪. 要使草坪的面积为 540 平方米，求道路的宽. 解：设道路宽为 x 米，由平移得到下图，则依题意可列方程为 (20 - x)(32 - x) = 540. 解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 答：道路的宽为 2 米. 整理得 x2 - 52x + 100 = 0， 课堂小结 一元二次方程的应用 增长率 a(1 + x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量 降低率 a(1 - x)2 = b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量. 注意 1 与 x 位置不可调换 平均变化率问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 方法归纳 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设出未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 绿卡图书—走向成功的通行证 $