16.1 二次根式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、有意义条件及基本性质，通过面积计算、围栏设计、自由落体等现实情境导入，引导学生观察带根号式子的共同特征，逐步抽象出二次根式定义，搭建从具体实例到数学概念的学习支架。 其亮点在于以真实问题培养数学眼光，通过表格探究活动发展数学思维，如性质教学中对比算术平方根与平方运算发现规律，例题与小结结合强化数学语言表达，帮助学生系统掌握知识，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

第16章 二次根式 16.1 二次根式 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.掌握二次根式有意义的条件. 2.理解并掌握二次根式的基本性质. 1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式. 2.理解并掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中所含字母的取值范围. 3.理解并掌握二次根式的基本性质 和 会运用二次根式的两个性质进行化简计算. 3 情景导入 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)面积为3的正方形的边长为_____；若面积为S ，则边长为_____． (2)一个长方形的围栏，若长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为_____m． (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系，如果用含有h的式子表示t，那么 t为_____． 4 （1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示3，S，65，的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． （2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 知识讲解 知识点1 二次根式的概念 当时，是有意义的，它表示的算术平方根，符号“”叫作二次根号. 我们把形如（a≥0）的式子叫作二次根式. 注意：a可以是数，也可以是式. “”中一般把根的指数2省略，写成“”. 解读 被开方数可以是非负数或单项式、多项式、分式等 两个要素 ①形式上含有“” ②被开方数a ≥ 0 6 知识点2 二次根式有意义的条件 1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立， 即：有意义⇔a≥0. 2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立， 即：无意义⇔a＜0. 解读 式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 为二次根式的前提条件. 7 探究1 根据算术平方根及平方的意义填空，你发现了什么？ 0 2 4 算数平方根 0 2 … … 平方运算 … 0 2 4 观察两者有什么关系？ 知识点3 二次根式的性质1 8 5 0 探究2 根据探究1直接写出结果. 由于是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有（）²=2. 类似地，计算： 9 二次根式的性质1 ＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件. 总结 10 2 0.1 0 算数平方根 4 … … 平方运算 … 2 0.1 观察两者有什么关系？ 0 0 知识点4 二次根式的性质2 探究1 根据平方及算术平方根的意义填空，你发现了什么？ 11 探究2 根据探究1直接写出结果. ，类似地，计算： _________，_________，_________. 又如=-(-3)，再计算： _________，_________. 12 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身的绝对值. 总结 二次根式的性质2 13 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零. (3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 分析 例1 例题解读 14 总结 二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数． 注意 二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如是二次根式.像+1（a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式. 15 例2 实数x为何值时,下列式子有意义？ 解：（1）要使有意义，必须 x+3 ≥ 0， 解这个不等式，得x. 即当时，有意义. 归纳 要使二次根式有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零. （1）； （2）. （2）因为为任何实数时都有 x²≥ 0， 所以当x为一切实数时，有意义. 16 计算： 例3 （1）； （2）. 解：（1）或. （2）. 17 例4 先化简再求值：，其中. 解：=. 当时，∵＜4，∴4＞0. == ∴当时，=. 18 归纳 计算 一般有两个步骤： ①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即 =|a|； ②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简，即|a|= 19 随堂演练 3.要使式子 有意义，a的取值范围是（ ） A. a≠ 0 B. a＞-2且a≠ 0 C. a＞-2或a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0 C 1.已知一个正方形的面积是3，那么它的边长是 . 2.使有意义的x的取值范围是 . x≥2 20 4.实数x为何值时，下列式子有意义？ 解：（1）由题意得x－1＞0，解得x＞1. 即当x＞1时，有意义. （2）∵被开方数需大于或等于零，∴x+3≥0，∴x≥－3. ∵分母不能等于零，∴x－1≠0，∴x≠1. ∴x≥－3 且x≠1. 归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零. 21 5.求下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 22 课堂小结 二次根式 二次根式有意义的条件 概 念 形如的式子叫作二次根式 被开方数必须为非负数 基本性质 ＝a (a ≥0). 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $