17.4 一元二次方程的根与系数的关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件围绕“一元二次方程的根与系数的关系”展开，通过复习求根公式和判别式导入，引导学生填表观察具体方程的根与系数关系，进而猜想并证明韦达定理，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“观察-猜想-证明-应用”为主线，结合推理能力和运算能力培养，通过分层例题（如已知一根求参数、代数式求值）和随堂演练，帮助学生理解知识本质。教师可利用其系统流程实施教学，学生能提升数学思维与应用能力。

17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第17章 一元二次方程及其应用 学习目标 1.了解一元二次方程的根与系数的关系.（重点） 2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.（难点） 复习引入 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根. 知识讲解 填写下表，然后观察根与系数的关系： 方程 x2+2x-15=0 3x2-4x+1=0 2x2+3x-2=0 x1 x2 x1+x2 x1x2 两个根 两根 之和 两根 之积 a与b之间关系 a与c之间关系 b a - c a 3 -5 -2 -15 -2 -15 1 1 3 4 3 1 3 4 3 1 3 -2 1 2 3 2 - -1 3 2 - -1 根据你的观察，猜想：如果方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根是x1，x2，那么 x1+x2=，x1x2=. 你能证明这个猜想吗？ 从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1,x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式.由此可知，方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q。 1.二次项系数为1，能因式分解的一元二次方程 知识讲解 我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且b2－4ac≥0)的两根为： x1=,x2=. 观察x1，x2表达式的特点，你有什么发现？(提示：计算x1+x2与x1x2) 知识讲解 x1x2. x1x2 如果()的两个根为x1，x2，那么 x1x2，x1x2 这个关系通常称为韦达定理. 由此得出，一元二次方程的根与系数质检存在下列关系： 当一元二次方程二次项系数为1时，它的一般形式为.设它的两个根为，，这时有,. 例1 已知关于的方程有两个根，其中一个根是，求它的另一个根及的值. 教材例题 解：设方程的另一个根是，则 解方程组，得 所以方程的另一个根为，的值为7. 例2 方程的两个根记作，求的值. 教材例题 解：由韦达定理，得. ()²()²4²×. 所以. 如果()的两个根为那么 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x2＋7x＋6＝0； 解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6. Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1＋x2＝－7，x1x2＝6. 例题解读 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (2)2x2－3x－2＝0. 例题解读 例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值. 思路：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中p的值. 例题解读 例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值. 例题解读 若待定字母在一次项中，可先用两根之积的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之和的关系求待定字母的值； 若待定字母在常数项中，可先用两根之和的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之积的关系求待定字母的值。 归纳总结 1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2－6x－15＝0； (2)3x2＋7x－9＝0； (3)5x－1＝4x2. 解： 随堂演练 2. 若实数x1，x2满足x1+x2=3,x1x2=2,则下列一元二次方程以x1，x2为根的是(　　) A．x2-3x+2=0 B．x2+3x-2=0 C．x2+3x+2=0 D．x2-3x-2=0 A 3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p= , q= . 1 -2 4.下列一元二次方程中，有两个实数根的和为2的是（ ） A.x2-2x+2=0 B.x2-2x+2 022=0 C.x2-2x-2 022=0 D.x2+2x-2=0 C 没有实数根. 没有实数根. 两个实数根的和为2. 两个实数根的和为-2. 5.已知关于x的一元二次方程(m-3)x2+2x+m2-9=0有一个根是x=0,试确定m的值并求该方程的另一个根. 6.关于x的一元二次方程x2-2x+3m-2=0有实数根. (1)求m的取值范围; (2)若方程有一根为4,求方程的另一根. 7.若p,q是一元二次方程x2+4x-9=0的两个根，则p2+3p-q的值是( ) A.6 B.9 C.12 D.13 D 解析：∵p,q是一元二次方程x2+4x-9=0的两个根， ∴p+q=-4,p2+4p-9=0，即p2+4p=9. 则原式=（p2+4p）-（p+q）=9-(-4)=9+4=13. 8.若a、b是关于x的一元二次方程x2-2kx+4k=0的两个实数根， 且a2+b2=12，则k的值是（ ） A.-1 B.3 C.-1或3 D.-3或1 A 解析：∵a、b是关于x的一元二次方程x2-2kx+4k=0的两个实数根， ∴Δ=4k2-16k≥0,即k≥4或k≤0, a+b=2k,ab=4k, ∵a2+b2=12,∴(a+b)2-2ab=12,即4k2-8k=12, 整理得:k2-2k-3=0,即(k-3)(k+1)=0, 解得k=3(不合题意,舍去)或k=-1,则k=-1. 9.设x1，x2是方程3x2+4x-3=0的两个根。利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1+1)(x2+1); (2) 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1,x2和系数a,b,c的关系： 2.与一元二次方程的两个根x1,x2有关的代数式的常见变形： 课堂小结 3.一元二次方程的根与系数的关系的应用： （1）判定两根的符号； （2）已知一根求另一根及字母的值； （3）求涉根代数式的值； （4）构建以两已知数为根的一元二次方程. 课堂小结 绿卡图书—走向成功的通行证 $